反函数

【课题】反函数
【课时】2节
【授课教材】广东省技工学校教材《数学》第二版广东教育出版社
【教学目的】1、使学生了解反函数产生的背景，正确理解反函数的定义，掌握反函数的定义和表示法；
2、会求一些简单函数的反函数及其定义域；
3、理解互为反函数的图象间的关系；
【教学重点】反函数的定义和求法，互为反函数的图象间的关系.；
【教学难点】反函数的定义和求法
【教学方法】讲授法、启发式为主
【教具】三角尺
【授课过程】
一、复习引入（10分钟）
1、复习：⑴老师提问：函数的定义
并画图说明y=f(x)含义，Array如图
定义域D 值域M 板书题目：⑵快速口头回答下列函数的定义域：①y=x2+1;
②y=2x-3;③y=5/(3x-1); ④y=x+2; ⑤y=(x+2)/(2x-1).
2、引入：阅读p18 1、2、
3、4段
（讲解）由物体作匀速直线运动的位移公式s=vt,（其中速度v是常量）s是时间t的函数；可以变形为t=s/v，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数.
又如，在函数y=2x+6中，x是自变量，y是x的函数，定义域为R，值域为R. 我们从函数y=2x+6中解出x，就可以得到式子x=y/2-3. 这样，对于y在R中任何一个值，通过式子x=y/2-3，x在R中都有唯一的
值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y为自变量，x为y的函数，
定义域是为R，值域是为R.
上述两例中，由函数s=vt得出了函数t=s/v；由函数6
y得出
=x
2+
了函数x=y/2-3，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：⑴它们的对应法则是互逆的；⑵它们的定义域和值域互换：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数互为反函数. 今天我们就来学习求这种函数. 二、讲解新课
老师板书课题：反函数
1、反函数的定义（10分钟）
一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，值域为M，若对于M中每一个y的值，通过y=f(x)这种关系使D中有唯一的x的值和它对应，这样就确定了一个以y为自变量的新函数，这个函数就叫做原来函数y=f(x)(x∈D)的反函数，记作x=f-1(y). 其中y是自变量，x是y的函数，且反函数x=f-1(y)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域.
说明：在函数x=f-1(y)中，y是自变量，x是y的函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f-1(y)中的字母x、y，把它改写成y=f-1(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。

若函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)，那么函数y=f-1(x)的反函数就是y=f(x)，这就是说，函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数.
即：
y=f(x) 定义域D，值域是M
（变形为以y为自变量的反函数）
x=f-1(y) 定义域M，值域是D
（调换字母x、y变形为以x为自变量的反函数） y=f-1(x) 定义域M，值域是D
2、反函数的求法（25分钟）
（1）讲解课本19页例1、例2 、例3
（2）引导学生总结如何求反函数，然后老师总结：
①视y=f(x)为关于x的方程，解方程得x=f-1(y);
②互换x、y得反函数的解析式y=f-1(x)；
练习：课本P20-2（1）（2）（3）（不求定义域）
例、求下列函数的反函数，并写出反函数的定义域
⑴ y=3x-1；⑵ y=x3+1；⑶ y=x+1；
⑷ y=(2x+3)/(x-1).
说明：老师先启发解题思路再让学生上黑板解答最后老师讲评并总结：解：⑴∵x∈R，∴y∈R. 由y=3x-1解得x=(y+1)/3, ∴函数y=3x-1(x
∈R)的反函数是y=(x+1)/3 ，所求反函数的定义域是（－∞，+∞）;
⑵∵x∈R，∴y∈R. 由y=x3+1解得x=31-
y, ∴函数y=x3+1(x∈R)的
反函数是y=31-x，所求反函数的定义域是（－∞，+∞）;
⑶∵x≥0，∴y≥1. 由y=x+1解得x=(y-1)2, ∴函数y=x+1(x≥0)
的反函数是y=(x-1)2，所求反函数的定义域是[1，+∞）;
⑷∵x∈{x |x≠1}，∴y∈{y |y≠2}.由y=(2x+3)/(x-1)解得
x=(y+3)/(y-2), ∴函数y=(2x+3)/(x-1)( x≠1)的反函数是y=(x+3)/(x-2) 所求反函数的定义域（－∞，2）∪（2，+∞）。

总结说明：反函数的定义域通常应由原来函数的值域得到，有时也可
由反函数的解析式得到，视题目具体分析选用方法，求函数y=f(x)的反函
数的一般步骤
（1）确定函数y=f(x)的值域。

（它是反函数的定义域）
（2）由y=f(x)解出x=f-1(y)，即把x用y表示出；
（3）将x=f-1(y)改写成y=f-1(x)（即x=f-1(y)中的x、y符号对调），并写出反函数的定义域。

3、让学生阅读例3后的一段文字分析指出对于任意一个函数y=f(x)来说，不一定有反函数（5分钟）
①函数y=x2 (x∈R) 为什么没有反函数？
答：因为函数y=x2的定义域D为（－∞，+∞），值域M为[)
+∞
,0，根据函
数y=x2中x、y 的关系，用y表示x得到x=y
±，然而对于y在M中的非
零值，通过x=y
±，x在D中有两个值和它对应，所以，根据函数定义，
式子x=y
±中x不是y的函数，更不是y=x2的反函数。

②怎样改变函数y=x2的定义域，使它有反函数？（让学生思考作答）
图 2
图1 只有在其定义域内为单调函数的函数才有反函数.
如2x y =（x ∊（－∞，+∞））没有反函数,而2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =),0[+∞∈x
4、互为反函数的图象间的关系（20分钟）
例1、求函数y=3x-2(x ∈R)的反函数，并在同一坐标系下画出原来的函数和它的反函数的图象.
解：根据求反函数的步骤易求得函数
y=3x-2(x ∈R)的反函数是y=(x+2)/3 (x ∈R).
它们的图象如图1所示.
练习：求函数y=2x+1（x ∈R.）的反函数，
并画出原来的函数和它的反函数的图像。

解：根据求反函数的步骤易求得函数
y=2x+1 (x ∈R)的反函数是y=(x-1)/2 (x ∈R).
它们的图象如图2所示.
从图1可以看出，函数y=3x-2(x ∈R)和它
的反函数y=(x+2)/3(x ∈R)的图象关于直线y=x
对称；
从图2可以看出：函数y=2x+1(x ∈R)和它
的反函数 y=(x-1)/2 (x ∈R)的图象关于直线
y=x 对称.
结论：一般地，函数y=f(x)的图象和它的反函
数y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称.
三、总结（10分钟） 1、反函数的定义和求反函数的简明步骤：一解、二换、三注明（定义域）
2、互为反函数的定义域和值域互换.即函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f –1(x)的值域；函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f -1(x)的定义域.（如下表）：
3、函数y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数。

即
若函数y=f(x)有反函数，那么函数y=f-1(x)的反函数就是y=f(x).
4、说明：学习反函数必须充分理解如下几点：
（1）函数y=f(x)的概念与方程的差别（2）y=f(x)与x=f-1(y)的不同之处（3）y=f(x)与 y=f-1(x)的相同之处（4）反函数的定义域、值域就是原函数的值域、定义域（5）并非任何函数都有反函数。

四、布置作业（5分钟）
1、求下列函数的反函数并写出反函数的定义域
⑴ y=-2x+1; ⑵ y=2x3-1; ⑶ y=1
x+1(x≥0);
2+
⑷ y=(2x-3)/(x+1)(x∈R,且x≠-1).
2、求函数y=3x-1（R
x∈）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像。

附：板书顺序设计
图2。