三角函数平面向量复数检测题
2020届二轮(理科数学) 平面向量解三角形复数 专题卷(全国通用)
单元质检六平面向量、解三角形、复数(时间:45分钟 满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题6分,共48分) 1.设复数i -21+i =a+b i(a ,b ∈R ),则a+b=( ) A.1B.2C.-1D.-22.已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则有( ) A.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗3.若非零向量a ,b 满足a ⊥(2a+b ),且a 与b 的夹角为2π3,则|O ||O |=( )A.12B.14C.√32D.24.已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC=60°,则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( )A.-32a 2B.-34a 2C.34a 2D.32a 25.一艘船以每小时15 km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向,行驶4 h 后,船到达B 处,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时船与灯塔的距离为 ( )A.15√2 kmB.30√2 kmC.45√2 kmD.60√2 km6.已知向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2cos α,√2sin α),则向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角的取值范围是( ) A.[0,π4]B.[π4,5π12] C.[5π12,π2]D.[π12,5π12]7.已知|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,点C 在线段AB 上,且|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为1,则|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(t ∈R )的最小值为( ) A.√2 B.√3C.2D.√58.已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,且a ·b =1.若e 为平面单位向量,则(a+b )·e 的最大值为( ) A.√6B.6C.√7D.7二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.设i为虚数单位,复数z=1-i的虚部是.3-i10.已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(t a+b),则实数t的值为.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值,则点P的坐标⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),OO11.已知向量OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,1),在x轴上存在一点P使OO是.⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的12.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点,若F为该矩形内(含边界)任意一点,则OO最大值为.13.若向量a,b满足a=(-√3,1),(a+2b)⊥a,(a+b)⊥b,则|b|= .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO 14.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=√1-O2上一个动点,则OO值范围是.三、解答题(本大题共2小题,共22分)15.(11分)在△ABC中,A=30°,BC=2√5,点D在AB边上,且∠BCD为锐角,CD=2,△BCD的面积为4.(1)求cos ∠BCD的值;(2)求边AC的长.16.(11分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,满足c cos B+(2a+b)cos C=0.(1)求角C;(2)若c=√3,求△ABC面积的最大值.单元质检六 平面向量、解三角形、复数1.A 解析∵i -21+i =-12+32i =a+b i,∴a=-12,b=32. ∴a+b=1,故选A .2.B 解析由2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选B .3.B 解析∵a ⊥(2a+b ),且a 与b 的夹角为2π3,∴a ·(2a+b )=2a 2+a ·b =2|a |2-12|a ||b |=0.又|a |≠0,|b |≠0,∴2|a |=12|b |,∴|O ||O |=14,故选B .4.D 解析如图,设OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+b )·a =a 2+a ·b =a 2+a ·a ·cos60°=a 2+12a 2=32a 2.5.B 解析如图所示,依题意有AB=15×4=60(km),∠DAC=60°,∠CBM=15°,∴∠MAB=30°,∠AMB=45°.在△AMB 中,由正弦定理,得60sin45°=OOsin30°,解得BM=30√2(km),故选B .6.D 解析由题意,得OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+√2cos α,2+√2sin α), 所以点A 的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2.如图,当A 为直线OA 与圆的切点时,向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角分别达到最大值和最小值,故选D .7.B 解析依题意,可将点A ,B 置于圆x 2+y 2=4上;由点C 在线段AB 上,且|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为1,得原点O 到线段AB 的距离为1,∠AOB=180°-2×30°=120°,(OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=4+4t 2-2t ×22cos120°=4t 2+4t+4=4(O +12)2+3的最小值为3,因此|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -t OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为√3. 8.C 解析(a+b )·e=a ·e+b ·e ≤|a ·e|+|b ·e|=|O ·O |O ||+|O ·O|O ||,其几何意义为a 在e 方向上的投影的绝对值与b 在e 方向上的投影的绝对值的和, 当e 与a+b 共线时,取得最大值,(|a ·e|+|b ·e|)max =|a+b |=√|O |2+|O |2+2O ·O =√7,则(a+b )·e 的最大值为√7,故选C . 9.-15解析∵z=1-i 3-i=(1-i)(3+i)(3-i)(3+i)=4-2i 10=25−15i,∴复数z=1-i3-i 的虚部是-15.10.-5 解析由a ⊥(t a +b )可得a ·(t a +b )=0, 所以t a 2+a ·b =0,而a 2=12+(-1)2=2,a ·b =1×6+(-1)×(-4)=10,所以有t ×2+10=0,解得t=-5. 11.(3,0) 解析设点P 坐标为(x ,0),则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,-2),OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,-1),OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值1. 故点P 坐标为(3,0).12.92 解析以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系,则E (2,12).设F (x ,y ),则0≤x ≤2,0≤y ≤1, 则OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+12y ,令z=2x+12y ,当z=2x+12y 过点(2,1)时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值92.13.√2 解析∵a =(-√3,1),∴|a |=2.∵(a +2b )⊥a ,(a +b )⊥b , ∴(a +2b )·a =0,(a +b )·b =0,即|a |2+2a ·b =0,① |b |2+a ·b =0.②由①-②×2,得|a |2=2|b |2, 则|b |=√2.14.[0,√2+1] 解析如图,画出函数y=√1-O 2的图象.这是以O (0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.设OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ,则θ∈[0°,90°]. 当θ∈[0°,45°]时,cos(45°-θ)=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,当θ∈[45°,90°]时,cos(θ-45°)=|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2.由于y=cos x ,x ∈R 是偶函数,所以|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2cos(θ-45°),θ∈[0°,90°].OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos θ =2√2cos(θ-45°)cos θ =2cos 2θ+2sin θcos θ =sin2θ+cos2θ+1 =√2sin(2θ+45°)+1.因为θ∈[0°,90°], 所以2θ+45°∈[45°,225°].当2θ+45°=90°,即θ=22.5°时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最大值√2+1,当2θ+45°=225°,即θ=90°时,OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值0, 所以OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,√2+1].15.解(1)∵BC=2√5,CD=2,S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=4,∴sin ∠BCD=2√55.∴cos ∠BCD=√55.(2)在△BCD 中,CD=2,BC=2√5,cos ∠BCD=√55,由余弦定理得,DB 2=CD 2+BC 2-2CD ·BC ·cos ∠BCD=16,即DB=4.∵DB 2+CD 2=BC 2,∴∠BCD=90°,即△ACD 为直角三角形. ∵A=30°,∴AC=2CD=4.16.解(1)由已知得,sin C cos B+(2sin A+sin B )cos C=0,则sin C cos B+sin B cos C+2sin A cos C=0,∴sin(B+C )+2sin A cos C=0,则sin A+2sin A cos C=0.∵sin A>0,∴cos C=-12. ∵C ∈(0,π),∴C=2π3.(2)由余弦定理,c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 得3=a 2+b 2+ab ≥2ab+ab=3ab ,∴ab ≤1,当且仅当a=b=1时取等号. ∴S △ABC =12ab sin C ≤12×1×√32=√34. ∴△ABC 面积的最大值为√34.。
2020版高考数学总复习第四章三角函数、平面向量与复数同步测试卷7文(含解析)
第四章三角函数、平面向量与复数（七)（三角函数的图象性质、解三角形、三角形中的三角函数、三角函数模型及应用）同步测试卷时间:60分钟总分：100分一、选择题（本大题共6小题,每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．在△ABC中,a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若c cos A ＝b，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是钝角三角形C．一定是斜三角形D．一定是直角三角形【解析】已知c cos A＝b，利用正弦定理化简得：sin C cos A＝sin B＝sin（A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C,整理得：sin A cos C＝0，∵sin A≠0,∴cos C＝0,即C＝90°。
则△ABC为直角三角形．故选D.【答案】D2．函数f错误!＝sin错误!（ω〉0）的图象中，最小正周期为π,若将函数f错误!的图象向右平移错误!个单位，得到函数g错误!,则g错误!的解析式为（)A．g错误!＝sin错误!B．g错误!＝sin错误!C．g错误!＝sin错误!x＝sin 2xD．g（）【解析】由最小正周期为π,得ω＝2，将f错误!＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位，得g错误!＝sin 2x，选D.【答案】D3．函数f错误!＝A sin错误!(A〉0，ω〉0)的部分图象如图所示，则f错误!的单调递减区间为( )A.错误!,k∈ZB。
错误!,k∈ZC。
错误!，k∈ZD.错误!，k∈Z【解析】由图知最小值为－2，则A＝2,错误!＝错误!－错误!＝错误!,则T ＝π，所以ω＝2。
2x＋φ，过错误!点．函数为y＝2sin⎝⎛）则φ＝－错误!＋2kπ（k∈Z）．可令函数为y＝2sin错误!。
单调递减区间为错误!＋2kπ<2x－错误!<错误!＋2kπ，即为错误!＋kπ〈x〈错误!＋kπ（k∈Z)．故选D。
【答案】D4．海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛成60°的视角，从B岛望C岛成75°的视角,则B，C间的距离是( ）A．10 3 海里B。
三角函数测试题
三角，向量及复数综三角合测试题一， 选择题1，复数,1,21i z i z +==那么复数21z z ⋅在复平面上的对应点所在象限是 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2，平面向量a 与b 的夹角为 ︒60，且,1,2==b a 则b a3-= ( )A5 B 7 C 19 D 53，△ABC 的外接圆的圆心为1，若,0=++C O B A A O 且,B A A O =则=⋅B C A C ( )A23B 3C 3D 324，在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD=E ,60︒是BC 的中点，则=⋅E A C A( )A333+ B 29 C3 D495，△ABC 中，,3222bc a c b +=+则=--)sin(cos sin 2C B C B （ ）A 33B 23C 22D 216，若满足条件AB=3，C=3π,的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围 ( )A ()2,1B ()3,2 C()2,3 D ()2,27,设函数())0(sin )3sin(>++=w wx wx x f π相邻两条对称轴间的距离为2，则()1f = ( )A23 B 23- C 23 D 23- 8，若,542sin ,532cos-==αα则角θ的终边所在的直线为 ( ) A 0247=+y x B 0247=-y x C 0724=+y x D 0724=-y x9,已知函数=+=y x x y ,cos sin ,cos sin 22x x 则下列结论正确的是 ( )A 两个函数的图像均关于点()0,4π-成中心对称 B 两个函数的图像均关于直线4π-=x 成轴对称C 两个函数在区间()4,4ππ-上都是单调递增函数D 两个函数的最小正周期相同10，函数()ϕπ+=x y sin 的部分图像如图所示，设p 是图像的最高点，A,B 是图像与x 轴的交点，则tan ∠=APB （ ）A 8B 81C 78D 87二，填空题11，若复数,,sin cos ,342121R z z i z i z ∈⋅+=+=θθ则=θtan _____________12，在△ABC 中，,21,2,1===ABC S AC AB 则=BC _______________ 13，已知正方形ABCD 的边长为1，则=-D B B A2______________14，若θθ,53sin =为第二象限角，则=θ2tan _______________ 15，已知函数()x f 满足下面关系:),2()2(ππ-=+x f x f 当(]π,0∈x 时，(),cos x x f -=给出下列命题:① 函数()x f 为周期函数 ② 函数()x f 是奇函数 ③ 函数()x f 的图像关于y 轴对称 ④ 方程()x x f lg =的解的个数是3， 其中正确命题的序号是_______________三，解答题16，(本题12分) 在△ABC 中，已知c B b aconB =-sin ()1 若,6π=B 求A ()2 求B A sin sin +的取值范围17，(本题12分) 已知向量)3,1()),2cos(),2(sin(=++=b x x aθθ，函数()b a x f ⋅=为偶函数，且[]πθ,0∈，()1 求函数()x f 的解析式；()2 设()1),2,0(=∈x f x π，求x 的值18，(本题12分) 已知函数(),233cos 33cos 3sin2-+=x x x x f ()1 求()x f 的最小正周期及对称中心；()2 若()π,0,21cos ∈≥x x ，试求x 的范围及此时函数()x f 3的值域；19，（本题13分） 在△ABC 中,若,1=⋅=⋅C B A B C A B A()1 求证:B A = ()2 求边长c的值，()3 若6=+C A B A,求△ABC 的面积；20，（本题13分） 已知向量(),)(),23,(cos ),1,(sin m n m x f x n x m⋅+==-= ()1当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数()x f y =的值域 ()2 锐角三角形ABC ,若,10232,27,245=⎪⎭⎫ ⎝⎛==B f b c a 求边c a ,；21，（本题13分） 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知,6km AC AB ==现计划在BC 边上的高AO 上一点P 处建造一个变电站，记P 点到三个村庄的距离之和为y ；()1 若∠,α=PBO 把y 表示成α的函数关系式；()2变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小?2。
三角函数与平面向量综合测试题
约稿：三角函数与平面向量综合测试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sinθθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( )A.21 B.32C.22D.236. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是( )A.-2B.2C.1D.-17. α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π.BACD②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点.④把函数.2sin 36)32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+=⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ）A ．)1(-x f 一定是奇函数B ．)1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ）A ．π25B ．π45C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2A Bi j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2020版高考数学总复习第四章三角函数、平面向量与复数第31讲复数练习文(含解析)
第31讲复数夯实基础【p71】【学习目标】1．理解复数的有关概念，以及复数相等的充要条件．2．了解复数的代数形式的表示方法,能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义．【基础检测】1．设i为虚数单位,则(1＋i)4＝( )A．－4 B．4 C．－4i D．4i【解析】(1＋i）4＝（2i)2＝－4,选A.【答案】A2．已知复数z＝错误!(i为虚数单位），则z的虚部为( )A．－1 B．0 C．1 D．i【解析】因为z＝错误!＝错误!＝错误!，故虚部为1.故选C。
【答案】C3．已知复数z＝x＋yi(x,y∈R)，若1＋i＝x＋(y－1）i，则|z|＝（) A．2 B。
错误!C。
错误!D．5【解析】由复数相等的充分必要条件有:错误!即错误!则z＝1＋2i，｜z|＝错误!＝错误!。
故选C.【答案】C4．已知i是虚数单位，复数错误!是z的共轭复数，复数z＝错误!＋3i－1，则下面说法正确的是( )A．z在复平面内对应的点落在第四象限B。
错误!＝2＋2iC。
错误!的虚部为1D.错误!＝2【解析】复数z＝错误!＋3i－1＝错误!＋3i－1＝－i－1＋3i－1＝－2＋2i，则z在复平面内对应的点（－2，2)落在第二象限，错误!＝－2－2i，错误!＝错误!＝错误!＝－1＋i,其虚部为1，错误!＝错误!。
因此只有C正确．故选C。
【答案】C【知识要点】1．复数的概念（1)复数：我们把集合C＝{a＋b i｜a，b∈R}中的数，即形如a＋b i(a，b∈R)的数叫作__复数__,其中i叫作__虚数单位__，全体复数所构成的集合C叫作__复数集__．（2)复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i（a，b∈R）．这一表示形式叫作复数的__代数形式__，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部．(3）复数的相等：复数z1＝a＋b i与z2＝c＋d i相等的充要条件是__a＝c且b＝d__，即a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d.(4）复数的分类：对于复数a＋b i，当且仅当__b＝0__时，它是实数；当且仅当__a＝b＝0__时,它是实数0;当b≠0时,叫作__虚数__；当a＝0且b≠0时,叫作__纯虚数__．2．复数的几何意义(1）复平面：如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a ＋b i可用点Z(a,b）表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴．显然，实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数．（2）复数与点:复数集C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应的,即错误!Ｋ，这是复数的一种几何意义．（3)复数与向量：复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应），即复数z＝a＋b i←错误!平面向量错误!＝（a,b)，这是复数的另一种几何意义（如图所示）．即有：（4)复数的模：向量错误!的模r叫作复数z＝a＋b i的__模__,记作|z｜或|a＋b i|.特别地，若b＝0,则z＝a＋b i＝a是__实数__，它的模为｜a|（即a的绝对值）．显然，｜z｜＝｜a＋b i|＝r＝__错误!__（r≥0，r∈R)．3．复数的加减法及其几何意义(1)复数的加法①法则:设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数，那么z1＋z2＝(a ＋b i）＋(c＋d i)＝__(a＋c)＋（b＋d)i__,显然，两个复数的和仍然是一个确定的复数．②运算律：∀z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，（z1＋z2)＋z3＝z1＋（z2＋z3）．③几何意义：设错误!，错误!分别与复数a＋b i，c＋d i对应,则有错误!＝(a，b)，错误!＝（c，d），由平面向量的坐标运算，有错误!＋错误!＝（a ＋c，b＋d),即错误!＋错误!是与复数（a＋c）＋(b＋d）i对应的向量，故复数的加法可以按照向量的加法来进行,这是复数加法的几何意义．（2)复数的减法①法则:(a＋b i)－（c＋d i）＝__（a－c）＋(b－d）i__，显然，两个复数的差是一个确定的复数．②减法的几何意义：复数的减法满足向量的三角形法则，如图所示，错误!－错误!＝__（a－c，b－d)__,即向量错误!－错误!与复数__(a－c)＋（b－d）i__对应．(3)对于复数z而言，｜z－(a＋b i)|＝r（r>0)（其中a∈R，b∈R）表示复平面内复数z对应的点的轨迹为以（a，b)为圆心，r为半径的圆．4．复数的乘除法(1）复数的乘法①法则：设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i是任意两个复数,那么它们的积（a ＋b i）(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝__（ac－bd)＋（bc＋ad)i__．由此可见，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．显然,两个复数的积仍是一个确定的复数．②运算律：∀z1，z2，z3∈C，有：z1·z2＝z2·z1，（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3),z1·（z2＋z3）＝z1·z2＋z1·z3.③i的运算律：特别地，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1,其中n∈N.（2）共轭复数①定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数（实数的共轭复数是它本身）．如a＋b i与a－b i互为__共轭复数__．复数z的共轭复数常记为z。
江苏高三数学三角函数与平面向量专题检测
江苏高三数学三角函数与平面向量专题检测三角函数是数学中罕见的一类关于角度的函数，以下是三角函数与平面向量专题检测，请考生仔细练习。
1.- [由|OP|=5，得sin =-，cos =，sin +cos =-.]2.，kZ [y=sin=-sin.由2k2x-+，得kx+，kZ.y=sin的单调减区间为，kZ.]3. [∵0且cos =，又0，+，又sin(+，cos(+)=-=-，sin ==.cos =cos[(+)-]=cos(+)cos +sin(+)sin =.]4.(kZ) [由T==，得=2，所以f(x)=Asin(2x+).∵y=f(x)的图象关于x=对称，且-，那么=，f(x)=Asin令2x+=k，x=-，kZ，因此y=f(x)的对称中心为(kZ).]5.2 [由正弦定理，=，sin A==.又a6.④7. [由ab=(，2)(3，2)=32+40，得0或-.又a=kb，得=，那么=，因此〈a，b〉为锐角，应有-或0且.] 8.直角三角形回扣三三角函数与平面向量圈套清点1 三角函数的定义了解不清致误三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终边上的位置有关，只由角的终边位置决议.[回扣效果1]角的终边经过点P(3，-4)，那么sin +cos 的值为________.圈套清点2 求y=Asin(x+)与y=Acos (x+)的单调区间，无视符号致错0时，应先应用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解;在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k时，不要忘掉kZ，所求区间普通为闭区间.[回扣效果2]函数y=sin的递减区间是________.圈套清点3 求三角函数值效果，无视隐含条件对角的范围的制约招致增解[回扣效果3]cos =，sin(+)=，0，那么cos =________.圈套清点4 关于三角函数性质看法缺乏致误(1)三角函数图象的对称轴、对称中心不独一.①函数y=sin x的对称中心为(k，0)(kZ)，对称轴为x=k+(kZ).②函数y=cos x的对称中心为(kZ)，对称轴为x=kZ).③函数y=tan x的对称中心为(kZ)，没有对称轴.(2)求y=Asin(x+)，y=Acos (x+)的最小正周期易无视的符号. [回扣效果4]设函数f(x)=Asin(x+)的图象关于x=对称，且最小正周期为，那么y=f(x)的对称中心为________.圈套清点5 无视解三角形中的细节效果致误应用正弦定了解三角形时，留意解的个数讨论，能够有一解、两解或无解.在△ABC中，Asin Asin B.[回扣效果5]△ABC的内角A，B，C所对的边区分为a，b，c 假定B=，a=1，b=，那么c=________.圈套清点6 无视零向量与向量的运算律致误当ab=0时，不一定失掉ab，当ab 时，aab=cb，不能失掉a=c，消去律不成立;(ab)c与a(bc)不一定相等，(ab)c与c 平行，而a(bc)与a平行.[回扣效果6]以下各命题：①假定ab=0，那么a、b中至少有一个为0;②假定a0，ab=ac，那么b=c;③对恣意向量a、b、c，有(ab)ca(b④对任一向量a，有a2=|a|2.其中正确命题是________(填序号).圈套清点7 向量夹角范围不清解题失误设两个非零向量a，b，其夹角为，那么：ab0是为锐角的必要非充沛条件;当为钝角时，ab0，且a，b 不反向;ab0是为钝角的必要非充沛条件.[回扣效果7]a=(，2)，b=(3，2)，假设a与b的夹角为锐角，那么的取值范围是________.圈套清点8 混杂三角形的四心的向量表示方式致误①++=0P为△ABC的重心;②==P为△ABC的垂心;③向量(0)所在直线过△ABC的内心;④||=||=||P为△ABC的外心.[回扣效果8]假定O是△ABC所在平面内一点，且满足|-|=|+-2|，那么△ABC的外形为________.三角函数与平面向量专题检测的内容就是这些，更多精彩内容请继续关注查字典数学网。
2021年高考数学一轮复习 三角函数 平面向量 解三角形 复数质量检测 文(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 三角函数 平面向量 解三角形 复数质量检测文（含解析）新人教A 版一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(xx·黄冈模拟)sin 2 013°的值属于区间( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析：sin 2 013°＝sin(360°×5＋213°)＝sin 213°＝－sin 33°，即sin 30°<sin 33°，所以－sin 33°<－12，故选B.答案：B2．(xx·武汉四月调研)若复数7＋b i3＋4i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A ．－7B ．－1C ．1D ．7 解析：7＋b i3＋4i＝7＋b i 3－4i 3＋4i3－4i＝21＋4b 25＋3b －2825i ，实部与虚部互为相反数，则有21＋4b 25＋3b －2825＝0，解得b ＝1，选C.答案：C3．(xx·重庆模拟)已知向量a ＝(2，k )，b ＝(1,2)，若a ∥b ，则k 的值为( ) A ．4 B ．1 C ．－1 D ．－4解析：由a ∥b ⇒2×2＝k ×1⇒k ＝4，故选A. 答案：A4．(xx·重庆市六区调研抽测)设e 1，e 2是夹角为2π3的单位向量，且a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2.若a ⊥b ，则实数k 的值为( )A.167 B.327C ．16D ．32 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝2k |e 1|2－12|e 2|2＋(3k －8)e 1·e 2＝2k －12＋(3k －8)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得k ＝16. 答案：C5．(xx·辽宁大连第一次模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为( )A ．ω＝π，φ＝π3B ．ω＝2π，φ＝π3C ．ω＝π，φ＝π6D ．ω＝2π，φ＝π6解析：由所对应函数的图象知A ＝2，14T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13，得T ＝2，所以ω＝π，又因为函数图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2，代入2sin(πx ＋φ)得φ＝π6，故选C. 答案：C6．(xx·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析：y ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象向左平移m 个单位后，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋m ＋π3的图象，此图象关于y 轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫m ＋π3＝±2，所以m ＋π3＝π2＋kπ，k ∈Z ，由于m >0，所以m min ＝π6，故选B.答案：B7．(xx·武汉市高中毕业生四月调研测试)已知tan α＝2，则4sin 3α－2cos α5cos α＋3sin α＝( )A.25B.511C.35D.711解析：由tan α＝2得sin α＝2cos α，又因为sin 2α＋cos 2α＝1所以sin 2α＝45，原式4sin 3α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin 2α·tan α－25＋3tan α＝4×45×2－25＋6＝25，选A.答案：A8．(xx·保定第一次模拟)若平面向量a ，b ，c 两两所成的角相等，且|a |＝1，|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |等于( )A ．2B ．5C ．2或5 D.2或 5解析：由已知a ，b ，c 两两夹角相等，故其夹角为0°或120°，|a ＋b ＋c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(|a ||b |cos θ＋|b ||c |cos θ＋|a ||c |cos θ)代入数据易得θ＝0°时，|a ＋b ＋c |＝5；θ＝120°时，|a ＋b ＋c |＝2，故选C.答案：C9．(xx·安徽卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝( )A.π3B.2π3 C.3π4 D.5π6解析：根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a可得c ＝73b ，然后结合余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，所以角C ＝2π3.答案：B10．(xx·郑州第三次质量预测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a ＝6，b ＝2，且1＋2cos(B ＋C )＝0，则△ABC 的BC 边上的高等于( )A. 2B.62 C.6＋22 D.3＋12解析：设BC 边上的高为h ，则由1＋2cos(B ＋C )＝0⇒cos A ＝12，又0<A <π，A ＝π3，由正弦定理asin A＝bsin B⇒sin B ＝22⇒B ＝π4，故有sin 15°＝6－h 2⇒h ＝6＋22.或由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 75°＝4＋23＝(3＋1)2得c ＝3＋1，h ＝c ·sinπ4＝6＋22. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．(xx·厦门市高三质检)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝35，则cos 2x ＝________.解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＝35，∴cos 2x ＝2cos 2x －1＝－725.答案：－72512．(xx·江西八校联考)已知向量a ，b ，满足|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为________．解析：(a ＋b )⊥⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ⇒(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －52b ＝0⇒a 2－52b 2－32|a |·|b |·cos θ＝0⇒cosθ＝12，又两向量夹角范围为[0°，180°]，故θ＝60°.答案：60°13．(xx·资阳第一次模拟)在钝角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，b ＝1，c ＝3，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于________．解析：由正弦定理b sin B ＝csin Csin C ＝c b sin B ＝32，又△ABC 为钝角三角形，则C ＝120°，A ＝30°. S △ABC ＝12×1×3×12＝34. 答案：3414．(xx·荆门高三调考)已知|OA →|＝1，|OB →|≤1，且S △OAB ＝14，则OA →与OB →夹角的取值范围是________．解析：S △OAB ＝12|OA →||OB →|·sin θ＝12|OB →|·sin θ＝14，∴sin θ＝12|OB →|≥12，∴π6≤θ≤56π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(满分12分)(xx·陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x ，－12，b ＝()3sin x ，cos 2x ，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b .(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ，－12·()3sin x ，cos 2x＝3cos x sin x －12cos 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＝cosπ6sin 2x －sinπ6cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.(1)f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π. (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 由正弦函数的性质，知 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时， f (x )取得最大值1.当2x －π6＝－π6，即x ＝0时， f (0)＝－12， 当2x －π6＝5π6，即x ＝π2时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此， f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12.16．(满分12分)(xx·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .已知b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23.(1)求b 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3的值．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝3c sin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，cos B ＝23，可得b ＝ 6.(2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，从而得cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，sin 2B ＝2sin B cos B ＝459.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3＝sin 2B cos π3－cos 2B sin π3＝45＋318.17．(满分13分)(xx·资阳第一次模拟)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12α－π6＝13，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求f (α)的值．解：f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x＝cos 2x cos π6－sin 2x sinπ6＋sin 2x＝32cos 2x ＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(1)令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12α－π6＝sin α＝13，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－223，故sin 2α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429，cos 2α＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2232－1＝79， ∵f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12sin 2α＋32cos 2α＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－429＋32×79＝73－4218. 18．(满分13分)(xx·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .(1)求A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc2bc＝－32. 又0<A <π，所以A ＝5π6.(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin Bsin A·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C )＝3cos(B －C )．所以，当B ＝C ，即B ＝π－A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3.T33293 820D 舍26234 667A 智36503 8E97躗y25425 6351 捑24979 6193 憓20960 51E0 几/|29275 725B 牛]33016 80F8 胸(28020 6D74 浴。
高考数学二轮复习专题二三角函数平面向量与复数第3讲平面向量与复数专题强化训练114
第3讲 平面向量与复数专题强化训练1．(·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z －等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z －＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B. 3．(·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi |＝( )A.253B.2C.553D.5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|zi |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i ＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( ) A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE→＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE→·BF →＝－4.5．(·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23 B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC→|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1 C ．⎝⎛⎦⎥⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA→－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b b ，a ＜b，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223C.1D.52解析：选A.如图，设OA→＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤45，1. 所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫252＝255.故选A. 9．(·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋33C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2 ＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ， 因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°， 设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332， 所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上， 所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217. 所以S △ABC 的最大值为12×7×⎝⎛⎭⎪⎪⎫4＋3217＝27＋332，所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝⎛⎭⎪⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，23π B.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3，5π6 C.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫2π3，π D.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，1，不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA→＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB→与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2π3，5π6. 11．(·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1， 所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2，所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cosθ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2.答案：2 π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC→＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB→·CD →的取值范围是________．解析：由AC→＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB→·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB→·MC →－MA →·MD →， 设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC→，MB→＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB→·CD →取到最小值－2. 答案：2 [－2，0)15．(·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO→|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32.所以函数f (m )＝|CA →－mCB →|＝CA→2＋m 2CB →2－2mCA →·CB → ＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32，化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO→|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xy CA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋14，当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB→|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP→＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →·OP →＝OA →·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2OB →＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2OA →·OB →，又|OB→|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，所以由余弦定理求得|OA→|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2，|OP→|＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2OB →2＝λ2|OA →|2＋2λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－λ22|OB →|2＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4 (*)．当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4 ＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－22，0； 当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22；②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤22，1. 综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－22，1.答案：⎝⎛⎦⎥⎥⎤－22，1 17．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎨⎧K ⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC →|KA →|，⎭⎬⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB →|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB→|＝KA →·KC →|KA→|，可得|KC→|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线． 由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ，以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y 2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0. 由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1，由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1，可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|K 1K 2||AB |max ＝34， 故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cosB )，且p ⊥q .(1)求角A 的值；(2)若BC→＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫5π6－A ＝0， 化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6.(2)因为BC→＝2BD →，所以D 为BC 边的中点，设|BD→|＝x ，|BC →|＝2x ， 由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3， 在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合； (2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2 x －sin 2 x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2； 当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π， 即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤334，所以△ABC 面积的最大值为334.。
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三角函数、解三角形、平面向量与复数(1)(一)选择题(本大题共12小题，每小题5分) 1．已知i 是虚数单位，则i 2 0151＋i＝( )A.1－i 2B.1＋i 2C.－1－i 2D.－1＋i 22．平面向量a 与b 的夹角为2π3，a ＝(3,0)，|b |＝2，则|a ＋2b |＝( )A ．7 B.37 C.13 D ．33．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，若它的终边经过点P (2,3)，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4 ＝( ) A ．－125 B.512 C.177 D ．－7174．已知复数z ＝a ＋i 1＋i (其中i 是虚数单位)在复平面内对应的点Z 落在第二象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则|a －b |等于( )A ．1 B.3 C. 5 D ．36．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x ＝π3对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin|x | 7．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z) 8．已知函数f (x )＝A sin(πx ＋φ)的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点，则(BD ＋BE)·(c －CE )的值为( )A ．－1B ．－12 C.12D ．29．得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 的图象，可将函数y ＝sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则|m －n |的最小值是( )A.π3B.2π3C.4π3D.5π310．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，若AP ＝m AB ＋29AC，则实数m 的值为( ) A.19 B.13C ．1D ．3 11．已知平面向量a ＝(2cos 2x ，sin 2x )，b ＝(cos 2x ，－2sin 2x )，f (x )＝a ·b ，要得到y ＝sin 2x ＋3cos 2x 的图象，只需要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位C ．向左平移π12个单位D ．向右平移π12个单位12．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若AP ＝34BC －23BA，则△PBC 与△ABC 的面积的比为( )A.13B.12C.23D.34 (二)填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知扇形AOB (∠AOB 为圆心角)的面积为2π3，半径为2，则△ABO 的面积为________．14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，向量a ＝(cos C ，3b －c )，向量b ＝(cos A ，a )，且a ∥b ，则tan A ＝________.15．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.16．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB＝λAM＋μAN ，则λ＋μ＝________.Ⅱ.大题规范练17．（本小题满分12分）(2016·陕西质监)在△ABC 中，sin A ＝sin B ＝－cos C . (1)求角A ，B ，C 的大小；(2)若BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．18．（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2 在某一个周期内的图象时，列表如下：(1)求x 1，x 2，x 3的值及函数f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向左平移π个单位，可得到函数g (x )的图象，求函数y ＝f (x )·g (x )在x∈⎝⎛⎭⎫0，5π3 上的最小值．三角函数、解三角形、平面向量与复数(2)(一)选择题(本大题共12小题，每小题5分)1．在△ABC 中，AD ＝2DC ，BA ＝a ，BD＝b ，BC ＝c ，则下列等式成立的是( )A ．c ＝2b －aB ．c ＝2a －bC ．c ＝3a 2－b2D ．c ＝3b 2－a22．复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2 ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2 ＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－355．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1D ．2∶16．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)的图象向左平移π6个单位后得到函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 的图象，则φ的值为( )A ．－2π3B ．－π3C.π3D.2π37．已知△ABC 中，|BC |＝10，AB ·AC ＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD|等于( )A ．6B ．5C ．4D ．38．设ω是正实数，函数f (x )＝2cos ωx 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，2π3 上是减函数，那么ω的值可以是( ) A.12 B ．2 C ．3D ．49．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ∈(0,2π)，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6 对一切x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2 ＜f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)B.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z)10．已知f (x )＝sin x ＋cos x ＋|sin x －cos x |2，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上递增 C ．f (x )是周期函数 D ．f (x )的值域为[－1,1]11．已知平面向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3cos x ，cos x )，函数f (x )＝a ·b ，R 是实数集，如果∃x 1∈R ，∃x 2∈R ，∀x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，那么|x 2－x 1|的最小值为( )A ．π B.π2 C.π3D.π412．在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的边长，且直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或直角三角形(二)填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.14(已知tan α＝12，则log 5(sin α＋2cos α)－log 5(3sin α－cos α)＝________.15．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1,2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a )·(c －b )＝－52，则向量c 的坐标为____________．16．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP ·CB ＋CP ·CA＝________.Ⅱ.大题规范练17．（本小题满分12分）已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sin α的值； (2)求β的值．18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6 . (1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合；(2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．．。