复杂网络的度分布研究
复杂网络研究
复杂网络研究复杂网络指的是由大量节点和连接构成的网络，其中节点和连接之间的关系可能非常复杂。
复杂网络研究主要是研究网络的结构和性质，以及网络的功能和行为。
下面将介绍复杂网络研究的基本内容。
一、复杂网络的结构和性质研究复杂网络的结构主要包括节点之间的连接方式和连接的强度。
研究者通过统计网络中节点的度分布、聚集系数、平均路径长度等指标来描述和研究网络的结构。
例如，度分布指的是某个特定度的节点在网络中的数量，通过分析度分布可以揭示网络中节点的联系方式。
此外，复杂网络还有一些特殊的结构特性，如小世界和无标度网络。
小世界网络指的是网络中任意两个节点之间的距离很短，通过少数几步就可以相互连通。
无标度网络指的是网络中存在少数节点连接数非常高，而大多数节点连接数较低。
这些特殊的结构特性对于网络的传播和稳定性有重要影响，因此研究复杂网络结构和性质对于了解网络行为具有重要意义。
二、复杂网络的功能和行为研究复杂网络的功能和行为研究主要是研究网络中节点的相互作用和传播过程。
研究者通过研究网络中的动力学过程，如信息传播、意见形成、疾病传播等，来揭示网络的行为和功能。
网络中节点的相互作用是指节点之间通过连接传递信息和影响行为的过程。
例如，在社交网络中，人们通过连接与朋友、同事等进行信息交流和社交活动。
节点之间的相互作用对于信息传播和影响有重要影响，因此研究网络中节点之间的相互作用对于了解网络行为具有重要意义。
网络中信息的传播过程也是复杂网络研究的一个重要方向。
研究者通过模拟和分析网络中信息的传播过程，例如疾病传播模型、意见传播模型等，来揭示网络中信息传播的规律和机制。
这对于预测和控制网络中信息的传播具有重要意义，例如在疫情预测和社交媒体传播中的应用。
总之，复杂网络研究主要关注网络的结构和性质，以及网络的功能和行为。
通过研究网络的结构和性质，可以了解网络的联系方式和特殊结构；通过研究网络的功能和行为，可以了解网络中节点的相互作用和信息传播过程。
复杂网络的结构分析与模型研究
复杂网络的结构分析与模型研究随着信息技术的飞速发展和互联网的普及，网络已经成为人们不可分割的一部分。
然而，网络并不是简单的连通图，它更多的是一种复杂的拓扑结构。
而复杂网络的结构分析与模型研究正是在探究这种复杂的拓扑结构。
一、复杂网络的概念和分类复杂网络是一种由众多节点和边组成的图形结构，其在现实生活中的各种应用越来越广泛，如社交网络、交通网络、供应链网络等。
根据网络节点之间连接的方式，复杂网络可以分为以下四类：1. 随机网络。
随机网络是节点之间连接完全随机的网络，其中各节点的度数呈现高斯分布。
这种网络的特点是具有较小的聚类系数和较小的平均路径长度。
2. 规则网络。
规则网络是节点之间连接具有规则性的网络，其中各节点的度数相同，且该度数相同。
这种网络的特点是具有较大的聚类系数和较小的平均路径长度。
3. 小世界网络。
小世界网络在随机网络和规则网络之间，其中大部分节点连接在一起，但也有一部分节点连接到远离它们的其他节点。
这种网络的特点是具有较小的平均路径长度和较大的聚类系数。
4. 非线性网络。
非线性网络包括动力学网络和生物网络，在这些网络中，边的权重也具有非线性性质。
这种网络的特点是具有丰富的动力学行为，包括同步、混沌等。
二、复杂网络的结构分析复杂网络的结构分析主要是研究网络连接的拓扑结构，包括网络的度分布、聚类系数、平均路径长度等特征。
1. 度分布。
度分布是指节点在网络中的度数概率分布，它是复杂网络的基本特性之一。
在一个网络中，节点度数越大，其所占比例越小，表现出幂律分布。
2. 聚类系数。
聚类系数是指节点的邻居之间也彼此相连的概率，它描述了网络的局部结构。
在随机网络中，聚类系数很小，在规则网络中，聚类系数很大，而在小世界网络中，聚类系数介于二者之间。
3. 平均路径长度。
平均路径长度是指节点之间的平均最短路径长度，它是网络中任意两个节点间距离的度量。
在随机网络中，平均路径长度较大，在规则网络中平均路径长度较小，而在小世界网络中，平均路径长度介于二者之间。
网络科学中的复杂网络研究
网络科学中的复杂网络研究随着互联网技术的不断发展，人们的生活方式和工作方式也在发生着巨大的变化。
同时，人们对于互联网的极度依赖也使得网络科学变得越来越重要。
网络科学是一门研究网络结构、行为和演化的学科，其中复杂网络研究是网络科学中的重要方向之一。
本文将探讨网络科学中的复杂网络研究。
一、复杂网络的定义复杂网络是指由大量节点（node）和连接（link）构成的一种网络结构。
在复杂网络中，节点可以代表不同的事物，如人、公司、物品等，而连接则代表节点之间的关系，如交互、联系、传递等。
复杂网络的结构往往是非常复杂的，节点和连接数量很大，而且连接关系存在着很多的变化和不确定性。
二、复杂网络的特征复杂网络具有许多独特的特征，其中比较重要的特征包括：1.小世界性：复杂网络的节点之间往往会形成一些短路径，这些短路径将整个网络连接在了一起。
这种现象称为小世界性。
小世界性意味着网络的信息传递能力很强。
2.无标度性：复杂网络中的节点往往分布不均匀，只有少数节点连接了大量的其他节点，而大多数节点只连接了少量的节点。
这种现象称为无标度性。
无标度性意味着网络的节点之间存在着重要的枢纽节点。
3.聚集性：复杂网络中的节点往往呈现出聚集集中的现象，这些节点之间存在着很多的三角形连接关系。
这种现象称为聚集性。
聚集性意味着网络的节点之间存在着很多的社区结构。
三、复杂网络的研究方法复杂网络的研究方法主要包括两类，一类是基于统计物理学的方法，另一类是基于图论的方法。
基于统计物理学的方法通常用于描述网络中的相变现象，如网络的阈值、相等温转变等。
而基于图论的方法通常用于描述网络中节点之间的联系和关系，如节点之间的距离、聚集系数等。
四、复杂网络的应用复杂网络的应用非常广泛，其中比较重要的应用包括：1.社交网络分析：通过对社交网络进行复杂网络分析，可以深入了解社交网络中的节点之间的关系、信息传播和社区结构等。
2.互联网搜索引擎：搜索引擎可以通过对互联网进行复杂网络分析，提高搜索的效果和精度。
复杂网络的分析及优化
复杂网络的分析及优化随着互联网的迅速发展，越来越多的数据在网络中传输，网络结构也越来越复杂。
如何分析和优化这些复杂的网络成为一个关键问题。
本文将介绍复杂网络的分析及优化方法，包括网络拓扑结构分析、网络连通性研究、网络优化算法等。
一、网络拓扑结构分析网络的拓扑结构是指网络中节点和边的分布规律。
通过对网络拓扑结构的分析可以了解网络的整体特征和局部特征，从而深刻地认识网络内部的相互关系。
1.1 度分布度是指一个节点的直接连接数，度分布是指网络中节点度数的频率分布。
通常情况下，度分布呈现长尾分布，即有少数节点的度数非常大，而大多数节点的度数较小。
度分布的形态对网络的性质和行为有很大影响，因此度分布是复杂网络拓扑结构分析的重要指标。
1.2 聚集系数聚集系数是指网络中三角形的数量与所有可能的三角形数量的比值。
聚集系数可以用来描述网络的密集程度和连通性。
在社交网络和生物网络中，聚集系数通常比较高，而在物理和技术网络中，聚集系数较低。
1.3 特征路径长度特征路径长度是指网络中任意两个节点之间的最短路径的平均数。
网络的特征路径长度反映了网络内部连接的紧密程度，对于描述物理网络和社交网络的距离关系非常有用。
二、网络连通性研究网络连通性是指在网络结构中通过节点和边互相连接所形成的整体连通性。
网络连通性是复杂网络中最重要和最基本的特性之一。
2.1 连通性分析连通性分析是指通过对网络中节点和边的连接性进行分析，确定网络的连通性。
在无向网络中，如果任意两个节点都可以通过路径相互连接，则该网络是连通的。
在有向网络中，如果所有节点都可以到达任意另一个节点，则该网络是强连通的。
2.2 最大连通子图最大连通子图是指网络中最大的连通子集，其中任意两个节点都可以通过路径相互连接。
最大连通子图是分析网络组成和功能的关键。
2.3 非连通子图非连通子图是指网络中不属于任何连通子图的节点或边。
非连通子图可以通过增加新的节点或边，改变网络的拓扑结构，从而使网络成为连通的。
基于复杂网络的社交网络结构分析研究
基于复杂网络的社交网络结构分析研究社交网络已经成为现代人们生活中不可或缺的一部分，随着社交网络用户数量的不断增多，对社交网络的研究也日益重要。
复杂网络理论可以用来研究社交网络的结构和特性，从而更好地理解和优化社交网络服务。
本文将介绍基于复杂网络的社交网络结构分析研究的主要内容和方法。
一、社交网络的基本结构社交网络可以看作是由结点和边组成的图，其中每个结点代表一个用户，每条边代表两个用户之间的关系。
社交网络具有以下几种基本结构：1.星形结构星形结构是指以一个结点为中心，其他结点都与其相连的冗余结构。
这种结构容易形成在 Twitter 和 Instagram 等社交网络中，通常代表着受欢迎的用户。
2.圈子结构圈子结构是指多个用户之间形成一个封闭的小团体，圈子内部关系紧密，圈子之间的联系相对较少。
Facebook 就是一个典型的例子，用户可以加入不同的朋友圈，每个圈子内部关系相对独立。
3.小世界结构小世界结构是指社交网络中大部分用户都与自己认识的人有联系，但也存在少数的“跨世界联系”，从而形成小世界现象。
例如，在 LinkedIn 上，一个人可以通过朋友的联系链找到一个完全陌生的人。
二、社交网络的度分布度分布是指社交网络中每个结点的度数分布特征。
在一个社交网络中，具有较高度数的结点称为“中心节点”，而度数较低的结点则是“边缘节点”。
度分布直观地展示了社交网络中各个节点的连接特性，是社交网络关键结构的刻画。
在大多数社交网络中，度分布都呈现出具有幂律分布的特征，即高度数结点很少，而低度数结点数量则很大。
例如，在 Twitter 上，只有极少数的明星或名人拥有大量的粉丝，而绝大多数普通用户只有少数几个粉丝。
三、社交网络的聚集系数聚集系数用于衡量社交网络中群组之间联系紧密度的度量值。
聚集系数取值范围一般在 0 到 1 之间，表示一个社交网络中的群组联系越紧密，越容易形成一个聚集系数接近 1 的社群。
通过计算每个结点的聚集系数，并求取平均聚集系数，可以得到整个社交网络的聚集系数。
复杂网络的结构与功能的研究
复杂网络的结构与功能的研究复杂网络是由大量节点和连接所组成的网络系统，其结构和功能对许多领域有着深远的影响。
本文将探讨复杂网络的结构和功能，并介绍相关研究。
一、复杂网络的定义和特点复杂网络是一种包含众多节点和连接的网络结构，在实际应用中广泛存在。
其特点在于节点之间的连接模式不规则且复杂多样。
复杂网络可以用图论来描述，其中节点代表系统的元素，连接表示节点之间的关系。
二、复杂网络的结构分析方法为了理解和解释复杂网络的特征和行为，研究者们提出了许多分析方法。
其中，最常用的方法之一是度分布分析。
度分布是指节点的连接数量，通过分析节点的度分布，可以揭示复杂网络的特征和结构。
另一个常用的方法是集聚系数分析。
集聚系数是指节点在其邻居节点之间形成连接的程度。
通过计算集聚系数，可以了解网络中节点聚集形成群集的情况，从而揭示网络的局部结构。
三、复杂网络的功能研究复杂网络的功能包括信息传输、同步、稳定性等方面。
信息传输是复杂网络最基本的功能之一。
研究者们通过模拟和实验发现，复杂网络具有较好的信息传递效率和鲁棒性。
同步是复杂网络的另一个重要功能。
同步是指网络中的节点能够协调行动并实现相同的状态。
许多研究表明，复杂网络具有良好的同步性质，可以在异质节点之间实现同步。
在稳定性方面，复杂网络具有较好的鲁棒性。
鲁棒性是指网络的稳定性和抗干扰能力，即使部分节点发生故障或删除，网络仍能保持正常运行。
四、复杂网络的应用复杂网络的研究在许多领域具有重要的应用价值。
例如，在社交网络中，人们研究复杂网络的结构与功能，以了解信息传播、社交影响力等问题。
在生物网络中，人们研究复杂网络的结构与功能，以解析蛋白质相互作用、基因调控等生物学问题。
此外，复杂网络的结构分析方法和功能研究也在工程领域得到广泛应用。
例如，在电力系统中，人们可以通过复杂网络的结构和功能研究，优化电力输送网的布局和稳定性。
总结：复杂网络的结构与功能是一个复杂而有趣的研究领域。
复杂网络的结构与功能分析研究
复杂网络的结构与功能分析研究随着信息技术的不断发展，互联网的普及和大数据的出现，人们对复杂网络的研究越来越深入。
复杂网络是由大量节点和连接组成的网络，其结构和功能极其复杂，涉及到数学、物理、计算机科学等多个领域。
分析复杂网络的结构和功能，已成为学术界和工业界的研究热点之一。
一、复杂网络的结构分析复杂网络的结构分析是研究整个网络的组成、节点之间的联系以及它们之间的作用，以便更好地了解和把握网络的特征和演化规律。
网络的结构可以用多个指标来衡量和描述，下面介绍几个经典的指标。
1.度分布度分布指的是每个节点在整个网络中所连接的其他节点数。
在复杂网络中，度分布往往呈现幂律分布。
这意味着只有极少数的节点具有非常高的度数，大部分节点都具有很小的度数。
这种分布方式在现实世界中也有很多应用，例如社交网络中的明星、政治家等。
2.聚集系数聚集系数是节点邻居之间实际连接数量与可能的最大连接数量之比。
它可以衡量节点的聚集程度和网络的紧密度。
在某些网络中，聚集系数很高，说明节点之间互相连通密切，形成了紧密的社区结构。
3.连通性连通性是评估整个网络的联通性。
在复杂网络中，很少有全局连通网络，多为分散的子图。
平均路径长度是一个衡量网络连通性的经典指标。
它指的是两个节点之间最短的路径长度的平均值。
较短的平均路径长度意味着网络中信息传播和交流的效率更高。
二、复杂网络的功能分析复杂网络的功能分析指的是网络对于某些特定目标或任务所具有的性能和效率。
如何对复杂网络的功能进行刻画和评估，也是近年来学术界和实践界广泛关注的主题。
1.差异性指标差异性指标被广泛应用于社交网络中。
用于衡量一个人在网络中的地位和影响力。
例如，对于用户而言，粉丝数量、关注数量等指标可以衡量用户的影响力，而对于微博或推特等社交平台而言，主题热度、点击率、转发率等指标可以反映话题的热门程度。
2.复杂性指标复杂性指标可以反映网络的一些高级特性，如拓扑结构、动态变化等。
例如，介数中心性可以衡量最短路径经过该节点的频率，可以用来探测网络拓扑结构；社区检测可以发现网络中独立的社区，可以用来研究节点之间的关系和作用。
复杂网络拓扑结构分析及其应用研究
复杂网络拓扑结构分析及其应用研究随着信息技术和计算机技术的发展，各种各样的复杂网络已经成为不可避免的现象，比如社交网络，互联网，生物网络，交通网络等等。
这些复杂网络具有巨大的节点和边的数量，复杂的拓扑结构和动力学特性。
因此，研究复杂网络的拓扑结构分析和应用成为了重要的研究方向。
一、复杂网络的基本概念复杂网络是由大量节点和链接（或边）组成的网络系统，它有许多不同的定义，其中最简单的定义方式是节点之间互联的结构系统。
复杂网络可以根据其特征分为不同的类型，比如随机网络、小世界网络和无标度网络。
随机网络是一种节点较多的网络，它的节点和边都是完全随机的，没有确定的规律。
因此，随机网络的拓扑结构不太复杂。
小世界网络是一种介于随机网络和无标度网络之间的网络，它的节点之间存在较远的联系，因此被称为“六度分离”现象，也就是说两个人之间最多相隔六个人。
无标度网络是一种具有高度非均匀性的网络，其拓扑结构表现为大量的短链接和少量的长链接。
这种网络有很多节点，但是只有很少的节点有很多链接。
这些节点被称为“关键节点”，因为它们对网络的稳健性和鲁棒性有很大的影响。
二、复杂网络的拓扑结构分析方法复杂网络的拓扑结构可以通过许多不同的方法进行分析，常用的方法包括度分布、聚集系数、平均路径长度、中心性等等。
度分布是指节点的度数在整个网络中的分布情况，通过对比度分布的统计结果可以得到网络的节点数、边数、节点的度数分布等信息。
某些变形的度分布可以得到重要的结构信息，比如刻画无标度网络的度分布可以发现其网络结构的“自相似性”。
聚集系数是指网络中同一节点的邻居之间相互连接的概率，通过计算网络的聚集系数可以判断网络中的节点之间有多少联系。
平均路径长度是指网络中任意两个节点间最短路径的平均长度，这个指标可以用来判断网络的连通性。
中心性是指节点在网络中“重要程度”的统计量度，通过计算中心性可以得到节点的重要程度，判断哪些节点对网络具有决定性意义，方便网络资源的调配和运转。
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设度的一阶矩和二阶矩分别为 dM 和 dM , 则
2
N - 1
dM = dM 2 =
∑
k= 1
k P d (k ) = CN
2
∑k
k= 1 k= 1
1- Χ
( 5) ( 6)
N - 1
N - 1
∑
k= 1
k P d (k ) = CN
∑k
2- Χ
再设度的均值和方差分别为 d Λ 和 d Ρ , 则
N - 1 N - 1
由于∑k - Χ = O ( lnN ) ,
k= 1
∑k
k= 1
1- Χ
= O (N ) , 有
N lnN
2
dM = O
N lnN
dM 2 = O
N lnN
2
设节点总数为 N , 边总数为 W , 则由于每个节 点的度最少为 1、 最多为 N - 1 , 易知度分布存在下 列关系
( 1)
2 2 d Λ = O (N ) d M 2 = O (N ) W = N d Λ = O (N )
( 8)
可以看出, 当网络的规模趋于无穷时, 一阶矩、 二阶矩均发散, 另外, 可以证明, 方差亦发散。 同时, 网络中的总边数W 与完全网络中的总边数 N (N - 1) 处于同一个数量级。 由于实际的大型 2 复杂网络都是稀疏网络, 因此, 可以断言, 0 Φ Χ< 1 在实际网络中是不存在的。 情形 2 Χ = 1
2 006年8月 第24卷第4 期
西北工业大学学报 Jou rna l of N o rthw estern Po lytechn ica l U n iversity
A ug. 2006 Vol . 24 N o. 4
复杂网络的度分布研究
王 林1, 2 , 戴冠中1
α
( 1. 西北工业大学 自动化学院, 陕西 西安 710072; 2. 西安理工大学 自动化学院, 陕西 西安 710048)
第4 期
王 林等: 复杂网络的度分布研究
・407・
的增长, 度值很高的节点由于方差的发散而增加, 但 增加的速度会因为均值的有限而极为缓慢。 这一点 从网络运营的效率考虑, 意味着在不明显降低服务 质量的同时, 显著提高规模效益。 因此, 这回答了绝 大多数用于运营的技术类网络应该属于这个范畴的 理论原因。 情形 6 Χ > 3 显然, 当 N 充分大时, 度值的均值 d Λ 和方差 d Ρ 均收敛, 并且随着 Χ 的增加, 方差将越来越小, 均值 向 1 靠近。 此时, 网络中的绝大多数节点的度值很接 近, 网络中即使存在度值很高的节点, 其数量也是极 少, 且不会随着网络规模的增加而增加。 显然, 这样 的网络一方面不能够抵御网络的随机故障 ( 因其类 似于随机网络) ; 另一方面, 其通信效率极低 ( 因为度 值很高的 HU B 节点非常罕见, 即通信枢纽奇缺) 。 可以断言, 这样的网络属于极不稳定且效率极低的 一类。
网络的形成并不受资源的制约, 而是受到社会各种 思潮的影响。BB S 会员网的度分布指数小于 2, 说明 存在相当比例的HU B 会员, 也间接说明热点话题较 多。 情形 2 度分布指数介于 2 ～ 3 之间 这 类网络包括 In ternet A S、In ternet Rou ter、 Phone ca ll、 M ovie A cto rs。
In ternet A S 和 In ternet Rou ter 是技术类网络。
一方面, 为了保证通信效率, 必须存在HU B 节点; 另 一方面, 由于受到成本的制约, HU B 节点又不能太 多, 总的线路 ( 边) 也不能太多, 因而其度分布指数位 于2 ～ 3 之间。
Phone ca ll 是某一天的电话呼叫所形成的网
0 Φ Χ< 1
N - 1
由于∑k - Χ = O (N 有
1- Χ
),
∑k
k= 1
1- Χ
= O (N
2- Χ
) ,
1 度分布指数与网络拓扑结构的理论
分析
可以将复杂网络看成一个图, 图中的节点就是 个体, 节点之间的边表示个体之间的关系。 设 G = (V , E ) 为一个复杂网络所对应的图, V 是所有节点 的集合, E 是所有边的集合, 节点的度是指连接到该 节点的边数。 本 文中将假定复杂网络中不存在孤立节点, 不 存在自环, 节点之间最多只有一条边。 定义度分布 ( ) Pd k 为 度等于 k 的节点数 ( P d (k ) = Π 正整数 k ) 节点总数
Χ
此时, 当 N 充分大时, 由于∑k - Χ 收敛, 有
dM = O (N
Χ
3- Χ
) ( 10)
式中, Χ 称为度分布指数 ( deg ree exponen t ) 。 下面分 析 Χ 的取值范围与网络拓扑结构之间的关系。 根据完备性, 可得幂律中的系数如下
α
收稿日期: 2005212224 作者简介: 王 林 ( 1963- ) , 西北工业大学博士生, 主要从事复杂系统及复杂性科学的研究。
・406・
西 北 工 业 大 学 学 报
第 24 卷
与网络拓扑结构之间的关系以及度分布指数对于网 络动力学行为的影响等几个问题进行深入探讨。
情形 1
N - 1 k= 1
些网络中的边数很多而接近于完全网络, 从而说明 每种动物的捕食范围较为广泛。 IP B ackbone 虽然属于技术类网络, 但为了保 证骨干节点之间通信的顺畅, 骨干节点之间的链路 较多, 从而导致 IP B ackbone 网络的度分布指数小 于 2。
BB S 会员网实际上是一个社会虚拟网络, 这类
度分布指数
2. 2 1. 867 1. 6 ～ 1. 9 3. 4 2. 48 2. 3 1. 05 1. 13 2. 1
络, 虽然不是技术类网络, 但是由于受到通信成本 ( 话费) 的制约, 其度分布指数的范围与技术类网络 类似。 ～ 3 之间, 这 M ovie A cto rs 的度分布指数位于 2 说明存在一定数量的明星级演员, 但其数量并不是 特别多, 其原因是才能出众的明星级演员本来不可 能很多, 并且明星级演员出演的成本也太高。 这或许 从一个侧面说明为什么在影片中总会出现那么几个 熟悉的面孔 ( 少数 HU B 演员) 。 情形 3 度分布指数大于 3 这类网络是 Sexua l Con tact s 网络, 其度值指数 大于 3, 说明该类网络类似于随机网络, 这与 Sexua l Con tact s 网络的性质比较吻合。
2 度分布指数与网络拓扑结构的实例
验证
本节将利用实际网络来说明或验证上一节中理 论分析的正确性。 本文将出现在多个文献中的若干 实际网络的度分布指数[ 6, 12 ] 列表如下:
表 1 实际网络的度分布指数 网络名称
In ternet A S IP B ackbone BB S 会员网 Sexua l Con tacts In ternet Rou ter M ovie A cto rs Y than estua ry Silw ood Pa rk Phone ca ll
N - 1
W = N dM = O
( 9)
类似于情形1 中的讨论, Χ= 1 在实际网络中也 是不存在的。 情形 3
1 < Χ< 2
N - 1 k= 1
∑P
k= 1
d
( k ) = 1 ( 完备性)
( 2)
对于无标度复杂网络, P d ( k ) 是一个幂函数, 即 存在 Χ > 0 及 C N > 0 , 使得 P d (k ) = CN k
CN =
W = N d Λ = O (N
)
1
N - 1
( 4)
- Χ
∑k
k= 1 N - 1
可以看出, 当网络的规模趋于无穷时, 一阶矩、 二阶矩均发散, 另外, 可以证明, 方差亦发散。 与情形 1 和情形 2 的区别是: 网络中总边数 W 的数量级 3- Χ ) 已显著低于完全网络中的总边数的数量 O (N 级。 这类网络属于稀疏网络, 但是由于均值和方差都 发散, 说明网络中度值很高的节点 ( 称为 HU B 节点) 偏多。 对于技术类网络来说, 这意味着建设成本显著 提高。 因此, 技术类网络 ( 如 In ternet ) 的度分布指数 不应位于这个范围。 情形 4 Χ = 2 该情形的结论与情形 3 类似。 情形 5 2 < Χ Φ 3 利用上述类似的讨论, 可以发现此时当 N 充分 大 时, 度值的均值 d Λ 收敛而方差 d Ρ 发散。 方差发散 说明度值的分布严重不均匀; 均值收敛则说明平均 度值不会因为网络规模的增大而大幅增加。 因此, 这 类网络存在大量度值很小的节点, 也存在数量较少 的度值很高的节点 (HU B 节点) , 并且随着网络规模
摘 要: 复杂网络的度分布与其拓扑结构紧密相关。绝大多数复杂网络具有无标度性 (Sca le free) , 其幂律度分布完全由度分布指数所确定。 文中全面研究了复杂网络的度分布指数与其拓扑结构、 形 成原因以及传播动力学之间的关系, 获得了下列结论: 实际网络的度分布指数不会低于1; 度分布指 数介于 1 ～ 2 之间的复杂网络中存在数量较多的HU B 节点, 其边数与节点数之间的关系是非线性 的, 节点数的增加将导致边数的大幅度增加; 度分布指数介于 2 ～ 3 之间的复杂网络中存在一定数 量的HU B 节点, 其边数与节点数之间的关系是线性的, 大多数受成本制约的网络属于这种类型; 度 分布指数大于3 的复杂网络近似于均质网络; 度分布指数3 构成了复杂网络中病毒防治方式的临界 点。 关 键 词: 复杂网络, 无标度, 度分布, 度分布指数 中图分类号: T 94・T P 1 文献标识码: A 文章编号: 100022758 ( 2006) 042405205 复杂网络是复杂系统的高度抽象, 它充满着自 然界、 工程界和社会界, 如细胞中的新陈代谢网络、 大脑中的神经网络、 组成生态系统的食物链网络、 社 会关系网络、 科研合作网络、 经贸网络、 互联网、 万维 网以及电力网等等[ 1～ 5 ]。 由于各种复杂网络的规模庞大 ( 其节点数从几 千到几亿不等) , 过去研究人员将其抽象成随机网络 进行研究, 并形成了一套完整的随机图理论。 根据随 机图理论, 复杂网络的度分布服从 Po isson 分布, 其 特征是网络中绝大多数节点的度值分布在均值附 近, 在此意义下, 复杂网络是均质网络[ 6 ]。 近年来, 由于网络技术、 计算机技术以及信息处 理技术的迅速发展, 研究人员获得了许多大型实际 网络的数据并对其进行了一系列统计分析。 统计结 果表明, 复杂网络不是均质网络, 而是异质的; 复杂 网络的度分布不是服从Po isson 分布, 而是服从幂律 分布。 研究人员把度分布服从幂律分布的网络称为 无标度网络[ 6 ]。 无标度复杂网络的发现将人们对于复杂网络的 认识推向了新的高度, 来自若干研究领域 ( 包括统计 物理、 数学、 控制、 计算机网络及社会科学等) 的研究 人员从不同视角对复杂网络进行了深入研究。 研究 内容涉及复杂网络的拓扑结构、 复杂网络中无标度 特性的形成机理、 复杂网络的演化模型、 复杂网络上 的动力学行为等。研究方法包括 2 个方面: ①分析现 有实际网络的结构资料, 进一步揭示隐含在网络背 后的组成原则; ②建立各种分析模型, 进行理论研究 以及仿真分析[ 6～ 11 ]。 近5、 6 年来, 由于研究人员的努 力, 复杂网络已经成为一个横跨多门学科的边缘研 究方向。 研究表明, 复杂网络的拓扑结构性质以及复杂 网络上的动力学行为等均紧密依赖于复杂网络的度 分布。 进一步说, 由于复杂网络的无标度特性, 复杂 网络的度分布服从幂律分布, 因而度分布完全由其 幂指数 ( 度分布指数) 所确定。 统计结果表明, 绝大多 数 人造网络的度分布指数均在 2～ 3 之间; 另一方 面, 网络动力学 ( 如传染病传播、 病毒传播等) 的一些 关键性质 ( 如传播阈值) 也直接与度分布指数相关。 但是就作者所知, 专门针对复杂网络的度分布以及 度分布指数的研究尚未见诸于文献, 因而上述统计 结果的理论根由尚未揭示。 本文将对度分布指数的取值范围、 度分布指数