考研数三(2008-2017年)历年真题
历年考研概率真题集锦(2000-2019)-精品推荐
历年考研概率真题集锦（2000-2019） ——对应茆诗松高教出版社“概率论与数理统计”第一章§1.11、（2001数学四）（4）对于任意二事件A 和B ，与A B B ⋃=不等价的是（ ） A 、A B ⊂ B 、B A ⊂ C 、AB =Φ D 、AB =Φ2、（2000数学三、四）（5）在电炉上安装4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。
以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ）(A ) {}(1)0T t ≥ (B ) {}(2)0T t ≥ (C ) {}(3)0T t ≥ (D ) {}(4)0T t ≥ §1.21、（2007数学一、三）(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. §1.31、（2009数学三）（7）设事件A 与事件B 互不相容，则( ) (A )()0P AB = (B )()()()P AB P A P B =(C )()1()P A P B =-(D )()1P A B ⋃=2、（2015数学一、三）(7) 若A ,B 为任意两个随机事件，则( ) (A ) ()()()≤P AB P A P B (B ) ()()()≥P AB P A P B (C ) ()()()+2≤P A P B P AB (D ) ()()()+2≥P A P B P AB3、（2019数学一、三）（7）设A 、B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（ ） （A ）()()()P AB P A P B =+ （B ） ()()()P AB P A P B =（C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB = §1.41、（2005数学一、三）（6）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X ， 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y ，则}2{=Y P =____________.2、（2006数学一）(13) 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有( ) (A )()()P A B P A ⋃>(B )()()P A B P B ⋃> (C )()()P A B P A ⋃= (D )()()P A B P B ⋃=3、（2012数学一、三）(14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 。
2024年考研高等数学三网络安全的数学基础历年真题
2024年考研高等数学三网络安全的数学基础历年真题网络安全已成为当今社会中一个重要的议题。
面对不断增加的网络攻击和数据泄漏事件，保护个人和机构的网络安全变得尤为重要。
而数学作为网络安全的基础，扮演着至关重要的角色。
本文将回顾2024年考研高等数学三中关于网络安全的数学基础历年真题，并从中提取出相关的数学概念和应用。
一、离散数学离散数学是网络安全数学基础的重要组成部分。
这一分支研究排列、组合、图论等离散结构，对于密码学和网络安全算法的设计与分析至关重要。
例如2016年考研高等数学三中的一道离散数学真题："设A是一个集合，A={x|x∈Z, 1≤x≤6}，B是A的非空子集个数，则B的奇数个子集有（）个。
A. 16B. 32C. 15D. 20"这道题目要求我们计算集合A的非空子集中奇数个子集的个数。
通过对离散数学中组合的掌握，我们可以得出答案为32个。
二、数论数论在网络安全中也扮演着重要的角色。
数论的研究对象是整数的性质和相互关系，而在网络安全中，数论的应用主要是在密码学领域。
例如2017年考研高等数学三中的一道数论真题："设n是合数，且有φ(n)=p(质数)。
则n的正因数个数为：A. 1B. 2C. pD. p-1"这道题目要求我们根据数论的知识计算合数n的正因数个数。
根据欧拉函数的定义，φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，而正因数个数即为φ(n)。
所以答案为p。
三、概率论概率论在网络安全中的应用主要是为了分析和评估网络世界中的各种风险、攻击和威胁。
例如2018年考研高等数学三中的一道概率论真题："在一次全国性网络安全知识竞赛中，有80%的选手都了解基本的密码学原理，但只有30%的选手熟知网络攻击与防护技术。
若有一选手了解基本的密码学原理，则他也了解网络攻击与防护技术的概率为（）。
A. 0.15B. 0.24C. 0.30D. 0.375"这道题目要求我们利用概率理论计算选手了解基本的密码学原理的同时，也了解网络攻击与防护技术的概率。
考研数三(2008-2017年)历年真题
:18A B与C相互独立的充分必要条件914),2,n，利用,Z估计σn的概率密度；sin nnn ++,)x y由方程2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是：（）(A) 若,则(B) 若, 则(C) 若,则(D) 若,则(2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(A) (B) (C) (D)(3)设,函数在上连续,则（）(A)(B)(C)(D)(4)下列级数中发散的是：（）(A) (B) (C) (D)(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(A) (B) (C) (D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为：（）(A) (B) (C)(D)(7)若为任意两个随机事件,则:（）(A)(B)(C) (D)(8)设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则(A) (B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数连续，若则(11)若函数由方程确定，则(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.计算二重积分，其中(17) (本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18) (本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(19) (本题满分 10分)(I) 设函数可导，利用导数定义证明(II) 设函数可导，，写出的求导公式.(20) (本题满分11分)设矩阵，且.(I) 求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.(22) (本题满分11分)设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I) 求的概率分布；(II) 求(23) (本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I) 求的矩估计量.(II) 求的最大似然估计量.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 设，且，则当充分大时有：（ ）(A) (B) (C) (D)(2) 下列曲线有渐近线的是：（ ）(A) (B) (C) (D)(3) 设,当时,若是比高阶的无穷小,则下列试题中错误的是：（ ）(A)(B) (C) (D)(4) 设函数具有二阶导数，，则在区间上：（ ） (A)当时， (B)当时，(C)当时，(D)当时，(5) 行列式（ ）(A) (B)(C)(D)(6) 设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的：（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 (7) 设随机事件与相互独立，且，，则（ ）(A)(B)(C)(D)(8)设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为（）(A)(B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设某商品的需求函数为（为商品的价格），则该商品的边际收益为________.(10)设是由曲线与直线及围成的有界区域，则的面积为________.(11)设，则__________.(12)二次积分__________.(13)设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围_________.(14)设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单样本，若，则_________.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限.(16) (本题满分10分)设平面区域计算.设函数具有连续导数，满足. 若，求的表达式.(18) (本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.(19) (本题满分10分)设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：(I)；(II).(20) (本题满分11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.证明阶矩阵与相似.(22) (本题满分11 分)设随机变量的概率分布为在给定的条件下，随机变量服从均匀分布.(I)求的分布函数；(II)求.(23) (本题满分11分)设随机变量,的概率分布相同，的概率分布为且与的相关系数(I)求的概率分布；(II)求2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当时，用“”表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：（）(A) (B) (C) (D)(2)函数的可去间断点的个数为：（）(A)(B)(C) (D)(3)设是圆域位于第象限的部分，记，则：（）(A) (B) (C) (D) ．(4)设为正项数列，下列选项正确的是：（）(A) 若，则收敛(B) 若收敛，则(C) 若收敛,则存在常数,使存在(D) 若存在常数,使存在,则收敛(5)设均为阶矩阵，若,且可逆.则：（）(A) 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(B) 矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(C) 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(D) 矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(6)矩阵与相似的充分必要条件为：（）（A）（B）为任意常数（C）（D）为任意常数(7)设是随机变量，且，，，，则：（）(A) (B) (C) (D)(8)设随机变量和相互独立，则和的概率分布分别为则：（）(A) (B)(C) (D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设曲线与在点处有公共切线，则_________.(10)设函数由方程确定，则_________.(11)_________.(12)微分方程的通解为_________.(13)设是阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若，则_________.(14)设随机变量服从标准正态分布，则_________.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)当时，与为等价无穷小，求与的值．(16) (本题满分10分)设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.(17) (本题满分10分)设平面区域由直线及围成，计算．(18) (本题满分10分)设生产某产品的固定成本为元，可变成本为元/件，价格函数为，（是单价，单位：元，是销量，单位：件），已知产销平衡，求：(I) 该商品的边际利润；(II) 当时的边际利润，并解释其经济意义；(III) 使得利润最大的定价．(19) (本题满分10分)设函数在上可导，，且.证明：(I) 存在，使得；(II) 对(I)中的，存在，使得．(20) (本题满分11分)设，当为何值时，存在矩阵使得,并求所有矩阵．(21) (本题满分11分)设二次型，记，(I) 证明二次型对应的矩阵为；(II) 若正交且均为单位变量，证明在正交变换下的标准形为．(22) (本题满分11分)设是二维随机变量，的边缘概率密度为在给定的条件下的条件概率密度为(I) 求的概率密度；(II) 求的边缘概率密度；(III) 求．(23) (本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.(I) 求的矩估计量；(II) 求的最大似然估计量．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1)曲线渐近线的条数为：（）(A) . (B) . (C) . (D) .(2)设函数，其中为正整数，则：（）(A) . (B) . (C). (D) .(3)设函数连续，则二次积分：（）(A) . (B) .(C) . (D) .(4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则：（）(A)(A). (B) . (C) . (D) .(5)设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为：(A) . (B) . (C) . (D) .(6)设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且.若，，则：（）(A) . (B) . (C) . (D) .(7)设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则：（）(A) . (B) . (C) . (D) .(8)设为来自总体（）的简单随机样本，则统计量的分布为：（）(A). (B) . (C) . (D) .二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．(9)_________.(10)设函数，，则_________.(11)设连续函数满足，则_________.(12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为_________.(13)设为阶矩阵，，为的伴随矩阵.若交换的第行与第行得矩阵，则_______ __.(14)设是随机事件，与互不相容，则_________.三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15) (本题满分10分)求极限.(16) (本题满分10分)计算二重积分，其中是以曲线及轴为边界的无界区域.(17) (本题满分10分)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为(件)和(件)，且这两种产品的边际成本分别为(万元/件)与(万元/件).(I) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数(万元)；(II) 当总产量为50件时，甲、乙两种产品产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(III) 求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.(18) (本题满分10分)证明：.(19) (本题满分10分)53已知函数满足方程及.(I) 求的表达式；(II) 求曲线的拐点.(20) (本题满分11分)设．(I) 计算行列式；(II) 当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解．(21) (本题满分11分)已知，二次型的秩为．(I) 求实数的值；(II) 求正交变换将化为标准形.(22) (本题满分11分)设二维离散型随机变量的概率分布为(I) 求；(II) 求.(23) (本题满分11分)设随机变量与相互独立，且服从参数为的指数分布.记，.(I) 求的概率密度；(II) 求.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题
考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。
考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。
第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
2008考研数三真题及解析
2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.x(1) 设函数 f (x ) 在区间[1,1]上连续，则x 0 是函数g x ( )f t dt ( ) 的( )xA 跳跃间断点.B 可去间断点.C 无穷间断点.D 振荡间断点.(2) 如图，曲线段方程为 yf x ( ) ，函数在区间[0,a ]上有连续导数，则定积分0axf (x dx ) 等于( )A 曲边梯形ABOD 面积.B 梯形ABOD 面积.C 曲边三角形ACD 面积. D 三角形ACD 面积.(3) 设 f x y ( , x 2y 4, 则函数在原点偏导数存在的情况是( ) Af x (0,0)存在, f y(0,0)存在Bf x(0,0)存在, f y(0,0)不存在C f x (0,0)不存在, f y (0,0)存在D f x(0,0)不存在, f y(0,0)不存在(4) 设函数 f 连续. 若yC (0 , f ( a ))A ( a , f ( a ))y = f ( x )O B ( a ,0) xDx 2 + y 2 = u 2x 2 + y 2 =1y2f x2y 2F u v,dxdy ，D uvx y其中区域D uv 为图中阴影部分，F 则( )u2v 2vA vfuBf uC vf uDfu u u(5) 设 A 为n 阶非 0 矩阵 E 为n 阶单位矩阵若 A 3O ，则( ) A E A 不可逆， E A 不可逆. B E A 不可逆， E A可逆. C EA 可逆，EA 可逆.D EA 可逆，EA 不可逆.1 2(6) 设 A 则在实数域上与 A 合同的矩阵为( )2 1A 2 1 1.2B 2 1 1.2 C 2 1 1.2D 12 2.1(7) 随机变量 X ,Y 独立同分布，且 X 分布函数为 F x ，则Z max X Y ,分布函数为()AF 2 x . BF x F y .C 11 F x 2 .D 1 Fx 1F y. (8) 随机变量X N0,1，Y N 1,4且相关系数X Y 1，则( )A P Y2X11.B P Y2X1 1 .C P Y2X1 1 .D P Y2X11.二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.x ( ) 在(, ) 内连续，则c .(9) 设函数fx c1 x x(10)函数f x x 1x4 ，求积分 2 f x dx .(11)设D (x y, ) |x2 y2 1，则(x2 y dxdy).D(12)微分方程xy y 0, y(1) 1, 求方程的特解y.(13)设3 阶矩阵A的特征值为1，2，2，E 为三阶单位矩阵，则4A 1 E.(14)设随机变量X 服从参数为1 的泊松分布，则P X EX 2.三、解答题：15－23 小题，共94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9 分)1 sin x 求极限lim0x2 ln x .x21,2,x x cx3(16) (本题满分 10 分) 设 zz (x y , ) 是由方程x 2y 2z x yz所确定的函数，其中具有 2 阶导数且1，(I) 求dz(II) 记u x y , x 1 y xz yz，求ux .(17) (本题满分 11 分)计算max xy ,1dxdy , 其中 D {(x y ,) 0x2,0y 2}D(18) (本题满分 10 分)设 fx 是周期为 2 的连续函数，t 22(I) 证明对任意实数 t 都有tfx dxf x dxxt 2(II) 证明Gx0 2f ttf s ds dt是周期为 2 的周期函数．(19) (本题满分 10 分)设银行存款的年利率为r0.05，并依年复利计算. 某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年提取 19 万元，第二年提取 28 万元，…，第n 年取出(10+9 n )万元，并能按此规律一直提取下去，问 A 至少应为多少万元？ (20) (本题满分 12 分)设n 元线性方程组Axb ，其中2a 1 2 Aa 2a2a12ann x 11 x 2， x， bx n(I)证明行列式A n 1a n ；(II)当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x 1 ；(III)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(21)(本题满分10 分)设A 为3 阶矩阵，1, 2 为A 的分别属于特征值1,1 特征向量，向量 3 满足A 3 2 3 . (1)证明1,2, 3 线性无关；(2)令P 1,2, 3 ，求P1AP .(22)(本题满分11 分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为P X i i 1,0,1，Y 的概率密1 0 y 1度为f Y y ，记Z X Y .0 其它1求：(I) P Z X 0；2(II) Z 的概率密度f Z (z) ．(23) (本题满分11 分) 设X1, X2, , X n 是总体N (,2)的简单随机样本.记1 nX X i ，S 2 1 n (X i X )2 ，T X 2 1 S 2n i 1 n 1 i 1 n(I) 证明T 是 2 的无偏估计量；(II) 当0,1时，求DT .2008年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、选择题 (1)【答案】Bxf t dt ( )【详解】lim g x ( )limlim f x f 0 ，x 0x 0xx 0所以x是函数g (x ) 的可去间断点．(2)【答案】C a aaaxf(x dx )xdf x ( ) xf x ( )a 0 f x dx af a ( )( ) f x dx ( )【详解】00面积，f (x dx ) 为曲边梯形ABOD 的面积，所以xfaa 其中af (a ) 是矩形ABOC(x dx ) 为曲边三角形的面积． (3)【答案】Cx 0x【详解】fx(0,0) lim( ,0)f (0,0) lim e 1 lime 1x 0x 0x 0xx 0xe x1 e x 1 e x 1 e x1 limlim 1 ， lim lim1x 0xx 0xx 0x x 0x故 f x (0,0) 不存在．02y 4y 22f y (0,0)limf (0, y ) f (0,0) lim e1 lime1lim yy 0y 0 y 0yy 0yy 0y所以 f y (0,0) 存在．故选C(4)【答案】 Af u2v 2v u2u【详解】用极坐标得 F u v, dvf r (r )rdr v1f rdr ( 2)0 1 DuvF 2所以vf uu(5)【答案】C 【详解】(EA E )(A A 2) E A 3E ，(E A E )( A A 2) EA 3 E 故 E A ,EA 均可逆．(6)【答案】D12【详解】记 D，2 11221 22则ED1 4 ，又EA142121 所以 A和D 有相同的特征多项式，所以 A 和D有相同的特征值. 又A和D 为同阶实对称矩阵，所以 A 和D 相似．由于实对称矩阵相似必合同，故D 正确. (7)【答案】 A 【详解】F z P Z z P Zmax X Y , z P X z P Y zF z F z F z2(8)【答案】Dx【详解】用排除法. 设Y aX b ，由X Y1，知道 X ,Y 正相关，得a0，排除A 、 C 由 X ~ N (0,1),Y ~ N (1,4) ，得EX 0, EY1, 所以 E Y ( )EaX (b )aEX ba0 b1, 所以b1. 排除B . 故选择D二、填空题 (9)【答案】12 x ,x c【详解】由题设知 c| x |0 ，所以 f x ( )x 21, c x c2 x ,xc22， lim f xlim 2 2因为 lim f xlim(x1) c 1x cx cx cx cxc 又因为 f (x ) 在 (,) 内连续， f (x ) 必在 xc 处连续22 所以lim f x lim f xf c ( ) ，即 c1 c1x cx ccln 3(10)【答案】x，令t 1 x ，得【详解】 f1xt22x 2xx121所以2f x dx2x 22dx2 lnx2ln 6 ln 222111 1 xxx x x x212(11)【答案】4【详解】(x 2 y dxdy) 利用函数奇偶性x dxdy2 1 x 2 y dxdy22D D D1 2d1r rdr22 0 0 41(12)【答案】yxdy y【详解】由，两端积分得ln y ln x C1 ，所以C，又y(1) 1 ，所以dx x1y .x(13)【答案】3【详解】A的特征值为1,2,2 ，所以A 1 的特征值为1,1 2,1 2 ，所以4A 1 E 的特征值为4 1 1 3，412 1 1 ，4 1 2 1 1 所以4A 1 E3 1 1 3(14)【答案】e1【详解】由DX EX 2 (EX )2 ，得EX 2 DX (EX )2 ，又因为X 服从参数为1 的泊松2分布，所以DX EX 1，所以EX 2 1 1 2 ，所以P X21e 11e11xy2！ 2三、解答题 (15) 【详解】方法一：limxx 12 ln sin x xlim x 0x 12 ln 1sin x x 1sin x x cos x 1sin x 1limx3lim xx 2lim x6x 61sin xx cos xsin xx cos xsin x方法二：limx0 x 2 ln x 洛必达法则lim x2x 2 sin xlim x2x 3x sin x 1 洛必达法则lim 06x 26x(16) 【详解】(I) 2xdx 2ydy dzx y z dx dydz1dz2x dx2y dy2xdx2y dy1 1dzz2xz 2y(II) 由上一问可知, ，x 1 y11z z 1 2x 2y 1 2y 2x2所以u x y , ( )( )xyx y xy 11 xy 11z2xu 2(12x )2(112)2(123x )所以x 1111(17) 【详解】曲线 xy 1将区域分成两个区域D 1 和D 2 D 3 ，为了便于计算继续对区域分割，最后为maxxy ,1dxdyDxydxdydxdydxdyD 1 D 2D 312 222dx 1dy dxx1dy1dx1xydy0 00 2x12ln 2 ln 2ln 2(18) 【详解】方法一：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ， t 2 0 2 t 2tfx dxtf x dxf x dx2f xdxt 2 tt0 令x 2u，则2fx dx 0f 2u duf u dutf x dxt 220 2所以tfx dxtf x dx 0f x dxtf xdxf x dxt 2 22O0.5 2 x(II) 由(1)知，对任意的t 有tf x dxf x dx ，记afx dx ，则xG x ( ) 2f u duax . 所以，对任意的 x ，x 2xG x ( 2) G x ( )2f u dua x ( 2) 2f u duaxx 222xf u du2a 2f u du2a0 所以Gx 是周期为 2 的周期函数.t 2 方法二：(I) 设F t ( )tf x dx ( ) ，由于F t ( ) ft ( 2) f t ( ) 0 ，所以 F (t ) 为常数，22 从而有F t ( )F (0) . 而 F (0)f x dx ( ) ，所以 F t ( )f x dx ( ) ，即t 22tf x dx ( )f x dx ( ) .t 222(II) 由(I)知，对任意的t 有tf x dxf x dx ，记afx dx ，则xx2G x ( ) 2f u duax ， G x ( 2) 2f u dua x ( 2) 由于对任意 x ，G x (2)2 f x (2) a2 f x ( )a，G x ( )2 f x ( ) a 所以G x (2) G x ( )0 ，从而 G x ( 2)G x ( ) 是常数即有 G x ( 2)G x ( )G (2)G (0)0 所以Gx 是周期为 2 的周期函数.(19) 【详解】方法一：设 A n 为用于第n 年提取(109 )n 万元的贴现值，则An(1r )n(10 9 )n10 9n19nn故 An 1 Ann1(1r )n10n 1(1r )n n 1(1r )n 200 9n 1(1r )n 设 S x ( )nx nx ( 1,1)n 1nx x 因为 S x ( )x (n 1x )x (1x )(1x )2x( 1,1)11所以 S ( ) S ( ) 420 (万元) 1r 1.05 故 A 2009 420 3980 (万元)，即至少应存入 3980 万元. 方法二：设第t 年取款后的余款是 y t ，由题意知 y t 满足方程 y t(10.05)y t1(109 )t，即y t 1.05y t1(10 9 )t(1) (1)对应的齐次方程y t 1.05y t10 的通解为y t C (1.05)t 设(1)的通解为 y t * at b ，代入(1)解得 a 180，b 3980 所以(1)的通解为 y tC (1.05)t180t3980 由 y 0A ， y t 0得 A C3980 C 0 故 A至少为 3980 万元．(20) 【详解】(I) 证法一：2a1证法二：记D n | A | ，下面用数学归纳法证明D n(n 1)a n ．当n 1时， D 12a ，结论成立．2a12当n2时，D 223a ，结论成立． a 2a 假设结论对小于n 的情况成立．将D n 按第 1 行展开得a 2 12aD n1a D 2n22ana n 1a n 2( 1)a n2(n 1)a nD n 2aD n12a a 2 1 2a 1a 212aA2222 12212131 2 12 2 12 211 2 2 12 3 01 24 01 3 4 ( 1)2 ( 1) 33 2 11) ( 0n n n a a a a a a a a ar r a a aa a a an a a a n r ar a n a nnn a n故 | A |(n 1)a n 证法三：记D n | A | ，将其按第一列展开得 D n2aD n1a D 2 n2 ，所以 D n aD n1aD n1a D 2n2a D (n 1aD n 2) a 2(D n2aD n 3)a n 2(D 2aD 1)a n 即D n a naD n1a na a ( n1aD n 2)2ana D 2n 2(n 2)a n a n 2D 2 (n 1)a n a n 1D 1(n1)a na n12 a(n1)a n (II) 因为方程组有唯一解，所以由Ax B 知A0 ，又 A(n1)a n ，故a0．由克莱姆法则，将D n 的第 1 列换成b ，得行列式为112a12a a 2 2a n 10 2a 1a 2 2a 1 a 2D n1na11a 22aa 22a(n1) (n 1)D n 1n所以 x1D n(n 1)a(III) 方程组有无穷多解，由 A0，有a0，则方程组为nn0 10 1x 11x 200 1x n100xn此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n1，所以方程组有无穷多解，其通解为k 1 0 0 0T 0 1 0 0T ,k 为任意常数．(21)【详解】(I)证法一：假设1,2, 3 线性相关．因为1, 2 分别属于不同特征值的特征向量，故1, 2 线性无关，则3可由1, 2 线性表出，不妨设 3 l 1 1 l 2 2 ，其中l1,l2 不全为零(若l1,l2 同时为0，则3为0，由A32 3 可知20 ，而特征向量都是非0 向量，矛盾)A1 1, A2 2A323 2l 1 1 l2 2 ，又A 3 A l( 1 1 l 22) l 1 1 l2 2l 1 1 l 22 2 l 1 1 l2 2 ，整理得：2l 112 0 则1, 2 线性相关，矛盾. 所以，1,2,3 线性无关.证法二：设存在数k k k1, 2, 3 ，使得k 1 1 k 2 2k 3 3 0 用A左乘(1)的两边并由A 11, A 2 2 得(1)k 1 1 (k 2 k3) 2 k 3 3 0(2)(1)—(2)得2k 1 1 k 3 2 0(3)因为1, 2 是A 的属于不同特征值的特征向量，所以1, 2 线性无关，从而k 1 k 3 0 ，代入(1)得k 220，又由于20 ，所以k 2 0 ，故1,2,3 线性无关.(II) 记P(1,2,3) ，则P 可逆，AP A (1,2,3)(A 1, A 2, A 3) (1,2,23)1(I) P Z ( X0) P X Y( X 0)2 P Y ()021dy222(II) F Z (z ) P Z { z } P X { Y z }P X {Y z X ,1}P X {YP Y {z1, X1}P Y{P Y {z 1} {P X 1}P Y {z P X } { 0}P Y {z 1} {P X 1}P Y {z 1}P Y { z }P Y { z1}F z Y ( 1) F z Y ( ) F z Y ( 1)1所以 f Z (z ) f Y (z 1) f Y ( )z f Y (z1)3 , 1 z 2 130,其它22(23) 【详解】(I)因为 X N(,) ，所以X N (,) ，从而 EX n1 2212因为ET1 (1,2,3)00 0 1 1 1P0 1 0 01 10 11 0 所以 P AP10 1(22)【详解】 01.11() E X(S)E XE S ( ) n nDX(EX ) 21 E S ( 2) 12 2122n nn所以，T 是2的无偏估计(II)方法一：D T ()ET 2(ET )2 ，E T()0 ，E S (2)212,DX． n22DnX D X( )n21222n n nES4 ES 2 DS 2(ES 2 2)DS 21S 4 n 1nnn2422所以E X ( ) D X ( ) E 2(X )D所以 2() D ETT 422 2 ( )EXSXn42 422( ) ( ) ) ( ( ) EXES ES EX n因为 ( 0 ,1) X N ，所以 1( ), 0N X n，有 1 0 , EXDX，2 2 1E X DX EX22)() (EDX X221 3(n1)2 S 2 (n 1)S 22(n 1) ，所以DW因为W 2(n1) ，DS 22 ,所以ES 422，所以21n 1又因为DW (n 1) DS (n1)(n1) n 12 3 2 11 n1 2 所以 ET21 2 . n n n n n 1n n (1)方法二：当0,1时 D T () D X (2 1 S 2) (注意 X 和S 2 独立)n2 12121 1 2DX n2 DS n2 D nX n2 (n1)2 D(n1)S1 1 1 22 2 2 2(n1)2n n (n1) n n( 1)。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2000年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。
在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件( )A．{T(1)≥t0}。
B．{T(2)≥t0}。
C．{T(3)≥t0}。
D．{T(4)≥t0}。
正确答案：C解析：随机变量T(1)，T(2)，T(3)，T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于t0，此时必定两个显示较高的温度大于等于t0，即T(4)≥T(3)≥t0。
所以说断电事件就是{T(3)≥t0}。
2．(2009年)设事件A与事件B互不相容，则( )A．B．P(AB)=P(A)P(B)。
C．P(A)=1-P(B)。
D．正确答案：D解析：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0。
选项A：=1-P(A∪B)，因为P(A ∪B)不一定等于1，所以A不正确；选项B：当P(A)，P(B)不为0时，选项B 不成立，故排除B；选项C：只有当A、B互为对立事件的时候才成立，故排除C；选项D：=1-P(AB)-1，故D正确。
3．(2014年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=( )A．0．1。
B．0．2。
C．0．3。
D．0．4。
正确答案：B解析：P(A-B)=0．3，则P(A)-P(AB)=0．3，又随机事件A与B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)。
因此有P(A)-P(A)P(B)=0．3，又P(B)=0．5，故P(A)=0．6，且P(AB)=P(A)P(B)=0．3。
考研数三(1989-1998年)历年真题
1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ .(2)幂级数nn ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ .(5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232xxf x ,=+-则当0x →时 ( )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A) ()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C)()()df x dx f x dx =⎰(D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( )(A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2zx y∂∂∂.(3) 求微分方程562x y y y e -'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩ 试计算下列各题： (1) 200();x S f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分)(3) 222(2)(2,3,);n xn nS f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),x a F x f t dt x a=-⎰ 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===. (1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十 、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为(),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它.试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1)极限n →∞=_________.(2) 设函数()f x 有连续的导函数,(0)0,(0)f f b '==,若函数()sin ,0,(),0f x a xx F x xA x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则常数A =___________.(3) 曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.(4) 若线性方程组121232343414,,,x x a x x a x x a x x a +=-⎧⎪+=⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩有解,则常数1234,,,a a a a 应满足条件________.(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin ()tan xf x x x e=⋅⋅,则()f x 是 ( )(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数()f x 对任意x 均满足等式(1)()f x af x +=,且有(0),f b '=其中,a b 为非零常数,则 ( ) (A) ()f x 在1x =处不可导 (B) ()f x 在1x =处可导,且(1)f a '= (C) ()f x 在1x =处可导,且(1)f b '= (D) ()f x 在1x =处可导,且(1)f ab '= (3) 向量组12,,,s ααα 线性无关的充分条件是 ( )(A) 12,,,s ααα 均不为零向量(B) 12,,,s ααα 中任意两个向量的分量不成比例(C) 12,,,s ααα 中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示(D) 12,,,s ααα 中有一部分向量线性无关(4) 设,A B 为两随机事件,且B A ⊂,则下列式子正确的是 ( )(A) ()()P A B P A += (B) ()()P AB P A =(C) ()()P B A P B = (D) ()()()P B A P B P A -=- (5) 设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布为则下列式子正确的是 ( )(A) X Y = (B) {}0P X Y == (C) {}12P X Y == (D) {}1P X Y ==三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数2ln ()21xet I x dt t t =-+⎰在区间2[,]e e 上的最大值. (2) 计算二重积分2y Dxedxdy -⎰⎰,其中D 是曲线24y x =和29y x =在第一象限所围成的区域.(3) 求级数21(3)nn x n ∞=-∑的收敛域. (4) 求微分方程sin cos (ln )x y y x x e -'+=的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下经验公式:221212121514328210.R x x x x x x =++---(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略. 五、(本题满分6分)设()f x 在闭区间[0,]c 上连续,其导数()f x '在开区间(0,)c 内存在且单调减少；(0)0f =,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()f a b f a f b +≤+,其中常数a b、满足条件0a b a b c ≤≤≤+≤.六、(本题满分8分)已知线性方程组1234512345234512345,3230,226,54332,x x x x x a x x x x x x x x x b x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ (1) a b 、为何值时,方程组有解?(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解. 七、(本题满分5分)已知对于n 阶方阵A ,存在自然数k ,使得0kA =,试证明矩阵E A -可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E 为n 阶单位阵). 八、(本题满分6分)设A 是n 阶矩阵,1λ和2λ是A 的两个不同的特征值,12,X X 是分别属于1λ和2λ的特征向量.试证明12X X +不是A 的特征向量. 九、(本题满分4分)从0,1,2,,9 十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：1A ={三个数字中不含0和5}；2A ={三个数字中不含0或5}.十、(本题满分5分)一电子仪器由两个部件构成,以X 和Y 分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X 和Y 的联合分布函数为:0.50.50.5(),0,0,(,)0,x y x y e e e x y F x y ---+⎧-+≥≥=⎨⎩1-若其他.(1) 问X 和Y 是否独立?(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率α. 十一、(本题满分7分)某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. [附表表中()x Φ是标准正态分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 设sin ,xy z e =则dz = _______.(2) 设曲线()3f x x ax =+与()2g x bx c =+都通过点()10,,-且在点()10,-有公共切线,则a = _______,b = _______,c = _______. (3) 设()x f x xe =,则()()n fx 在点x = _______处取极小值 _______.(4) 设A 和B 为可逆矩阵,00A X B⎛⎫=⎪⎝⎭为分块矩阵,则1X -= _______. (5) 设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,(){}0.8,13,1,3.x x F x P X x x x <-⎧⎪-≤<⎪=≤=⎨≤<⎪⎪≥⎩ 则X 的概率分布为 _______.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 下列各式中正确的是 ( )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ (C) 1lim 1xx e x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(2) 设10(1,2,)n a n n≤≤= 则下列级数中肯定收敛的是 ( ) (A)1nn a∞=∑ (B)1(1)nn n a ∞=-∑(C) 1n ∞= (D) 21(1)n nn a ∞=-∑ (3) 设A 为n 阶可逆矩阵,λ是A 的一个特征根,则A 的伴随矩阵*A 的特征根之一是( )(A) 1n A λ- (B) 1A λ- (C) A λ (D) nA λ(4) 设A 和B 是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是 ( )(A) A 与B 不相容 (B) A 与B 相容 (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()P A B P A -=(5) 对于任意两个随机变量X 和Y ,若()()()E XY E X E Y =⋅,则 ( )(A) ()()()D XY D X D Y =⋅ (B) ()()()D X Y D X D Y +=+ (C) X 和Y 独立 (D) X 和Y 不独立三、(本题满分5分)求极限 120lim x x nxxx e e e n →⎛⎫+++⎪⎝⎭,其中n 是给定的自然数.四、(本题满分5分)计算二重积分DI ydxdy =⎰⎰,其中D 是由x 轴,y轴与曲线1=所围成的区域,0,0a b >>.五、(本题满分5分)求微分方程22dyxyx y dx=+满足条件2x e y e ==的特解.六、(本题满分6分)假设曲线1L ：()2101y xx =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L ：2y ax =分为面积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.七、(本题满分8分)某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为1p 和2p ；销售量分别为1q 和2q ；需求函数分别为112402q .p =-和2210005q .p =-,总成本函数为()123540C q q .=++ 试问：厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？八、(本题满分6分)试证明函数1()(1)xf x x=+在区间(0,)+∞内单调增加.九、(本题满分7分)设有三维列向量12321110111111,,,,λααλαβλλλ+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦问λ取何值时,(1) β可由123,,ααα线性表示,且表达式唯一? (2) β可由123,,ααα线性表示,且表达式不唯一? (3) β不能由123,,ααα线性表示?十、(本题满分6分)考虑二次型22212312132344224f x x x x x x x x x λ=+++-+.问λ取何值时,f 为正定二次型.十一、(本题满分6分)试证明n 维列向量组12,,,n ααα 线性无关的充分必要条件是1112121222120T T T n T T T nT T T n n n nD αααααααααααααααααα=≠,其中T i α表示列向量i α的转置,1,2,,i n = .十二、(本题满分5分)一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X 的概率分布.十三、(本题满分6分)假设随机变量X 和Y 在圆域222x y r +≤上服从联合均匀分布. (1) 求X 和Y 的相关系数ρ;(2) 问X 和Y 是否独立? 十四、(本题满分5分)设总体X 的概率密度为1,0,(;)0,0,aa x ax e x p x x λλλ--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0λ>是未知参数,0a >是已知常数.试根据来自总体X 的简单随机样本12,,,n X X X ,求λ的最大似然估计量ˆλ.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 设商品的需求函数为1005Q P =-,其中,Q P 分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是_________.(2) 级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为_________. (3)交换积分次序1(,)dy f x y dx =⎰_________.(4) 设A 为m 阶方阵,B 为n 阶方阵,且0,,0A A a B b C B ⎛⎫===⎪⎝⎭,则C =________. (5) 将,,,,,,C C E E I N S 等七个字母随机地排成一行,那么,恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为__________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设2()()xax F x f t dt x a =-⎰,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →等于 ( ) (A) 2a (B) 2()a f a(C) 0 (D) 不存在(2) 当0x →时,下面四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量? ( )(A) 2x (B) 1cos x -1 (D) tan x x -(3) 设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0Ax =仅有零解的充分条件是 ( )(A) A 的列向量线性无关 (B) A 的列向量线性相关 (C) A 的行向量线性无关 (D) A 的行向量线性相关(4) 设当事件A 与B 同时发生时,事件C 必发生,则 ( )(A) ()()()1P C P A P B ≤+- (B) ()()()1P C P A P B ≥+- (C) ()()P C P AB = (D) ()()P C P A B =(5) 设n 个随机变量12,,,n X X X 独立同分布,2111(),,ni i D X X X n σ===∑2211()1ni i S X X n ==--∑,则 ( ) (A) S 是σ的无偏估计量 (B) S 是σ的最大似然估计量 (C) S 是σ的相合估计量(即一致估计量) (D) S 与X 相互独立三、(本题满分5分)设函数ln cos(1),1,1sin ()21, 1.x x x f x x π-⎧≠⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩问函数()f x 在1x =处是否连续?若不连续,修改函数在1x =处的定义使之连续.四、(本题满分5分)计算arccot .xxe I dx e =⎰五、(本题满分5分)设sin()(,)x z xy x y ϕ=+,求2zx y∂∂∂,其中(,)u v ϕ有二阶偏导数.六、(本题满分5分)求连续函数()f x ,使它满足20()2()xf x f t dt x +=⎰.七、(本题满分6分)求证:当1x ≥时,212arctan arccos 214x x x π-=+. 八、(本题满分9分)设曲线方程(0)xy e x -=≥.(1) 把曲线xy e -=,x 轴,y 轴和直线(0)x ξξ=>所围成平面图形绕x 轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积()V ξ;求满足1()lim ()2V a V ξξ→+∞=的a . (2) 在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.九、(本题满分7分)设矩阵A 与B 相似,其中20010022,02031100A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(1) 求x 和y 的值.(2) 求可逆矩阵P ,使得1P AP B -=.十、(本题满分6分)已知三阶矩阵0B ≠,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解:123123123220,20,30.x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ (1) 求λ的值; (2) 证明0B =.十一、(本题满分6分)设A B 、分别为m n 、阶正定矩阵,试判定分块矩阵00A C B ⎛⎫= ⎪⎝⎭是否是正定矩阵.十二、(本题满分7分)假设测量的随机误差2(0,10)X N ,试求100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α,并利用泊松分布求出α的近似值(要求小数点后取两位有效数字). [附表十三、(本题满分5分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X 表示同时需要调整的部件数,试求X 的数学期望EX 和方差DX .十四、(本题满分4分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,y e x y f x y -⎧<<=⎨⎩其他,(1) 求随机变量X 的密度()X f x ; (2) 求概率{1}P X Y +≤.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1) 2352limsin 53x x x x→∞+=+ .(2) 已知()232,arctan ,32x y f f x x x -⎛⎫'==⎪+⎝⎭则0x dy dx == .(3) 级数0(ln3)2nnn ∞=∑的和为 . (4) 设4阶方阵A 的秩为2,则其伴随矩阵*A 的秩为 .(5) 设总体X 的方差为1,根据来自X 的容量为100的简单随机样本,测得样本均值为5,则X 的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为 .二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()f x=21,0,0,0,x xx ≠⎪=⎩则()f x 在点0x =处 ( ) (A) 极限不存在 (B) 极限存在但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导 (2) 设()f x 为连续函数,且()()ln 1,xxF x f t dt =⎰则()F x '等于 ( )(A)()2111ln f x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ (B) ()11ln f x f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(C)()2111ln f x f x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(D) ()1ln f x f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3) n 阶方阵A 具有n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的 ( )(A) 充分必要条件 (B) 充分而非必要条件 (C) 必要而非充分条件 (D) 既非充分也非必要条件 (4) 假设事件A 和B 满足()1P B A =,则 ( )(A) A 是必然事件 (B) ()0P B A =. (C) A B ⊃ (D) A B ⊂(5) 设随机变量X 的密度函数为()x ϕ,且()()x x ϕϕ-=.()F x 是X 的分布函数,则对任意实数a ,有 ( ) (A) 0()1()aF a x dx ϕ-=-⎰. (B) 01()()2aF a x dx ϕ-=-⎰(C) ()()F a F a -= (D) ()2()1F a F a -=-三、(本题满分5分)设()z f x,y =是由方程0z y x z y x xe ----+=所确定的二元函数,求dz .四、(本题满分7分)已知22lim 4xxa x x a x e dx x a +∞-→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰,求常数a 的值.五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为2,C aq bq c =++需求函数为1(),q d p e=-其中C 为成本,q 为需求量(即产量),p 为单价,,,,,a b c d e 都是正的常数,且d b >,求:(1) 利润最大时的产量及最大利润; (2) 需求对价格的弹性;(3) 需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设:(1) 函数()(0)y f x x =≤<+∞满足条件(0)0f =和0()1xf x e ≤≤-; (2) 平行于y 轴的动直线MN 与曲线()y f x =和1xy e =-分别相交于点1P 和2P ;(3) 曲线()y f x =,直线MN 与x 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段12PP 的长度. 求函数()y f x =的表达式.七、(本题满分6分)假设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,过点(0,(0))A f 与(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ,其中01c <<.证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使()0f ξ''=.八、(本题满分10分)k 为何值时,线性方程组12321231234,,24x x kx x kx x k x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型222123122313222f x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换X PY =化成22232f y y =+,其中123(,,)T X x x x =和123(,,)T Y y y y =是三维列向量, P 是3阶正交矩阵.试求常数,αβ.十、(本题满分8分)设随机变量X 和Y 同分布, X 的概率密度为23,02,()80,.x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 (1) 已知事件{}A X a =>和{}B Y a =>独立,且()34P A B .= 求常数a. (2) 求21X 的数学期望.十一、(本题满分8分)假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数()N t 服从参数为t λ的泊松分布.(1) 求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；(2) 求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q .1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)2222x xdx x -+=+⎰_____________.(2) 已知()1f x '=-,则000lim(2)()x xf x x f x x →=---_____________.(3) 设方程2cos xy e y x +=确定y 为x 的函数,则dydx=_____________. (4) 设121000000,000000n n a a A a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M MM L L 其中0,1,2,,,i a i n ≠=L 则1A -=_____________. (5) 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其他， 以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件12X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭出现的次数,则{}2P Y == _____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线121arctan (1)(2)x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( )(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设常数0λ>,而级数21nn a∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑ ( )(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与λ有关 (3) 设A 是m n ⨯矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r ,矩阵B AC =的秩为1r ,则( )(A) 1r r > (B) 1r r <(C) 1r r = (D) r 与1r 的关系由C 而定(4) 设0()1,0()1,()()1P A P B P A B P A B <<<<+=,则 ( )(A) 事件A 和B 互不相容 (B) 事件A 和B 相互对立(C) 事件A 和B 互不独立 (D) 事件A 和B 相互独立(5) 设12,,,n X X X L 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,X 是样本均值,记222212112222341111(),(),111(),(),1n n i i i i n n i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=-=--∑∑∑∑则服从自由度为1n -的t 分布的随机变量是 ( )(A) X t S μ-=(B) X t S μ-=(C) X t μ-=(D) X t μ-=三、(本题满分6分)计算二重积分(),Dx y dxdy +⎰⎰其中{}22(,)1D x y x y x y =+≤++. 四、(本题满分5分)设函数()y y x =满足条件440,(0)2,(0)4,y y y y y '''++=⎧⎨'==-⎩求广义积分0()y x dx +∞⎰.五、(本题满分5分)已知22(,)arctan arctan y x f x y x y x y =-,求2f x y∂∂∂.六、(本题满分5分)设函数()f x 可导,且10(0)0,()()xn n n f F x t f x t dt -==-⎰,求20()limnx F x x → 七、(本题满分8分)已知曲线0)y a =>与曲线y =00(,)x y 处有公共切线,求: (1) 常数a 及切点00(,)x y ；(2) 两曲线与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积x V . 八、(本题满分6分)假设()f x 在[,)a +∞上连续,()f x ''在(),a +∞内存在且大于零,记()()()()f x f a F x x a x a-=>-,证明()F x 在(),a +∞内单调增加. 九、(本题满分11分) 设线性方程组23112131231222322313233323142434,,,.x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ (1) 证明:若1234,,,a a a a 两两不相等,则此线性方程组无解；(2) 设1324,(0)a a k a a k k ====-≠,且已知12,ββ是该方程组的两个解,其中12111,1,11ββ-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦写出此方程组的通解.十、(本题满分8分)设0011100A x y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有三个线性无关的特征向量,求x 和y 应满足的条件. 十一、(本题满分8分)假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布{}{}00.6,10.4(1,2,3,4)i i P X P X i =====,求行列式1234X X X X X =的概率分布.十二、(本题满分8分)假设由自动线加工的某种零件的内径X (毫米)服从正态分布(,1)N μ,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T (单位:元)与销售零件的内径X 有如下关系:1,10,20,1012,5,12.X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设1()1xf x x -=+,则()()n f x = . (2) 设()yz xyf x=,()f u 可导,则x y xz yz ''+= .(3) 设(ln )1f x x '=+,则()f x = .(4) 设100220345A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A *是A 的伴随矩阵,则1()A *-= .(5) 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本,其中参数μ和2σ未知,记22111,(),n n i i i i X X Q X X n ====-∑∑则假设0:0H μ=的t 检验使用统计量t =_____.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设()f x 为可导函数,且满足条件0(1)(1)lim12x f f x x→--=-,则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为 ( )(A) 2 (B) 1- (C)12(D) 2- (2) 下列广义积分发散的是 ( )(A) 111sin dx x -⎰(B) 1-⎰(C)2x e dx +∞-⎰(D) 221ln dx x x+∞⎰(3) 设矩阵m n A ⨯的秩为()r A m n =<,m E 为m 阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )(A) A 的任意m 个行向量必线性无关 (B) A 的任意一个m 阶子式不等于零 (C) 若矩阵B 满足0BA =,则0B =(D) A 通过初等行变换,必可以化为(,0)m E 的形式(4) 设随机变量X 和Y 独立同分布,记,U X Y V X Y =-=+,则随机变量U 与V 必然( )(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零(5) 设随即变量X 服从正态分布2(,)N μσ,则随σ的增大,概率{}P X μσ-< ( )(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分6分)设2202(1cos ),0()1,01cos ,0xx x x f x x t dt x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩⎰,试讨论()f x 在0x =处的连续性和可导性.四、(本题满分6分)已知连续函数()f x 满足条件320()3xx t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,求()f x .五、(本题满分6分)将函数2ln(12)y x x =--展成x 的幂级数,并指出其收敛区间.六、(本题满分5分)计算22()min{,}x y x y edxdy +∞+∞-+-∞-∞⎰⎰.七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为()Q Q p =,收益函数为R pQ =,其中p 为产品价格,Q 为需求量(产品的产量),()Q p 为单调减函数.如果当价格为0p ,对应产量为0Q 时,边际收益00Q Q dR a dQ ==>,收益对价格的边际效应0p p dRc dp==<,需求对价格的弹性1p E b =>.求0p 和0Q .八、(本题满分6分)设()f x 、()g x 在区间[,]a a -(0a >)上连续,()g x 为偶函数,且()f x 满足条件()()f x f x A +-=(A 为常数).(1) 证明()()()aaaf xg x dx A g x dx -=⎰⎰；(2) 利用(1)的结论计算定积分22sin arctan x x e dx ππ-⎰.九、(本题满分9分)已知向量组(Ⅰ)123,,ααα；(Ⅱ)1234,,,αααα；(Ⅲ)1235,,,αααα,如果各向量组的秩 分别为(I)(II)3r r ==,(III)4r =.证明:向量组12354,,,ααααα-的秩为4.十、(本题满分10分)已知二次型2212323121323(,,)43448f x x x x x x x x x x x =-+-+.(1) 写出二次型f 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型f 化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十一、(本题满分8分)假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试, 经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了(2)n n ≥台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：(1) 全部能出厂的概率α；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率β； (3) 其中至少有两台不能出厂的概率θ.十二、(本题满分8分)已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01,(,)0,xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他, 求X 和Y 联合分布函数(,)F x y .1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设方程y x y =确定y 是x 的函数,则dy =___________. (2) 设()arcsin x f x dx x C =+⎰,则1()dx f x =⎰___________.. (3) 设()00,x y 是抛物线2y ax bx c =++上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________. (4) 设123222212311111231111n n n n n n n a a a a A a a a a a a a a ----⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,123n x x X x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,1111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ,其中(;,1,2,,)i j a a i j i j n ≠≠= .则线性方程组TA XB =的解是___________. (5) 设由来自正态总体2~(,0.9)X N μ容量为9的简单随机样本,得样本均值5X =,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 累次积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可以写成 ( )(A) 10(,)dy f x y dx ⎰(B) 1(,)dy f x y dx ⎰(C)11(,)dx f x y dy ⎰⎰(D)1(,)dx f x y dy ⎰(2) 下述各选项正确的是 ( )(A) 若21nn u∞=∑和21nn v∞=∑都收敛,则21()nn n uv ∞=+∑收敛(B)1n nn u v∞=∑收敛,则21nn u∞=∑与21nn v∞=∑都收敛(C) 若正项级数1n n u ∞=∑发散,则1n u n≥(D) 若级数1nn u∞=∑收敛,且(1,2,)n n u v n ≥= ,则级数1nn v∞=∑也收敛(3) 设n 阶矩阵A 非奇异(2n ≥),A *是矩阵A 的伴随矩阵,则 ( ) (A) 1()n A AA -**= (B) 1()n A A A +**=(C) 2()n A AA -**= (D) 2()n A AA +**=(4) 设有任意两个n 维向量组1,,m αα 和1,,m ββ ,若存在两组不全为零的数1,,m λλ和1,,m k k ,使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-= ,则( )(A) 1,,m αα 和1,,m ββ 都线性相关 (B) 1,,m αα 和1,,m ββ 都线性无关(C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性无关(D) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性相关(5) 已知0()1P B <<且()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+,则下列选项成立的是( ) (A) ()1212[]()()P A A B P A B P A B +=+ (B) ()1212()()P A B A B P A B P A B +=+ (C) ()1212()()P A A P A B P A B +=+(D) ()()1122()()()P B P A P B A P A P B A =+三、(本题满分6分)设(),0,()0,0,xg x e x f x xx -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩其中()g x 有二阶连续导数,且(0)1,(0)1g g '==-.(1)求()f x '；(2)讨论()f x '在(,)-∞+∞上的连续性.四、(本题满分6分)设函数()z f u =,方程()()xyu u p t dt ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数,其中(),()f u u ϕ可微；()p t ,()u ϕ'连续,且()1u ϕ'≠.求()()z z p y p x x y∂∂+∂∂.五、(本题满分6分)计算2(1)xx xe dx e -+∞-+⎰.六、(本题满分5分)设()f x 在区间[0,1]上可微,且满足条件120(1)2()f xf x dx =⎰.试证:存在(0,1)ξ∈使()()0.f f ξξξ'+=七、(本题满分6分)设某种商品的单价为p 时,售出的商品数量Q 可以表示成aQ c p b=-+,其中a b 、、 c 均为正数,且a bc >.(1) 求p 在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2) 要使销售额最大,商品单价p 应取何值?最大销售额是多少?八、(本题满分6分)求微分方程dy dx =的通解.九、(本题满分8分)设矩阵01010000010012A y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (1) 已知A 的一个特征值为3,试求y ； (2) 求矩阵P ,使()()TAP AP 为对角矩阵.十、(本题满分8分)设向量12,,,t ααα 是齐次线性方程组0AX =的一个基础解系,向量β不是方程组0AX =的解,即0A β≠.试证明:向量组12,,,,t ββαβαβα+++ 线性无关.十一、(本题满分7分)假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元；发生一次故障仍可获得利润5万元；发生两次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?十二、(本题满分6分)考虑一元二次方程20x Bx C ++=,其中B C 、分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q .十三、(本题满分6分)假设12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样本；已知(1,2,3,4)k k EX a k ==.证明：当n 充分大时,随机变量211n n i i Z X n ==∑近似服从正态分布,并指出其分布参数.1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.) (1) 设()(ln )f x y f x e =,其中f 可微,则dy =___________.(2)若1201()()1f x f x dx x =++,则10()f x dx =⎰___________. (3) 差分方程12t t t y y t +-=的通解为___________.(4) 若二次型2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的,则t 的取值范围是___________.(5) 设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布2(0,3)N ,而19,,X X 和19,,Y Y 分别是来自总体X Y 和的简单随机样本,则统计量U =服从___________分布(2分),参数为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 设561cos 2()sin ,()56xx x f x t dt g x -==+⎰,则当0x →时,()f x 是()g x 的 ( )(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 若()()()f x f x x -=-∞<<+∞,在(,0)-∞内()0f x '>,且()0f x ''<,则在(0,)+∞内有 ( ) (A) ()0f x '>,()0f x ''< (B) ()0f x '>,()0f x ''> (C) ()0f x '<,()0f x ''< (D) ()0f x '<,()0f x ''>(3) 设向量组1α,2α,3α线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )(A) 12αα+,23αα+,31αα- (B) 12αα+,23αα+,1232ααα++ (C) 122αα+,2323αα+,313αα+(D) 123ααα++,1232322ααα-+,123355ααα+-(4) 设,A B 为同阶可逆矩阵,则 ( )(A) AB BA = (B) 存在可逆矩阵P ,使1P AP B -=(C) 存在可逆矩阵C ,使TC AC B = (D) 存在可逆矩阵P 和Q ,使PAQ B = (5) 设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布：{}{}111,2P X P Y =-==-={}1P X = {}112P Y ===,则下列各式中成立的是 ( ) (A) {}12P X Y == (B) {}1P X Y ==(C) {}104P X Y +== (D) {}114P XY ==三、(本题满分6分)在经济学中,称函数1()[(1)]xxxQ x A KL δδ---=+-为固定替代弹性生产函数,而称函数1Q AK L δδ-=为Cobb-Douglas 生产函数(简称C —D 生产函数).试证明：但0x →时,固定替代弹性生产函数变为C —D 生产函数,即有lim ()x Q x Q →=.四、(本题满分5分)设(,,)u f x y z =有连续偏导数,()y y x =和()z z x =分别由方程0xye y -=和0x e xz -=所确定,求du dx.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系70.2p x =-(万元/吨),x 为销售量(单位：吨),商品的成本函数31C x =+(万元).(1) 若每销售一吨商品,政府要征税t (万元),求该商家获最大利润时的销售量； (2) t 为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,)+∞上连续、单调不减且(0)0f ≥,试证函数1(),0,()0,0,x nt f t dt x F x x x ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰若若 在[0,)+∞上连续且单调不减(其中0n >).七、(本题满分6分)从点1(1,0)P 作x 轴的垂线,交抛物线2y x =于点1(1,1)Q ；再从1Q 作这条抛物线的切线与x 轴交于2P ,然后又从2P 作x 轴的垂线,交抛物线于点2Q ,依次重复上述过程得到一系列的点1122,;,;;,;n n P Q P Q P Q .(1) 求n OP ；(2) 求级数1122n n Q P Q P Q P ++++ 的和.其中(1)n n ≥为自然数,而12M M 表示点1M 与2M 之间的距离.八、(本题满分6分)设函数()f t 在[0,)+∞上连续,且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰, 求()f t .九、(本题满分6分)设A 为n 阶非奇异矩阵,α为n 维列向量,b 为常数.记分块矩阵0,T T E A P Q AA b ααα*⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，其中A *是矩阵A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵. (1) 计算并化简PQ ；(2) 证明：矩阵Q 可逆的充分必要条件是1TA b αα-≠.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3；矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是。
2017年考研数学三真题与解析
1 2017年考研数学三真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数1cos ,0(),0xx f x ax b x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】00011cos 12lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a+++®®®-===，0lim ()(0)x f x b f -®==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =Þ=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0)（B ）03(,)（C ）30(,)（D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ¶=---=--¶，232z x x xy y¶=--¶，2222222,2,32z z z z y x xxyx yy x¶¶¶¶=-=-==-¶¶¶¶¶¶解方程组22320320z y xy y xz x x xy y¶ì=--=ï¶ïí¶ï=--=¶ïî，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x ¢>，则（A ）(1)(1)f f >-（B ）11()()f f <-（C ）11()()f f >-（D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ¢¢=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-Þ>-，所以应该选（C ）4．若级数211sin ln(1)n k nn ¥=éù--êúëûå收敛，则k =（）（A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-【详解】iv n ®¥时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n æöæöæöæö--=---+=++ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设a 为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则阶单位矩阵，则（A ）T E aa -不可逆不可逆 （B ）TE aa +不可逆不可逆（C ）2TE aa +不可逆不可逆 （D ）2TE aa -不可逆不可逆【详解】矩阵Taa 的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T TE E E E aa aa aa aa -+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,1,1,1,,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有TE aa -存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A æöç÷=ç÷ç÷èø，210020001B æöç÷=ç÷ç÷èø，100020002C æöç÷=ç÷ç÷èø，则，则 （A ）,A C 相似，,B C 相似相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似相似 （D ）,A C 不相似，,B C不相似不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1l l l ===．是否可对解化，只需要关心2l =的情况．的情况．对于矩阵A ，0002001001E A æöç÷-=-ç÷ç÷èø，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -æöç÷-=ç÷ç÷èø，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（条件是（ ）（A ）,A B 相互独立相互独立 （B ）,A B 互不相容互不相容 （C ）,AB C 相互独立相互独立 （D ）,AB C 互不相容互不相容 【详解】【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ³ 为来自正态总体(,1)N m 的简单随机样本，若11n i i X X n ==å，则下列结论中不正确的是（正确的是（ ）（A ）21()ni i X m =-å服从2c 分布分布 （B ）()212nX X -服从2c 分布分布 （C ）21()ni i X X =-å服从2c 分布分布（D ）2()n X m -服从2c 分布分布 解：（1）显然22()~(0,1(0,1))()~(1(1),),1,2,iiX N X i n m m c -Þ-= 且相互独立，所以21()nii X m =-å服从2()n c 分布，也就是（A ）结论是正确的；）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)ni i n S X X n S n c s=--=-=-å，所以（C ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N n X N n X nm m m c Þ-Þ-，所以（D ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22n n n X X X X N N X X c --ÞÞ-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） 9．322(sin )x x dx ppp -+-=ò．解：由对称性知332222(sin )22xx dxx dx ppppp p -+-=-=òò． 10．差分方程122tt t y y +-=的通解为的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =；设122t t tyy +-=的特解为2tty at =，代入方程，得12a =；所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2t t y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e-=+，其中产量为Q ，则边际成本为，则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为，从而边际成本为()1(1).QC Q Q e -¢=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A æöç÷=ç÷ç÷èø，123,,a a a 为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A a a a 的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A æöæöæöç÷ç÷ç÷=®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø，知矩阵A 的秩为2，由于123,,a a a 为线性无关，所以向量组123,,A A A a a a 的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-´+´+´=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题三、解答题15．（本题满分10分）分）求极限03lim xtx x te dtx+®-ò【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，xxtx ux te dtuedu --=òò3332limlim lim lim 332xxxtxuuxx x x x x te dt eue du ue du xexxxx ++++---®®®®-====òòò计算积分3242(1)Dydxdy xy ++òò，其中D 是第一象限中以曲线y x =与x 轴为边界的无界区域．轴为边界的无界区域．【详解】【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282xDxyydxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x p +¥+¥+¥=++++++=++æöæö=-=-ç÷ç÷ç÷++èøèøòòòòòòò 17．（本题满分10分）分）求21lim ln 1nn k k k n n ®¥=æö+ç÷èøå 【详解】由定积分的定义【详解】由定积分的定义 120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx ®¥®¥==æöæö+=+=+ç÷ç÷èøèø=+=ååòò18．（本题满分10分）分） 已知方程11ln(1)k x x -=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x =-Î+，则，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-¢=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ¢¢=+-+-= 2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-¢¢=<Î+，所以()g x ¢在(0,1)上单调减少，上单调减少，由于(0)0g ¢=，所以当(0,1)x Î时，()0)0g x g ¢¢<=，也就是()g x ()g x ¢在(0,1)上单调减少，当(0,1)x Î时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x Î时，()0f x ¢<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．上单调减少．0011ln(1)1lim()lim lim ln(1)ln(1)2x x xx x f x x x x x +++®®®æö-+=-==ç÷++èø，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ，()S x 为幂级数nnn a x ¥=å的和函数的和函数（1）证明nn n a x ¥=å的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-，并求出和函数的表达式．，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+Þ+=++也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n nn n aa n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=´´´=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!nn n aa n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n nnn k aaa aa aa ak +++-==-+-++-+=-å111lim lim lim 12!3!!nnnn n n n a e n r ®¥®¥®¥=£+++£= ，所以收敛半径1R ³（2）所以对于幂级数nnn a x ¥=å， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x¥-=¢=å，所以，所以111111011111110(1)()(1)(1)((1))()n n nn n nn n n n n n nn n nn n n nn nn nnn n n x S x x na xna xna xn a x na x a n a na xa x a xx a x xS x ¥¥¥--===¥¥+====¥+=¥¥¥+-===¢-=-=-=+-=++-====ååååååååå也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-．解微分方程(1)()()0x S x xS x ¢--=，得()1xCeS x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C = 所以()1xeS x x-=-．设三阶矩阵()123,,A a a a =有三个不同的特征值，且3122.a a a =+（1）证明：()2r A =；（2）若123,b a a a =+，求方程组Ax b =的通解．的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ³．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ³，又因为31220a a a -+=，也就是123,,a a a 线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220a a a -+=，所以基础解系为121x æöç÷=ç÷ç÷-èø；又由123,b a a a =+，得非齐次方程组Ax b =的特解可取为111æöç÷ç÷ç÷èø；方程组Ax b =的通解为112111x k æöæöç÷ç÷=+ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø，其中k 为任意常数．为任意常数．21．（本题满分11分）分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y l l +，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141Aa -æöç÷=-ç÷-èø因为二次型的标准形为221122y y l l +．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A l l l l l l l ---=+=+--- 令0E A l -=得矩阵的特征值为1233,6,0l l l =-==．通过分别解方程组()0i E A x l -=得矩阵的属于特征值13l =-的特征向量111131x æöç÷=-ç÷ç÷èø，属于特征值特征值26l =的特征向量211021x -æöç÷=ç÷èø，30l =的特征向量311261x æöç÷=÷çèø， 所以()12311132612,,036111326Q x x x æö-ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷ç÷èø为所求正交矩阵．为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<ì=íî其他．（1）求概率P Y EY £（）； （2）求Z X Y =+的概率密度．的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy+¥-¥===òò所以{}230242.39P Y EYP Y ydy ìü£=£==íýîþò（2）Z X Y =+的分布函数为的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z YY F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =£=+£=+£=++£===£+=£-=£+£-=+-故Z X Y =+的概率密度为的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,ZZf z F z f z f z z z z z ¢==+-££ìï=-£<íïî其他23．（本题满分11分）分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量m 是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N m s 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n m =-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数s ． （1）求i Z 的概率密度；的概率密度；（2）利用一阶矩求s 的矩估计量；的矩估计量； （3）求参数s 最大似然估计量．最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P m m ss ì-ü=£=-£=£íýîþ当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ³时，{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P m m s s sì-üæö=£=-£=£=F -íýç÷èøîþ； 所以i Z 的概率密度为2222,0()()20,0z Z Z e z f z F z z s ps-ì³ï¢==íï<î．（2）数学期望22222()22z iEZ z f z dzze dzss psp-+¥+¥===òò， 令11ni i EZ Z Z n ===å，解得s 的矩估计量12222ni i Z Z np ps ===å．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >= 时 似然函数为2211212()(,)(2)n ii nnz i n i L f z ess s ps =-=å==Õ，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22ni i n L n n z s p s s ==---å令231ln ()10ni i d L n z d s s s s ==-+=å，得参数s 最大似然估计量为211ni i z n s ==å．。
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:1
8 A B 与C 相互独立的充分必要条件
1
1n
i i x n =∑则
9
14
)
,2,n，利用,
Z估计σ
n
的概率密度；
σ的矩估计量；
sin n
n
n ++
,)
x y由方程（
1}
x
≤≤，则
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)设是数列,下列命题中不正确的是：（）
(A) 若,则(B) 若, 则
(C) 若,则(D) 若,则
(2)设函数在内连续,其二阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：
(A) (B) (C) (D)
(3)设,函数在上连续,则（）
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)下列级数中发散的是：（）
(A) (B) (C) (D)
(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：
(A) (B) (C) (D)
(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中
，若，则在正交变换下的标准形为：（）
(A) (B) (C)(D)
(7)若为任意两个随机事件,则:（）
(A)(B)
(C) (D)
(8)设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则
(A) (B)(C)(D)
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)
(10)设函数连续，若则
(11)若函数由方程确定，则
y取得极值3，则
(12)设函数是微分方程的解，且在处)(x
(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式
(14)设二维随机变量服从正态分布，则
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.
(16) (本题满分10 分)
计算二重积分，其中
(17) (本题满分10分)
为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.
(I) 证明定价模型为；
(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.
(18) (本题满分10分)
设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.
(19) (本题满分 10分)
(I) 设函数可导，利用导数定义证明
(II) 设函数可导，，写出的求导公式.
(20) (本题满分11分)
设矩阵，且.
(I) 求的值；
(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.
设矩阵相似于矩阵.
(I)求的值；
(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.
(22) (本题满分11分)
设随机变量的概率密度为
对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.
(I) 求的概率分布；
(II) 求EY.
(23) (本题满分11分)
设总体的概率密度为
其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.
(I) 求的矩估计量.
(II) 求的最大似然估计量.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)设，且，则当充分大时有：（）
(A) (B) (C) (D)
(2)下列曲线有渐近线的是：（）
(A) (B) (C) (D)
(3)设,当时,若是比高阶的无穷小,则下列试题中错误的是：（）
(A)(B)(C)(D)
(4)设函数具有二阶导数，，则在区间上：（）
(A)当时，(B)当时，
(C)当时，(D)当时，
(5)行列式（）
(A) (B) (C) (D)
(6)设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的：（）
(A) 必要非充分条件(B) 充分非必要条件
(C) 充分必要条件(D) 既非充分也非必要条件
(7)设随机事件与相互独立，且，，则（）
(A)(B)(C)(D)
(8) 设
为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为（ ） (A) (B) (C) (D)
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.
(9) 设某商品的需求函数为（
为商品的价格），则该商品的边际收益为________. (10) 设是由曲线
与直线及围成的有界区域，则的面积为________. (11) 设，则__________.
(12) 二次积分__________.
(13) 设二次型323122
2132142),,(x x x ax x x x x x f ++-=的负惯性指数是1，则的取值范围_________. (14) 设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单样本，若，则_________.
三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15) (本题满分10分)
求极限
.
(16) (本题满分10分) 设平面区域计算.
(17) (本题满分10分)
设函数具有连续导数，满足. 若，求的表达式.
(18) (本题满分10分)
求幂级数的收敛域及和函数.
(19) (本题满分10分)
设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：(I)；
(II).
(20) (本题满分11分)
设矩阵，为三阶单位矩阵.
(I)求方程组的一个基础解系；
(II)求满足的所有矩阵.。