高三数学强化训练

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高三数学强化训练(2)

福建省永泰二中高三数学强化训练（2）1．设复数，则复数在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知、、三点共线，且，则= A ．B ．C ．D ．3．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是A ．B ．C ．D ． 4. “”是“直线与圆相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设，，，则、、的大小关系是 A ． B ． C ． D ．6．已知等比数列的前项和，则实数的值为A ．4B ．5C ．D ．7．已知某个几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是 A.B. C. D. 8．过点作圆的两条切线，切点分别为、，为坐标原点，则的外接圆方程是A ．B ．C ．D ． 9．下列命题错误．．的是 A ．， B ．， C ．， D ．，，112z i =-21z i =+12z z z =A B C 20AC CB +=OC 2OA OB -2OB OA -22OB OA -2OA OB -2()f x x =1()f x x=()xf x e =()sin f x x =2m =y x m =+221x y +=0.12a =5ln2b =39log 10c =a b c a b c >>a c b >>b a c >>b c a >>{}n a n 2155n n S t -=⋅-t 4515cm 312cm 313cm 316cm 3112cm (4,2)P 224x y +=A B O OAB ∆22(2)(1)5x y -+-=22(4)(2)20x y -+-=22(2)(1)5x y +++=22(4)(2)20x y +++=,R αβ∃∈cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=+,x k R ∀∈sin(2)sin x k x π+⋅=[0,)2x π∃∈sin()sin 3x x π+=x R +∀∈k R ∃∈sin x kx ≤10．已知函数．规定：给定一个实数，赋值，若，则继续赋值，…，以此类推，若，则，否则停止赋值，如果得到称为赋值了次．已知赋值次后该过程停止，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．提示：，，11．当时，幂函数的图象不可能经过第象限12．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 __________13．如下图，在由若干个同样的小平行四边形组成的大平行四边形内有一个★，则含有★的平行四边形有__________个. （用数字做答） 14．已知、的取值如下表：从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则． 15．设的三边长分别为、、，的面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为、、、，内切球半径为，四面体的体积为，则．16．在中，角、、所对的边分别是、、，又．（1）求的值；（2）若，的面积，求的值17. 水库的蓄水量随时间而变化，现用表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于的近似函数关系式为（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以表示第月份（），问一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取计算）21．（1）二阶矩阵对应的变换将与分别变换成与，求直线：在此变换下所变成的直线的解析式()32,f x x x R =-∈0x 10()x f x =1244x ≤21()x f x =1244n x -≤1()n n x f x -=n x *()n n N ∈k 0x 65(3,3)k k --65(31,31]k k --++56(31,31]k k --++45(31,31]k k --++0(1)31nn x x =-⋅+1244k x -≤244k x >1{1,,1,3}2α∈-y x α=x y y x 0.95y x a =+a =ABC ∆a b c ABC ∆S r 2Sr a b c=++A BCD -1S 2S 3S 4S R A BCD -V R =ABC ∆A B C a b c 4cos 5A =2sincos22B CA ++2b =ABC ∆3S =a t t 124(1440)50,010()4(10)(341)50,1012t t t e t V t t t t ⎧⎪-+-+<≤=⎨⎪--+<≤⎩1i t i -<<i 1,2,,12i =⋅⋅⋅2.7e =M (1,1)-(2,1)-(1,1)--(0,2)-l 4x y -=l '0 1 3 42.24.34.86.7x y（2）求直线被曲线截得的弦长（3）关于的不等式的解集为空集，求实数的取值范围。

高考数学强化复习训练精选题及答案_

高三数学强化训练（2）1．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩ 是(,)-∞+∞上的减函数，那么 a 的取值范围是 A ．（0，1） B ．（0，13） C ．17⎡⎢⎣，13⎤⎥⎦D ．]1,17⎡⎢⎣ 2．已知函数)(x f y =，对任意的两个不相等的实数21,x x ，都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+ 成立，且0)0(≠f ，则)2006()2005(...........)2005()2006(f f f f ⋅⋅-⋅-的值是A ．0B ．1C ．2006！D ．（2006！）23．已知函数)(x f 满足1)1(=f ，对于任意的实数y x ,都满足1)(2)()()(++++=+y x y y f x f y x f ，若*N x ∈，则函数)(x f 的解析式为A ．1)(-=x fB ．14)(2-=x x fC ．0)(=x fD ．33)(2-+=x x x f 4．如图所示，f i （x ）（i =1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x 1和x 2，任意λ∈［0，1］，f ［λx 1+（1－λ）x 2］≤λf （x 1）+（1－λ）f （x 2）恒成立”的只有f 1（x ） f 2（x ） f 3（x ） f 4（x ）A ．f 1（x ），f 3（x ）B ．f 2（x ）C ．f 2（x ），f 3（x ）D ．f 4（x ）5．函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________.6．设函数y ＝f （x ）是最小正周期为2的偶函数，它在区间［0，1］上的图象为如图14所示的线段AB ，则在区间［1，2］上f （x ）＝ . 图147．设函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数m >0，使|||)(|x m x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①0)(=x f ；②2)(x x f =；③)cos (sin 2)(x x x f +=；④1)(2++=x x x x f ； ⑤)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1、x 2均有．其中是F 函数的序号为_____________________.8．已知函数224 , (0),()4 , (0).x x x x f x x x x x ⎧++>⎪⎪=⎨-+⎪-<⎪⎩（1）求证：函数()f x 是偶函数；（2）判断函数()f x 分别在区间]2,0( 、),2[∞+ 上的单调性，并加以证明；（3）若121||4,1||4x x ≤≤≤≤，求证: 12|()()|1f x f x -≤．参考答案CBDA ．51-； x ；①④⑤； 8．解：（1）当0>x 时，0<-x ，则224()()4(),()()x x x x f x f x x x ++---+=-=--24x x x++=∴()()f x f x =- 当0x <时， 0x ->，则224()()4(),()()x x x x f x f x x x -+-+-+=--=--24x x x-+=-，∴()()f x f x =-综上所述，对于0x ≠，都有()()f x f x =-，∴ 函数()f x 是偶函数。

高三数学强化训练(4)解析几何

高三数学强化训练（4）解析几何一1、已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D，且||CD =. (1)求直线CD 的方程； ⑵求圆P 的方程；⑶设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.2．求椭圆22x ＋y 2＝1上的点到直线y ＝x ＋2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．3．已知双曲线C ：2214y x -=，（1）求直线1y x =+被双曲线C 截得的弦长；（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线C 截得的弦中点轨迹方程4．已知定点(1,0)C -及椭圆2235x y +=,过点C 的动直线与椭圆相交于,A B 两点．（1）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程；（2）在x 轴上是否存在点M ，使MA MB ∙为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由5、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py （p>0）相交于A 、B 两点。

（Ⅰ）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值；（Ⅱ）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

6、如图，已知抛物线C ：px y 22=和⊙M ：1)4(22=+-y x ，过抛物线C 上一点)1)(,(000≥y y x H 作两条直线与⊙M 相切于A 、B 两点，分别交抛物线为E 、F 两点，圆心点M 到抛物线准线的距离为417．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当AHB ∠的角平分线垂直x 轴时，求直线EF 的斜率；（Ⅲ）若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值．*7.设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2，,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

高中数学课后强化训练(含详解)3.3.2新人教版必修3

S4 表示随机试验次数的记数器 n 的值加 1，即 n＝ n＋ 1，如果还需要继续试验，则返回
步骤 S2，否则，程序结束．
程序结束后，飞镖投在小正方形内发生的频率
m n表示概率的近似值，全班同学一块试验，
1 看频率是否在 4附近波动，次数越多，越有可能稳定在
1 4附近．
13．已知地铁列车每 10min 一班，在车站停 1min. 用随机模拟方法估计乘客到达站台立即乘上车的概率．
S1 用计数器 n 记录做了多少次试验，用计数器 m记录其中有多少次 ( x，y) 满足 y< x( 所
投的点落在阴影部分 ) ．首先置 n＝0， m＝ 0； S2 用变换 rand( )*2 产生 0～ 2 之间的均匀随机数
x 表示所投点的横坐标；用变换
rand( )*2 产生 0～ 2 之间的均匀随机数 y 表示所投点的纵坐标；
换 rand()*2 产生 0～ 2 之间的均匀随机数 y 表示所投的点的纵坐标；
S3：判断点是否落在阴影部分，即是否满足
y<2x，如果是，则计数器 m的值加 1，即 m＝m
＋ 1，如果不是， m的值保持不变；
S4：表示随机试验次数的计数器 n 的值加 1，即 n＝ n＋ 1，如果还要继续试验，则返回步
S3 判断点是否落在阴影部分，即是否满足 y< x. 如果是，则计数器 m的值加 1，即 m＝m
＋ 1. 如果不是， m的值保持不变；
S4 表示随机试验次数的计数器 n 的值加 1，即 n＝n＋ 1. 如果还要继续试验，则返回步骤
S2 继续执行，否则，程序结束．
m 程序结束后，事件 A发生的频率 n作为事件 A概率的近似值．
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P＝

高三数学：2024届新结构“8+3+3”选填限时训练1_10(解析版)

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据1,0.3 ,2,4.7 ,3,m ,4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x -2，则m 的值为()A.3B.5C.5.2D.6【答案】A【解析】易知x =1+2+3+44=52,y =13+m4，代入y =2.4x -2得13+m 4=2.4×52-2⇒m =3.故选：A2已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m ⎳α,n ⎳α,则m ⎳nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αD.若m ⎳α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.故选：B3已知向量a ，b 满足a =3，b =23，且a ⊥a +b，则b 在a 方向上的投影向量为()A.3B.-3C.-3aD.-a【答案】D【解析】a ⊥a +b ，则a ⋅a +b =a 2+a ⋅b =9+a ⋅b =0，故a ⋅b=-9，b 在a 方向上的投影向量a ⋅b a 2⋅a =-99⋅a =-a.故选：D .4若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式3x +12xn的展开式的常数项是()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】因为n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，6×60%=3.6，所以n =8，二项式3x +12x8的通项公式为T r +1=C r 8⋅3x 8-r ⋅12x r =C r 8⋅12 r⋅x8-r 3-r，令8-r 3-r =0⇒r =2，所以常数项为C 28×12 2=8×72×14=7，故选：A5折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为()A.5023π B.9π C.7π D.1423π【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为r 1,r 2，由题意可知13×2π×3=2πr 1，解得r 1=1，13×2π×6=2πr 2，解得：r 2=2，作出圆台的轴截面，如图所示：图中OD =r 1=1,O A =r 2=2，AD =6-3=3，过点D 向AP 作垂线，垂足为T ，则AT =r 2-r 1=1，所以圆台的高h =AD 2-AT 2=32-1=22，则上底面面积S 1=π×12=π，S 2=π×22=4π，由圆台的体积计算公式可得：V =13×(S 1+S 2+S 1⋅S 2)×h =13×7π×22=142π3，故选：D .6已知函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，若x 1,x 2,-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式x -bx -c≤0的解集为()A.1,52B.1,52C.-∞,1 ∪52,+∞D.-∞,1 ∪52,+∞ 【答案】A【解析】由函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，即x 1,x 2是x 2-bx +c =0的两个实数根据，则x 1+x 2=b ,x 1x 2=c 因为b >0,c >0，可得x 1>0,x 2>0，又因为x 1,x 2,-1适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设x 1<x 2，可得x 1x 2=-1 2=1-1+x 2=2x 1 ，解得x 1=12,x 2=2，所以x 1+x 2=52,x 1x 2=1，所以b =52,c =1，则不等式x -b x -c ≤0，即为x -52x -1≤0，解得1<x ≤52，所以不等式的解集为1,52.故选：A .7已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN =2π3，则双曲线C 的离心率为()A.3B.7C.213D.13【答案】C【解析】如图，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以MN =F 1F 2 =2c (矩形的对角线相等)，所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y =bax ，由y =b a x ,x 2+y 2=c 2,解得x =a y =b ，或x =-a ,y =-b , 所以N a ,b ，M -a ,-b 或N -a ,-b ，M a ,b .不妨设N a ,b ，M -a , -b ，又A a ,0 ，所以AM =a +a 2+b 2=4a 2+b 2，AN =a -a 2+b 2=b .在△AMN 中，∠MAN =2π3，由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM AN ⋅cos 2π3，即4c 2=4a 2+b 2+b 2+4a 2+b 2×b ，则2b =4a 2+b 2，所以4b 2=4a 2+b 2，则b 2=43a 2，所以e =1+b 2a2=213.故选:C .8已知a =ln 1.2e ,b =e 0.2,c =1.2e 0.2，则有()A.a 0，则f x =e x -1x +1.当x >0时，有e x >1,1x +1<1，所以1x +1<1，所以，f (x )>0在0,+∞ 上恒成立，所以，f (x )在0,+∞ 上单调递增，所以，f (x )>f (0)=1-1=0，所以，f (0.2)>0，即e 0.2-ln1.2-1>0，所以a <b令g x =e x -x +1 ,x >0，则g x =e x -1在x >0时恒大于零，故g x 为增函数，所以x +1ex <1,x >0，而a =ln 1.2e =1+ln1.2>1，所以c <a ，所以c <a <b ，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4，则()A.函数f x -π4 为偶函数 B.曲线y =f x 对称轴为x =k π,k ∈ZC.f x 在区间π3,π2单调递增D.f x 的最小值为-2【答案】AC【解析】f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4=sin2x cos 3π4+sin 3π4cos2x +cos2x cos 3π4-sin2x sin3π4=-22sin2x +22cos2x -22cos2x -22sin2x =-2sin2x ，即f x =-2sin2x ，对于A ，f x -π4 =-2sin 2x -π2=2cos2x ，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，f x =-2sin2x 对称轴为2x =π2+k π,k ∈Z ⇒x =π4+k π2,k ∈Z ，故B 错误；对于C ，x ∈π3,π2 ,2x ∈2π3,π ，y =sin2x 单调递减，则f x =-2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，f x =-2sin2x ，则sin2x ∈-1,1 ，所以f x ∈-2,2 ，故D 错误；故选：AC10设z 为复数，则下列命题中正确的是()A.z 2=zz B.若z =(1-2i )2，则复平面内z对应的点位于第二象限C.z 2=z 2D.若z =1，则z +i 的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A ，设z =a +bi ，故z =a -bi ，则z 2=a 2+b 2，zz =(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2，故z 2=zz成立，故A 正确，对于B ，z =(1-2i )2=-4i -3，z =4i -3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知z 2=a 2+b 2，z 2=a 2+b 2+2abi ，当ab ≠0时，z 2≠z 2，故C 错误，对于D ，若z =1，则a 2+b 2=1，而z +i =a 2+(b +1)2=2b +2，易得当b =1时，z +i 最大，此时z +i =2，故D 正确.故选：ABD11已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =π3．将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC ，连结BD ．设二面角D -AC -B 的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D ABC 为正四面体，则θ=π3B.四面体D ABC 的体积最大值为1C.四面体D ABC 的表面积最大值为23+2D.当θ=2π3时，四面体D ABC 的外接球的半径为213【答案】BCD【解析】如图，取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则OB =OD ，OB ⊥AC ,OD ⊥AC ，∠BOC 为二面角D AC -B 的平面角，即∠BOC =θ．若D ABC 是正四面体，则BD =BC ≠BO ，△OBD 不是正三角形，θ≠π3，A 错；四面体D ABC 的体积最大时，BO ⊥平面ACD ，此时B 到平面ACD 的距离最大为BO =3，而S △ACD=34×22=3，所以V =13×3×3=1，B 正确；S △ABC =S △DAC =3，易得△BAD ≅△BCD ，S △BAD=S △BCD=12×22sin ∠BCD =2sin ∠BCD ，未折叠时BD =BD =23，折叠到B ,D 重合时，BD =0，中间存在一个位置，使得BD =22，则BC 2+D C 2=BD 2，∠BCD =π2，此时S △BAD=S △BCD=2sin ∠BCD 取得最大值2，所以四面体D ABC 的表面积最大值为23+2 ，C 正确；当θ=2π3时，如图，设M ,N 分别是△ACD 和△BAC 的外心，在平面AOD 内作PM ⊥OD ，作PN ⊥OB ，PM ∩PN =P ，则P 是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面OBD 与平面ABC 、平面D AC 垂直，即P ,N ,O ,M 四点共面，θ=2π3，则∠PON =π3，ON =13×32×2=33，PN =ON tan π3=33×3=1，PB =PN 2+BN 2=12+233 2=213为球半径，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12设集合M =x log 2x <1 ，N =x 2x -1<0 ，则M ∩N =．【答案】x 0<x <12【解析】因为log 2x <1=log 22，所以0<x <2，即M =x log 2x <1 =x 0<x <2 ，因为2x -1<0，解得x <12，所以N =x 2x -1<0 =x x <12，所以，M ∩N =x 0<x <12 .故答案为：x 0<x <12 13已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为.【答案】24【解析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，所以，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=a 1+a 2+a 3+a 4+q 4a 1+a 2+a 3+a 4 =S 41+q 4 ，则S 8-2S 4=S 4q 4-1 =6，则q 4>1，可得q >1，则S 4=6q 4-1，所以，a 9+a 10+a 11+a 12=q 8a 1+a 2+a 3+a 4 =S 4q 8=6q 8q 4-1=6q 4-1+1 2q 4-1=6q 4-1 2+1+2q 4-1 q 4+1=6q 4-1 +1q 4-1+2 ≥62q 4-1 ⋅1q 4-1+2 =24，当且仅当q 4-1=1q 4-1q >1 时，即当q =42时，等号成立，故a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为24.故答案为：2414已知F 为拋物线C :y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25AB的最小值为.【答案】10【解析】C :x 2=4y 的焦点为0,1 ，设直线AB 方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立直线与抛物线方程有x 2-4kx -4=0，则AB =y 1+y 2+2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4.又y =14x 2求导可得y =12x ，故直线AP 方程为y -y 1=12x 1x -x 1 .又y 1=14x 21，故AP :y =12x 1x -14x 21，同理BP :y =12x 2x -14x 22.联立y =12x 1x -14x 21y =12x 2x -14x 22可得12x 1-x 2 x =14x 21-x 22 ，解得x =x 1+x 22，代入可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，代入韦达定理可得P 2k ,-1 ，故PF =4k 2+4.故|PF |2+25AB=4k 2+4+254k 2+4≥24k 2+4 ×254k 2+4=10，当且仅当4k 2+4=254k 2+4，即k =±12时取等号.故答案为：102024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(2)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1抛物线y =12x 2的焦点坐标为()A.18,0B.12,0 C.0,18D.0,12【答案】D 【解析】由y =12x 2可得抛物线标准方程为：x 2=2y ，∴其焦点坐标为0,12 .故选：D .2二项式3x 2-1x 47的展开式中常数项为()A.-7B.-21C.7D.21【答案】A 【解析】二项式3x 2-1x47的通项公式为Tr +1=C r 7⋅3x 27-r⋅-1x4r=Cr 7⋅-1 r⋅x14-14r 3，令14-14r 3=0⇒r =1，所以常数项为C 17⋅-1 =-7，故选：A3已知集合A =x log 2x ≤1 ，B =y y =2x ,x ≤2 ，则()A.A ∪B =BB.A ∪B =AC.A ∩B =BD.A ∪(C R B )=R【答案】A【解析】由log 2x ≤1，则log 2x ≤log 22，所以0<x ≤2，所以A =x log 2x ≤1 =x 0<x ≤2 ，又B =y y =2x ,x ≤2 =y 0<y ≤4 ，所以A ⊆B ，则A ∪B =B ，A ∩B =A .故选：A ．4若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4 ，事件A =1,2 ，甲：事件B =Ω，乙：事件A ,B 相互独立，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若B =Ω，A ∩B =1,2 ，则P A ∩B =24=12，而P A =24=12，P B =1，所以P A P B =P A ∩B ，所以事件A ,B 相互独立，反过来，当B =1,3 ，A ∩B =1 ，此时P A ∩B =14，P A =P B =12，满足P A P B =P A ∩B ，事件A ,B 相互独立，所以不一定B =Ω，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5若函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，则实数m =()A.1B.-1C.12D.-12【答案】C【解析】由函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，可得f -1 =f 1 ，即ln e -1-1 +m =ln e -1 -m ，解之得m =12，则f x =ln e x -1 -12x (x ≠0)，f -x =ln e -x -1 +12x =ln e x -1 -x +12x =ln e x -1 -12x =f x故f x =ln e x -1 -12x 为偶函数，符合题意.故选：C6已知函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，若f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A.线段(不包含端点) B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分【答案】A【解析】因为函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，所以y =f (x )=b ⋅1-x 2a2(-a <x <a )，因为f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，所以有f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )，且有-a <s <a ,-a <s -t <a ,-a <s +t <a 成立，即-a <s <a ,-a <t <a 成立，由f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )⇒b ⋅1-s 2a 22=b ⋅1-(s -t )2a 2⋅b ⋅1-(s +t )2a 2，化简得：t 4=2a 2t 2+2s 2t 2⇒t 2(t 2-2a 2-2s 2)=0⇒t 2=0，或t 2-2a 2-2s 2=0，当t 2=0时，即t =0，因为-a <s <a ，所以平面上点(s ，t )的轨迹是线段(不包含端点)；当t 2-2a 2-2s 2=0时，即t 2=2a 2+2s 2，因为-a <t <a ，所以t 2<a 2，而2a 2+2s 2>a 2，所以t 2=2a 2+2s 2不成立，故选：A7若tan α+π4=-2，则sin α1-sin2α cos α-sin α=()A.65B.35C.-35D.-65【答案】C【解析】因为tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α=-2，解得tan α=3，所以，sin α1-sin2αcos α-sin α=sin αsin 2α+cos 2α-2sin αcos α cos α-sin α=sin αcos α-sin α 2cos α-sin α=sin αcos α-sin 2α=sin αcos α-sin 2αcos 2α+sin 2α=tan α-tan 2α1+tan 2α=3-91+9=-35.故选：C .8函数f x =2ln xx,x >0sin ωx +π6,-π≤x ≤0，若2f 2(x )-3f (x )+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为()A.103,4B.103,4 C.2,103D.2,103【答案】D【解析】由题知，2f 2x -3f x +1=0的实数解可转化为f (x )=12或f (x )=1的实数解，即y =f (x )与y =1或y =12的交点，当x >0时，f x =2ln xx ⇒f (x )=21-ln x x 2所以x ∈0,e 时，f (x )>0，f x 单调递增，x ∈e ,+∞ 时，f (x )<0，f x 单调递减，如图所示：所以x =e 时f x 有最大值：12<f (x )max =2e<1所以x >0时，由图可知y =f (x )与y =1无交点，即方程f (x )=1无解，y =f (x )与y =12有两个不同交点，即方程f (x )=12有2解当x <0时，因为ω>0，-π≤x ≤0，所以-ωπ+π6≤ωx +π6≤π6，令t =ωx +π6，则t ∈-ωπ+π6,π6则有y =sin t 且t ∈-ωπ+π6,π6，如图所示：因为x >0时，已有两个交点，所以只需保证y =sin t 与y =12及与y =1有四个交点即可，所以只需-19π6<-ωπ+π6≤-11π6，解得2≤ω<103．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z 1,z 2是关于x 的方程x 2+bx +1=0(-2<b <2,b ∈R )的两根，则下列说法中正确的是()A.z 1=z 2B.z 1z 2∈R C.z 1 =z 2 =1D.若b =1，则z 31=z 32=1【答案】ACD【解析】Δ=b 2-4<0，∴x =-b ±4-b 2i 2，不妨设z 1=-b 2+4-b 22i ，z 2=-b2-4-b 22i ，z 1=z 2，A 正确；z 1 =z 2 =-b 22+4-b 222=1，C 正确；z 1z 2=1，∴z 1z 2=z 21z 1z 2=z 21=b 2-22-b 4-b 22i ，b ≠0时，z 1z 2∉R ，B 错；b =1时，z 1=-12+32i ，z 2=-12-32i ，计算得z 21=-12-32i =z 2=z 1 ，z 22=z 1=z 2 ，z 31=z 1z 2=1，同理z 32=1，D 正确．故选：ACD ．10四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，P A 与底面垂直，P A =2，AB =1，动点M 在线段PC 上，则()A.不存在点M ，使得AC ⊥BMB.MB +MD 的最小值为303C.四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为5πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为255【答案】BD【解析】对于A ：连接BD ，且AC ∩BD =O ，如图所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以OM ⎳P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM ⊥AC ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BD ∩OM =O ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥BM ，所以A 错误；对于B ：将△PBC 和△PCD 所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，则MB +MD 的最小值为BD ，直角△PBC 斜边PC 上高为1×56，即306，直角△PCD 斜边PC 上高也为1×56，所以MB +MD 的最小值为303，所以B 正确；对于C ：易知四棱锥P -ABCD 的外接球直径为PC ，半径R =12PC =1222+12+12=62，表面积S =4πR 2=6π，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为AB ⎳CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ⎳平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,且P A ∩AD =A ,故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF ⊥CD ，因为PD ∩CD =D ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt △P AD 中，P A =2，AD =1，可得PD =5，所以由等面积得AF =255，即直线AB 到平面PCD 的距离等于255，所以D 正确，故选：BCD .11今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则()A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：P B 红∣A 黄 =P B 红A 黄 P A 黄=27×4727=47，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：P B 红 ∣A 红 =P A 红 B 红 P A 红 =P A 黄B 红 +P A 绿B 红 P A 红 =27×37+27×1247=1328，故B 错误；由题意可知，P A 红 =37,P A 黄 =27,P A 绿 =27,P B 红∣A 红 =37,P B 红∣A 黄 =47，P B 红∣A 绿 =12，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =P A 红 P B 红∣A 红 +P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄 +P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 =37×37+27×47+27×12=2449，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则P A 红∣B 红 =P A 红 ⋅P B 红∣A 红 P B 红=37×37×4924=38，P A 黄∣B 红 =P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄P B 红=27×47×4924=13，P A 绿∣B 红 =P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 P B 红 =27×12×4924=724，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点E 在△ABC 所在平面内，且CD =3CE -2CA ，若AC =xAB +yBE，则x +y =．【答案】11【解析】因为CD =3CE -2CA ，边BC 的中点为D ，所以12CB=3BE -BC +2AC ，因为12CB =3BE -3BC +2AC ，所以52BC =3BE +2AC ，所以52BC =52AC -AB =3BE +2AC ，所以5AC -5AB =6BE +4AC ，即5AB +6BE =AC ，因为AC =xAB +yBE ，所以x =5，y =6，故x +y =11.故答案为：1113已知圆锥母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【答案】①.63②.16327π【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线与底面所成的角为θ,θ∈0,π2 ，易知cos θ=r 2.圆锥的体积为V =13πr 2⋅4-r 2=43πcos 2θ⋅2sin θ=8π3cos 2θ⋅sin θ=8π31-sin 2θ sin θ令x =sin θ,x ∈0,1 ，则y =1-sin 2θ sin θ=-x 3+x ，y =-3x 2+1当y >0时，x ∈0,33，当y<0时，x ∈33,1 ，即函数y =-x 3+x 在0,33 上单调递增，在33,1上单调递减，即V max =8π333-33 3 =163π27，此时cos θ=1-323 =62.故答案为：62；163π2714已知双曲线C ：x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为E ，过F 2的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点(其中点A 在第一象限内)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则当F 1A ⊥AB 时，AF 1=；△ABF 1内切圆的半径为．【答案】①.7+1##1+7②.7-1##-1+7【解析】由双曲线方程知a =1,b =3,c =2，如下图所示：由F 1A ⊥AB ，则AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2=16，故AF 1 -AF 2 2+2AF 1 AF 2 =16，而AF 1 -AF 2 =2a =2，所以AF 1 AF 2 =6，故AF 2 2+2AF 2 -6=0，解得AF 2 =7-1，所以AF 1 =7+1，若G 为△ABF 1内切圆圆心且F 1A ⊥AB 可知，以直角边切点和G ,A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径r =12AF 1 +AB -BF 1 =12AF 1 +AF 2 +BF 2 -BF 1所以r =1227+BF 2 -BF 1 =1227-2 =7-1；故答案为：7+1，7-1；2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(3)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，x ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为()A.7B.7.5C.8D.6.5【答案】B【解析】依题意可得极差为10-3=7，平均数为163+5+x +8+9+10 =1635+x ，所以1635+x =7，解得x =7，所以中位线为7+82=7.5.故选：B .2已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =()A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,4【答案】A【解析】由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .故选：A .3已知向量a =(2,0)，b =sin α,32，若向量b 在向量a 上的投影向量c =12,0 ，则|a +b |=()A.3B.7C.3D.7【答案】B【解析】由已知可得，b 在a 上的投影向量为a ⋅b |a |⋅a |a |=2sin α2×2(2,0)=(sin α,0)，又b 在a 上的投影向量c =12,0 ，所以sin α=12，所以b =12,32，所以a +b =52,32 ，所以|a +b |=52 2+322=7.故选：B .4如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP ⊥AQ ，则PQ =()A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】设两圆锥的高OP =x ，OQ =y ，则AP =x 2+1，AQ =y 2+1，由AP ⊥AQ ，有AP 2+AQ 2=PQ 2，可得x 2+1+y 2+1=x +y 2，可得xy =1，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π×1×P A =2×π×1×QA ，可得P A =2QA ，则有x 2+1=2y 2+1，即x 2=4y 2+3，代入y =1x整理为x 4-3x 2-4=0，解得x =2(负值舍)，可得y =12，OP =x +y =2+12=52．故选：C ．5已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点，点P 满足QP=1,-3 ，记P 的轨迹为E ，则()A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线【答案】C【解析】设P x ,y ，由QP=1,-3 ，则Q x -1,y +3 ，由Q 在直线l :x +2y +1=0上，故x -1+2y +3 +1=0，化简得x +2y +6=0，即P 轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l 的距离d =6-112+22=5，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6已知x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 1+a 3的值为()A.-1B.1C.4D.-2【答案】C【解析】在x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，而x +1 x -1 5=x x -1 5+x -1 5，由二项式定理知x -1 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ，令5-r =2，解得r =3，令5-r =3，r =2，故a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0，同理令5-r =1，解得r =4，令5-r =0，解得r =5，故a 1=C 45(-1)4+C 55(-1)5=4，故a 1+a 3=4.故选：C7已知P 为抛物线x 2=4y 上一点，过P 作圆x 2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为()A.12B.23C.34D.78【答案】C【解析】如图所示：因为∠APB =2∠APC ，sin ∠APC =AC PC=1PC，设P t ,t 24，则PC 2=t 2+t 24-3 2=t 416-t 22+9=116t 2-4 2+8，当t 2=4时，PC 取得最小值22，此时∠APB 最大，cos ∠APB 最小，且cos ∠APB min =1-2sin 2∠APC =1-21222=34，故C 正确.故选：C8已知函数f x ,g x 的定义域为R ,g x 为g x 的导函数且f x +g x =3,f x -g 4-x =3，若g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是()A.f -1 =f -3B.f 1 +f 3 =65C.g 2 =3D.f 4 =3【答案】D【解析】对于D ，∵g x 为偶函数，则g x =g -x ，两边求导可得g x =-g -x ，则g x 为奇函数，则g 0 =0，令x =4，则f 4 -g 0 =3，f 4 =3，D 对；对于C ，令x =2，可得f 2 +g 2 =3f 2 -g 2 =3 ，则f 2 =3g 2 =0 ，C 错；对于B ，∵f x +g x =3，可得f 2+x +g 2+x =3，f x -g 4-x =3可得f 2-x -g 2+x =3，两式相加可得f 2+x +f 2-x =6，令x =1，即可得f 1 +f 3 =6，B 错；又∵f x +g x =3，则f x -4 +g x -4 =f x -4 -g 4-x =3，f x -g 4-x =3，可得f x =f x -4 ，所以f x 是以4为周期的函数，所以根据以上性质不能推出f -1 =f -3 ，A 不一定成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列结论正确的是()A.若a ab >b 2B.若x ∈R ，则x 2+2+1x 2+2的最小值为2C.若a +b =2，则a 2+b 2的最大值为2D.若x ∈(0,2)，则1x +12-x ≥2【答案】AD【解析】因为a 2-ab =a (a -b )>0，所以a 2>ab ，因为ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故A 正确；因为x 2+2+1x 2+2≥2的等号成立条件x 2+2=1x 2+2不成立，所以B 错误；因为a 2+b 22≥a +b 2 2=1，所以a 2+b 2≥2，故C 错误；因为1x +12-x =12(x +2-x )1x +12-x =122+2-x x +x 2-x ≥12(2+2)=2，当且仅当1x =12-x，即x =1时，等号成立，所以D 正确.故选：AD10若函数f x =2sin 2x ⋅log 2sin x +2cos 2x ⋅log 2cos x ，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图像关于直线x =π4对称C.f x 的最小值为-1D.f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z【答案】BCD【解析】由sin x >0,cos x >0得f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z .对于A ：当x ∈0,π2时，x +π∈π,32π 不在定义域内，故f x +π =f x 不成立，易知f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误；对于B ：又f π2-x =2cos 2x ⋅log 2cos x +2sin 2x ⋅log 2sin x =f x ，所以f x 的图像关于直线x =π4对称，所以选项B 正确；对于C ：因为f x =sin 2x ⋅log 2sin 2x +cos 2x ⋅log 2cos 2x ，设t =sin 2x ，所以函数转化为g t =t ⋅log 2t +1-t ⋅log 21-t ,t ∈0,1 ,g t =log 2t -log 21-t ，由g t >0得，12<t <1.g t <0得0<t <12.所以g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，故g (t )min =g 12=-1，即f (x )min =-1，故选项C 正确；对于D ：因为g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，由t =sin 2x ，令0<sin 2x <12得0<sin x <22，又f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，解得2k π<x <π4+2k π,k ∈Z ，因为t =sin 2x 在2k π,π4+2k π 上单调递增，所以f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z ，同理函数的递增区间为π4+2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，所以选项D 正确.故选：BCD .11已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n S n +1+S n +1=3，a 1=α0<α<1 ，则()A.当0<α<13-14时，a 2>a 1B.a 3>a 2C.数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减D.当α=34时，恒有nk =1S k -1 <54【答案】ACD【解析】由题意可得：S n +1=32S n +1，a 1=α，由S n +1=32S n +1可知：S n +1=1⇔S n =1，但S 1=α∈0,1 ，可知对任意的n ∈N *，都有S n ≠1，对于选项A ：若0<α<13-14，则a 2-a 1=S 2-2a 1=32α+1-2α=3-2α-4α22α+1=4α+1+13 13-14-α2α+1>0，即a 2>a 1，故A 正确；对于选项B ：a 3-a 2=S 3-2S 2+S 1=6α+32α+7-62α+1+α=α-1 4α2+32α+39 2α+1 2α+7<0，即a 3<a 2，故B 错误.对于选项C ：因为S n +1-1=-2S n -1 2S n +1，S n +1+32=3S n +32 2S n +1，则S n +1-1S n +1+32=-23⋅S n -1S n +32，且S 1-1S 1+32=α-1α+32<0，可知S n -1S n+32是等比数列，则S n -1S n +32=α-1α+32⋅-23n -1，设A =α-1α+32<0，t =232n -2，可得S 2n =3-3At 3+2At =3253+2At -1 ，S 2n -1=1+32At 1-At =521-At-32，因为At =A 232n -2，可知A 23 2n -2 为递增数列，所以数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为S n +1=32S n +1，S n +1-34=32S n +1-34=33-2S n 42S n +1，由S 1=α=34，可得S 2-34>0，即S 2>34，则S 2≤65，即34<S 2≤65；由34<S 2≤65，可得S 3-34>0，即S 3>34，则S 3<65，即34<S 3<65；以此类推，可得对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 1=α=34，又因为S n +1-1S n -1=22S n +1，则S n +1-1 ≤22α+1S n -1 =45S n -1 ，所以∑nk =1S k -1 ≤541-45 n <54，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在(1+ax )n (其中n ∈N *,a ≠0)的展开式中，x 的系数为-10，各项系数之和为-1，则n =.【答案】5【解析】由题意得(1+ax )n 的展开式中x 的系数为aC 1n =-10，即an =-10，令x =1，得各项系数之和为(1+a )n =-1，则n 为奇数，且1+a =-1，即得a =-2,n =5，故答案为：513已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别F 1，F 2，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P 为直线x =2b 上的任意一点，则∠F 1PF 2的最大值为.【答案】π6【解析】由题意有a =2，b =1，c =1，设直线x =2与x 轴的交点为Q ，设PQ =t ，有tan ∠PF 1Q =PQ F 1Q=t3，tan ∠PF 2Q =PQ F 2Q=t ，可得tan ∠F 1PF 2=tan ∠PF 2Q -∠PF 1Q =t -t31+t23=2t t 2+3=2t +3t ≤2t 23t =33，当且仅当t =3时取等号，可得∠F 1PF 2的最大值为π6.故答案为：π614已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，AB =23，BC =4，侧面P AB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P -ABCD 内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为.【答案】10-1【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O为四棱锥P-ABCD的内切球，底面ABCD为矩形，侧面P AB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，此圆为△PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面P AB⊥平面ABCD，交线为AB，PH⊂平面P AB，△P AB为正三角形，有PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，HN⊂平面ABCD，∴PH⊥HN，AB=23，BC=4，则有PH=3，HN=4，PN=5，则△PHN中，S△PHN=12×3×4=12r3+4+5，解得r=1.所以，四棱锥P-ABCD内切球半径为1，连接ON.∵PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PH，又CD⊥HN，PH,HN⊂平面PHN，PH∩HN=H，∴CD⊥平面PHN，∵ON⊂平面PHN，可得ON⊥CD，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又ON=OE2+EN2=10.所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为10-1.故答案为：10-12024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(4)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知双曲线的标准方程为x 2k -4+y 2k -5=1，则该双曲线的焦距是()A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】由双曲线方程可知a 2=k -4,b 2=5-k ，所以c 2=k -4+5-k =1，c =1，2c =2．故选：C2在等比数列a n 中，a 1+a x =82，a 3a x -2=81，前x 项和S x =121，则此数列的项数x 等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由已知条件可得a 1+a x =82a 3a x -2=a 1a x =81，解得a 1=1a x =81 或a 1=81a x =1 .设等比数列a n 的公比为q .①当a 1=1，a x =81时，由S x =a 1-a x q 1-q =1-81q1-q=121，解得q =3，∵a x =a 1q x -1=3x -1=81，解得x =5；②当a 1=81，a x =1时，由S x =a 1-a x q 1-q =81-q 1-q =121，解得q =13，∵a x =a 1q x -1=81×13x -1=35-x =1，解得x =5.综上所述，x =5.故选：B .3对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是()A.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的必要条件B.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件C.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的充分条件D.“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件【答案】B【解析】对于A ，若c =0，则由a >b ⇏ac 2>bc 2，∴“ac 2>bc 2”不是“a >b ”的必要条件，A 错．对于B ，a =b ⇒ac 2=bc 2，∴“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件，B 对，对于C ，若c =0，则由ac 2=bc 2，推不出a =b ，“ac 2=bc 2”不是“a =b ”的充分条件对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，即ac 2≥bc 2成立，此时不一定有a ≥b 成立，故“ac 2≥bc 2”不是“a ≥b ”的充分条件，D 错误，故选：B ．4已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【答案】D【解析】A选项：令平面ABCD为平面α，A1B1为直线m，B1C1为直线n，有：m∥α，n∥α，但m∩n=B1，A错误；B选项：令平面ABCD为平面β，令平面B1BCC1为平面α，令平面A1ABB1为平面γ，有：α⊥β，β⊥γ，而α⊥β，B错误；C选项：令平面ABCD为平面α，令平面A1ABB1为平面β，C1D1为直线m，有：m∥α，m∥β，则α∥β，而α⊥β，C错误；D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.故选：D5将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有()A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有C48C24C222!+C38C35C222!A33=2940.故选：D6若抛物线y2=4x与椭圆E:x2a2+y2a2-1=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为()A.2-12 B.3-12 C.2-1 D.3-1【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AF⊥x轴，c2=a2-a2-1=1，则c=1，则F1,0，当x=1时，y2=4×1，则y A=2，则A1,2，代入椭圆方程得12a2+22a2-1=1，结合a2-1>0，不妨令a>0；解得a=2+1，则其离心率e=ca=12+1=2-1，故选：C.7已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|P A |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是()A.-32,92B.-12,112C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【解析】如下图构建平面直角坐标系，且A -32,0 ，B 32,0 ，C 0,32，所以P (x ,y )在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为x +322+y 2=1，而PB =32-x ,-y ,PC =-x ,32-y ，故PB ⋅PC =x 2-32x +y 2-32y =x -34 2+y -34 2-34，综上，只需求出定点34,34 与圆x +322+y 2=1上点距离平方范围即可，而圆心A 与34,34 的距离d =34+32 2+34 2=32，故定点34,34与圆上点的距离范围为12,52，所以PB ⋅PC ∈-12,112.故选：B 8设a 、b 、c ∈0,1 满足a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则()A.a +c <2b ，ac b 2C.a +c >2b ，ac 2b ，ac >b 2【答案】A【解析】∵a 、b 、c ∈0,1 且a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则c =tan a =tan sin b ，先比较a +c =sin b +tan sin b 与2b 的大小关系，构造函数f x =sin x +tan sin x -2x ，其中0<x <1，则0<sin x <1，所以，cos1<cos sin x <1，则f x =cos x +cos xcos 2sin x -2=cos x -2 cos 2sin x +cos x cos 2sin x，令g x =cos x -1-12x 2 ，其中x ∈0,1 ，则g x =x -sin x ，令p x =x -sin x ，其中0<x <1，所以，p x =1-cos x >0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，故g x >g 0 =0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，则g x =cos x -1-12x 2 >0，即cos x >1-12x 2，因为x ∈0,1 ，则0<sin x <sin1，所以，cos sin x >1-12sin 2x =1-121-cos 2x =121+cos 2x ，所以，cos 2sin x >141+cos 2x 2，因为cos x -2<0，所以，cos x -2 cos 2sin x +cos x <14cos x -2 1+cos 2x 2+cos x=14cos 5x -2cos 4x +2cos 3x -4cos 2x +5cos x -2 =14cos x -1 3cos 2x +cos x +2 <0，所以，对任意的x ∈0,1 ，f x =cos x -2 cos 2sin x +cos xcos 2sin x <0，故函数f x 在0,1 上单调递减，因为b ∈0,1 ，则f b =sin b +tan sin b -2b <f 0 =0，故a +c <2b ，由基本不等式可得0<2ac ≤a +c <2b (a ≠c ，故取不了等号)，所以，ac <b 2，故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88、89、90、90、91、92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是()A.均值为90B.中位数为90C.方差为2D.第80百分位数为91【答案】ABD【解析】由题意可知，该组数据的均值为x =88+89+90+90+91+926=90，故A 正确；中位数为90+902=90，故B 正确；方差为s 2=1688-90 2+89-90 2+90-90 2×2+91-90 2+92-90 2 =53，故C 错误；因为6×80%=4.8，第80百分位数为91，故D 正确.故选：ABD .10设M ，N ，P 为函数f x =A sin ωx +φ 图象上三点，其中A >0，ω>0，ϕ <π2，已知M ，N 是函数f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2+2MN ⋅NP=0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是-12,0 ，则()A.A =2B.ω=π2C.φ=π4D.函数f x 在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ⋅QN <0【答案】BCD【解析】MP 2+2MN ⋅NP =MP 2-2NM ⋅NP =MP 2-2NM ⋅12NM =T 4 2+A 2 -T 22=A 2-3T 216=0，而S △MNP =AT 4=3，故A =3，T =4=2πω，ω=π2，A 错误、B 正确；-12⋅π2+φ=k π，φ=k π+π4(k ∈Z )，而ϕ <π2，故φ=π4，C 正确；显然，函数f x 的图象有一部分位于以MN 为直径的圆内，当Q 位于以MN 为直径的圆内时，QM⋅QN<0，D 正确，故选:BCD .11设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则()．A .f (a )=12B .f (x )=12成立C f (x +y )=2f (x )f (y )D .满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在复平面内，复数z =-12+32i 对应的向量为OA ，复数z +1对应的向量为OB ，那么向量AB 对应的复数是．。

大题强化训练及变式训2024届高三数学二轮复习大题强化训练及变式训练(新高考九省联考题型)(解析版)

2024届大题强化训练及变式训练（13）4(1)求b 的值；(2)求ACD 的周长的取值范围.变式：已知条件：①23sin 32cos 2CC =-从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在ABC 中，角(1)求角C 的大小；(2)若23c =，ABC ∠注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分大题强化训练及变式训练（13）-2024届高三数学二轮复习大题强化训练及变式训练（新高考九省联考题型）（解析版）2．如图，将边长为2的菱形ABDC沿其对角线BC对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边PBC所在平面的两侧，且PA=，PD=．设E是PA的中点．（1）证明：平面PBC⊥平面ABC；（2）求平面EBD与平面ABC夹角的正弦值．变式：已知矩形ABCD中，点E在边CD上，且2AD DE CE===．现将ADEV沿AE向上翻折，使点D到点P的位置，构成如图所示的四棱锥P ABCE-．（1）若点F在线段AP上，且//EF平面PBC，求AFFP的值；（2）若2PB=，求锐二面角P EC A--的余弦值．3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，随机移动n 次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，n 次移动结束后，质点到达的位置的数字记为X .（1）若2n =，求()0P X =;（2）若6n =，求X 的分布列和()E X 的值.变式：一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为12，试探讨下列问题：（1）若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；（2）记()P i 为()2,3,4,,2i i n =+ 次游走中恰有2次向右游走的概率，令()()()232Y P P P n =++++ .记()2,3,,n ξξ= 为不超过n 次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到n 次时也停止游走），此时一共游走的次数，ξ的数学期望为()E ξ.请比较()E ξ与2Y 的大小，并说明理由.4．已知函数()()23ln 40f x x ax x a =+->．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：4x x -<．5．已知双曲线2212:1y C x b -=经过椭圆2222:1x C y a +=的左、右焦点12,F F ，设12,C C 的离心率分别为12,e e ，且1262e e =．（1）求12,C C 的方程；（2）设P 为1C 上一点，且在第一象限内，若直线1PF 与2C 交于,A B 两点，直线2PF 与2C 交于,C D两点，设,AB CD 的中点分别为,M N ，记直线MN 的斜率为k ，当k 取最小值时，求点P 的坐标．变式：已知抛物线21:44C y x =-与双曲线22222:1(0)4x y C a a a-=>-相交于两点,,A B F 是2C 的右焦点，直线AF 分别交12,C C 于,C D 两点（不同于,A B 点），直线,BC BD 分别交x 轴于,P Q 两点.（1）求a 的取值范围；（2）记AQF 的面积为1,S CQP 的面积为2S ，当123S S =时，求a 的值.2024届大题强化训练及变式训练（13）4(1)求b 的值；(2)求ACD 的周长的取值范围.【答案】(1)3(2)(2【解析】（1）若选①，因为()tan sin cos 0C b A A ⋅-⋅=，由正弦定理可得()sin sin sin cos 0cos CB C A C A C⋅⋅=，显然sin 0C >，所以sin sin cos 0B C A C A -+⋅=，即()sin 3cos 0B C A ++=，所以sin 0B B -=，所以tan B =()0,πB ∈，所以π3B =，因为ABC 外接圆的半径1R =，所以2sin b R B ==若选②，因为()2cos cos 2sin sin tan C A C A A +=-⋅，所以()sin 2cos cos 2sin sin cos AC A C A A+=-⋅，即222cos cos cos 2sin sin sin C A A C A A +=-，所以222cos cos 2sin sin sin cos C A C A A A -=--，所以()2cos 1C A +=-，所以1cos 2B =，又()0,πB ∈，所以π3B =，因为ABC 外接圆的半径1R =，所以2sin b R B ==若选③，ABC 的面积为)2224a c b +-，则)2221sin 24S ac B a c b ==+-，由余弦定理可得2222cos a c b ac B =+-，所以1sin cos 22ac B ac B =，所以tan B =，又()0,πB ∈，所以π3B =，因为ABC 外接圆的半径1R =，所以2sin b R B ==（2）由题知2π3ADC ∠=，设CAD α∠=，03α<<，由正弦定理22πsin sin sin sin3AC AD CD ADC ACD CAD ====∠∠∠，所以2sin CD α=，π2sin 3AD α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π2sin 2sin 3ACD C a =++)3(απ-ππ2sin 2sin cos 2cos sin 33a a a=+-sin 2sin a a a ==)3(απ-，因为π03α<<，所以ππ2π333α<+<，所以πsin 123α⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以ACD C Î∈2⎤+【答案】(1)条件选择见解析，3C =；(2)4+.【解析】（1）选择条件①，22cos a b c B =+，在ABC 中，由余弦定理得222222222a c b a c b a b c b ac a+-+-=+⋅=+，整理得222a bc ab +-=，则2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,πC ∈，所以π3C =.选择条件②，2sin cos sin 2cos a A B bA C +=，于是sin cos sin cos cos a AB b A AC +=，在ABC 中，由正弦定理得，2sin cos sin sin coscos A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，则sin cossin cos cos A B B A C +，即()sin A B C +=，因为πA B C ++=，因此sin C C =，即tan C =()0,πC ∈，所以3C π=.232cos 2C C =-，在ABC 22(2cos 1)2cos 2C C C =--=-cos 2C C +=，则πsin 16C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πC ∈，即有ππ7π,666C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则ππ62C +=，所以π3C =.（2）由（1）知，π3C =，有2π3ABC BAC ∠+∠=，而BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点I ，即有π3ABI BAI ∠+∠=，于是2π3AIB ∠=，设ABI θ∠=，则π3BAI θ∠=-，且π03θ<<，在ABI △中，由正弦定理得，4π2πsin sin sin()sin33BI AI AB AIB θθ===∠-，所以)4sin π3(BI θ=-，4sin AI θ=，所以ABI △的周长为34sin(4si π)n θθ-+1sin )4sin 22θθθ=-+π2sin 4sin()3θθθ=++=++，由π03θ<<，得ππ2π333θ<+<，则当ππ32θ+=，即π6θ=时，ABI △的周长取得最大值4+，所以ABI △周长的最大值为4+2．如图，将边长为2的菱形ABDC 沿其对角线BC 对折，使得点A 、D 分别位于边长为2的等边PBC所在平面的两侧，且PA =，PD =．设E 是PA的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面ABC ；（2）求平面EBD 与平面ABC 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）217【分析】（1）取BC 的中点O ，根据题意，分别证得OP BC ⊥和OP OA ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OP ⊥平面ABC ，进而证得平面PBC ⊥平面ABC ．（2）以O 为原点，建立空间直角坐标系，根据题意，分别求得平面ABC 和EBD 得到法向量(0,0,1)m =和()n = ，结合向量的夹角公式，即可求解.【解析】（1）证明：取BC 的中点O ，连接OA 、OP ，如图所示．因为四边形ABDC 是边长为2的菱形，PBC 是边长为2的等边三角形，所以ABC 也是边长为2的等边三角形，在等边PBC 中，O 是BC 的中点，可得OP BC ⊥且OA OP ==又因为PA =222PA OA OP =+，所以OP OA ⊥，因为⋂=OA BC O ，且,OA BC ⊂平面ABC ，所以OP ⊥平面ABC ；又因为OP ⊂平面PBC ，故平面PBC ⊥平面ABC ．（2）由（1）知，OP BC ⊥，OP OA ⊥．因为O 是等边ABC 的BC 边中点，可得OA BC ⊥．所以，以O 为原点，分别以,,OA OB OP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则,(0,1,0)(0,1,0),A B C -，可得33,0,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因为DBC △是边长为2的等边三角形，故OD OP PD ===，所以60POD ∠=︒，且OD BC ⊥，又因为OP BC ⊥，OD OP O ⋂=，故BC ⊥平面DOP ，则D 在平面xOz 内，可得33,0,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以33,1,22BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，33,1,22BD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面ABC 的法向量为(,,)m a b c = ，显然可令(0,0,1)m =；设平面EBD 的法向量为(,,)n x y z = ，则3302233022n BE x y z n BE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=--+=⎪⎩，令2z =，则0x =，y =，即()n =，所以27cos ,7m m m n m n⋅==，设平面EBD 与平面ABC 的夹角为θ，则21s in 7θ=，故平面EBD 与平面ABC的夹角的正弦值为7．变式：已知矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，且22AD DE CE ===．现将ADE V 沿AE 向上翻折，使点D 到点P 的位置，构成如图所示的四棱锥P ABCE -．（1）若点F 在线段AP 上，且//EF 平面PBC ，求AFFP的值；（2）若142PB =，求锐二面角P EC A --的余弦值．【答案】（1）2（2）33【分析】1）点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，过点F 作//FG AB 交PB 于点G ，连接CG ，可证//CE AB ，进而可证四边形FGCE 为平行四边形，可证//EF 平面PBC ．（2）取AE 中点O ，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，用向量法可求锐二面角P EC A --的余弦值．【解析】（1）点F 为线段AP 上靠近点P 的三等分点，满足//EF 平面PBC ，证明如下：如图，过点F 作//FG AB 交PB 于点G ，连接CG ，则13FG AB =，又2DE CE =，13CE AB =，所以13FG CE AB ==．因为//CE AB ，所以//CE FG ，所以四边形FGCE 为平行四边形，有//EF CG ，又EF ⊄平面PBC ，CG ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ．此时有2AFFP= .（2）2DE CE ==ADE V 为等腰直角三角形，322AB =，2AE =，135CEA ∠= ，45BAE ∠= ．取AE 的中点O ，以O 为坐标原点，OE 为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设()0,,P m n ，()1,0,0E ，31,,022⎛⎫- ⎪⎝⎭C ，13,,022B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()0,,OP m n = ，13,,22PB m n ⎛⎫=---⎪⎝⎭，因为1OP =，2PB =，所以22222211314222m n m n ⎧+=⎪⎪⎛⎫⎨⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎩，解得0,1m n ==，则(0,0,1)P ，(1,0,1)PE =-，11,,022EC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面PEC 的法向量为(),,m a b c =，则011022m PE a c m EC a b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，不妨取1a =，则1,1b c ==，()1,1,1m =，设平面ECA 的一个法向量为()0,0,1n =，则cos ,||||3m n m n m n ⋅===⋅，则锐二面角P EC A --的的余弦值为33．3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，随机移动n 次，每次等可能地向左或向右移动一个单位长度，n 次移动结束后，质点到达的位置的数字记为X .（1）若2n =，求()0P X =;（2）若6n =，求X 的分布列和()E X 的值.【答案】（1）12（2）分布列见解析，0【分析】（1）由()12022c P X ==⨯可直接得到结果；（2）首先求出X 的所有可能取值以及对应的概率，再结合离散型随机变量的期望公式求答案即可.【解析】（1）()1210222c P X ===⨯；（2）设Y 表示6次移动中向左移动的次数，则()1166322Y B E Y ⎛⎫~=⨯= ⎪⎝⎭，，，质点最后到达的数字62X Y =-，则：()()6061160264P X P Y C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，()()6161341232P X P Y C ⎛⎫=====⎪⎝⎭，()()62611522264P X P Y C ⎛⎫=====⎪⎝⎭，()()6361503216P X P Y C ⎛⎫===== ⎪⎝⎭，()()16664P X P X =-===，()()34432P X P X =-===，()()152264P X P X =-===，X ∴的分布列为：X6-4-2-0246P16433215645161564332164()()()62620E X E Y E Y =-=-=.变式：一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为12，试探讨下列问题：（1）若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；（2）记()P i 为()2,3,4,,2i i n =+ 次游走中恰有2次向右游走的概率，令()()()232Y P P P n =++++ .记()2,3,,n ξξ= 为不超过n 次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到n 次时也停止游走），此时一共游走的次数，ξ的数学期望为()E ξ.请比较()E ξ与2Y 的大小，并说明理由.【答案】（1）12（2）()2E Y ξ≥，理由见解析【分析】（1）设出事件，求出相应概率，利用条件概率公式求出答案；（2）先计算出()()112i i i P i +-=，进一步得求和式()22122n ii i i Y +=-=∑，另一方面若2,3,,1k n =- 时停止游走，最后一次必然向右游走，可以得出()12k k P k ξ-==，从而()2311221222n n P n ξ--⎛⎫==-+++ ⎝⎭ ，结合错位相减法、等比数列求和公式得()P n ξ=的表达式，进一步结合期望公式得()()2112122n kn k k k n E ξ--=-=+∑，将()E ξ与2Y 作差即可比较大小.【解析】（1）设事件n A 表示共有()0,1,2,3,4n n =次向右游走，事件B 表示第二次向左游走，则2BA 表示一共向右游走2次，且第二次向左游走，则从剩余的三次选择两次向右游走，故()22321113C 22216P BA =⨯⨯=，2A 表示一共向右游走2次，故()22422113C 228P A =⨯=，则()()()2223116328P BA P B A P A ===.（2）根据题意可知()()2212111C 222i i ii i P i -+-⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()22122112222322222n n i ii i i i i i Y P P P n +++==--=++++==∑∑ .若2,3,,1k n =- ，最后一次必然向右游走，故()2111111C 2222k k k k P k ξ---⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2311221222n n P n ξ--⎛⎫==-+++ ⎪⎝⎭ ，记231122222n n n S --=+++ ①.3411222222n n n S -=+++ ②.两式相减得2311111112214212222222212n n n n n n n n nS ----=+++-=-=-- ，112n n n S -∴=-，()111122n n n nP n ξ--∴==-+=.所以()()()()211122122n n kn k k k k n E kP k nP n ξξξ---==-==+==+∑∑；()()()()()()()221211122211112122222222n n i n i n n n n k i k k i i n n n n n n n n E Y ξ-+--++==---+++-=+-=--∑∑()()()()()()()()()1222121212112022222n n n n n n n n n n n n n n n ++++++++-+++-=-==≥，故()2E Y ξ≥.4．已知函数()()23ln 40f x x ax x a =+->．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当12a =时，若方程()f x b =有三个不相等的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，证明：314x x -<．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）求导，分0∆≤和0∆>两种情况，结合导数符号判断函数单调性；（2）根据题意分析可知：()f x 在()()0,1,3,+∞内单调递增，在()1,3内单调递减，123013x x x <<<<<，利用极值点偏离证明122x x +>和236x x +<，即可得结果.【解析】（1）由题意可知：()f x 的定义域为()0,∞+，()2324324ax x f x ax x x-+'=+-=，且0a >，令()0f x '=，可得22430ax x -+=，当01624a =-≤∆，即23a ≥时，可知22430ax x -+≥在()0,∞+内恒成立，即()0f x '≥在()0,∞+内恒成立，所以()f x 在()0,∞+内单调递增；当01624a =->∆，即023a <<时，由22430ax x -+=解得12462x a-=或222x a +=，由1212230,02x x x x a a+=>=>可知120x x <<，若()()120,,x x x ∞∈⋃+，()0f x ¢>；若()12,x x x ∈，()0f x '<；所以()f x 在()()120,,,x x +∞内单调递增，在()12,x x 内单调递减；综上所述：当23a ≥时，()f x 在()0,∞+内单调递增；当023a <<时，()f x 在2462460,,,22a a ⎛⎫⎛⎫++∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭内单调递增，在22,22a a ⎛+ ⎝⎭内单调递减.（2）当12a =时，可得()213ln 42f x x x x =+-，()34f x x x +'=-，由（1）可知：()f x 在()()0,1,3,+∞内单调递增，在()1,3内单调递减，由题意可得：123013x x x <<<<<，因为()()()123f x f x f x b ===，令()()()2,01g x f x f x x =--<<，则()()()()()233612024242x x x x g x f x f x x x x ⎛⎫+-+-- ⎪--⎛⎫'''=+-=+=> ⎪-⎝⎭⎭⎝，可知()g x 在()0,1内单调递增，则()()10g x g <=，可得()()2f x f x <-在()0,1内恒成立，因为101x <<，则()()()1212f x f x f x =<-，且12122,13x x <-<<<，()f x 在()1,3内单调递减，则122x x -<，即122x x +>；令()()()6,13h x f x f x x =--<<，则()()()()()233636064646x x x x g x f x f x x x x ⎛⎫+-+-- ⎪--⎛⎫'''=+-=+=> ⎪-⎝⎭⎭⎝，可知()h x 在()1,3内单调递增，则()()30h x h <=，可得()()6h x h x <-在()1,3内恒成立，因为213x <<，则()()()2326f x f x f x =<-，且23365,3x x <-<>，()f x 在()3,+∞内单调递增，则236x x ->，即236x x +<；由【解析】（1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，导函数11()'-=-=axf x a x x，①当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，令1()0f x a x ¢=-=，则1x a=，∴当10x a <<时，()0f x '>，函数()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当1x a >时，()0f x '<，函数()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；（2）由（1）知，方程ln 0x ax -=的两个不等的正实根12,x x ，即1122ln ,ln x ax x ax ==，亦即()2121ln ln x x a x x -=-，从而2121ln ln x x a x x -=-，设21x t x =，又1202x x <<，即2t >，要证20x ->，即证2128x x <，只需证122ln x x <，即证123ln 22ax ax +<，即证()2123ln 2a x x ->，即证()212121ln ln 23ln2x x x x x x -->-，即证1222112ln 3ln 2x x x x x x -⋅>-，即证22121121ln 3ln21x x xx x x -⋅>-，即证21ln 3ln 21t t t -⋅>-，令()()21ln 21t g t t t t -=>-，则()()()212ln 3,21t t t g t t t +--=>-'设()()12ln 3,2F t t t t t =+-->，则()()()222111120t t F t t t t +-=--=>'则()F t 在()2,+∞上单调递增，有()()32ln 202F t F >=->，于是()0g t '>，即有()g t 在()2,+∞上单调递增，因此()()23ln2g t g >=，即21ln 3ln21t t t -⋅>，所以2128x x <成立，即20x ->．5．已知双曲线2212:1y C xb -=经过椭圆2222:1x C y a +=的左、右焦点12,F F ，设12,C C 的离心率分别为12,e e ，且122e e =．（1）求12,C C 的方程；（2）设P 为1C 上一点，且在第一象限内，若直线1PF 与2C 交于,A B 两点，直线2PF 与2C 交于,C D两点，设,AB CD 的中点分别为,M N ，记直线MN 的斜率为k ，当k 取最小值时，求点P 的坐标．【答案】（1）1C 的方程为2221,2y x C -=的方程为2212xy +=（2）)P 【解析】（1）依题意可得211a -=，得22a =，由1262e e =，得222212211312b a e e a +-=⋅=，解得22b =，故1C 的方程为2221,2y x C -=的方程为2212x y +=．（2）易知()()121,0,1,0F F -，设()00,P x y ，直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，则200012122000,,111y y y k k k k x x x ===+--，()00,P x y在221:12y C x -=，即有220012y x -=，可得20122021y k k x ==-为定值．设直线1PF 的方程为：()11y k x =+，联立2212x y +=可得()()2222111214210,Δ0k x k x k +++-=>恒成立，设()()1122,,,A x y B x y ，则有211221421k x x k -+=+，可求得21122112,2121k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，设直线2PF 的方程为：()()()233441,,,,y k x C x y D x y =-，同理可得22222222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则()()()()122222122112222222121221221221212121222212212121k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=-=-++++++()()()()()()1212121222222221212121212212182822k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++=-=-⎡⎤++++-⎣⎦由122k k =可得：()()122125242k k k k k +=-++，点P 在第一象限内，故210k k >>，()121255324242k k k k k =-≥=-+++当且仅当()1212242k k k k=++，即12k k+=时取等号，而12k k +>=，故等号可以取到．即当k 取最小值时，12k k +=122k k=，可解得121,1k k =-=+，故1PF 的方程为：)()211,y x PF =-+的方程为：)()11y x =+-，联立可解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩)P．说明：第（2）问中未说明能取到最小值扣1分，另外可以分别设直线方程11x t y =-和21x t y =+求解，此时：121222221122221,,,,22222t t M N t t t t t t ⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()()()12121222212122528412t t t t t t k t t t t +++=-=-++++也可以直接通过()00,P x y 的横纵坐标代换来求解，此时：()()()()()()2200000022222222000000001122,,,12121212y x y x y y M N x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎪ ⎪++++-+-+⎝⎭⎝⎭()2222000000000022222200000000214114522422242243x x y x y x y x x y k y x y y x y x y -++=-⋅=-⋅=-⋅+++++都可以根据相应步骤给分．变式：已知抛物线21:44C y x =-与双曲线22222:1(0)4x y C a a a-=>-相交于两点,,A B F 是2C 的右焦点，直线AF 分别交12,C C 于,C D 两点（不同于,A B 点），直线,BC BD 分别交x 轴于,P Q 两点.（1）求a 的取值范围；（2）记AQF 的面积为1,S CQP 的面积为2S ，当123S S =时，求a 的值.【答案】（1）())11,2a ∈-⋃a =【解析】（1）由双曲线方程222214x y a a -=-，则22040a a ⎧>⎨->⎩，得到()0,2a ∈，联立㘯物线与双曲线方程222221444x y a a y x ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩，得到()2224440a x a x a --+=，，记()()()()2224224422f x a x a x a a x a a x a ⎡⎤⎡⎤=--+=+---⎣⎦⎣⎦，可知()0f x =有两个根22aa +和22a a -，其中212a a <+，则212a a>-，解得()1,2a ∈.又直线AF 分别交12,C C 于,C D （不同于,A B 点），即,,A B F 三点不共线，当2x =时，代入抛物线方程得到()2,2A ，将()2,2A 代入双曲线方程得到224414a a-=-，解得26a =-故1a =-.综上，())11,2a ∈⋃（2）由()()1122,,,A x y C x y 是直线AF 与抛物线21:44C y x =-的两个交点，显然直线AF 不垂直y 轴，点()2,0F ，故设直线AF 的方程为2x my =+，由2244x my y x =+⎧⎨=-⎩消去x 并整理得2440y my --=，所以124y y =-为定值.设()11,B x y -，直线BC 的斜率21212221212144444y y y y y y x x y y ++==++---，方程为()11214y y x x y y +=--，令0y =，得点P 的横坐标()2121112440444P y y y y y y x -++=+==，设()33,D x y ，由2222214x my x ya a =+⎧⎪⎨-=⎪-⎩消去x 得()()()2222222244440m m a a y m a y a --+-+-=，()()()()()2222222222222222240Δ1644444140m m a a m a am m a a a m a ⎧--≠⎪⎨=-----=+->⎪⎩，()()222131322222222444,44m a a y y y y m m a am m a a ---+==----，而直线BD 的方程为()311131y y y y x x x x ++=--，依题意0m ≠，令0y =，得点Q 的横坐标()()()13113113113131Q y x x y x x x y y x x y y y y --++=+=++133113y x y x y y +=+()()()1331131313132222y my y my my y y y y y y y +++++==++()()()2222222222222222248444444m a m a m m a a m m a a m a m m a a ---+----=----()2244122a a --==-，因此22112,22QF a PQ a =-=.联立抛物线与双曲线方程222221444x y a a y x ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩，得到()2224440a x a x a --+=，解得点A 的坐标2,2a a ⎛ -⎝，由122144,y y y y -=-==.根据123S S =，则1212312A CQF y S S PQ y⋅==⋅，代入得到2122122312a y a y ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=⋅，即()22121243a y a y y -⋅=⋅，化简得()()()222144122a a a a a+--⋅=-解得34a =，故a =。

高三数学强化训练卷2与答案

高三数学强化训练卷2高班姓名得分一选择题：1.（安徽卷）设0a >；对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<；下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值 2.（北京卷）函数y =1+cos x 的图象( )（A ）关于x 轴对称（B ）关于y 轴对称（C ）关于原点对称（D ）关于直线x =2π对称 3.（福建卷）已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2；则ϖ的最小值等于( )A.32B.23C.2D.3 4.（湖南卷）设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心；若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值4π；则)(x f 的最小正周期是( ) A ．2π B. π C.2π D. 4π 5.（江苏卷）已知R a ∈；函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数；则a ＝( )（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 6.（安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移；平移后的图象如图所示；则平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-7.（江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像；只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )（A ）向左平移6π个单位长度；再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（B ）向右平移6π个单位长度；再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度；再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度；再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）8.（辽宁卷）已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是( )(A)[]1,1-(B) ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C) ⎡-⎢⎣⎦(D) 1,⎡-⎢⎣⎦9.（全国卷I ）函数()tan 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调增区间为( ) A ．,,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．()(),1,k k k Z ππ+∈C ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ D ．3,,44k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭10.（天津卷）已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数；0≠a ；R x ∈）在4π=x 处取得最小值；则函数)43(x f y -=π是（） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称二、填空题11.（福建卷）已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-；则ω的最小值是＿＿＿＿。

高考数学强化复习训练精选题及答案

高三数学强化训练（1）1. 若集合M=｛y | y =x -3｝，P=｛y | y =33-x ｝，则M∩P=A ｛y | y >1｝B ｛y | y ≥1｝C ｛y | y >0｝D ｛y | y ≥0｝2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：A ．0a C ．1a <-D ．1a > 3. 设命题甲:0122>++ax ax 的解集是实数集R;命题乙:10<<a ,则命题甲是命题乙成立的A . 充分非必要条件 B.必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件4. 函数f(x)=⎩⎨⎧∈-∈,,,,M x x P x x 其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f(P)={y|y=f(x),x ∈P}，f(M)={y|y=f(x),x ∈M}.给出下列四个判断：①若P∩M=∅，则f(P)∩f(M)=∅； ②若P∩M≠∅，则f(P)∩f(M) ≠∅；③若P ∪M=R ，则f(P)∪f(M)=R ； ④若P ∪M≠R ，则f(P) ∪f(M)≠R.其中正确判断有A 0个B 1个C 2个D 4个5. 已知全集U {}5,4,3,2,1=，A {}3,1=，B {}4,3,2=，那么=⋃)(B C A U ___. 6. 设二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，若)()(21x f x f =（其中21x x ≠），则)2(21x x f +等于 _____. 022>++bx ax 的解集为)31,21(-，求b a +的值8. 已知集合A {}0652=+-=x x x ，B {}01=+mx x ，且A B A =⋃，求实数m 的值组成的集合。

参考答案(一)CBBB. {}5,3,1, ab ac 442- 7. 由题意知方程022=++bx ax 的两根为31,2121=-=x x ，又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+a x x a b x x 22121，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-aa b 231213121，解得⎩⎨⎧-=-=212b a ， 14-=+∴b a 8.{}{}A B A B A x x x A ⊆∴=⋃==+-=,,3,20652 ① A B B m ⊆Φ==,,0时；② 0≠m 时，由mx mx 1,01-==+得。

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高三数学强化训练（理尖3）
命题人：邓新如刘文平审题人：付兴文做题人:刘文平命题时间：2010.3.18 班级姓名得分一选择题
1.从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）
A ．
9
5 B ．
9
4 C ．
21
11 D ．
21
10 2.从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）
A ．
12513 B ．12516 C ．12518 D ．125
19 3.设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子，每盒放一球，并且恰好有两个球的编号数与盒子的编号数相同，则这样的投放方法总数为（）
A. 20
B. 30
C. 60
D. 120
4、（2009江西师大附中等五所重点名校4月联考）将1、2、3、…、9这九个数字填在图中的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每一列从上到下依次增大，当3、4固定在图中的位置时，填写空格的办法有（） A ．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种
A
5.
若
与
的展开式中含
的系数相等，
则实数m 的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
6.若
，且
，则
，等于（） A. 81 B. 27 C. 243
D. 729 二填空题
7、n n n 2n 1n C 1
n 1)1(C 31C 211+-+-+-
=__________。

8、如果一个三位正整数形如“321a a a ”满足2321a a a a <<且，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为___ 596 。

9. 20、若2
3
4
5
6
161520156(21)x x x x x x x N x -+-+-+∈≤且的值能被5整除，则x 的可取值的个数有__ 5 _个。

三解答题
10 1、（2009黄冈中学2月月考）一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈. (1)当1
2
p q ==时，求S 6≠2的概率； (2)当p =
31，q =3
2
时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.解：(1)∵先求6S =2的概率，则在6次变化中，出现“○”有4次，出现“ ×”有2次.
故6S =2的概率为.6415)2
1(·
)2
1
(2
4
4
6=C ∴6S ≠2的概率为P 1=1-64
496415=. (2)当82S =时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S i ≥0(i =1,2,3,4), 若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；
若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次.
故此时的概率为P=()
783
5353638038303131=⨯=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+C C (或
218780)。