Z变换
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Z变换
z 1
4.左边序列，x lim z 1 1X z
z 1
使用条件： 极点在单位圆外 z=1处只允许有 一阶极点
5.双边序列，x 与 x 无法由X(z)简单确定。
1 z 1 z 2 ，a) z 2 b) z 1 例7：⑴ X z 1 2 1 z 1 2 z
§8.3 Z变换的基本性质 n x n 3 X z [例3]：①
左移：
右移：
z 1 xn 1 X z z z 3 1 3 z 3 z 3 1 1 1 x n 1 X z z 1 z 3 1 3 z 3 z 3 z
z 1n u n z z 解： Z u n ① z 1 Z z 1 z 1 z 2 z cos 0 ② Z cosn 0 u n 2 z 2 z cos 0 1
z z cos 0 n z Z cosn 0 un 2 z z 2 cos 0 1
z Y z 1 3z 2 z 2 z 1 1 z z2 z z 1 1 1 1 z 2z 1 1 z 2 z 1 1 z2 z2 Y z 1 3z 1 2 z 2 1 z 1 1 2 z 1 z3 z2 1 2z 6z 6z 1 z 3z 2z 1 1 z z 1 z 2 z 3 y n (2 62n 6 n )u (n) 3
xn un X z xn mun m z m X z
[例4]：已知 y n 3 y n 1 2 y n 2 xn xn 1，且 x n 3n u n ， 1 1, y 2 1 y Y 。求单边Z变换 z 和 y n n 0 解： z 3z 1 Y z zy 1 2 z 2 Y z zy 1 z 2 y 2 Y
4.左边序列，x lim z 1 1X z
z 1
使用条件： 极点在单位圆外 z=1处只允许有 一阶极点
5.双边序列，x 与 x 无法由X(z)简单确定。
1 z 1 z 2 ，a) z 2 b) z 1 例7：⑴ X z 1 2 1 z 1 2 z
§8.3 Z变换的基本性质 n x n 3 X z [例3]：①
左移：
右移：
z 1 xn 1 X z z z 3 1 3 z 3 z 3 1 1 1 x n 1 X z z 1 z 3 1 3 z 3 z 3 z
z 1n u n z z 解： Z u n ① z 1 Z z 1 z 1 z 2 z cos 0 ② Z cosn 0 u n 2 z 2 z cos 0 1
z z cos 0 n z Z cosn 0 un 2 z z 2 cos 0 1
z Y z 1 3z 2 z 2 z 1 1 z z2 z z 1 1 1 1 z 2z 1 1 z 2 z 1 1 z2 z2 Y z 1 3z 1 2 z 2 1 z 1 1 2 z 1 z3 z2 1 2z 6z 6z 1 z 3z 2z 1 1 z z 1 z 2 z 3 y n (2 62n 6 n )u (n) 3
xn un X z xn mun m z m X z
[例4]：已知 y n 3 y n 1 2 y n 2 xn xn 1，且 x n 3n u n ， 1 1, y 2 1 y Y 。求单边Z变换 z 和 y n n 0 解： z 3z 1 Y z zy 1 2 z 2 Y z zy 1 z 2 y 2 Y
Z变换
但是，一个离散函数f*(t)所对应的连续函数却不是 唯一的，而是有无穷多个。从这个意义上来说，连 续时间函数x (t)与相应的离散时间函数x*(t)具有相 同的z变换，即
Z[ f (t)] Z[ f * (t)] F (z) f (kT)z k k 0
8.4.2 Z变换方法
求离散函数的方法有很多，本书介绍其中三 种。
z z esT
]
例8-5 已知系统传递函数为 F(s) 1 ，应 s(s 1)
用留数计算法求F（z）。
解：F(s)的极点为单极点
s1 0, s2 1
X (z)
2 i 1
Re s[F (s) s si
z z esT
]
Re s[ 1
z ] Re s [ 1
因此可直接写出f *(t)的脉冲序列表达式 f *(t) fk (t kT) k 0
上式就是我们要求的通过z反变换得到的离散
信号f *(t) 。
例8-7：已知 F(z) 2z 2 0.5z ，试用幂级数法求 F(z)的z反变换。 z 2 0.5z 0.5
解：用综合除法得到
z]
ssi 0 s(s 1) z eTs ss2 1 s(s 1) z eTs
lim [ 1 s0 s(s 1)
s
z
z eTs
]
lim [ 1 s1 s(s 1)
(s
1)
z
z eTs
]
z
z
z(1 eT )
z 1 z eT (z 1)( z eT )
等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 eaT z 取代原
算子z。
Z[ f (t)] Z[ f * (t)] F (z) f (kT)z k k 0
8.4.2 Z变换方法
求离散函数的方法有很多，本书介绍其中三 种。
z z esT
]
例8-5 已知系统传递函数为 F(s) 1 ，应 s(s 1)
用留数计算法求F（z）。
解：F(s)的极点为单极点
s1 0, s2 1
X (z)
2 i 1
Re s[F (s) s si
z z esT
]
Re s[ 1
z ] Re s [ 1
因此可直接写出f *(t)的脉冲序列表达式 f *(t) fk (t kT) k 0
上式就是我们要求的通过z反变换得到的离散
信号f *(t) 。
例8-7：已知 F(z) 2z 2 0.5z ，试用幂级数法求 F(z)的z反变换。 z 2 0.5z 0.5
解：用综合除法得到
z]
ssi 0 s(s 1) z eTs ss2 1 s(s 1) z eTs
lim [ 1 s0 s(s 1)
s
z
z eTs
]
lim [ 1 s1 s(s 1)
(s
1)
z
z eTs
]
z
z
z(1 eT )
z 1 z eT (z 1)( z eT )
等于在x(t)的Z变换表达式X(z)中，以 eaT z 取代原
算子z。
Z变换理论
i 1
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上 乘以z-k,算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延 迟k个周期。
10 z 10 z F ( z) z 2 z 1
②
③
f * (t ) 10 2n 10 10(2n 1)
第七章线性离散系统的分析与校正
能源与动力学院
Z 变换
3.留数法 （反演积分法） 1 f (nT ) F ( Z ) Z n1dz Re s[ F ( Z ) Z n 1 ]z zi 2j c 函数F(z)zn-1在极点Zi处的留数
n *
当F(S)具有一阶极点S=P1时,其留数为
z R1 lim ( s p1 ) F ( s) s p1 z e piT
当F(S)具有q阶重复极点时,其留数为
1 d q 1 z q R lim (s p1 ) F (s) s p1 dsq 1 (q 1)! z e piT
能源与动力学院
第七章线性离散系统的分析与校正
Z 变换
例 求 解:
cos t 的Z变换
s s F ( s) 2 2 s ( s j )(s j )
s z 1 z R1 lim ( s j ) sT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e jT s z 1 z R2 lim ( s j ) sT jT s j ( s j )(s j ) z e 2 z e
第9章Z变换
为： z 2 2 z cos w 0 1
6）正弦序列的 Z 变换 同样的方法：
1 sin( w 0 n ) 的 Z 变换为 2 j z e z sin w 0 ( z
jw 0
z ze
jw 0
)
，
为： z 2 2 z cos w 0 1
9.3 Z变换的基本性质
1、线性
做长除有：
X ( z ) z 1 2 z 2 nz n
所以有： x ( n ) nu ( n ) 可见，长除法是将 Z 变换分解成一个累加序列 然后总结规律。
2、部分分式展开法
这一方法同拉氏反变换中的方法基本相同 例：求
X ( z)
X ( z)
z2
z2 z 2 1.5 z 0.5 的逆变换
9.2 Z变换
1、Z变换的引出
从采样信号的拉氏变换出发：
X (s)
0
x ( t ) ( nT s )e st dt
，其中，T s 为采样间隔。
于是有：
X (s)
x ( n ) e snt s
n0
如果令 z
X (z)
e st s
，则： ，当采样间隔取 1 时，z
介绍了Z变换的收敛域的确定方法 在逆Z变换的方法中，我们有选择地介绍 了长除法和部分分式法，其中部分分式 法的过程同拉氏变换中的部分分式法是 相同的。 最后我们介绍了拉氏变换的S空间同Z变 换的Z空间之间的映射关系，它们之间是 一种典型的复变函数关系。
N N
，
等比无穷序列要收敛，要求后项与前项的比值的 模必须小于 1，即要求 | z | 1 ，有：
z变换
半径和以|z2|为半径的两个圆之间的环状区域。
(5) 不同序列的双边Z变换可能相同，即序列与其双边Z变换不是 一一对应的。序列的双边Z变换连同收敛域一起与序列才是一 一对应的。
第 4 章 Z变换
ZT的ROC及其零极点
(1) ROC不包含任何极点； (2) 右边序列ZT的ROC 是以模最大的有限极点的模为半径的圆 外区域（不包括圆周）。
z
1
z
1
α<|z|<∞
f (k ) F ( z )
f (0) lim F ( z )
第 4 章 Z变换
4.3 Z 逆 变 换
4.3.1 双边Z逆变换的定义
1 k 1 f (k ) F ( z ) z dz C 2j
第 4 章 Z变换
4.3.2 双边Z逆变换的计算
(k m) z
k
z
m
第 4 章 Z变换 (3) f (k ) u (k ).
F ( z)
(4) f (k ) u(k 1).
k
u (k ) z
k
z z 1
k
|z|>1
F ( z)
k
[u(k 1)]z a u (k ) z
第 4 章 Z变换 3. 序列乘ak(Z域尺度变换)
若f (k ) F ( z), a z , 则
z a f (k ) F a
k
aa z a
a0
式中，a为常数（实数、虚数、复数），
第 4 章 Z变换 4. 序列域卷积 若
f1 (k ) F1 ( z ) f 2 (k ) F2 ( z )
7.4 z变换
Tz z z 1 2 2 Z[ x( t T ) x( t )] Z[2Tt T ] 2T T T z 2 ( z 1) z 1 ( z 1)2
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
2
对上式两边取z变换
而
Z[ x(t T )] z[ X ( z ) x(0)] zX ( z )
2
z 1 ( z 1) X ( z ) T z ( z 1)2
k 0
两式相减，
x[(k 1)T ] x(kT ) z k ( z 1) X ( z ) zx(0)
k 0
两边取z->1的极限， lim ( z 1) X ( z ) zx (0) lim( z 1) X ( z ) x (0) z 1 z 1
1 2
z 1 1
3
x1 (t ) 1(t )
采样
x ( t ) 1( t ) ( t kT )
* 1 k 0 * x2 ( t ) ( t kT ) k 0
x2 ( t ) ( t kT )
k 0
由该例可知，在z变换中只考虑时域函数在采样时刻的信号值， 单位阶跃函数和单位脉冲序列函数在采样时刻具有相同特性， 其z变换结果相同。 相同的z变换X(z)对应于相同的采样函数x*(t)，但是不一定 对应于相同的连续函数x(t)。
z z
17
6、终值定理
x( ) lim( z 1) X ( z ) lim(1 z 1 ) X ( z )
z 1 z 1
证明：
X ( z ) x( kT ) z k
k 0
Z x(t T ) x(k 1)T z k z[ X ( z ) x(0)]
z变换公式
z变换公式在信号处理领域中，z变换是一种将离散时间序列转换为复频域的工具。
它在数字信号处理、控制系统分析和通信工程等领域中广泛应用。
本文将详细介绍z变换的概念、特性以及常见的z变换公式。
一、z变换的概念z变换是对离散时间信号进行频域分析的一种方法。
它类似于傅里叶变换，但傅里叶变换只适用于连续时间信号，而z变换适用于离散时间信号。
通过将离散时间序列表示为z的幂级数形式，可以将离散时间信号在复频域中进行表示和分析。
z变换的定义如下：X(z) = Z{x(n)} = ∑[ x(n) * z^(-n)] （1）其中，x(n)是离散时间序列，X(z)是x(n)的z变换。
二、z变换的特性与傅里叶变换类似，z变换也具有线性性、时移性、共轭性和卷积性质。
下面对每个特性进行详细讨论。
1. 线性性z变换具有线性性质，即对于任意常数a和b以及离散时间序列x1(n)和x2(n)，有以下公式成立：Z{a * x1(n) + b * x2(n)} = a * X1(z) + b * X2(z) （2）其中，X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的z变换。
2. 时移性z变换具有时移性质，即对于离散时间序列x(n - k)，其z变换为Z{x(n - k)} = z^(-k) * X(z)。
3. 共轭性z变换具有共轭性质，即如果x(n)的z变换为X(z)，则x*(-n)的z 变换为X*(1/z*)，其中，*表示共轭。
4. 卷积性质z变换具有卷积性质，即对于离散时间序列x1(n)和x2(n)的卷积序列y(n) = x1(n) * x2(n)，其z变换为Y(z) = X1(z) * X2(z)，其中，*表示乘法运算。
三、常见的z变换公式根据z变换的定义和特性，可以得到一些常见的z变换公式，下面将逐个进行介绍。
1. 常数序列对于常数序列x(n) = C，其z变换为X(z) = C * (1 - z^(-1)) / (1 - z^(-1))。
Z变换
z
−n
收敛域的充分条件为
x n=− ∞
∞
n z−n < ∞
∑ 判定正项级数 an 是否收敛？
正项级数
n=−∞
⎧< 1 收敛
①比值判别法：lim an+1 = ρ = ⎪⎨= 1
a n→∞ n
⎪⎩> 1
不一定 发散
⎧< 1
②根式判别法：lim n n→∞
an
= ρ = ⎪⎨= 1 ⎩⎪> 1
① n1 ≥ 0 时，序列的收敛域为：z > 0，包括 z = ∞ 点； ②n2 ≤ 0时，序列的收敛域为：z < ∞，不包括 z = ∞点；
③n1 < 0, n2 > 0时，序列的收敛域为：0 < z < ∞
§8.1 Z变换
6. 右边序列的Z变换收敛域至少为：∞ > z > Rx1
x(n)定义在 n ≥ n1 上。根据 n1值不同，可分为以下两种情况：
§8.1 Z变换
7①．x(左nn)2边定≤序义0n列时在2 ，的n 序Z≤变n列2换上为的。反收+根因∞ 敛据果域n序2至值列少不，为同收：，敛0可域< 分的z <为形R以式x2 下为两：种z <情R况x2： Z ⎡⎣x (n)⎤⎦ = ∑ x (n) z−n = ∑ x (−n) z，n 根据级数收敛的判别方法，
=
z2
zβ sinω0 − 2βz cosω0
+
β2
(z
>
β
)
§8.1 Z变换
[例1]：求下列各序列的Z变换
①δ (n − m)(m > 0)
n=+∞
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z 1
4 . 实数位移定理
设x(t)的Z变换为X(z)，则
滞后定理
Z[x(t kT)] zk X (z)
超前定理
k 1
Z[x(t kT)] zk [ X (z) x(mT )zm ] m0
5. 复数位移定理
设 x(t)的Z变换为X(z)，则
Z[x(t)e at ] X (ze aT )
例求
X (z)
0.5z
(z 1)( z 0.5)
的逆变换。
解 先将 X(z)/z 展开成部分分式
X (z)
0.5
1 1
z (z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
所以
X (z) z z z 1 z 0.5
查z变换表
0.693 t
x(t) 1(t) e T
查z变换表， 1 s
的z变换为
z z 1
1 s 1 的z变换为
z z eT
X (z) Z[x(t)] z z
z 1 z eT
(z
z(1 eT ) 1)(z eT
)
10.1.3 留数定理求Z变换
10.1.4 Z变换的性质
1. 线性定理
设 Z[x1(t)] X1(z)
x(t)
x* (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
例 10-22 求下列差分方程的解
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) u(k)
式中
0 x(k) 0 (k 0) u(k) 1
解 k 1 时代入方程得 x(1) 0
k 0 k 0
对差分方程进行Z变换，并考虑初始条件得
(z 2 3z 2)X (z) U (z)
故
x*
(t)
[1(t)
0.693 t
eT
] T
(t)
0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.3 Z变换求差分方程
对于一个控制系统的差分方程，首先利用Z变换，将差 分方程变换为以z为自变量，X(z)为因变量的代数方程， 解出X(z)后再进行Z逆变换，即可得到x(k)的值。
2) 将 z eTs代入 X *(s)得Z[x(t)]。
例1. 试求单位阶跃函数的z变换。
解：
Z[1(t)] 1(kT)zk 1 z1 z2
z
k 0
z 1
例2. 求函数 X (s) 1 s(s 1)
的z变换 .
解: X (s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
两端取Z变换得
(ao a1z 1 a2 z 2 an1z n1 an z n ) X o (z) (bo b1z 1 b2 z 2 bm1z m1 bm z m ) X i (z)
故离散控制系统的传递函数为
G(z) X o (z) bo b1 z 1 b2 z 2 bm1 z m1 bm z m X i (z) ao a1 z 1 a2 z 2 an1 z n1 an z n
U (z) u(k)z k 1 k 0
故 X (z 3z 2 z 1 z 2
又 Z[x(k 1)] zX (z) zx(0) zX (z)
注意 x(0)=0
Z[x(k 1)] z z z 1 z 2
2j S
等号右边的积分可按留数定理来确定，其中S表示包围
X (z)z k 1全部极点的封闭曲线，即
x(kT) 1 X (z)z k1dz
2j S
X (z)z k 1 极点处的留数
10.2.2 幂级数法求Z逆变换
X(z)一般可以表示为 两个有理多项式之比
X
(z)
bo zm ao zn
例 已知某系统的传递函数为 求系统的脉冲传递函数。
G(s) 10 s(s 10)
解： 将G(s)展开成部分分式之和得
G(s) 1 1 s s 10
查表得
z
z
G(z) z 1 z e10T
2.串联开环系统的脉冲传递函数
a. 串联环节之间有理想开关
G(z) G 1 (z)
x(kT) (t kT)
x(kT) (t kT) k 0
10.1.2 根据定义求Z变换
z变换的定义
x*(t) x(t) (t KT ) x(kT) (t KT )
k 0
k 0
进行Laplace变换
X * (s) L[x* (t)] x(kT)ekTs k 0
G(z) 称为脉冲传递函数。脉冲传递函数的求法如下
1. 求出系统的传递函数G(s);
2. 求出脉冲响应函数
xo (t), {xo (t) L1[G(s)]}
3. 计算
G(z) xo (kT)z k k 0
或求出系统传递函数G(s)后，将G(s)展开成部分分式之和， 查Laplace变换与Z变换对应表，即可得到系统的脉冲传递 函数。
G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) x01(t) Xi (z)
x*01(t) X01(z)
G 2 (s)
xo* (t) Xo (s)
X o1 (z) G1 (z) X i (z)
X o (z) G2 (z) X o1 (z)
G1 (z), G2 (z) 分别为线性环节 G1 (s) 和 G2 (s)
G(z)
X o (z) Xi (z)
Z[G1 (s)G2 (s)] G1G2 (z)
G1G2 (z) 表示 G1(s)G2 (s) 先乘积后进行z变换。
两个线性环节相串联的开环系统，且环节之间无理想 开关隔开时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节 传递函数先乘积后再进行Z变换。 显然，当有n个环节相串联，且环节之间无理想开关隔 开时，此时系统开环脉冲传递函数等于n个环节传递函 数先乘积后再进行Z变换，即
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采样时刻 t=nT 时的值 x(nT).
例10-18 求 X (z) 0.5z
的逆变换。
(z 1)( z 0.5)
解 X (z)
0.5z
0.5z
(z 1)( z 0.5) z 2 1.5z 0.5
利用综合除法得
X (z) 0.5z 1 0.75 z 2 0.875 z 3 0.9375 z 4
xo(t)
保持器
0 1T 2T 3T 4T t
-3T -2T -T
图示为理想的单位脉冲序列 T (t)
0 T 2T 3T t
T (t) (t kT) k
采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号， 而单位脉冲串可以作为载波信号
调制过程可以表示为
T(t)
x(t) 调制器
Z[x(t)] Z[x*(t)] X (z) x(kT)zk k 0 x(0)z0 x(T )z1 x(2T )z2
求Z变换的一般步骤为
1) 先求采样信号x* (t) 的Laplace变换 X * (s) ，即
X * (s) x(kT)ekTs k 0
x* (t) 0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
考虑到z变换表中，X(z)在其分子上普遍有因子z，所 以应将 X(z)/z 展开成部分分式，然后将所得结果的每一 项都乘以z，即得X(z)的部分分式。
第10章 离散控制系统
10.1 Z变换 10.2 Z逆变换 10.3 Z变换求差分方程 10.4 脉冲传递函数 10.5 有零阶保持器的开环脉冲传 递函数 10.6 闭环脉冲传递函数 10.7 脉冲系统的稳定性分析
10.1 Z变换
10.1.1 采样器和保持器
普通的采样器每间隔T秒钟开关闭合一次，使输入信 号通过一次，即采样一次。
x*(t) x* (t) x(t) T (t) x(t) (t kT) k
在控制系统和工程实际应用中t<0时信号都为零 即 x(t) 0 ( t < 0 )
因此
x* (t) x(t) (t kT) k 0 x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
G(z) G1 (z)G2 (z)Gn (z)
b. 串联环节之间没有理想开关
G(z) = G 1G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) Xi (z)
x01(t)
G 2 (s)
xo*(t) Xo (s)
设 G(s) G1 (s)G2 (s) 则开环脉冲传递函数为
b1z m1 a1z n1
bm an
(n m)
对X(z)直接做长除法，用分母去除分子，并将商按z-1 的幂次排列
4 . 实数位移定理
设x(t)的Z变换为X(z)，则
滞后定理
Z[x(t kT)] zk X (z)
超前定理
k 1
Z[x(t kT)] zk [ X (z) x(mT )zm ] m0
5. 复数位移定理
设 x(t)的Z变换为X(z)，则
Z[x(t)e at ] X (ze aT )
例求
X (z)
0.5z
(z 1)( z 0.5)
的逆变换。
解 先将 X(z)/z 展开成部分分式
X (z)
0.5
1 1
z (z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
所以
X (z) z z z 1 z 0.5
查z变换表
0.693 t
x(t) 1(t) e T
查z变换表， 1 s
的z变换为
z z 1
1 s 1 的z变换为
z z eT
X (z) Z[x(t)] z z
z 1 z eT
(z
z(1 eT ) 1)(z eT
)
10.1.3 留数定理求Z变换
10.1.4 Z变换的性质
1. 线性定理
设 Z[x1(t)] X1(z)
x(t)
x* (t)
x(t)
T x* (t)
0 1T 2T 3T 4T t
0 1T 2T 3T 4T t
采样器的功能是将连续信号转换成发生在采样瞬时刻 0，T，2T，3T，…的一连串脉冲信号，
保持器：能够将采样信号转换成连续信号，这个连续信 号近似地重现采样器上的信号.
最简单的零阶保持器，它能将采样信号转变成在两个连 续采样瞬时之间保持常量的信号。
例 10-22 求下列差分方程的解
x(k 2) 3x(k 1) 2x(k) u(k)
式中
0 x(k) 0 (k 0) u(k) 1
解 k 1 时代入方程得 x(1) 0
k 0 k 0
对差分方程进行Z变换，并考虑初始条件得
(z 2 3z 2)X (z) U (z)
故
x*
(t)
[1(t)
0.693 t
eT
] T
(t)
0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.3 Z变换求差分方程
对于一个控制系统的差分方程，首先利用Z变换，将差 分方程变换为以z为自变量，X(z)为因变量的代数方程， 解出X(z)后再进行Z逆变换，即可得到x(k)的值。
2) 将 z eTs代入 X *(s)得Z[x(t)]。
例1. 试求单位阶跃函数的z变换。
解：
Z[1(t)] 1(kT)zk 1 z1 z2
z
k 0
z 1
例2. 求函数 X (s) 1 s(s 1)
的z变换 .
解: X (s) 1 1 1 s(s 1) s s 1
两端取Z变换得
(ao a1z 1 a2 z 2 an1z n1 an z n ) X o (z) (bo b1z 1 b2 z 2 bm1z m1 bm z m ) X i (z)
故离散控制系统的传递函数为
G(z) X o (z) bo b1 z 1 b2 z 2 bm1 z m1 bm z m X i (z) ao a1 z 1 a2 z 2 an1 z n1 an z n
U (z) u(k)z k 1 k 0
故 X (z 3z 2 z 1 z 2
又 Z[x(k 1)] zX (z) zx(0) zX (z)
注意 x(0)=0
Z[x(k 1)] z z z 1 z 2
2j S
等号右边的积分可按留数定理来确定，其中S表示包围
X (z)z k 1全部极点的封闭曲线，即
x(kT) 1 X (z)z k1dz
2j S
X (z)z k 1 极点处的留数
10.2.2 幂级数法求Z逆变换
X(z)一般可以表示为 两个有理多项式之比
X
(z)
bo zm ao zn
例 已知某系统的传递函数为 求系统的脉冲传递函数。
G(s) 10 s(s 10)
解： 将G(s)展开成部分分式之和得
G(s) 1 1 s s 10
查表得
z
z
G(z) z 1 z e10T
2.串联开环系统的脉冲传递函数
a. 串联环节之间有理想开关
G(z) G 1 (z)
x(kT) (t kT)
x(kT) (t kT) k 0
10.1.2 根据定义求Z变换
z变换的定义
x*(t) x(t) (t KT ) x(kT) (t KT )
k 0
k 0
进行Laplace变换
X * (s) L[x* (t)] x(kT)ekTs k 0
G(z) 称为脉冲传递函数。脉冲传递函数的求法如下
1. 求出系统的传递函数G(s);
2. 求出脉冲响应函数
xo (t), {xo (t) L1[G(s)]}
3. 计算
G(z) xo (kT)z k k 0
或求出系统传递函数G(s)后，将G(s)展开成部分分式之和， 查Laplace变换与Z变换对应表，即可得到系统的脉冲传递 函数。
G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) x01(t) Xi (z)
x*01(t) X01(z)
G 2 (s)
xo* (t) Xo (s)
X o1 (z) G1 (z) X i (z)
X o (z) G2 (z) X o1 (z)
G1 (z), G2 (z) 分别为线性环节 G1 (s) 和 G2 (s)
G(z)
X o (z) Xi (z)
Z[G1 (s)G2 (s)] G1G2 (z)
G1G2 (z) 表示 G1(s)G2 (s) 先乘积后进行z变换。
两个线性环节相串联的开环系统，且环节之间无理想 开关隔开时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节 传递函数先乘积后再进行Z变换。 显然，当有n个环节相串联，且环节之间无理想开关隔 开时，此时系统开环脉冲传递函数等于n个环节传递函 数先乘积后再进行Z变换，即
Cn(n=0，1，2…..）即为x(t)在采样时刻 t=nT 时的值 x(nT).
例10-18 求 X (z) 0.5z
的逆变换。
(z 1)( z 0.5)
解 X (z)
0.5z
0.5z
(z 1)( z 0.5) z 2 1.5z 0.5
利用综合除法得
X (z) 0.5z 1 0.75 z 2 0.875 z 3 0.9375 z 4
xo(t)
保持器
0 1T 2T 3T 4T t
-3T -2T -T
图示为理想的单位脉冲序列 T (t)
0 T 2T 3T t
T (t) (t kT) k
采样器可以看成是一个调制器，输入量作为调制信号， 而单位脉冲串可以作为载波信号
调制过程可以表示为
T(t)
x(t) 调制器
Z[x(t)] Z[x*(t)] X (z) x(kT)zk k 0 x(0)z0 x(T )z1 x(2T )z2
求Z变换的一般步骤为
1) 先求采样信号x* (t) 的Laplace变换 X * (s) ，即
X * (s) x(kT)ekTs k 0
x* (t) 0.5 (t T ) 0.75 (t 2T ) 0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
10.2.3 部分分式展开法
将z变换函数X(z)展开成部分分式之和，然后查z变换
表，求相应的x*(t)。
考虑到z变换表中，X(z)在其分子上普遍有因子z，所 以应将 X(z)/z 展开成部分分式，然后将所得结果的每一 项都乘以z，即得X(z)的部分分式。
第10章 离散控制系统
10.1 Z变换 10.2 Z逆变换 10.3 Z变换求差分方程 10.4 脉冲传递函数 10.5 有零阶保持器的开环脉冲传 递函数 10.6 闭环脉冲传递函数 10.7 脉冲系统的稳定性分析
10.1 Z变换
10.1.1 采样器和保持器
普通的采样器每间隔T秒钟开关闭合一次，使输入信 号通过一次，即采样一次。
x*(t) x* (t) x(t) T (t) x(t) (t kT) k
在控制系统和工程实际应用中t<0时信号都为零 即 x(t) 0 ( t < 0 )
因此
x* (t) x(t) (t kT) k 0 x(0) (t) x(T ) (t T ) x(2T ) (t 2T )
G(z) G1 (z)G2 (z)Gn (z)
b. 串联环节之间没有理想开关
G(z) = G 1G 2 (z)
xi (t) Xi (s)
xi*(t) G 1 (s) Xi (z)
x01(t)
G 2 (s)
xo*(t) Xo (s)
设 G(s) G1 (s)G2 (s) 则开环脉冲传递函数为
b1z m1 a1z n1
bm an
(n m)
对X(z)直接做长除法，用分母去除分子，并将商按z-1 的幂次排列