计数原理 探究与发现——子集的个数有多少 PPT
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子集PPT课件.ppt
子
集
A={1，2，3}
B={1，2，3，4，5} B C
C={1，2，3，4，5，6，7}
AC
同理 若A B
BC
（2） A B
A
C
B A A=B
A (B)
子 集问题1：对于任何一个集合A是否都有子集？
A A A （ 只有一个子集）
2 讨结它论论的：：子集如有果一个n个集。合有n个元素，那么
集合A的任何一个元素都是集合B的元素 集合B的任何一个元素都是集合A的元素
集合A等于集合B
记作： A=B
子集
（1） AA={1A，2，3任，何4一}个集合是它本身的子集
A={1，2，3，4} B={1，2，3，4，5}
用若图形AA表示BB如图则A是记B作的：真A子集B (或B
A）
BA
空集是任何非空 集合的真子集
(4) A={a，b},B={ a，b，c，d，e}
(5) A= x | x 2 1 0 ，B=1,1
(6)A={1，2，5}，B={1，2，3，4}
(7)A={长江，黄河}, B={x| x>-1}
公共部分 毫无关系
子 集
BA
设：
A={1，2，3 } B={1，2，3 ，4，5}
变式3：已知集合A={x| 0≤x≤2}, B={x| 1-a＜ x
＜1+a }，且 B A 求a 的取值范围。
子 集
课堂小结： 1、子集与等集
（1）A B (或 B A)
集合A的任何一个元素都是集合B的元素
（2）A=B 即 A B且B A
2、“数形结合”思想
3、数学符号转化为数学语言的能力
子集PPT教学课件
1.2.1 子集
二、新内容： 1．子集 (1)子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个
元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包
含集合A。记作：A B或 B A 读作：A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时， 则记作：A B B A 读作：A不包含于B或B不包含A
主讲：罗军
1.2.1 子集
我们先看下面的个例子：M {1,1} N {1,1,3} P {x | x2 1 0}
问题： 1．哪些集合表示方法是列举法． 2．哪些集合表示方法是描述法． 3．将集M、集N、集P用图示法表示． 4．分别说出各集合中的元素． 5．将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示
N ZQ R
主讲：罗军
1.2.1 子集
例4:说出下面几个集合表示的意义： {0} {} 0
并说出它们之间的关系。
解： 表示空集，这个集合里不含有任何元素。
{0}表示以0为元素的集合，这个集合里只有唯一一个元素0。
{}表示以 为元素的集合，这个集合里只有唯一一个元素 0 是一个数，它不是集合。
{} 0 {0} {0} 0
集合A是集合B的真子集，记作：A B 或B A 读作A真包含于B或B真包含A。
能否这样定义真子集：“如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素 不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集．”
用文氏图表示集合之间的关 系是非常简明的，例如：
主讲：罗军
B
A
1.2.1 子集
例1：写出集合{a, b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
解：集合{a, b} 的所有的子集是： {a} {b} {a, b} 其中 {a} {b} 是真子集 例2：解不等式 x 3 2 ，并把结果用集合表示出来 解：由 x 3 2 得
高中数学选修2-3第一章《计数原理》整合课件人教A版
-6-
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
专题二 排列与组合中元素的相邻与不相邻问题 求解排列与组合中元素“相邻”和“不相邻”的问题,应遵循“先整体, 后局部”的原则. (1)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普 通”元素全排列,然后在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元 素插入. (2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为 一个大元素,然后与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内 部全排列.
-5-
本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
解:200÷ 40=5(个),即一个乒乓球筒中最多可装 5 个乒乓球. 方法一:分类法 1 第一类:全部放入 1 个乒乓球筒里,有C4 =4 种放法; 2 第二类:放入 2 个乒乓球筒里,有C4 × 4=24 种放法; 3 第三类:放入 3 个乒乓球筒里,有C4 × 6=24 种放法; 第四类:放入 4 个乒乓球筒里,有 4 种放法. 所以,不同的放法种数为 4+24+24+4=56. 方法二:隔板法 将 4 个乒乓球筒与 5 个乒乓球看成 9 个相同元素,除去两边共形 3 成了 8 个空隙,在这 8 个空隙中放进 3 个隔板,即有C8 =56 种不同的 放法.
������ 组合数公式:C������ =
������! (������-������)!
������(������-1)(������-2)…(������-������ + 1) ������! = ������! ������!(������-������)!
������ ������ -������ ������ ������ ������ -1 组合数性质:C������ = C������ ;C������ +1 = C������ + C������
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专题一 专题二 专题三
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综合应用
真题放送
专题二 排列与组合中元素的相邻与不相邻问题 求解排列与组合中元素“相邻”和“不相邻”的问题,应遵循“先整体, 后局部”的原则. (1)元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普 通”元素全排列,然后在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元 素插入. (2)元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先将相邻的若干元素捆绑为 一个大元素,然后与其他元素全排列,最后松绑,将这若干个元素内 部全排列.
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本章整合
专题一 专题二 专题三
知识建构
综合应用
真题放送
解:200÷ 40=5(个),即一个乒乓球筒中最多可装 5 个乒乓球. 方法一:分类法 1 第一类:全部放入 1 个乒乓球筒里,有C4 =4 种放法; 2 第二类:放入 2 个乒乓球筒里,有C4 × 4=24 种放法; 3 第三类:放入 3 个乒乓球筒里,有C4 × 6=24 种放法; 第四类:放入 4 个乒乓球筒里,有 4 种放法. 所以,不同的放法种数为 4+24+24+4=56. 方法二:隔板法 将 4 个乒乓球筒与 5 个乒乓球看成 9 个相同元素,除去两边共形 3 成了 8 个空隙,在这 8 个空隙中放进 3 个隔板,即有C8 =56 种不同的 放法.
������ 组合数公式:C������ =
������! (������-������)!
������(������-1)(������-2)…(������-������ + 1) ������! = ������! ������!(������-������)!
������ ������ -������ ������ ������ ������ -1 组合数性质:C������ = C������ ;C������ +1 = C������ + C������
人教版高三数学选修2-3全册教学课件
2.1 离散型随机变量及其分布 列
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
2.2 二项分布及其应用
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 服从二项分布的 随机变量取何值时概率最大
人教版高三数学选修2－3全册教 学课件目录
0002页 0090页 0167页 0211页 0276页 0360页 0445页 0487页 0560页 0589页 0660页 0731页
第一章 计数原理 探究与发现 子集的个数有多少 探究与发现 组合数的两个性质 探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密 复习参考题 2.1 离散型随机变量及其分布列 探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最 2.4 正态分布 小结 第三章 统计案例 3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用 小结
人教版高三数学选修2－3全册Fra bibliotek学 课件1.2 排列与组合
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 组合数的两个性 质
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
第一章 计数原理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
1.1 分类加法计数原理与分步 乘法计数原理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 子集的个数有多 少
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
1.3 二项式定理
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
探究与发现 “杨辉三角”中的 一些秘密
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
小结
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
复习参考题
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
第二章 随机变量及其分布
人教版高三数学选修2－3全册教学 课件
子集 PPT
观察A、C知，集合A中任一个元素 都是集合C的元素，那么我们就说，A 包含于C或C包含A.
我们就说, A包含于C或C包含A 记作: A C或C A 注意区分 与 ：
这时, 我们说集合A是集合C的子集. (若对 x A ， 任 x 都 C 意 ， A 有 则 C )
B ={1，2，7} C ={1，2，3，4，5}
6. A=，B={0}；
7. A={a，b，c}，B={a，b，c}.
观察以下几组集合：
1. A={x|x>3}，B={x|3x6>0}； 2. A={正方形}，B={四边形}； 3. A={a，b}，B={a，b，c，d，e}; 4. A={直角三角形}，B={三角形}； 5. N*____N____Z____Q____R；
[例4] 已知A={x | x22x3=0}，B= {x|ax1=0}，若BA，求实数a的值.
小结：1. 子集和真子集的概念. 2. 五个有用的结论： (1) 空集是任何集合的子集； (2) 任何集合是它本身的子集； (3) 空集是任何非空集合的真子集； (4) 子集的传递性； (5) 真子集的传递性； 3. 含n个元素的集合的子集和真子集
A等于集合B, 记作:A=B,显然A=A.
再观察 A={1, 2, 3} 与 C={1, 2, 3, 4, 5}
显然A C,并且A C. 这样, 我们就说集
合A是集合C 的真子集
记为: A C或C A(真包含)
再观察 A={1, 2, 3} 与 C={1, 2, 3, 4, 5}
显然A C,并且A C. 这样, 我们就说集
观察下面三个集合, 找出它们 之间的联系:
A ={1，2，3} B ={1，2，7} C ={1，2，3，4，5}
我们就说, A包含于C或C包含A 记作: A C或C A 注意区分 与 ：
这时, 我们说集合A是集合C的子集. (若对 x A ， 任 x 都 C 意 ， A 有 则 C )
B ={1，2，7} C ={1，2，3，4，5}
6. A=，B={0}；
7. A={a，b，c}，B={a，b，c}.
观察以下几组集合：
1. A={x|x>3}，B={x|3x6>0}； 2. A={正方形}，B={四边形}； 3. A={a，b}，B={a，b，c，d，e}; 4. A={直角三角形}，B={三角形}； 5. N*____N____Z____Q____R；
[例4] 已知A={x | x22x3=0}，B= {x|ax1=0}，若BA，求实数a的值.
小结：1. 子集和真子集的概念. 2. 五个有用的结论： (1) 空集是任何集合的子集； (2) 任何集合是它本身的子集； (3) 空集是任何非空集合的真子集； (4) 子集的传递性； (5) 真子集的传递性； 3. 含n个元素的集合的子集和真子集
A等于集合B, 记作:A=B,显然A=A.
再观察 A={1, 2, 3} 与 C={1, 2, 3, 4, 5}
显然A C,并且A C. 这样, 我们就说集
合A是集合C 的真子集
记为: A C或C A(真包含)
再观察 A={1, 2, 3} 与 C={1, 2, 3, 4, 5}
显然A C,并且A C. 这样, 我们就说集
观察下面三个集合, 找出它们 之间的联系:
A ={1，2，3} B ={1，2，7} C ={1，2，3，4，5}
有限集合子集的个数问题研究ppt精品资料
一、 问题引入 课本(练习 1.2)中有这样一道习题：
写出满足 M Í {a,b} 的所有集合 M ；
Æ,{a},{b},{a,b}
二、问题探究
集合
集合的子集
子集个数
{a,b} Æ,{a},{b},{a,b}
4
{ } a,b,c
Æ,{a} ,{b} ,{c} ,{a, b} , {a, c} ,{b, c} ,{a, b, c}
8
…
( ) ？ {a1,a2, ,an} n ÎMN*Í {a,b} Í {a,b,c}
？
二、问题探究 集合
集合 的子集
{a,b, b} Æ,{a} ,{b} ,{a, b}
{c},{a,c},{b, c},{a,b,c}
{a, b, c, d } Æ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} {d},{a, d},{b, d},{c, d},{a,b, d},{a,c, d},{b,c, d},{a,b,c, d}
练习 一个四元集合 S 的所有子集的元素和的
总和为 2012 ，则集合 S 中的元素的和为_____.
学会解决集合问题的基本方法
体验归纳、类比、推广等数学思想
体验归纳、类比、推广等数学思想
体验归纳、类比、推广等数学思想
学会解决集合问题的基本方法
你能从哪些角度对这个问题做推广？
进一步理解集合之间的关系
( ) n 元有限集合{a1,a2, ,an} n Î N* 的子集个数为 2n
三、提升演练
例题 1 满足条件
{ { { }} {{ }} a1,aa21,,aa2,1,a,aam32
ÍM Í
aa1,1a,2a, a23,,
写出满足 M Í {a,b} 的所有集合 M ；
Æ,{a},{b},{a,b}
二、问题探究
集合
集合的子集
子集个数
{a,b} Æ,{a},{b},{a,b}
4
{ } a,b,c
Æ,{a} ,{b} ,{c} ,{a, b} , {a, c} ,{b, c} ,{a, b, c}
8
…
( ) ？ {a1,a2, ,an} n ÎMN*Í {a,b} Í {a,b,c}
？
二、问题探究 集合
集合 的子集
{a,b, b} Æ,{a} ,{b} ,{a, b}
{c},{a,c},{b, c},{a,b,c}
{a, b, c, d } Æ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} {d},{a, d},{b, d},{c, d},{a,b, d},{a,c, d},{b,c, d},{a,b,c, d}
练习 一个四元集合 S 的所有子集的元素和的
总和为 2012 ，则集合 S 中的元素的和为_____.
学会解决集合问题的基本方法
体验归纳、类比、推广等数学思想
体验归纳、类比、推广等数学思想
体验归纳、类比、推广等数学思想
学会解决集合问题的基本方法
你能从哪些角度对这个问题做推广？
进一步理解集合之间的关系
( ) n 元有限集合{a1,a2, ,an} n Î N* 的子集个数为 2n
三、提升演练
例题 1 满足条件
{ { { }} {{ }} a1,aa21,,aa2,1,a,aam32
ÍM Í
aa1,1a,2a, a23,,
人教A版必修1 第一章 PPT素材：集合中子集个数与元素个数问题
方法二
A
B
(5) (3) (9)
=5+3+9 =17 ∴两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.
集合中元素个数问题
例4. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动 都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数是多少？ 【思路点拨】利用集合间的关系画出韦恩图，设出适当的未知数，建立方程解决．
∴满足条件的集合P的个数为32个 【方法归纳】 掌握将不熟悉的问题转化为熟知的问题这种思维方式.
集合中元素个数问题
例3. 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动 会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参加的有3人，两次运动会中，这个班 共有多少名同学参赛？ 【思路点拨】运用有限集并的元素个数计数公式进行求解．
∵card(A∪B∪C) =card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B) -card(A∩C)-card(C∩B)+card(A∩B∩C)
∴49=28+25+15-8-6-7+ card(A∩B∩C)
∴同时参加数学、物理和化学小组的人数是2人
集合中元素个数问题
例5. 某班有49名同学，参加数学、物理和化学课外小组的人数分别为28,25,15(每人 至少参加一项)，同时参加数学和物理小组的有8人，同时参加数学和化学小组的有6 人，同时参加物理和化学小组的有7人，求同时参加数学、物理和化学小组的人数？
设两者都喜欢的人数为x人. 则只喜爱篮球的人数是 15-x =12
U(某班所有学生)
A(篮球)
B(乒乓球)
只喜爱乒乓球的的人数是 10-x ∵班级总人数为30人 ∴(15-x)+(10-x)+x+8=30
1.2 子集、全集、补集ppt课件
栏 目 链 接
二、对补集概念的理解
(1)要正确应用数学的三种语言表示补集：①普通语言：
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元 素组成的集合叫做S中子集A的补集；②符号语言：∁SA＝
{x|x∈S，且x∉A}；③图形语言：
栏 目 链 接
(2)理解补集概念时，应注意补集 ∁SA是对给定的集合A和S(A⊆S) 相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合S，补集 不同．如：集合A＝{正方形}，当S＝{菱形}时，∁SA＝{内角不等于
栏 目 链 接
点评：判断A是否为B的真子集应严格执行两步：一是A⊆B， 即A的元素全在B中，二是A≠B，即B中至少有一个元素不在A中， 二者缺一不可．
变式 训练
1．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋ 1，n∈Z}，S＝{y|y＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是 ( ) A． S P M B．S＝P M
1．如果集合 A中的每一个元素都是集合 B中的元素，那
么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
例 如 ： A ＝ {0,1,2} ， B ＝ {0,1,2,3} ， 则 A 、 B 的 关 系 是
_____________________________ ． A⊆B(或B⊇A)
2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A叫做集合B的真子 集，记作A B或B A.
栏 目 链 接
(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．
2>－1， a 2 当a<0时，若A⊆B，则 1 －a≤2
⇒a<－4.
栏 目 链 接
－1≥－1， a 2 当a>0时，若A⊆B，则 2 a≤2
⇒a≥2.
综上可知：此时a的取值范围是{a|a＜－4或a≥2}．
二、对补集概念的理解
(1)要正确应用数学的三种语言表示补集：①普通语言：
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元 素组成的集合叫做S中子集A的补集；②符号语言：∁SA＝
{x|x∈S，且x∉A}；③图形语言：
栏 目 链 接
(2)理解补集概念时，应注意补集 ∁SA是对给定的集合A和S(A⊆S) 相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合S，补集 不同．如：集合A＝{正方形}，当S＝{菱形}时，∁SA＝{内角不等于
栏 目 链 接
点评：判断A是否为B的真子集应严格执行两步：一是A⊆B， 即A的元素全在B中，二是A≠B，即B中至少有一个元素不在A中， 二者缺一不可．
变式 训练
1．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋ 1，n∈Z}，S＝{y|y＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是 ( ) A． S P M B．S＝P M
1．如果集合 A中的每一个元素都是集合 B中的元素，那
么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
例 如 ： A ＝ {0,1,2} ， B ＝ {0,1,2,3} ， 则 A 、 B 的 关 系 是
_____________________________ ． A⊆B(或B⊇A)
2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A叫做集合B的真子 集，记作A B或B A.
栏 目 链 接
(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．
2>－1， a 2 当a<0时，若A⊆B，则 1 －a≤2
⇒a<－4.
栏 目 链 接
－1≥－1， a 2 当a>0时，若A⊆B，则 2 a≤2
⇒a≥2.
综上可知：此时a的取值范围是{a|a＜－4或a≥2}．
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(2)类子集则是由 (1)类的每一个子集添加元 素an得到， 所以也有f (n 1)个子集.
从而n元集合A共有子集个数为 2 f (n 1), 即有f (n) 2 f (n 1), (n N,且n 1). 由该递推公式可得 : f (n) 2 f (n 1) 22 f (n 2) 2n f (0)， 又f (0) 1,所以f (n) 2n. 即n元集合A {a1, a2 ,, an}的不同子集有 2n 个.
个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关 系，称集合A为集合B的子集，记作 A B（或B A）
• n元集合 A {a1, a2,, an}的子集有多少个？
2n 个
n元集合A {a1, a2 ,, an} 的不同子集有 2n个.
请同学们自学课本 P11 P12 ,总结课本上是如何得到
数列的递推公式
证明： 设n元集合A {a1, a2,, an}的不同子集个数 为函数f (n),n N.
当A 时，显然f (0) 1. 当A 时,设A {a1, a2,, an},
则A的子集可以分为两类:
(1)类子集是不含有元素 an , (2)类子集是含有元素 an.
显然(1)类子集的个数为 f (n 1),
本节课我们用了哪些方法证明了“n元集合子集的 个数为2n个”法计数原理 +
数列的递推公式
本节课我们用了哪些计数方法探究了“n元集合子 集的个数为2n个”?
分步乘法计数原理 分类加法计数原理
列举法
1、你还能想到其它的方法证明“n元集合子集的个数为2n 个”吗？在后面的学习中，请同学们结合新学的知识思 考该问题.
第二步，考察 a2是否在S中 ，有2中可能(a2 S，a2 S);
第k步，考察
ak
是否在
S中，有
2中可能
(ak
S，ak
S
);
第n步，考察 an是否在S中，有2中可能(an S，an S).
所以，n元集合不同子集的个数 共有 : 2 2 2 2n 个子集.
你是否对把空集及原集合自身作 为子集的规定有进一步的理解呢？
教学内容 高中数学 人教A版2003课标版 选修2-3 第一章 计数原理—1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
——探究与发现 子集的个数有多少
• 通过前面的学习，你学会了哪几个计数原理？ 分类加法计数原理； 分步乘法计数原理.
• 子集的定义是什么？ 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一
即: A {a1, a2,, ak }有2k 个子集. 那么,当n k 1时, A {a1, a2,, ak , ak1},
此时, 在n k的基础上多了一个元素 ak1,
那么, 此时集合A的子集分不含有元素ak 1
和含有元素ak
两种类型，
1
显然不含有元素
ak
的子集就是
1
n
k时集合
A的2k
个子集，
因为每一个元素都有在子集中和不在子集中两种情况， 所以当所有元素都不在子集中时，子集为空集；当所 有元素都在子集中时，子集为原集合自身.
你还能用另外的方法证明“n元集 合不同子集的个数为2n个”这个 结论吗？
数学归纳法
证明： (1)当n 0时, A ,显然只有1个子集，
又20 1，所以结论成立; (2)假设n k(k 0)时,结论成立,
并证明该结论的.
第一步：猜想结果 （归纳推理）
通过列举法和分步乘法计数原理两种方法得到 了3元集合有23=8个子集，然后猜想n元集合有 2n个子集.
第二步：证明结果 （分步乘法计数原理）
第二步：证明结果 （分步乘法计数原理）
证明：要得到集合A的一个子集S，可以分n个步骤：
第一步，考察 a1是否在S中，有2中可能(a1 S，a1 S);
含有元素ak
1的子集即是将ak
1添加进不含有ak
的每一个
1
子集中，从而可以得到含有元素ak1的2k 个新的子集.
所以n k 1时, 共有2k 2k 2k1个子集.
即n k 1时结论成立.
由(1)、(2)可知, n N结论都成立,
即含有n个元素的集合有2n 个不同的子集.
分类加法计数原理 +
2、设集合A {1,2,3,4,5}, (1)、从集合A中任取两个数, 可以组成多少个无重复数字的两位数？ (2)、从集合A中任取两个数, 可以组成多少个二元子集？ (3)、(1)(2)两个问题答案相同吗？ (4)、(1)(2)两个问题有什么区别？
从而n元集合A共有子集个数为 2 f (n 1), 即有f (n) 2 f (n 1), (n N,且n 1). 由该递推公式可得 : f (n) 2 f (n 1) 22 f (n 2) 2n f (0)， 又f (0) 1,所以f (n) 2n. 即n元集合A {a1, a2 ,, an}的不同子集有 2n 个.
个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关 系，称集合A为集合B的子集，记作 A B（或B A）
• n元集合 A {a1, a2,, an}的子集有多少个？
2n 个
n元集合A {a1, a2 ,, an} 的不同子集有 2n个.
请同学们自学课本 P11 P12 ,总结课本上是如何得到
数列的递推公式
证明： 设n元集合A {a1, a2,, an}的不同子集个数 为函数f (n),n N.
当A 时，显然f (0) 1. 当A 时,设A {a1, a2,, an},
则A的子集可以分为两类:
(1)类子集是不含有元素 an , (2)类子集是含有元素 an.
显然(1)类子集的个数为 f (n 1),
本节课我们用了哪些方法证明了“n元集合子集的 个数为2n个”法计数原理 +
数列的递推公式
本节课我们用了哪些计数方法探究了“n元集合子 集的个数为2n个”?
分步乘法计数原理 分类加法计数原理
列举法
1、你还能想到其它的方法证明“n元集合子集的个数为2n 个”吗？在后面的学习中，请同学们结合新学的知识思 考该问题.
第二步，考察 a2是否在S中 ，有2中可能(a2 S，a2 S);
第k步，考察
ak
是否在
S中，有
2中可能
(ak
S，ak
S
);
第n步，考察 an是否在S中，有2中可能(an S，an S).
所以，n元集合不同子集的个数 共有 : 2 2 2 2n 个子集.
你是否对把空集及原集合自身作 为子集的规定有进一步的理解呢？
教学内容 高中数学 人教A版2003课标版 选修2-3 第一章 计数原理—1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
——探究与发现 子集的个数有多少
• 通过前面的学习，你学会了哪几个计数原理？ 分类加法计数原理； 分步乘法计数原理.
• 子集的定义是什么？ 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一
即: A {a1, a2,, ak }有2k 个子集. 那么,当n k 1时, A {a1, a2,, ak , ak1},
此时, 在n k的基础上多了一个元素 ak1,
那么, 此时集合A的子集分不含有元素ak 1
和含有元素ak
两种类型，
1
显然不含有元素
ak
的子集就是
1
n
k时集合
A的2k
个子集，
因为每一个元素都有在子集中和不在子集中两种情况， 所以当所有元素都不在子集中时，子集为空集；当所 有元素都在子集中时，子集为原集合自身.
你还能用另外的方法证明“n元集 合不同子集的个数为2n个”这个 结论吗？
数学归纳法
证明： (1)当n 0时, A ,显然只有1个子集，
又20 1，所以结论成立; (2)假设n k(k 0)时,结论成立,
并证明该结论的.
第一步：猜想结果 （归纳推理）
通过列举法和分步乘法计数原理两种方法得到 了3元集合有23=8个子集，然后猜想n元集合有 2n个子集.
第二步：证明结果 （分步乘法计数原理）
第二步：证明结果 （分步乘法计数原理）
证明：要得到集合A的一个子集S，可以分n个步骤：
第一步，考察 a1是否在S中，有2中可能(a1 S，a1 S);
含有元素ak
1的子集即是将ak
1添加进不含有ak
的每一个
1
子集中，从而可以得到含有元素ak1的2k 个新的子集.
所以n k 1时, 共有2k 2k 2k1个子集.
即n k 1时结论成立.
由(1)、(2)可知, n N结论都成立,
即含有n个元素的集合有2n 个不同的子集.
分类加法计数原理 +
2、设集合A {1,2,3,4,5}, (1)、从集合A中任取两个数, 可以组成多少个无重复数字的两位数？ (2)、从集合A中任取两个数, 可以组成多少个二元子集？ (3)、(1)(2)两个问题答案相同吗？ (4)、(1)(2)两个问题有什么区别？