广州市第一中学2010届高三数学第二轮复习专题——函数的定义域和值域
高考数学总复习 专题02 第2节 函数的定义域与值域课件 文
解：(1)y＝3x2－x＋2＝3 x 1 2
6
23 ＋ . 13
1 6
∵对称轴x＝ 1 ∈[－1,3]，∴函数在x＝
6
处
取得最小值，即ymin＝
23 . 12
结合函数的单调性知函数在x＝3处取得最大 值，即ymax＝26，∴函数的值域为
.
23 , 26 12
意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
二、函数的值域
1．在函数概念的三要素中，值域是由 定义域 和 对应关系 所
确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的 作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用． 2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R . (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 2 2 4 ac － b 4ac－b {y|y≥ 4a } ；当a＜0时，值域为 {y|y≥ 4a }．
1 4 x 2 的定义域为 ln( x 1)
(B) (1, 0) (01, 2]
f (0) ln(0 1) ln1 0 ，不能充当分母，所以排除 D,选 B.
x 1 0 x 1 方法二：要使函数有意义则有 ln(x 1) 0 ，即 x 0 ，即 1 x 0 或 0 x 2 ，选 B. 2 x 2 4 x 2 0
【例1】(2010· 湖北)函数y 域为(
3 A. ,1 4
1 log0.5 4 x 3
的定义
) B. D.
3 , 4
C. (1，＋∞)
3 ,1∪(1，＋∞) 4
分析 需要使解析式有意义，列不等式组来解．
高三数学 函数的值域、函数奇偶性与周期性、函数的单调性 知识精讲
高三数学 函数的值域、函数奇偶性与周期性、函数的单调性 知识精讲（一）函数的值域 1. 函数的值域：值域是全体函数值所成的集合，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定。
因此，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑其定义域。
2. 基本函数的值域：（1）一次函数y kx b k =+≠()0的值域为R ；（2）二次函数y ax bx c a =++≠20()，当a >0时值域是442ac b a-+∞⎡⎣⎢⎫⎭⎪，，当a <0时，值域是-∞-⎛⎝ ⎤⎦⎥，442ac b a ； （3）反比例函数y kxk =≠()0的值域为y R ∈，且y ≠0；（4）指数函数y a a a x=>≠()01，且的值域是R +； （5）对数函数y x a a a =>≠log ()01，且的值域是R ；（6）正弦函数y x =sin 、余弦函数y x =cos 的值域为[]-11，，正切函数y x =tan 、余切函数y x =cot 的值域为R 。
3. 求值域的基本方法： （1）分析观察法求值域有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。
（2）配方法求值域二次函数或能转化为形如：F x a f x bf x c ()[()]()=++2型的函数的值域，均可用配方法，但要注意f x ()的取值范围。
（3）不等式法求值域利用基本不等式a b ab a b c abc +≥++≥233，可求某些函数的值域，但要注意“全正、定值、取等号”的条件。
（4）判别式法求值域把函数转化为关于x 的二次方程F x y (,)=0，通过方程有实根，判别式∆≥0，从而求得原函数的值域。
形如y a x b x c a x b x c a a =++++1211222212()，不同时为零的函数的值域常用此法求得。
（5）反函数法求值域利用函数与它的反函数的定义域和值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域。
高三数学第二轮专题复习系列(2)-- 函数
高三数学第二轮专题复习系列(2)-- 函数一、本章知识结构：二、高考要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质． （5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、热点分析函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。
在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。
以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。
②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。
③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。
四、复习建议1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等；函数的三要素函数的表示法 函数的性质 反函数 函数的应用 初等函数基本初等函数： 指数函数 对数函数对数指数映射函数射⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。
函数的定义域与值域课件
复合函数
由内到外逐层分析，确保每层 函数在对应定义域内有意义。
图像法求定义域
01
观察函数图像，找出图像上所有 点的横坐标集合，即为函数的定 义域。
02
适用于直观易懂的函数图像，如 一次函数、二次函数等。
实际问题中定义域确定
根据实际问题的背景 和条件，确定自变量 的取值范围。
需要结合具体问题进 行具体分析，灵活应 用数学知识。
对于形如$y=a(x-h)^2+k$的 复合函数，可以通过配方的方 法将其转化为顶点式，进而求 得值域。
对于形如$y=ax^2+bx+c/x$ 的复合函数，可以通过判别式 的方法求得值域。首先将原式 化为关于$x$的二次方程，然 后根据判别式$Delta geq 0$ 求得$y$的取值范围。
对于某些特殊的复合函数，可 以通过求其反函数的方法求得 值域。例如，对于形如 $y=log_a[f(x)]$的复合函数， 可以先求出其反函数$x=a^y$， 然后根据反函数的定义域求得 原函数的值域。
取并集
将各区间定义域取并集， 得到分段函数的定义域。
注意分段点
分段点应包含在定义域内， 除非分段点处函数无定义。
分段函数值域求解
分别求解各区间值域
注意最值点
根据各区间内解析式的性质，分别求 解各区间的值域。
在各区间内和分段点处寻找最值点， 以确定值域的上下界。
取并集
将各区间值域取并集，得到分段函数 的值域。
05 分段函数定义域与值域
分段函数概念及性质
01
02
03
分段函数定义
在不同区间上，用不同解 析式表示的函数。
分段函数性质
各区间内函数性质可能不 同，如单调性、奇偶性等。
高三数学高考《函数》专题学案函数的定义域和值域
第2课时 函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：① 形如y ＝221x +，可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用 法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x -1，可采用 法；⑤ y ＝x －21x -，可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.例1. 求下列函数的定义域： （1）y=xx x -+||)1(0 (2)y=232531x x -+-;1·1-+x x解：（1）由题意得,0||01⎩⎨⎧>-≠+x x x 化简得,||1⎩⎨⎧>-≠x x x 即.01⎩⎨⎧<-≠x x 故函数的定义域为{x|x ＜0且x≠-（2）由题意可得,050322⎩⎨⎧≥-≠-x x 解得.553⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠x x故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3（3）要使函数有意义，必须有,0101⎩⎨⎧≥-≥+x x 即,11⎩⎨⎧≥-≥x x ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）变式训练1：求下列函数的定义域： （1）y=212)2lg(xx x -+-+(x-1)0; (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-01,012022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<1,432x x x 所以-3＜x ＜2且x≠1.故所求函数的定义域为（-3，1）（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->54,2143x x x 函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--（3）由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x ,得,)(222255⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-Z k k x k x ππππ 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5,23)2,2(23,5⎥⎦⎤⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ππππ 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域（1）y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31-++x f x ;(4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤31的定义域为［0, 31］（2）仿（1）解得定义域为［1，（3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x 定义域的交集列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31. （４）由条件得,111010⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 讨论：①当⎩⎨⎧+≤--≤,11,1a a a a 即0≤a≤21时，定义域为［a,1-a ］②当⎩⎨⎧+≤--≤,1,a a a a 即-21≤a≤0时，定义域为［-a,1+a ］综上所述：当0≤a≤21时，定义域为［a ，1-a ］；当-21≤a≤0时，定义域为［-a ，1+a ］变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x -a)（0＜a ＜21）的定义域是 （ ）A.∅［a ，1-a ］［-a ，1+a ］［0，1］解：例3. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x21- (3)y=1e 1e +-xx解：（1）方法一 （配方法）∵y=1-,112+-x x 而,4343)21(122≥+-=+-x x x∴0＜,34112≤+-x x ∴.131<≤-y ∴值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31. 方法二 （判别式法）由y=,122+--x x xx 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x ∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.（2）方法一 （单调性法）定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯--∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,.方法二 （换元法）令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t --21（t+1）2+1≤21（t≥0）∴y∈（-∞，21］（3）由y=1e 1e +-x x 得,e x =.11yy-+x＞0,即yy-+11＞0,解得-1＜y ＜∴函数的值域为{y|-1＜y ＜变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=521+-x x (2)y=|x|21x-解：（1）(分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21(2)方法一 (换元法∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α故函数值域为［0，21］.方法二 y=|x|·,41)21(122242+--=+-=-x x x x∴0≤y≤,21即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.例4．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21.∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ① f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23b a变式训练4：已知函数f(x)=x 2-（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域解： (1）∵函数的值域为［0，∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.（2）对一切x∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a≤23,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,1). ∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f（a ）min =f )23(=-419，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.。
2010高三数学高考《函数》专题学案：函数的定义域和值域.doc
第2课时 函数的定义域和值域一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式 的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .② 复合函数f [g(x )]的有关定义域，就要保证内函数g(x )的 域是外函数f (x )的 域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1．函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值 的集合.2．常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和 法） 例如：① 形如y ＝221x +，可采用 法；② y ＝)32(2312-≠++x x x ，可采用 法或 法；③ y ＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c ，可采用 法；④ y ＝x －x -1，可采用 法；⑤ y ＝x －21x -，可采用 法；⑥ y ＝xx cos 2sin -可采用 法等.例1. 求下列函数的定义域： （1）y=xx x -+||)1(0; (2)y=232531x x -+-; (3)y=1·1-+x x .解：（1）由题意得,0||01⎩⎨⎧>-≠+x x x 化简得,||1⎩⎨⎧>-≠x x x 即.01⎩⎨⎧<-≠x x 故函数的定义域为{x|x ＜0且x≠-1}.（2）由题意可得,050322⎩⎨⎧≥-≠-x x 解得.553⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-±≠x x故函数的定义域为{x|-5≤x≤5且x≠±3}. （3）要使函数有意义，必须有,0101⎩⎨⎧≥-≥+x x 即,11⎩⎨⎧≥-≥x x ∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.基础过关典型例题变式训练1：求下列函数的定义域： （1）y=212)2lg(xx x -+-+(x-1)0; (2)y=)34lg(2+x x +(5x-4)0; (3)y=225x -+lgcosx;解：（1）由⎪⎩⎪⎨⎧≠->-+>-01,012022x x x x 得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-<1,432x x x 所以-3＜x ＜2且x≠1.故所求函数的定义域为（-3，1）∪(1,2).（2）由⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠+>+045,134034x x x 得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠-≠->54,2143x x x ∴函数的定义域为).,54()54,21(21,43+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛--Y Y（3）由⎩⎨⎧>≥-0cos 0252x x ,得,)(222255⎪⎩⎪⎨⎧∈+<<-≤≤-Z k k x k x ππππ 借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为.5,23)2,2(23,5⎥⎦⎤⎝⎛-⎪⎭⎫⎢⎣⎡--ππππY Y 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x1);(3)y=f()31()31-++x f x ;(4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）0≤3x≤1,故0≤x≤31,y=f(3x)的定义域为［0, 31］.（2）仿（1）解得定义域为［1，+∞).（3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)31(-x 定义域的交集.列出不等式组,32313431323113101310≤≤⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+≤x x x x x 故y=f )31()31(-++x f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31. （４）由条件得,111010⎩⎨⎧+≤≤-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 讨论：①当⎩⎨⎧+≤--≤,11,1a a a a 即0≤a≤21时，定义域为［a,1-a ］;②当⎩⎨⎧+≤--≤,1,a a a a 即-21≤a≤0时，定义域为［-a,1+a ］.综上所述：当0≤a≤21时，定义域为［a ，1-a ］；当-21≤a≤0时，定义域为［-a ，1+a ］. 变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x -a)（0＜a ＜21）的定义域是 （ ）A.∅B.［a ，1-a ］C.［-a ，1+a ］D.［0，1］解：B例3. 求下列函数的值域：（1）y=;122+--x x xx (2)y=x-x 21-; (3)y=1e 1e +-x x .解：（1）方法一 （配方法） ∵y=1-,112+-x x 而,4343)21(122≥+-=+-x x x∴0＜,34112≤+-x x ∴.131<≤-y ∴值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31. 方法二 （判别式法）由y=,122+--x x xx 得(y-1).0)1(2=+-+y x y x ∵y=1时,≠∴∅∈y x , 1.又∵∈x R ，∴必须∆=(1-y)2-4y(y-1)≥0.∴.131≤≤-y ∵,1≠y ∴函数的值域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,31.（2）方法一 （单调性法） 定义域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21|x x ，函数y=x,y=-x 21-均在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,上递增，故y≤.21212121=⨯--∴函数的值域为⎥⎦⎤⎝⎛∞-21,.方法二 （换元法） 令x 21-=t,则t≥0，且x=.212t -∴y=-21（t+1）2+1≤21（t≥0）,∴y∈（-∞，21］. （3）由y=1e 1e +-x x 得,e x =.11y y-+∵e x＞0,即yy-+11＞0,解得-1＜y ＜1.∴函数的值域为{y|-1＜y ＜1}. 变式训练3：求下列函数的值域： （1）y=521+-x x; (2)y=|x|21x -.解：（1）(分离常数法)y=-)52(2721++x ，∵)52(27+x ≠0,∴y≠-21.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-21}.(2)方法一 (换元法)∵1-x 2≥0,令x=sin α,则有y=|sin αcos α|=21|sin2α|, 故函数值域为［0，21］.方法二 y=|x|·,41)21(122242+--=+-=-x x x x∴0≤y≤,21即函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0.例4．若函数f （x ）=21x 2-x+a 的定义域和值域均为［1，b ］（b ＞1），求a 、b 的值. 解：∵f（x ）=21(x-1)2+a-21.∴其对称轴为x=1，即［1，b ］为f （x ）的单调递增区间. ∴f（x ）min =f （1）=a-21=1 ① f （x ）max =f （b ）=21b 2-b+a=b ②由①②解得⎪⎩⎪⎨⎧==.3,23b a变式训练4：已知函数f(x)=x 2-4ax+2a+6 (x∈R).（1）求函数的值域为［0，+∞)时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.解： (1）∵函数的值域为［0，+∞),∴Δ=16a 2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=23.（2）对一切x∈R ，函数值均非负,∴Δ=8(2a 2-a-3)≤0⇒-1≤a≤23,∴a+3＞0,∴f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+23)2+417(a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,1).∵二次函数f(a)在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,1上单调递减，∴f（a ）min =f )23(=-419，f （a ）max =f （-1）=4， ∴f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.小结归纳。
高三复习数学集合、函数的定义域、值域
高 三 数 学---集合与函数【教学内容】集合、函数的定义域、值域等【教学目标】1、集合是不定义的概念，在理解集合概念的同时，必须掌握集合元素的确定性、互异性及无序性的性质，并能运用这些性质来解题。
注意元素与集合之间是属于或不属于的关系，而集合与集合间是包含或不包含的关系，两者不解混淆。
要熟练地进行集合的交、并、补的运算，在运算时，应首先将集合化简，如果集合中含字母时，必须对字母的取值进行讨论。
集合作为一种数学工具，它与数学的其他各个分支有着密切的联系，复习时要加深对它的理解。
2、函数是一种特殊的映射，在理解函数的概念时要特别注意函数的定义域为非空数集。
若给出函数的解析式，求函数的定义域时我们通常从以下几个方面来考虑；（1）若有分母则分母不为零；（2）若有偶次根式，则被开方数非负；（3）若有对数式，则真数大于零且底数大于零而不等于1，求一个函数的定义域时实质上就是求由上述的不等式得到的不等式组的解集。
对于反函数，由于反函数的定义域和值域分别是它原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不是由其对应法则本身确定，而应是它的原函数值域。
3、对于常见的一些函数，我们应掌握其值域或最大（小）的求法。
（1）配方法是求二次函数值域的基本方法，当有些化成形如二次函数的复合函数（如y=a[f(x)-b]2+c ），求值域时必须注意f(x)的取值范围。
（2）函数)0( ≠++=c d cx b ax y 的值域是的值域是y ∈R 且ca y ≠.（3）函数22rqx pxc bx ax y ++++=(px 2+qx+r ≠0)可以用判别式法来求其值域。
（4）对于某些元理函数常用换元法求值域，通过变量代替达到化繁为简、化难为易的目的，其中的三角换元可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题来处理。
（5）对于一些特殊的函数可利用函数的单调性来求该函数在某闭区间上的值域。
（6）利用函数图象或几何方法求出函数的值域也是求值域的较常见的方法之一。
高中数学课件第二章《第2节函数的定义域和值域》
确定函数定义域的原则 1.当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中
实数x的集合. 2.当函数y＝f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在
x轴上的投影所覆盖的实数的集合. 3.当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析
式有意义的实数的集合. 4.当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问
∴ f[g(x)]＝
由于当x≥0时，x2≥0，故f[g(x)]的值域为[0，＋∞). 答案：
1.函数y＝
＋x的定义域为
()
A.{x|x≥0}
B.{x|x≥1}
C.{x|x≥1}∪{0}
D.{x|0≤x≤1}
解析：
或x＝0.
答案：C
2.若函数y＝f(x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝
的
定义域是
解析：∵ 为实数，∴x≥0， ∵y＝x2＋3x－5＝(x＋ )2－ ∴当x＝0时，ymin＝－5. 答案：[－5，＋∞)
－5，
5.若函数f(x)＝
围为
.
的定义域为R，则a的取值范
解析：由题意知2
－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0
恒成立，其等价于Δ＝4a2＋4a≤0⇒－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
【答案】 C
[自主体验]
已知f(x)＝ (x＋|x|)，g(x)＝
＝
，值域为
.
函数f[g(x)]
解析：当x≥0时，g(x)＝x2， 故f[g(x)]＝f(x2)＝ (x2＋|x2|)＝ (x2＋x2)＝x2； 当x＜0时，g(x)＝x， 故f[g(x)]＝f(x)＝ (x＋|x|)＝ (x－x)＝0.
容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如y＝ax
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广州市第一中学高三数学第二轮复习专题——函数的
定义域和值域
定义域部分
知识点及方法:求函数的定义域;定义域在函数、方程、不等式中的应用 1.求函数的定义域 (1) 5
1
log 3
.0+=
x y (2) )1,0()(log )(log 222≠>-⋅-=a a ka x a x y a a
(3) )2lg()(x
x
k a x f -=
(4) 设函数f ( x )的定义域是 [0 , 2 ] , 求f ( x 2
)的定义域.
(5) 设函数f ( x )的定义域是 [-1 , 1 ]求函数)4
1()41(+⋅-=x f x f y 的定义域. (6) 设函数f ( x )的定义域是[ a , b ] , b>a>0,求函数g(x) = f(x+c) +f (x —2c )的定义域. (8) 设函数的定义域是[0,1], 求函数的定义域.
2. 增强定义域意识
在用换元法应同时注意定义域
(1) 求函数 y=sinxcosx+sinx-cosx+2 的值域.
(2) 求函数()2f x x =+的值域.
(3) 若方程9(4)340x
x
a ++⋅+=有解,求实数的取值范围. (4) 若方程2(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2,求的取值范围.
在求函数值域、最值中,注意定义域 (1) 已知
求22
2u x y x =+-的取值范围.
(2) 已知2
2
3sin 2cos 2cos x y y +=,求2
2
sin sin u x y =+的取值范围. (3)α、β是方程
的两个实根，求2
2
(2)(2)αβ-+-的取值范围.
在解方程、不等式时应保持方程和不等式中的函数的定义域在变形中不变 (1) 解不等式2
2log (1)2x -<
(2) 求函数cos3cos ()cos x x
f x x
-=
的最值.
(3) 求函数222sin cos 1sin x x
y x
+-=+的值域.
此外在化简函数的表达式或讨论函数性质时应注意函数的定义域。
值域部分
知识点及方法： 二次函数法；换元法；配方法；判别式法；函数单调性法；反函数法；数形结合法；均值不等式法；用导数知识等 1. 二次函数法（用换元法化为二次函数）
求下列函数的值域
(1) 2y =-21
24
y x x =
+-
(3) y =2cos 2sin 3y x x =+-
(5) 设关于x 的函数y =2cos 2
x -2a cos x -(2a +1)的最小值为f (a ).
① 用a 写出的f (a )表达式.
② 试确定能使f (a )=
1
2
的a , 并对这个a , 求y 的最小值. (6) 已知函数y =x 2
-2x , x ∈[t ,t +1],求函数在[t ,t +1]上取最小值. (7) 已知点P （a ,0）（a ∈R ）,M 是双曲线22
114
x y -
=上的动点, 求｜PM ｜的最小值. (8) 已知点P 是抛物线y 2
=4px (p >0)上动点，Q （1, 0）, 求｜PQ ｜的最小值.
2. 函数单调性法 求下列函数的值域 (1) (]2
22,4y x x
x =+∈
(2) 已知二次函数21
()(1)12
f x x =-+的定义域和值域都为 [1 , b] (b>1) ,求b 的值. (3) 1,[2,4]y x x x =+∈ (4) ,(0),[0,1]a
y x a x x
=+>∈
3.反函数法
求下列函数的值域 (1) 125x y x -=
+ (2) 1(12)25
x
y x x -=<≤+
(3) 2211x y x -=+ (4) cos 2sin x
y x
=+
4. 数形结合法 求下列函数的值域
(1) (2)
(3)
(4) 已知2214x y +=,求23
y x -+的最大值和最小值. (5) 对于任意实数x ,设函数
是
与x 中较小者,求
的最大值.
5.函数的值域与均值不等式 求下列函数的值域或最值
(1) 1(0)
y x x x
=+≠
(2) 231,(10)1x x y x x +-=+>+ (3) 点(,)P a b 在直线上, 求24a b
u =+的最小值.
函数最值应用题选
1. 某罐装饮料厂为降低成本要将制罐材料减少到最小，假设罐装饮料筒为圆柱体（视上、下底为平面），上下底半径为r ，高为h ，若体积为V ，上下底厚度分别是侧面厚度的2倍，试问当r 与h 之比是多少时用料最少？
2. 商店经销某种商品，年销售量为D 件，每件商品库存费用为I 元，每批进货量为Q 件，每次进货所需费用为S 元，现假设商店卖完该货物时立即进货，使库存量为平均
2
Q
件，问每批进货件数Q 为多大时，整个费用最省？ 3. 某轮船公司争取到一个相距1000海里的甲、乙两地的客运航线权．已知轮船限载人数为400人，轮船每小时使用的燃料费用和轮船速度的立方成正比例，轮船的最大时速是25海里/时，当船速为10海里/时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用（不论速度如何）都是每小时480元．你能为该公司设计一种较为合理的船票价格吗？ 4. 为了确保交通安全，交通部门规定：某事故易发地段内的车距d 正比于车速v （千米/时）的平方与车身长（米）的积，且最小车距不得少于半个车身长．假定车身长均为s （米），且车速为50（千米/时）时，车距恰为车身长S ．问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段车流量Q 最大？
5. 铁道车运行1小时所需的成本由两部分组成，固定部分m 元，变动部分与运行速度（千米/时）的平方成正比例，比例系数为 k （k ＞0），如果机车匀速从甲站开往乙站，为使成本最省，应以怎样的速度运行？
6. 商店经销某种货物，年销售量是5万件．因集装运输要求，这批货物可分为若干次等量进货，每次运费500元．商店进货后，需人库暂存，销售完后可立即进货．仓库年租金按最大储存量时每件4元收费（以后不超量的各次货物进出不再收费），为尽量减少运费和库存费总开支，每次进货应是多少件？全年运费和库存费总开支最少多少元？
7. 在半径为R 的球内挖去一个以球的直径为轴的圆柱型孔．当孔的面积（即圆柱的侧面积）最大时，球套在杆上不易打滑，此时的孔半径为多少？
8. 要建造一个底面为正方形，容量为32m 3
的柱形露天水池．(A)问水池尺寸如何选取，才
能使所用材料最省？(B) 若池底材料成本30元／m 2，池壁材料成本为20元/m 2
，问选取怎样的尺寸，水池造价最低？
9. 已知圆柱的表面积为S , 求圆柱体积V 的最大值.
10. 已知一个长方体的长、宽、高之和等于，求它的体积的最大值. 11. 圆锥底面半径为R ，高为H ，求它内接圆柱的最大体积。