幂函数图像与性质
幂函数图像及性质总结幂函数九个基本图像幂函数比较大小的方法
幂函数•冥函数的定义：一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
幂函数的解析式：y=xα幂函数的图像：•幂函数图像的性质：所有幂函数在(0，+∞)上都有定义．①α＞0，图像都过定点（0，0）和（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递增；②α＜0，图像都过定点（1，1）；在区间（0，+∞）上单调递减;③当O<a<l时，曲线上凸，当a>l时，曲线下凸．④当a=l时，图象为过点(0，0)和(1，1)的直线．⑤当a=0时，表示过点(1，1)且平行于x轴的直线(除去点(0，1)) 。
幂函数图象的其他性质：(1)图象的对称性：把幂函数的幂指数a（只讨论a是有理数的情况）表示成既约分数的形式（整数看作是分母1的分数），则不论a>0还是a<0，幂函数的图象的对称性用口诀记为：“子奇母偶孤单单；母奇子偶分两边；分子分母均为奇，原点对称莫忘记”，(2)图象的形状：①若a>0，则幂函数的图象为抛物线形，当a>l时，图象在[0，+∞）上是向下凸的（称为凸函数）；当O<a<l时，图象在[o，+∞）上是向上凸的（称为凹函数）．②若a<0，则幂函数y=x“的图象是双曲线形，图象与x轴、y轴无限接近，在(0，+∞)上图象都是向下凸的。
幂函数的单调性和奇偶性：对于幂函数（a∈R)．(1)单调性当a>0时，函数在第一象限内是增函数；当a<0时，函数在第一象限内是减函数．(2)奇偶性①当a为整数时，若a为偶数，则是偶函数；若a为奇数，则是奇函数。
②当n为分数，即（p，q互素，p，q∈Z）时，若分母q为奇数，则分子p为奇数时，为奇函数；分子p为偶数时，为偶函数，若分母q为偶数，则为非奇非偶函数．。
幂函数图像与性质
一知识梳理1、幂函数（1）定义：一般地，形如_________的函数称为幂函数，其中为常数。
几种常见幂函数的图像：①②③④⑤（2）幂函数的性质①所有幂函数在_________都有定义，并且图像都过点________；②时，幂函数的图像通过_________，并且在区间上是_________，特别的，当时，幂函数的图像________，当时，幂函数的图像________。
③时，幂函数的图像在区间上是_________，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋向时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。
（4）幂函数的图象，在第一象限内，直线的右侧，图象由下至上，指数. 轴和直线之间，图象由上至下，指数.二.常见幂函数的性质：定义域值域奇偶性单调性定点三、例题解析例1.已知函数若关于x的方程有两个不同的实根，则k的取值范围是___________例2.若曲线处的切线与两个坐标轴围城的三角形的面积为18，a=____例3 已知函数为何值时，：（1）是正比例函数，（2）是反比例函数，（3）是二次函数，（4）是幂函数例4 若点在幂函数的图像上，点在幂函数的图像上，定义，试求函数的最大值以及单调区间。
四：巩固练习1.已知幂函数(p,q∈N+且p与q互质)的图象如图所示,则A.p、q均为奇数且<0B.p为奇数,q为偶数且<0C.p为奇数,q为偶数且>0D.p为偶数,q为奇数且<02.给定一组函数解析式:如图所示一组函数图象.图象对应的解析式号码顺序正确的是()A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①3、已知，则（）ＡＢＣＤ4、幂函数的图像过点，则它的单调递增区间是（）ＡＢＣＤ5.（2011·山东高考）若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为：（A）0 （B）（C）1 （D）6.设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为_________。
幂函数的性质与图像第一象限ppt课件
O
X
k>0时
y ｋ＞１开口向上型抛物线
０＜ｋ＜１开口 向右抛物线型
O
X
画出函数在第一象限的图象后,再根据函数的奇偶性,画出函数在其 他象限还有的图象
；.
8
3、当 0时，
y
图像是0除 ， 1点 去的一条射 1 线．
；.
o 图4
x 6
(一)幂函数在第一象限内的图像规律
(1)图像过定点1，1
(2)当 0时，
函数是增函数， 图像是抛物线型；
(3)当 0时，
函数是减函数，
图像是双曲线型．
；.
7
k<0时 第 一 象 限
y
k<0
双曲线型
K=1 K=0,直线型
(2)研究这些图像有何规律？
(1)yx2， yx3
1
1
(2)yx2，yx3
(3)yx1， yx2
；.
合作 讨论
4
归纳幂函数在第一象限内的图像规律
1、当 0时，
(1)图像过 0， 0和 定 1， 1； 点
(2)函数在0，是增函数，
即在第一象限是增 数函 ；
(3)图像是抛物线型的，
随着的增大，图像逐渐由x轴向y轴靠近．
；.
1
幂函数的定义 一般地，函数y = xn叫做幂函数，其中x是自变量，n是常数。(n∈R)
；.
2
下列函数中，哪几个函数是幂函数？
（1）y = （3）y=2x
(5) y=x2 +2
（2）y=2x2 （4）y=1
(6) y=-x3
答案:(1)(4)
1
x2
；.
3
探究活动一
(1)分别作出下列函数在第一象限内的图像；
2.3 幂函数图像与性质
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ， 2
-1时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， k >0,在
4
6 k <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
-2
3、k为奇数时,幂函数为奇函数,
k为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
4、幂函数图像不过第四象限。
例3
若m
4
1 2
23 4
3 4… 27 64 …
3 2…
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
值 域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
4
3
2
1
(1,1)
-6
意
2、定义域与k的值有关系.
例1、下列函数中，哪几个函
数是幂函数？ 答案:(1)(4)
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
（2）y=2x2
（4）y=
1 x
(5) y=x2 +2
幂函数的图像和性质
幂函数的图像和性质幂函数的图像和性质是指关于某一变量x的多项式形式为y=ax^n（a≠0）的函数，其中a是实数，n∈Z，称为幂函数。
由于幂函数有着独特的形式，它的图像和性质也有许多独特之处。
一、图像1. 对于任意实常数a>0，n>0，y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线；2. 对于任意实常数a>0,n<0,y=ax^n的图像是一条以x轴上的无穷远点为极坐标的曲线；3. 对于任意实常数a<0,n>0,y=ax^n的图像是一条以y轴上的无穷远点为极坐标的曲线；4. 对于任意实常数a<0,n<0,y=ax^n的图像是一条以原点为极坐标的曲线。
二、性质（1）当n>0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断增大，直至无穷大；（2）当n<0时，y=ax^n的图像在x轴上的对称轴是x=0，且函数值y随x的增加而不断减小，直至无穷小；（3）当n=0时，y=ax^n即为常数函数y=a，其图像是一条水平线；（4）当n>0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向上；（5）当n<0时，y=ax^n在x轴上的渐近线是y=0，其图像开口向下；（6）对于任意实数m，y=ax^n的图像关于y=m的对称轴是x=(m/a)^(1/n)；（7）当n>0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间[0, +∞]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而增大；（8）当n<0时，在y轴上截取y=ax^n的图像时，可以得到一段区间(-∞, 0]，在这段区间内，函数值y 随x的增加而减小；三、总结幂函数的图像和性质是指函数形式为y=ax^n（a≠0）的函数的图像和性质，其中a是实数，n∈Z。
幂函数的性质有：对称轴、渐近线、函数值随x的变化而变化等，此外，图像表明幂函数的变化趋势，可以直观地看出函数值y 随x的变化趋势，从而有助于理解函数的特点。
幂函数的图像及性质
函数，∴由 (a ?1)3 ? (3? 2a)3 ，得a-1<3+2a 即a>-4 .
∴所求a的取值范围是 (－4，＋∞)．
幂函数的图像及性质
【变形训练】
1、已知幂函数 y ? (mm2 ? ? 1)xm2?2m?3 ，当x∈
(0，＋ ∞)时为减函数，则该幂函数的解析式是什么 ？奇偶性如何？单调性如何？
(2)由(1)知，f(x)的单调减区间为 (0，＋∞)， ∴函数 f(x) 在[1，＋ ∞)上是减函数， ∴函数f(x)在[1，＋∞)上的最大值为 f(1)＝2.
幂函数的图像及性质
【典型例题】
2、已知幂函数 y=xp-3 (p∈N*）的图象关于 y轴
对称，且在 (0，＋∞)上是减函数，求满足
p
p
(a ? 1) 3 ? (3 ? 2a ) 3 的a的取值范围 ．
解：函数 f(x)在(0，＋∞)上是减函数． 证明如
下：
任f(x取1)－x1、f(xx22)∈＝(0x，212 ＋? x∞222)，? 且2(xxx21122<?xx2x22，12)
?
2(x1
? x2)(x2 x12 x22
?
x1)
幂函数的图像及性质
【典型例题】
∵0<x 1<x2，∴ x1＋x2>0，x2－x1>0， x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 .
解：∵函数 y＝xp－3在(0，＋∞)上是减函数，
∴p －3<0，即 p<3 ，
又∵ p ∈N*，∴ p ＝1，或 p ＝2.
∵函数y＝xp－3的图象关于 y轴对称，∴ p－3是偶数，
高考数学第一轮复习幂函数图像与性质
幂函数的性质与图像 幂函数及其性质 1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像（1）y x = （2）12y x= （3）2y x= （4）1y x-= （5）3yx=用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。
3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x=、3y x=、12y x=是增函数， 在（0，+∞）上，1y x -=是减函数。
例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练： 已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
幂函数图象及其性质
1.7
，∴ 1 1.52
1
1.7 2
（ 2 ） ∵ y x3 在 R 上 是 增 函 数 ， 1.2 1.25 ， ∴
(1.2)3 (1.25)3
（ 3 ） ∵ y x1 在 (0,) 上 是 减 函 数 ， 5.25 5.26 ， ∴
Where there is a will,there is a way.
幂函数 y＝xα 有下列性质：(1)单调性：当 α
＞0 时，函数在(0，＋∞)上单调递增；当 α＜0
时，函数在(0，＋∞)上单调递减．(2)奇偶性：幂
函数中既有奇函数，又有偶函数，也有非奇非偶
函数，可以用函数奇偶性的定义进行判断．
例
3．已知幂函数
y
（ xm2 2m3
mZ
）的图象与
x
轴、
y 轴都无交点，且关于原点对称，求 m 的值．
B．y x3
C．y 2x
D．y x1
答案：C
例 2．已知函数 f x m2 m 1 x5m3 ，当 m 为何值时， f x： （1）是幂函数；（2）是幂函数，且是 0, 上的 增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；
（5）是二次函数；
简解：（1）m 2 或 m 1（2）m 1（3）m 4（4）m 2
幂函数图象及其性质
幂函数图象及其性质
幂函数的图像与性质
1、幂函数的定义 形如 y=xα（a∈R）的函数称为幂函数，其中 x
是自变量，α为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的
位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数
函数的自变量在指数位置。
例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是（ ）
A．y x
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a=1
解:(1)y= x0.8在(0,+∞)内是增函数,
0<a<1
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
a=0
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数 ∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数 ∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
（1）1与 比较时，可将1化为
，
即要么与数同底，要么与数同指
若能化为同指数，则用幂函数的单调性； 若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
例3
若m
4
1 2
3
2m
1 2
,
则求m的取值范围.
解
:Q
幂函数f
(x)
x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
1 m 3 ,即为m的取值范围. 32
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
2、在第一象限内， α >0,在(0,+∞)上为增函数;
-4
-2
2
4
6 α <0,在(0,+∞)上为减函数.
-1
(-1,-1)
3、α为奇数时,幂函数为奇函数,
-2
α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3
-4
幂函数在第一象限内的图像与性质
0< <1
>1
<0
图
象y
y
y
特1 点 o1
（1）y 3x;
(2) y
1 x2
;
(3) y 2x2;
(4) y x2 1;
(5) y 1;
(6) y 1 ； x
(7) y (x 1)2 (8) y x0 (9) y x3
答案（2）（6）（8）
快速反应
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
y x1
[0，+∞）
，0 U（0，+）
a为图奇像数时函数为
奇函数，a为偶数 时，函数为偶函数
奇偶性 奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数 奇函数
单调性 公共点
在R上是 增函数
在（－∞,0]上 是减函数，在 (0, +∞）上是 增函数
在R上是 增函数
在(0，+∞)上是 在( －∞,0)，(0,
增函数
+∞）上是减函数
B1
y x3
C1
y x2
yA
H
y
Jy
Dy
Fy
OX
(A)
y
OX
(B)
y
O
X
OX
OX
(C)
(D)
(E)
y
y
OX
(F)
OX
(G)
O
X
(H)
OX
OX
(I)
(J)
例2.利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8 （2）0.20.3 与 0.30.
-2
-2
（3）2.5 5 与2.7a<50a>1
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度
1
a S2
1
y x2
V t 1 km / s
y x1
幂函数的定义：
一般地，函数 y x叫做幂函数(power
function) ，其中x为自变量， 为常数。
注意： (1) 指数是常数；底数是自变量；
（2）幂函数的解析式必须是 y x 的形式，x
练习4：
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性， 随常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
α>1 a=1
0<α<1
如果α<0,则幂函数
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
范例讲解
1、如果函数 f (x) (m2 m 1)xm22m3
是幂函数，求满足条件的实数m的值.
2、已知幂函数
图像过点（3,27），求
的值
范例讲解
3、求下列函数的定义域。
解：（1）
（2） 则定义域为
则定义域为
式子有意义时满足
求幂函数的定义域时将幂的形式转化为根式
定义域：{x x 0}
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数
单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
x y=x3 y=x1/2
… -2
-1
0
… -8 -1 0 … / /0
y 8 6 4
2
-3 -2 -1 0 1 -2
-4 -6 -8
1
2
18 12 y=x3
23 4
3 4…
27 64 …
3 2…
提高训练
1、已知幂函数
的值。
图像过点（-2,16），求
2、求下列函数的定义域。
3、
1、解：由题意得： 函数达式为
2、解（1） 则定义域为
（2）
式子有意义时满足
式子有意义时满足 则定义域为
幂函数的图象及性质
对于幂函数，我们只讨论 =1，2，3，1 ，-1 2
时的情形。
五个常用幂函数的图像和性质
） 利 用
性 判 断
数型单无
）调（
2
函性）
问题引入
我们先看几个具体问题:
w (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p= 元
(2) 如果正方形的边长为a,那么正方形的面积
yx
S a2
(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体的体积
V a3
y x2
y x3
(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长
1
y=x 2
x
函数 y x3 的图像
定义域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
1
函数 y x 2 的图像
定义域：[0,)
奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
幂函数的定义域、奇偶性和单调性，随常数α取值 的不同而不同.
y=x
定义域
R
y = x2
R
y= x3
R
1
y x2
（3）奇偶性与a有关
范例讲解
例1、如果函数f (x) (m2 m 1)xm22m3
是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满
足条件的实数m的值.
解：由题意有 m2 m 1 1
m2 2m 3 0
m2 m 2 0 m2 2m 3 0
m 2或m 1 m2 2m 3 0
m 2
从而有 f (x) x3 是幂函数，且在区间（0，
+∞）内是减函数.
练习4：
已知函数 f (x) m2 3m 3 xm22 是幂函
数,并且是偶函数，求m的值。
解:因为f (x) m2 3m 3 xm22是幂函数
m2 3m 3 1 解之得: m 2或m 1
又因为f (x)是偶函数
前的系数必须是1，没有其它项。
（3）定义域与 的值有关系.
幂函数与指数函数的对比：
式子
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
名称
常数
x
a为底数 指数
α为指数 底数
y
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
幂函数
练习：判断下列函数哪几个是幂函数？
a<0a>1 a=1
0<a<1
a=0
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
指数相同的
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
两个数比较 大小：先分
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
公式整理 函数图像及性质整理
函数
指数函数
对数函数
幂函数
图像
定义域 单调性
奇偶性 共同点
南漳县职教中心 黄晓梅
温故知新
为单共
增调同
函性特
义 域 上 为 减 函
数 ， 底 数 在 到
1
一 致 底 数 大 于
1
点 ： （ ） 无 奇
01
数
之 间 ，， 定 义 域2偶 性 （定上）
比单常
较调见
数 求 定
大 小 底
性 判 断
题 型 （
1
义 域 底
4
数 （ ）
3
底 数 （
） 奇 偶
数 、 真
对 数 （
1 xo1
1 x o1
x
性 都经过定点（1，1） 质
在[0，+∞)为
在[0，+∞)为单
单调增函数.（慢增） 调增函数.
（快增）
在（0，+∞)为 单调减函数. (慢减)
幂函数在第一象限内的图像与性质