最新二阶系统时域响应
32-3 二阶系统时域响应
《自动控制理论》
§3.３ 3.３ §3.３.1 3.３
二阶系统的时间响应及动态性能
传递函数标准形式及分类
2 D(s) = s 2 + 2ξωn s + ωn = 0
《自动控制理论》
二阶系统的时域响应
R-L-C电路，其传递函数为： 电路，其传递函数为：
Uc( s) 1 G( s) = = Ur( s) LCs2 + RCs +1
s1, 2 = ± jωn
对应的单位阶跃响应为
c(t ) = 1 − cos ωnt
由此表明系统在无阻尼时，其瞬态响应呈等幅振荡，振荡 由此表明系统在无阻尼时，其瞬态响应呈等幅振荡， 频率为 wn 。 wn
《自动控制理论》
二阶系统的时域响应
（2）临界阻尼 (ξ = 1)
ξ =1时 系统具有两个相等的实根， 当ξ =1时，系统具有两个相等的实根，即 s1, 2 = −ωn 。此时 系统输出的拉氏变换为
《自动控制理论》
§3.3.4 二阶系统阶的动态校正
比例微分(PD)校正 例1. 比例微分 校正
校正前图3-7b所示系统的特征方程为： 所示系统的特征方程为： 校正前图 所示系统的特征方程为
Js 2 + fs + K = 0
对应的
ωn =
K F , ξ= J 2 KJ
(3 - 33)
图3-15 具有PD校正的二阶系统 具有 校正的二阶系统
π −β ωd
（3-18） 18） （3-19） 19）
ξπ
1−ξ 2
π ωd
c(tp) − c(∞) − （3）超调量 Mp = = c(tp) −1 = e c(∞) 1 1 1 ts = (ln + ln ) （4）调整时间 2 ∆ ξ ωd 1− ξ
第3讲 二阶系统的时域分析
18
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (0 1)：欠阻尼
s 1, 2 ζω n jωn 1 ζ
2
ζω n jωd
c (t ) 1 Fra biblioteke ζωn t 1 ζ 2
sin(ωd t β ) ,
t 0
⒈ 上升时间 t r ：根据定义，当 t t r时，c(tr ) 1 。
3
s1, 2 n n 1
2
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平 面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为临界阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 ⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S 平面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为过阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 以上 1 属于非振荡情况
于是有：
tr d
ωd ωn 1 ζ 2
n
n
j n 1 2 j d
n
称为阻尼角
j n 1 2
cos
可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正比； 而当阻尼振荡频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
2 n 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 s 2 n s n s
2 其中, 由特征方程 s 2 2 n s n 0
可求得两个特征根（即闭环极点）
s1, 2 n n 2 1
6
[分析]：
s1, 2 n n 1
s n n 1 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n
5 第五讲 二阶系统时域响应
-
1/(s-1)(s+1)
C
−
Fig. SP 5.3.1
(1) 讨论系统的稳定性。 (2)确定K的范围，使得其闭环极点都在复平 面的左半平面。
解: 传递函数为:
C K (s −1 s +3 )( ) K = = R 1+K (s −1 s +3 (s −1 s +3 +K )( ) )( )
1.0
Tr
Tp
Ts(2%) 调节时间
t
上升时间 峰值时间
图.5.6 典型的二阶阶跃响应
2. 峰值时间或 Tp π π = Tp = ω ω 1−ζ 2 d n
定义为第一个最 超调值所对应的 1.0 时间
c(t) 超调 稳态输出 +2%
t
Tr 上升时间
Tp 峰值时间
Ts(2%) 调节时间
图.5.6 典型二阶阶跃响应
单位阶跃输入时:
C(s) 17 = 2 C(t) R(s) s +6s +25 0.748 0.680 17 25 = 2 25 s +6s +25
0.714 0.646
π Tp = = 0.785s ωd
t 0.785 1.00
图. SP 5.2.3
稳态输出为 0.68
例 5.3
一个控制系统，它有一个开环极点在 复平面的右半平面。
结论 (P81,1-7) :
1.等阻尼线是以原点为中心的径向射 线。 2. 等无阻尼自然频率是以原点为圆心的 圆周。 3.实轴上的单极点表示为一阶系统，它 在阶跃输入作用下不发生振荡。
4. 过阻尼( >1) 二阶系统由位于实轴上 ζ 的两个极点表示。它与等于1或大于1 90o 的阻尼一致，位于一条与虚轴成 的射线上。 5. 位于虚轴的极点产生等幅振荡的时 域响应，与零阻尼一致
二阶系统的时域响应
n n 2 1 C ( s) s1 2 R( s ) s s1 s n n 1
§３－３二阶系统的时域响应 近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。
此时系统的单位阶跃响应为：
c(t ) 1 e
系统的响应时间为
( 2 1 ) n t
2
1
2
)0
t t r时，e ntr 0, 故只有
sin( 1 2 nt arct an 1
2
)0
2 1 则必有 1 2 ntr arctan n , n 0,1,2.....
因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故取 n=1,于是§３－３二阶系统的时域
查拉氏变换表，可求得：
c(t ) 1 1 1
2
§ ３－３二阶系统的时域响应
e nt sin( 1 2 nt arct an 1 2
), t 0
欠阻尼时，系统的阶跃响应 c(t ) 的第一项是稳 态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正 弦振荡，其振荡频率为 d 称为阻尼自然振荡频率。 1 2
2
cos( d t p ) n
e nt 1
2
sin(d t p ) 0
§３－３二阶系统的时域响应 移项并约去公因子后得
1 2 d tan( d t p ) n
到达第一个峰值时 d t p ，从而得
tp d n 1 2
取横坐标为 n t ，不同阻尼比 值下的二阶系统单位阶跃响 应曲线族如图所示：
§３－３二阶系统的时域响应
从图可见： （１） 越小，振荡越厉害，当 增大到１以后，曲线变为欠阻尼系统比临界阻尼系统更快 （２） 达到稳态值。 （３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。 （４）过阻尼系统过渡过程时间长。
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述时域分析是控制系统理论中的重要内容，主要用于分析系统的时间响应。
在时域分析中，我们会关注系统的输入和输出之间的关系，并研究系统在时间上的性能指标和特征。
本文将重点讲述一阶和二阶系统的时间响应。
一、一阶系统的时间响应一阶系统是指系统的传递函数中只有一个一阶多项式的系统，其传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)其中，K是系统的增益，T是系统的时间常数。
一阶系统的单位阶跃响应是常用的时间响应之一，通过对系统施加一个单位阶跃输入，可以得到系统的响应曲线。
单位阶跃输入可以表示为：u(t)=1由于一阶系统的传递函数是一个一阶多项式，因此它的拉普拉斯变换可以通过部分分式展开得到：G(s)=K/(Ts+1)=A/(s+1/T)通过进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统的单位阶跃响应函数y(t)：y(t) = K(1 - exp(-t/T))其中，exp(-t/T)为底数为e的指数函数，表示系统的响应曲线在t时刻的衰减程度。
从单位阶跃响应函数可以看出，一阶系统的时间常数T决定了系统的响应速度和衰减程度。
时间常数越小，系统的响应越快速，衰减程度也越快。
二、二阶系统的时间响应二阶系统是指系统的传递函数中有一个二阶多项式的系统，通常可以表示为：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns+ω_n^2)其中，K是系统的增益，ξ是系统的阻尼比，ω_n是系统的自然频率。
二阶系统的时间常数和质量阻尼比是描述系统性能的重要参数。
时间常数决定了系统响应的速度，质量阻尼比则影响了系统的稳定性和衰减程度。
对于二阶系统的单位阶跃响应，可以通过拉普拉斯逆变换得到响应函数y(t)：y(t) = K*(1 - (1-ξ^2)^0.5 * exp(-ξω_nt) * cos((1-ξ^2)^0.5 * ω_nt + φ))其中，φ为相位角，由初始条件和变量确定。
从单位阶跃响应函数可以看出，二阶系统的阻尼比ξ决定了系统的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的响应形式。
二阶系统闭环参数ω和对时域响应ξ的影响
二阶系统闭环参数ω和对时域响应ξ的影响闭环系统的参数ω和ξ对系统的动态响应有着重要的影响。
ω是系统的自然频率，决定了系统的振荡速度；ξ是系统的阻尼比，决定了系统的振荡衰减速度。
本文将从时间域分析闭环系统对ω和ξ的影响，具体表现在系统的稳态误差、超调量、上升时间和振荡周期等方面。
首先，稳态误差是指系统在输入信号稳定后的偏差大小。
对于二阶系统，稳态误差与ω和ξ有关。
当ω较大时，系统的自然频率高，响应速度快，稳态误差较小。
相反，当ω较小时，系统的自然频率低，响应速度慢，稳态误差较大。
对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，响应速度快，稳态误差较小。
当ξ较小时，系统的阻尼比低，响应速度慢，稳态误差较大。
其次，超调量是指系统响应的最大偏差值与系统稳定值之间的差别。
对于二阶系统，超调量也与ω和ξ有关。
当ω较大时，系统的自然频率高，响应速度快，超调量较小。
相反，当ω较小时，系统的自然频率低，响应速度慢，超调量较大。
对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，响应速度快，超调量较小。
当ξ较小时，系统的阻尼比低，响应速度慢，超调量较大。
再次，上升时间是指系统从0%到100%响应稳定值所需的时间。
在二阶系统中，上升时间与ω和ξ有关。
当ω较大时，系统的自然频率高，响应速度快，上升时间较短。
相反，当ω较小时，系统的自然频率低，响应速度慢，上升时间较长。
对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，响应速度快，上升时间较短。
当ξ较小时，系统的阻尼比低，响应速度慢，上升时间较长。
最后，振荡周期是指系统响应从一次峰值到下一次峰值所经历的时间。
对于二阶系统，振荡周期也与ω和ξ有关。
当ω较大时，系统的自然频率高，振荡周期较短。
相反，当ω较小时，系统的自然频率低，振荡周期较长。
对于ξ来说，当ξ较大时，系统的阻尼比高，振荡周期较短。
当ξ较小时，系统的阻尼比低，振荡周期较长。
综上所述，二阶系统的参数ω和ξ对系统的动态响应有着重要的影响。
其中，ω决定了系统的振荡速度，ξ决定了系统的振荡衰减速度。
二阶系统的时域分析.ppt
d ds
[C
(s
)(
s
n
)
2
]s
n
1
2 [C(s) (s n )2 ]sn n
C(t) 1 ent ntent 1 ent (1 nt) (t 0)
j [s]
s1s2
n o
1
C(t) 1
1 是输出响应的单调和振荡过程的分界，通
常称为临界阻尼状态。
o
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
况，故称为阻尼系数。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
10
3.二阶系统的性能指标(1)－上升时间
根据定义，当 t tr时，c(tr ) 1。 令 c(t) 1 et sin (dt+ ) =1
sin
c(t) 1 et sin (dt+ ) , t 0 sin
e t sin (d t+ ) 0 sin
T1 T2
n
T2
1
n
h(t)= 1 -(1临+ω界n阻t)尼0je-ωnt
0＜0＜ξ＜ξ＜1 1 S1,2= -ξ ωn ±jj ωn√1-ξξ2 ＝0
jj 0
0
0
e - h(t)=
ξ＝1 0 1
2020/3/2√91-ξ2
-ξωSnt欠1s,2i阻n=(尼ω±d3t-j3+二ωβ阶n)系统的时域分析
为阻尼振荡圆频率。
2020/3/29
3-3二阶系统的时域分析
1 2 是振荡频率。称 d
5
2.二阶系统的单位阶跃响应(4)-过阻尼
极点：s1,2 n n 2 1
阶跃响应：c(t) 1
n
二阶系统的时域响应与极点的关系-概述说明以及解释
二阶系统的时域响应与极点的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二阶系统是一类常见的控制系统，其具有两个自由度。
在控制理论中，了解二阶系统的时域响应与极点的关系对于系统分析和设计非常重要。
本文旨在通过探讨二阶系统的时域响应与极点的关系，揭示出其内在的数学规律和工程应用。
在本文中，我们会对二阶系统进行定义和特点的介绍，然后重点关注时域响应与极点之间的联系。
二阶系统的时域响应是指系统在时域上对输入信号的响应情况，它包括了系统的过渡过程、稳定过程和超调量等重要指标。
而系统的极点则是描述系统动态特性的重要参数，它们决定了系统的稳定性、阻尼性和振荡频率等方面。
在本文的后续内容中，我们将通过实例和数学分析，详细探讨二阶系统的时域响应与极点之间的关系。
我们将会介绍不同类型的二阶系统以及它们的特点，在此基础上，深入研究时域响应与极点之间的对应关系。
通过了解二阶系统的时域响应与极点的关系，我们可以更好地理解和分析控制系统的动态特性，为系统设计和性能调整提供理论依据和指导。
对于工程实践中的控制系统设计和优化，这一关系的理解具有重要的实际应用意义。
接下来的内容将重点聚焦于系统的定义和特点，以及时域响应与极点之间的关系，希望读者能够通过本文对二阶系统有更全面、深入的了解。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将围绕二阶系统的时域响应与极点的关系展开讨论。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先对二阶系统进行概述，介绍了其定义和特点。
随后，本节将阐述文章的结构安排，为读者提供对接下来内容的整体了解。
最后，明确本文的目的，即通过分析二阶系统时域响应与极点之间的关系，探索出对二阶系统的应用和意义。
正文部分将详细探讨二阶系统的时域响应与极点之间的关系。
首先，将对二阶系统的定义和特点进行阐述，以便读者对系统本身有清晰的认识。
然后，我们将深入研究时域响应和极点之间的关系，并通过理论分析和实例说明，阐释二阶系统响应特性与极点位置之间的关联。