二阶系统的时域响应
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型
二阶系统的时域分析二阶系统的数学模型二阶系统指的是系统的动态特性可以由一个二阶微分方程描述的系统。
在控制工程中，二阶系统的时域分析主要包括对系统阶跃响应、脉冲响应、频率响应等进行分析。
下面将详细介绍二阶系统的数学模型以及各种时域分析方法。
二阶系统可以由一个二阶微分方程进行描述。
一般而言，二阶系统的数学模型可以写成如下形式：\[a_2\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + a_1\frac{{dy(t)}}{{dt}} +a_0y(t) = b_2\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} + b_1\frac{{du(t)}}{{dt}}+ b_0u(t)\]其中，y(t)为系统的输出，u(t)为系统的输入，a_0、a_1、a_2以及b_0、b_1、b_2分别为系统的系数。
这个方程也可以写成常用的形式：\[\frac{{d^2y(t)}}{{dt^2}} + 2ζω_n\frac{{dy(t)}}{{dt}} +ω_n^2y(t) = K_p\frac{{d^2u(t)}}{{dt^2}} +T_i\frac{{du(t)}}{{dt}} + K_cu(t)\]其中，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率，K_p为比例增益，T_i为积分时间常数，K_c为控制器增益。
2.二阶系统的阶跃响应阶跃响应是指系统在接受一个单位阶跃信号作为输入时的响应。
通过对二阶系统的数学模型应用拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其阶跃响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))\]其中，A为阶跃响应的幅度，ω_d为阻尼振荡角频率，ϕ为相位角。
3.二阶系统的脉冲响应脉冲响应是指系统在接受一个单位脉冲信号作为输入时的响应。
与阶跃响应类似，通过对二阶系统的数学模型进行拉普拉斯变换，可以得到系统的传递函数。
对于一个传递函数为G(s)的系统，其脉冲响应可以通过下面的公式得到：\[y(t) = \frac{{A(1 - e^{-ζω_nt}\cos(ω_d t + ϕ))}}{{\sqrt{1-ζ^2}}}\]其中，A为单位脉冲信号的幅度。
第3讲 二阶系统的时域分析
18
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (0 1)：欠阻尼
s 1, 2 ζω n jωn 1 ζ
2
ζω n jωd
c (t ) 1 Fra biblioteke ζωn t 1 ζ 2
sin(ωd t β ) ,
t 0
⒈ 上升时间 t r ：根据定义，当 t t r时，c(tr ) 1 。
3
s1, 2 n n 1
2
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平 面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为临界阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 ⒋ 当 1 时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S 平面负实轴上，系统时间响应无振荡，称为过阻尼系统，系统 的阶跃响应为非振荡过程。 以上 1 属于非振荡情况
于是有：
tr d
ωd ωn 1 ζ 2
n
n
j n 1 2 j d
n
称为阻尼角
j n 1 2
cos
可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正比； 而当阻尼振荡频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
2 n 1 C ( s) ( s) R( s) 2 2 s 2 n s n s
2 其中, 由特征方程 s 2 2 n s n 0
可求得两个特征根（即闭环极点）
s1, 2 n n 2 1
6
[分析]：
s1, 2 n n 1
s n n 1 2 2 2 2 s s 2 n s n s 2 n s n
自动控制理论时域分析2--二阶系统
4．调整时间 t s（又称过渡过程时间） ：响应曲线达到并 保持与稳态值之差在预定的差值△内（又叫误差带 ）所 需要的时间。一般△取±2%或±5%。
二、二阶系统的动态响应性能指标 （1）峰值时间 t P
因为
c (t ) 1 e nt 1
2
sin( d t )
t n p d
dc ( t ) dt
d p
0
ttp
e sin( t ) e cos( t ) 0
t n p n d p
整理得：
tg ( ) dtp
12
p t p 0, ,2 ,3
n
0 Re
s1
s2
0
Re
s2
s1
0
Re
0
Re
s2
(a) 0 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0
特征根为：共扼复数 特征根为：
相等实数
不等实数
共扼虚数
1．欠阻尼情况 :
( 0 1 )
2
s n 1 1 , 2 n
s j 1 , 2 n d
c ( t) 1 cos t n
c (t )
( 0)
(t 0)
2
1
0
t
这是一条等幅振荡曲线。
( 0)
c (t )
1
c (t ) r (t )
2
1
1
c (t )
0
t
0
t
( 0 1 )
1
r (t )
第三章 控制系统的时域分析—2二阶系统时域分析
2 n
1
s
L1
A0 s
s
A1 s1
s
A2 s2
s2 s1
其 中A0 s C(s) s0 1A1 , A2自 己 求
8
c t
1
A1e s1t
A2e s2t
1
s2
1 s1
s1e s2t s2e s1t
❖单调过程，无超调， 大，内耗大，无法维持能量交换，即
二阶系统的时域响应
快
稳
准
动态性能分析 tr,td,tp,ts,s%
稳定性分析 稳态性能分析
Routh判据
ess
二阶系统的基本性质及结论
2
3-3 二阶系统的时域分析
二阶系统：以二阶微分方程作为运动方程的控制系统。 1 二阶系统的数学模型
一伺服系统，系统框图如下：
R(s) E(s)
K
C(s)
- sTms 1
振荡角频率”
10
(s)
s2
1 2 01s
1
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
11
❖临界阻尼下单位阶跃响应 1 1
r(t) 1(t) , R(s) 1 s
s1 s2 n
s1 s2
C(s) n2 1 1 n 1
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为:
s2 2ns n2 0
自动控制理论时域分析2-二阶系统
案例二：二阶系统稳定性分析与改善
稳定性分析方法
介绍时域分析法中的劳斯判据、赫尔维茨判据等方法，用于判断二 阶系统的稳定性。
改善稳定性措施
探讨通过改变系统参数、引入附加环节等措施来改善二阶系统的稳 定性。
仿真验证
利用MATLAB/Simulink等仿真工具对改善前后的二阶系统进行建模 和仿真，验证改善措施的有效性。
CHAPTER
二阶线性常微分方程
二阶线性常微分方程的一般形式： $Tfrac{d^2y}{dt^2} + frac{dy}{dt} + Ky = F(t)$
方程的解由输入信号 $F(t)$ 和系统初 始条件共同决定
其中，$T$ 为时间常数，$K$ 为放大 系数，$F(t)$ 为输入信号
二阶系统的传递函数
二阶系统稳定性的判定方法
二阶系统的稳定性可以通 过判断其阻尼比和自然频 率来确定。
当阻尼比大于1时，系统是 过阻尼的，输出会缓慢地趋 近于零，系统是稳定的。
当阻尼比等于1时，系统是临 界阻尼的，输出会以最快的速 度趋近于零，系统也是稳定的 。
当阻尼比等于0时，系统是无 阻尼的，输出会呈现等幅振荡 的形式，系统是不稳定的。
谢谢
THANKS
二阶系统的基本概念
01
二阶系统是指具有两个独立状态变量的线性定常系统，其数学 模型可用二阶常微分方程描述。
02
二阶系统具有广泛的代表性，许多实际系统可简化为二阶系统
进行分析。
二阶系统的性能指标包括阻尼比、自然频率、峰值时间、超调
03
量等，这些指标对于评价系统性能具有重要意义。
02 二阶系统的数学模型
当阻尼比小于1时，系统是欠 阻尼的，输出会呈现振荡衰减 的趋势，系统仍然是稳定的。
二阶系统的时间响应
xo (t)
n 1 2
ent
sin dt,
t0
xo (t) n sin nt, t 0
➢ = 1： xo (t) n2tent , t 0
➢ > 1：
xo (t) 2
n e 2 1
2 1 nt e
2
1
nt
t0
3、二阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
Xo (s)
G(s)Xi (s)
)
0
即： tg(dt p )
1 2 tg
dt p k , k 0, 1, 2,
根据tp的定义解上方程可得：
tp
d
n
12
可见，峰值时间等于阻尼振荡周期Td＝2/d的一
半。且一定，n越大，tp越小；n一定， 越大，
tp 越大。
✓ 最大超调量 Mp
100
M
p
xo (t e
✓ 调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围（稳态值 的2%或5%）内所需的时间。
评价系统平稳性的性能指标
✓ 最大超调量Mp 响应曲线的最大峰值与稳态值之差。通常用百 分数表示：
M
p
xo (t p ) xo () xo ()
100%
若xo(tp) xo()，则响应无超调。
✓ 振荡次数N 在调整时间ts内系统响应曲线的振荡次数。
1 ent 1
12
可以求得：
ln ln 1 2
ts
n
由上式求得的ts包通常偏保守。
当0<<0.7时，
ts
ln ln
n
1 2
4
3n
, ,
二阶系统的时域响应
n n 2 1 C ( s) s1 2 R( s ) s s1 s n n 1
§３－３二阶系统的时域响应 近似传函与原传函的初始值和终值保持不变。
此时系统的单位阶跃响应为：
c(t ) 1 e
系统的响应时间为
( 2 1 ) n t
2
1
2
)0
t t r时，e ntr 0, 故只有
sin( 1 2 nt arct an 1
2
)0
2 1 则必有 1 2 ntr arctan n , n 0,1,2.....
因为上升时间是第一次达到稳态值的时间，故取 n=1,于是§３－３二阶系统的时域
查拉氏变换表，可求得：
c(t ) 1 1 1
2
§ ３－３二阶系统的时域响应
e nt sin( 1 2 nt arct an 1 2
), t 0
欠阻尼时，系统的阶跃响应 c(t ) 的第一项是稳 态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正 弦振荡，其振荡频率为 d 称为阻尼自然振荡频率。 1 2
2
cos( d t p ) n
e nt 1
2
sin(d t p ) 0
§３－３二阶系统的时域响应 移项并约去公因子后得
1 2 d tan( d t p ) n
到达第一个峰值时 d t p ，从而得
tp d n 1 2
取横坐标为 n t ，不同阻尼比 值下的二阶系统单位阶跃响 应曲线族如图所示：
§３－３二阶系统的时域响应
从图可见： （１） 越小，振荡越厉害，当 增大到１以后，曲线变为欠阻尼系统比临界阻尼系统更快 （２） 达到稳态值。 （３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。 （４）过阻尼系统过渡过程时间长。
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述
控制系统的时域分析_一二阶时间响应讲述时域分析是控制系统理论中的重要内容，主要用于分析系统的时间响应。
在时域分析中，我们会关注系统的输入和输出之间的关系，并研究系统在时间上的性能指标和特征。
本文将重点讲述一阶和二阶系统的时间响应。
一、一阶系统的时间响应一阶系统是指系统的传递函数中只有一个一阶多项式的系统，其传递函数形式为：G(s)=K/(Ts+1)其中，K是系统的增益，T是系统的时间常数。
一阶系统的单位阶跃响应是常用的时间响应之一，通过对系统施加一个单位阶跃输入，可以得到系统的响应曲线。
单位阶跃输入可以表示为：u(t)=1由于一阶系统的传递函数是一个一阶多项式，因此它的拉普拉斯变换可以通过部分分式展开得到：G(s)=K/(Ts+1)=A/(s+1/T)通过进行拉普拉斯逆变换，可以得到系统的单位阶跃响应函数y(t)：y(t) = K(1 - exp(-t/T))其中，exp(-t/T)为底数为e的指数函数，表示系统的响应曲线在t时刻的衰减程度。
从单位阶跃响应函数可以看出，一阶系统的时间常数T决定了系统的响应速度和衰减程度。
时间常数越小，系统的响应越快速，衰减程度也越快。
二、二阶系统的时间响应二阶系统是指系统的传递函数中有一个二阶多项式的系统，通常可以表示为：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns+ω_n^2)其中，K是系统的增益，ξ是系统的阻尼比，ω_n是系统的自然频率。
二阶系统的时间常数和质量阻尼比是描述系统性能的重要参数。
时间常数决定了系统响应的速度，质量阻尼比则影响了系统的稳定性和衰减程度。
对于二阶系统的单位阶跃响应，可以通过拉普拉斯逆变换得到响应函数y(t)：y(t) = K*(1 - (1-ξ^2)^0.5 * exp(-ξω_nt) * cos((1-ξ^2)^0.5 * ω_nt + φ))其中，φ为相位角，由初始条件和变量确定。
从单位阶跃响应函数可以看出，二阶系统的阻尼比ξ决定了系统的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼的响应形式。
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系统的闭环极点为
s1 ( j 12)n
s2 ( j 12)n
n
n
×
j n 1 2
是一对共轭复数极点，因为实部极点为
负 (n), 所以位于左半Ｓ平面。单位
阶跃输入时，输出的拉氏变换为：
C (s) s(s n j n1 2)n 2 s( n j n1 2)
查拉氏变换§表３，－可求３得二：阶系统的时域响应
s(s
n2 n
)2
c (t) 1 e n t( 1 n t) ， t 0
此时二阶系统的单位阶跃响应为单调上升曲线。
二阶系统有两个参数 和 n ，阻尼比 是二阶
系统的重要特征参数，不同阻尼比的二阶系统的阶 跃响应有很大区别。
取横坐标为 n t ，不同阻尼比 值下的二阶系统单位阶跃响
应曲线族如§图３所示－：３二阶系统的时域响应
c(t)1con st
是无阻尼等幅振荡， n 为系统的无阻尼自然频率。
d 总是 n 的 ,越 小 ,(在 大 0 于 1 的) 范 ,d 越 围 小
§３－３二阶系统的时域响应 j
３.临界阻尼 ( 1)的情况
当 1时，闭环极点为：
s1,2 n
单位阶跃响应的拉氏变换为
××
n
0
c(s)
求其拉氏反变换，得
10 K O
F(s) KOG(s) 0.2s1 1KHG(s) 110KH
10KO
0.2s110KH
0.2s1
0.2
1 10K H 10 K O
T* 0.02 K* 10
1 10K H
K H 0.9
KO
10
1 10 K H 0.2 s 1 1 10 K H
例2 已知单位反馈系统的单位阶跃响应 h(t)1eat
近似§传３函－与原３传二函阶的系初始统值的和时终值域保响持应不变。
此时系统的单位阶跃响应为：
c(t)1e(21)nt， t0
系统的响应时间为
3
(达到 95%）
( 21)n
相当于惯性时间常数
1
( 2 1)n
在工程上，当 1.5时，使用上述近似关系已
有足够的准确度了．
j
２．欠§阻３尼－0３二1阶的系情况统的时域× 响应 jn 1 2
c (t) 1 1 e n t sin 1 (2 1 2
1 2 n t arcta)n t, 0
欠阻尼时，系统的阶跃响应 c (t ) 的第一项是稳
态分量，第二项是振幅按指数规律衰减的阻尼正
弦振荡，其振荡频率为
d n 12
d 称为阻尼自然振荡频率。
C(t)
C(∞)
0
t
当 0时，可得系统的无 响阻 应尼 为
1saa
a s
sa
§３－３二阶系统的时域响应
在分析和设计系统时，二阶系统的响应特性常被
视为一种基准，虽然实际中的系统不尽是二阶系统，
但高阶系统常可以用二阶系统近似。因此对二阶系统
的响应进行重点讨论。
C(s) R(s)
s2
k1k2 sk1k2
R(s)
k1
s 1
k2
C(s)
s
k1k 2
s 2 1 s k1k2
一．§二３阶－系３统的二单阶位系阶统跃的响时应域响应
二阶系统的响应分三种情况讨论．
１．过阻尼（ ＞1）的情况
闭环极点为
s1 ( 2 1)n s2 ( 2 1)n
∵ ＞1， s1,s2是
小于零的两个实根．
系统§的３单位－阶３跃二响应阶可系求统得的如下时：域响应nsn2) s(ss1)(ss2)
试求 F(s) , k(t) , G(s) 。
解． k (t) h (t) [1 e a]t a a et
F(s)L[k(t)] a sa
F(s) G(s) 1G(s)
F (s)1 [ G (s)] G (s)
G (s) F (s)G (s) F (s) G(s) F(s)
1F(s)
a
G(s) F(s) 1F(s)
MP
态值的时间．
0.05或 0.02
在（＊）式中令c(t)=1，可得
§3.2.3 一阶系统的典型响应
r(t) R(s) C(§s)=3F.(2s).R3(s一) 阶系统c(t)的典型一阶响系应统典型响应
d(t) 1
1(t)
t
例1 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小
到原来的0.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数Ko和KH 的取值。
10KO
2 n
s ( s 2 n )
令 k §1 k３2 － ３n 2二,1阶系2统 的n, 时域响应
则
C(s) R(s)
s2
2 n
2 nsn 2
上式为典型二阶系统的传递函数。
——阻尼比或衰减系数
n——无阻尼自然震荡角频率
由系统的特征方程不难求出闭环系统的极点为
s1 ( 2 1)n
s2 ( 2 1)n
从图可见：
（１） 越小，振荡越厉害，当 增大到１以后，曲线变为
单调上升。
（２）0.5~0.8之间时，欠阻尼系统比临界阻尼系统更快
达到稳态值。 （３）在无振荡时，临界阻尼系统具有最快的响应。 （４）过阻尼系统过渡过程时间长。
二．二§阶３系－统３暂态二响阶应系的统性的能时指域标响应
二阶系统的特征参量阻尼比 和无阻尼自然
A0 A1 A2 s ss1 ss2
按不同极点的情况求系数 A0, A1, A2
A0 C(s) s s0 1
A1
C(s)(ss1)
ss1
2
1
2 1(
2 1)
A2
C(s)(ss2) ss2
2
1
2 1(
2 1)
求拉§氏３反变－换３，二得阶系统的时域响应
c(t) 1 1 e (2 1 ) n te (2 1 ) n t ,t 0 2 2 1 2 1 2 1
振荡角频率 n 对系统的响应具有决定性的影响。
现在针对阻尼 (01) 的情况，讨论暂态
响应指标与特征参量的关系。
欠阻尼时，二阶系统的单位阶跃响应为
c(t) 1 e n tsin 1 (2 1 2
1 2 n t arctan )t,0
（＊）
C(t)
1.上升时间 tr
在暂态过程中，第一次达到稳 1
可见，单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量两部 分组成，而暂态分量包含两项衰减的指数项．比较两
项的衰减指数，当 »１时，后一项的衰减指数远大
于前一项，就是后一项衰减得很快，只在响应的初期
有影响。所以对过阻尼二阶系统，当 »１时，可以
近似为一阶系统，将后一项忽略。得到近似传递函数：
C(s) nn 21 s1 R(s) s nn 21 ss1