矩阵论小结
矩阵论小结
矩阵论线性空间定义：本质是个集合，满足一定条件卜•的集合。
首先定义了加法运算（满足加法的交换结合律），在这个集合中能找到零元素，与负元素；然后定义数乘运算（数域上的元素与集合当中的元素相乘），并且满足数乘的分配，结合律（集合中的兀素能否进行乘法运算并没有定义）。
最后指出，这些运算都是封闭的，运算的结果与集合中的九素唯一对应。
称这样的一个集合为线性空间。
注总:运算结果与集介中的元素对应。
例如0*a=0 （此零非彼零,不是数域里的零,而是线性空间当中的零,即集合当中的零元素＜很可能不是零〉）核空间：矩阵A对应于齐次线性方程组Ax=O的解空间。
子空间：线性空间对应集合的一个子集，并且也满足线性空间的定义的一个子集。
其中，冬空间，与线性空间本身构成平凡子空间，还存在的其他子空河构成非平凡子空间。
矩阵A的核空间就是他的•个子空间，相当于对矩阵A构成的空间中的尤素进行了限定。
矩阵A的列向量的线性组介构成了矩阵A的值域空间（其中的基为最人无关组的个数）。
注意:子空间交,与子空间的和任然为子空间,但子空间的并集不一定再是子空间。
属于两个子空间的线性无关的两个基的并基构成新的元素，但是这个元素不在属于原来的两个子空间的任意一个。
子空间中的几个等价定义：（1）直和定义为VI与V2的交空间只包含零元素（不一定是数字零），构成零子空间（2）直和空间中的元素表达式唯一。
（3）VI的基于V2的基直接构成直和空间的基。
（4）和空间的维度等于VI巧V2维度的和。
线性映射性质：（1）VI的零元素经过线性映射变为V2的零元素（2 ）线性相关组经过线性映射之后任然为线性相关（3）线性无关组经过单射线性映射后任然为线性无关同构：两个线性空间之间存在一个一一对应的线性变换，则称这两个矩阵是同构的。
相应的线性变换称为同构映射。
任一线性空间都能够找到一个数域向量与其同构,这个向最就是坐标。
线性变换T的秩，线性映射的坐标表示：T表示线性空间到线性空间的映射，在貝体的基底下（两个线性空间基都确定的情况），可以由一个矩阵A表示T,为V到V '的线性映射。
矩阵运算理论小结
班级：09金融3 学号：2009241164 姓名：陈妮矩阵运算理论小结运算是数学的基础概念和基础内容，矩阵是线性代数的基础概念和基础内容。
因此，矩阵运算理论是线性代数的重要理论之一。
矩阵是贯穿线性代数各部分内容的一条线索。
线性代数中的很多计算及应用与矩阵及其运算都有密切的关系。
掌握并能灵活运用矩阵运算及其性质是学好线性代数的一个必备条件。
矩阵运算的基本途径就是设法把一个较复杂的矩阵计算问题转化为一个简单的、易于求解的矩阵计算问题。
在《经济数学—线性代数》这一本书中，对矩阵的定义是：由m ×n 个aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成的m 行n 列的数表111213121222323132333123.................n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a 称为m 行n 列的矩阵，简称m ×n 矩阵。
一．线性方程组的矩阵表示 设有线性方程组若记则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式：(2)其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程. 如果是方程组(1)的解, 记列矩阵则，这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解,即有矩阵等式成立, 则 即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.二．矩阵的初等变换把线性方程组的三种初等变换移植到矩阵上，就得到矩阵的三种初等行变化：1.对调矩阵的两行（换行变换）2.以非零常数K乘矩阵某一行的各元（倍法行变换）3.把某一行所有的元素的K倍加到另一行对应的元上去（倍加行变换）。
把定义中的“行”变成“列”，即得矩阵的初等列变换定义，矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换。
学习矩阵论心得体会 如何学好矩阵论(优秀3篇)
学习矩阵论心得体会如何学好矩阵论（优秀3篇）（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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矩阵论范数知识点总结
矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。
矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。
本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。
二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。
也可以看成是一个数域上的矩形阵列。
矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。
一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。
三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。
对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。
对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。
矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。
1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。
1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。
矩阵论
矩阵论中概念的个人理解矩阵论概述：矩阵论这门学科，其实我们很早就有接触，只是以前学的浅显，只是懂得皮毛，很多问题只是浅尝辄止，课本上也并没有深入的延伸一些知识点，在我们大学者们课程虽然是专业课，但也只是学了一些所谓的基础重要的章节，像行列式的计算，矩阵的初等变换，特征值的计算，对于考研的要求也只是在此基础上增加了各种标准型之间的转化和转化矩阵的求法，算是初具系统化，到接触到矩阵论这门课程，才算是矩阵的一些知识做了梳理和综合，并引入空间，线性变换等概念，研究的深度和广度都有所扩展，也让我们对矩阵有了全面的了解。
矩阵论是一本针对广大研究生开设的一门数学基础课，也是贯穿在很多学科中的一种非常实用的计算工具。
根据世界数学发展史记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组的需要而产生的。
然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。
在我国的《九章算术》一书中已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。
1850年，英国数学家西尔维斯特(SylveSter，1814--1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。
1855年，英国数学家凯莱(Caylag，1821--1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。
1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。
1878年，德国数学家弗罗伯纽斯(Frobeniws，1849一1917)在他的论文中引入了λ矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个λ矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义,1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念. 矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。
矩阵论知识点
矩阵论知识点最近考试不断，今天终于告一段落了。
矩阵论我花了将近两个礼拜复习，多少有点感悟，所以赶紧写下来，不然估计到时候又还给老师了，也希望自己的见解对你们也有帮助！！总的来说矩阵论就讲了如下6个知识点：（1）线性空间与线性变换（2）范数理论及其应用（3）矩阵分析及其应用（4）矩阵分解（5）特征值的估计（6）广义逆矩阵1.线性空间与线性变换1.1线性空间首先我们需要知道什么是空间？？空间其实就是向量的集合，而什么是线性空间呢？？线性空间就是满足8条性质的向量集合，这8条性质分别如下:所以矩阵论考试里面如果要你证明一个向量集合是线性空间？？只需要证明集合满足上述8条性质就可以了，该证明的难度在于怎么表示该集合中的向量。
然后对于线性空间中的元素（元素很多），我们肯定不可能通过枚举法将每个元素枚举出来的吧，这样不太现实。
最好的方法就是找到线性空间中的基，通过这些基和坐标我们就可以表示出线性空间中所有的向量。
针对上述想法，我们就应该考虑满足条件基的存在性和唯一性，得到的结果是这样的基是存在的但是不唯一！！当时这里就牵涉到另一个问题，线性空间的基是不唯一的，对于同一个元素在不同基下坐标肯定是不同的！！如果我们知道基与基之间的关系，我们是否可以知道坐标与坐标的关系，这就推导出了下面公式：之后的一个概念就是线性子空间，这个名词我们可以拆开进行理解，子空间说明了该空间是一个线性空间的子集，线性说明这个子空间满足齐次性和叠加性，具体形式如下：最后一个概念是线性子空间的交与和，这和集合的交与和性质差不多，这里我需要重点介绍的直和的概念，直和的概念和集合的并类似，不同的是直和中并的两个集合是不相交的，即两个集合中没有共同元素。
以上就是线性空间中所有的知识点。
1.2线性变换及其矩阵这一节出现一个概念叫做线性变换，记为T，出现线性变换的原因就是对于一个向量我们希望通过某种变换将该向量转变成我希望的目标向量，换句话说线性变换就相当于函数，自变量就相当于我们已知的向量，因变量就是我们的目标向量，这样应该好理解点。
重庆大学矩阵论——要点归纳
7、常用的算子范数： A 1 , A 2 , A 计算方法 8、谱半径定义与求解 第五章 9、向量序列极限与方阵序列极限的定义 10、定理： Ak A , Ak A 0( A m ) 11、常见方阵函数：指数函数，正弦函数，余弦函数的公式 12、求解 f ( A) 的方法：若当形、谱值计算方法与步骤 13、方阵函数的 7 种性质 14、解微分线性方程组与非线性方程组的方法与步骤 第六章 15、最大秩分解的方法 16、最大秩分解的性质 17、谱分解的方法 第七章 18、广义逆矩阵的定义及常见的 A , A 的定义 19、左逆与右逆定义及求解条件和公式 20、 A 的求解方法（主要关注满秩分解法） 21、 A 的求解方法（主要关注满秩分解法） 22、判断方程组的相容性及求解最小范数解及极小最小二乘解的通式 第八章 23、特征值上界的估计 24、圆盘定理估计特征值的分布盖尔圆 总结于 2013/12/14
矩阵理论及其应用
第四章 1、范数的定义及验证方法（3 点） 2、p-范数定义， 1 , 2 , 3、范数等价（ c1
求解方法
பைடு நூலகம்
c2 ）
4、矩阵范数定义及验证方法（4 点） 5、相容定义 6、常见的矩阵范数： A m1 , A m 2 ( A F ), A m 计算方法
《重庆大学矩阵论》知识要点
注：
（1） 以下红色部分为非常重要的知识点，是考试常考要点。 （2） 为方便复习，只归纳了书中最重要的知识点，只作复习参考所用。对想考 取满分的同仁们还是需按教材逐页复习；对追求及格的同仁们来说，掌握 以下知识点可保无虞。
线性空间与线性变换
第一章 1、 数域的定义 2、 线性空间的定义及验证方法 3、 线性相关和线性无关定义及证明 4、 基（基底）与向量坐标的定义 5、 基变换公式、坐标变换公式及过渡矩阵的定义 6、 线性子空间的判定方式 第二章 7、欧式空间的定义及验证方式 8、柯西-施瓦茨不等式（向量长度性质） 第三章 9、线性变换定义及验证方式 10、线性变换的矩阵表示 11、矩阵相似的定义 12、线性变换及矩阵的特征值和特征向量的定义和求解 13、求解线性变换特征值与特征向量的方法与步骤（5 步） 14、零化多项式及 Hamliton-Cayley 定理 15、最小多项式及求解方法
矩阵论定义定理总结
矩阵论1．行列式的相关知识：1.1定义：由2n 个数ij a (,1,2,...,)i j n =组成的一个n 阶行列式为1212121112121222(...)12 (12)(1)...n j j jnnn n j j j n j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑即所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212...j j j n n a a a 的代数和，其中每一项的符合由排列12...n j j j 的奇偶性决定。
n 阶行列式的展开原理：定义1.1.2在n 阶行列式D 中，任选k 行和 k 列（k n ≤），将其交叉点上的2k 个元素按原来位置排成一个k 阶行列式M ，称为D 的一个k 阶子式。
在D 中划去M 所在之k 行k 列后余下的2()n k -个元素按照原来位置排成的n-k 阶行列式M '，称为M 的余子式。
定义1.1.3设D 的k 阶子式M 在D 中所在行列指标分别是12,,...,k i i i和12,,...,k j j j ，则称1212()()(1)k k i i i j j j A M ++++++'=-•为M 的代数余子式，其中M '为M 的余子式。
定理1.1.1（拉普拉斯定理）设在行列式D 中任意取定k 行(11)k n ≤≤-，则由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于和列式D 。
定理1.1.4（克莱姆法则）：若线性方程组11112211211222221122n n n n n n nn n na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （1.1.7）的系数行列式1112121222120n n n n nna a a a a a D a a a =≠则方程组（1.1.7）有唯一解，且/(1,2,)i i x D D i n ==，其中i D 是将D 中第i 列换成（1.1.7）式右端的常数项12,,,n b b b 所得的行列式，即1,11,111112,12,22122,1,1i i n i i n i n i n i nn nnna a ab a a a a b a D a a a b a -+-+-+=(1,2,,)i n =该定理通常称为克莱姆法则。
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矩阵论线性空间定义：本质是个集合，满足一定条件下的集合。
首先定义了加法运算（满足加法的交换结合律），在这个集合中能找到零元素，与负元素；然后定义数乘运算（数域上的元素与集合当中的元素相乘），并且满足数乘的分配，结合律（集合中的元素能否进行乘法运算并没有定义）。
最后指出，这些运算都是封闭的，运算的结果与集合中的元素唯一对应。
称这样的一个集合为线性空间。
注意：运算结果与集合中的元素对应。
例如0*a=0（此零非彼零，不是数域里的零，而是线性空间当中的零，即集合当中的零元素<很可能不是零>）核空间：矩阵A对应于齐次线性方程组Ax=0的解空间。
子空间：线性空间对应集合的一个子集，并且也满足线性空间的定义的一个子集。
其中，零空间，与线性空间本身构成平凡子空间，还存在的其他子空间构成非平凡子空间。
矩阵A的核空间就是他的一个子空间，相当于对矩阵A构成的空间中的元素进行了限定。
矩阵A的列向量的线性组合构成了矩阵A的值域空间（其中的基为最大无关组的个数）。
注意：子空间交，与子空间的和任然为子空间，但子空间的并集不一定再是子空间。
属于两个子空间的线性无关的两个基的并基构成新的元素，但是这个元素不在属于原来的两个子空间的任意一个。
子空间中的几个等价定义：（1）直和定义为V1与V2的交空间只包含零元素（不一定是数字零），构成零子空间（2）直和空间中的元素表达式唯一。
（3）V1的基于V2的基直接构成直和空间的基。
（4）和空间的维度等于V1与V2维度的和。
线性映射性质：（1）V1的零元素经过线性映射变为V2的零元素（2）线性相关组经过线性映射之后任然为线性相关（3）线性无关组经过单射线性映射后任然为线性无关同构：两个线性空间之间存在一个一一对应的线性变换，则称这两个矩阵是同构的。
相应的线性变换称为同构映射。
任一线性空间都能够找到一个数域向量与其同构，这个向量就是坐标。
线性变换T的秩，线性映射的坐标表示：T表示线性空间到线性空间的映射，在具体的基底下（两个线性空间基都确定的情况），可以由一个矩阵A表示T，为V到V‘的线性映射。
（区别去前面提到的过渡矩阵，过渡矩阵指的在同一个线性空间中，两组不同基底之间的过渡，过渡矩阵可以看做线性映射的特例，在V与V’是同一个线性空间的情况下，过渡矩阵跟线性变换相同）。
在空间V中的任一向量a在V的基底下的坐标为x,则对应像T（a）在V‘基底下的坐标y=Ax.线性空间之间的线性映射与在某一组特定基下的表示矩阵一一对应。
线性映射的全体与数组矩阵一一对应。
线性映射跟线性变换的区别：映射是两个线性空间之间的，变换是一个线性空间中的。
（有时候不加区别）同一线性变换在不同基底下的表示：T是V空间的一个线性变换，在基底a下的表示矩阵为A，在基底b下的表示矩阵为B，由基a到基b的过渡矩阵为P则：B=P-1AP。
注意：基底a到基底b的过渡矩阵可以看做是一个线性变换的矩阵表示（同一空间不同基底，区别于同一空间相同基底），这个表示矩阵的基底是a,b。
这里的T是一个线性变换，A，B 是他在基底a,b下的表示矩阵（同一空间，相同基底）。
线性映射也是一个线性空间：在定义了线性映射的加法与数乘运算后，V到V‘线性映射的全体构成了线性空间。
称在两个不同线性空间之间的线性映射为线性映射空间，在同一个线性空间中的线性映射为线性变换空间。
注意：线性映射跟矩阵一一对应，矩阵的逆就是线性变换的逆变换。
内积空间：定义了内积的实线性空间称为欧式空间，定义了内积的复线性空间称为酉空间。
内积：（a,b）与一个实数相对应。
且满足：交换律，数乘结合律，分配率，（a,a）>=0,且（a,a）=0等价于a=零元素。
只有欧式空间（酉空间），定义了内积运算，才可以用内积运算求坐标（这是基底必须是标准正交基），才能用坐标相乘相加求内积。
正交矩阵与酉矩阵：若A H A=I，A为酉矩阵，若A T A=I ,A为正交矩阵。
A的列向量组是标准正交向量组，Ａ的行向量组是标准正交向量组。
正交矩阵行列式的值为1.(列向量组单位化的正交向量组)正定矩阵：对任一向量x，如果x T Ax>0,则A 为正定矩阵。
正规矩阵：A H A=AA H,则A是个正规矩阵。
例如：实对称矩阵，实反对称矩阵，正交矩阵，酉矩阵，hermit矩阵（A H=A）反hermit矩阵都是正规矩阵。
正交变换：对酉空间中的变换T，如果(T(a),T(b))=(a,b),则T称为正交变换。
酉（正交）变换是保持内积不变的变换；正交变换保持向量的长度不变；正交变换将标准正交基变为标准正交基；正交变换在任一标准正交基下的表示矩阵式正交矩阵。
正交投影：W的一组标准正交基构成的矩阵M，a在W 上的正交投影a w=M（M H M）-1M H a.定义在自然基下的标准正交投影变换对应的矩阵称为标准正交投影矩阵。
Pw=M（M H M）-1M H, （M H M）-1M H a为a w在M基上的坐标特征值，特征向量，特征方程等某一特征值的代数重数等于他特征多项式中特征值的重根重数，几何重复数等于特征子空间的维数，相当于某一特定特征值对应特征方程（齐次方程）的基础解系个数。
相似变换：P-1AP=B，则A与B相似，P称为相似变换矩阵，若A相似于一个对角阵则称A为可相似对角化的，也称为是单纯矩阵。
相似矩阵秩相等；幂矩阵相似；矩阵多项式相似；迹相等；行列式相等；特征值相同。
注意：利用矩阵对角化可以将一个状态方程（微分方程），解耦（化解后的方程组中的每个方程都是独立的）。
酉相似对角化：任一方阵都与上三角矩阵酉相似；即存在酉矩阵将一个方阵对角化为一个上三角矩阵。
但是酉相似于一个对角阵的充要条件是A是正规矩阵。
Hermite矩阵的一些等价命题（1）A是正定矩阵；A的n个特征值全是正数；存在可逆Q，使得A=Q H Q；A的各阶顺序主子式全大于0.（2）A是半正定矩阵；A的n个特征值全是非负实数；A的各阶顺序主子式全都大于等于0.相似等价：两个矩阵相似等价于：两个矩阵的特征矩阵相似；可以经过初等变换相互转换。
行列式因子：多项式矩阵所有K阶子式的最大公因式如果不为0（首1多项式），则称这个最大公因式为K阶行列式因子，记为D k()。
λI—A的行列式因子称为A的行列式因子。
有一阶行列式因子，二阶行列式因子…….高阶的可以被低阶的整除。
矩阵A 的法式定义为：A的特征矩阵多项式矩阵。
diag(d1(λ),d2(λ)……)d n(λ)=D n(λ)/D n-1(λ)不变因子：dn(λ)称为不变因子，初等因子：将次数大于0的不变因子在复数域内分解为互不相同的一次因式方幂乘积，每个方幂因式称为初等因子。
求一个矩阵的相似的jordan标准型，先求行列式因子，再求不变因子，再求出初等因子，再利用初等因子的根，及其重数写出jordan标准型。
（）注意：要判断不同初等因子根代数重数是否等于其几何重数。
矩阵的最小多项式:一个多项式P（X），将矩A阵带入,使得P(A)=0的多项式称为A的化零多项式。
其中次数最小的一个多项式称为最小多项式。
A的特征多项式是他的一个化零多项式。
矩阵A的最小多项式为A的第N个不变因子。
由A的所有互不相同的特征值构成的（A-A1）因式的乘积，次数为特征值对应J ORDAN 的最高阶数。
最小多项式性质：（1）唯一，（2）相似矩阵最小多项式相同（3）最小多项式与特征多项式有相同的零点（4）准对角阵的最小多项式等于其诸对角块的最小多项式的最小公倍数。
向量范数，矩阵范数：满足非负性，齐次性，三角不等式。
向量1范数为向量坐标的绝对值和，2范数为模长，无穷范数为坐标绝对值中最大的。
诱导矩阵范数：又叫矩阵的算子范数,任一向量范数，对于任意矩阵，有矩阵范数‖A‖=MAX‖A X‖，在‖X‖=1的情况下。
矩阵1范数：相当于取矩阵的元素绝对值列和中最大的列和。
（每一列中的元素去绝对值相加）矩阵2范数：又叫普范数，取A H A的最大特征值的开方矩阵无穷范数：行和范数。
矩阵的F范数：取A H A的迹的开方，或者每个元素平方和在再取算术平方谱半径是矩阵范数的下界并且是最大下界。
条件数：定义：COND(A)=A的范数×A逆的范数，如果COND（A）很大，则(A+DELTA A)-1就很大，也就是求逆将A矩阵的误差放大了（在运算中）。
特征值估计：特征值的平方和小于等于矩阵中每个元素的平方和，即F范数的平方。
A为方阵，B=1/2(A+A H),C=1/2(A-A H)，则A的任一特征值满足|特征值|小于等于‖A‖M无穷范数，|特征值的实部|小于等于|‖B‖M无穷范数，|特征值的虚部|小于等于‖C‖的M无穷范数。
（代表任意向量诱导得到的矩阵的无穷范数）盖尔圆：矩阵对角线为圆心，该行元素绝对值之和（除对角线元素）为半径。
矩阵级数：类似数量级数，就是一系列矩阵，收敛的判定依据矩阵的谱半径，谱半径小于1收敛，大于1发散。
一类特殊矩阵级数，前N项和每项前面的系数为1，称为neumann级数，前N项和收敛于(I-A)-1矩阵函数：矩阵函数其实完全是类比定义，在矩阵的谱半径小于数量级数的收敛半径条件下直接移植。
求矩阵函数值：（1）jordan标准型法：将A=PJP-1，f(A)=Pf(J)P-1，其中f(J)，由前面的矩阵函数定义求得，经过处理得到公式：…………….（2）多项式法：求出A的最小多项式（或者化零多项式），设一个多项式最高次数不超过A的最小多项式次数（超过部分为0），利用待定系数法（将特征值带入多项式，带入要求的源函数，各阶倒数相等），求得所设多项式的系数，将多项式中的变量用A替换，即可。
（3）（2）给出了另外一种矩阵函数的定义，可以要求矩阵级数不用收敛。
用有限次多项式定义矩阵函数，函数矩阵：矩阵的元素是函数，区别于矩阵函数，矩阵式函数的变量。
函数矩阵可导，可微的对象其实就是矩阵元素中的函数，没啥高级的。
求导，求积分，同样也是对矩阵元素分别求导，求积分。
矩阵函数在求解微分方程方面的应用：比起前面的jordan化，可以直接对矩阵函数进行积分微分运算。
矩阵正交分解：将A（m×n矩阵）分解为QR，其中Q为m×n阶具有单位正交列的矩阵（Q T Q=I），R为n阶上三角矩阵。
A可以被正交分解的条件是A具有n线性无关的列向量组（列满秩）方法：（1） 正交化法：去A 的n 个线性无关列向量组（基a ），将其单位正交化(基e)，然后找到e 到a 的过度矩阵B （a 由e 表示出），则Q=E,R=B（2） Householder 变换法方便计算机实现可以用来求解最小二乘解，求方程组：Rx=Q T b.满秩分解（不唯一）：将矩阵A （m ×n ）分解为一个列满秩矩阵F （m ×r ）和行满秩G （r ×n ）.方法：利用行初等变换把A 化为最简阶梯型H 矩阵（某一行1所在列的其他元素为0），找到线性无关的列，对应到原矩阵A 中，取原矩阵A 中线性无关的列构成F ，取H 矩阵1所在的前几行构成G 。