二分法非线性方程求解
c语言计算机编程三种方法求解非线性方程
本科专业学年论文题目：非线性方程求解比较姓名：何娟专业：计算机科学技术系班级：08级本科（2）班指导老师：刘晓娜完成日期：2010年11 月21 日题 目：非线性方程求解比较摘 要本文给出了三种求解非线性方程的方法，分别是二分法，牛顿迭代法，割弦法。
二分法巧妙地利用插值得到的点以及有根区间中点这两点处的函数值，缩小隔根区间，以期望得到更快的收敛速度。
牛顿迭代法是非线性方程根的一种常见的数值方法,对于非线性方程的单重零点来说，牛顿迭代法一般具有局部二阶收敛性,但是当所求的根X*是F(X)的M 重根时,M 是大于等于2的整数,此时牛顿迭代法只有一阶收敛性。
弦截法是将牛顿迭代公式中用差商F(k x )-F(1-k x )/ （k x - 1-k x ）代替导数'()k F x 。
本文给出了算法改进的具体步骤及算法流程图相关的数值结果也说明了方法的有效性。
关 键 词 : 二分法；牛顿迭代法；割弦法；非线性方程目录第一章绪论- 3 -第二章求解非线性方程的三种常见算法……………………………- 4-2.1 二分法………………………………………………………-4 -2.2 牛顿迭代法……………………………………………………- 5 -2.3 割弦法- 6 -第三章求解非线性方程的三种算法比较- 8 -3.1 二分法求解方法- 8 -3.2 牛顿迭代法求解- 10 -3.3 割弦法求解- 11 -参考文献- 14 -第一章绪论在科技飞速发展的今天，计算机已经成为我们生活中不可缺少的一部分了，在我们生活与生产中扮演越来越重要的角色，而科学计算已经成为科学计算的重要方法之一，其应用范围已渗透到所有科学领域，作为科学与工程计算的数学工具，计算方法已成为高等院校数学与应用数学，信息与计算科学，应用物理学等必修课。
在永恒变化发展的自然界与人类社会中，在研究其内部规律的各个科学领域中，更深刻、更精确地描述其内部规律的数学工具之一，就是非线性方程。
非线性方程解法二分法实验报告
第七章非线性方程解法⒈二分法考察有根区间[a, b]，取中点x0=(b+a)/2 将它分为两半，假设中点x0不是f(x)的零点，然后进行根的搜索，即查找f(x0)与f(a)是否同号，如果确系同号，说明所求的根x*在x0的右侧，这是令a1= x0，b1=b;否则x*必在x0的左侧，这是令a1=a,b1=x0,不管出现哪一种情况，新的有根区间[a1, b1]的长度仅为[a, b]的一半。
.重复以上做法得新近似根x1,…这样不断将区间分半,得到一系列区间[an , bn],和近似根(区间中点)nx,n=0,1,2,3…,nx误差为(b-a)/2n+1.这样的方法称为二分法。
下面是一个关于二分法的例子。
例1求f(x)=x3- x-1=0在区间[1,1.5]内的一个实根，要求准确到小数点后的第二位.这里a=1,b=1.5,而f(a)<0,f(b)>0。
取[a,b]的中点x0=1.25，将区间二等分，由于f(x0 )<0, 既f(x0 )与f(a)同号，故所求的根x*必在x0 右侧，这是应令a1＝x0 =1.25, b1=b=1.5,而得到新的有根区间［a1，b1］，这样继续结果如下表：x6.实际上x5就有三位有效数字了.二分法实验(1)上机题目：二分法的应用实验目的：熟悉二分法并在计算机上实现实验要求：①上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序；②完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言，算法步骤陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等；③用编好的程序在Ｍatlab环境中执行。
算法说明：①找出计算f(x)在有限根区间[a, b]端点的值，f(a),f(b)②计算计算f(x)在区间中点（2ba+）处的值f(2ba+) .③判断若f(2ba+)=0，则2ba+即是根，计算过程结束，否则检验若f(2ba+)f(a)<0,则以2ba+代替b,否则以2ba+代替a.反复执行步骤②和步骤③，直到区间[a, b]长度小于允许误差ξ，此时中点2ba+即为所求近似根。
二分法非线性方程求解
1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之（参考书籍《精通MATLAB 科学计算》，王正林等编著，电子工业出版社，2009年） “二分法非线性方程求解”二分法的具体求解步骤如下。
（1）计算函数f(x)在区间[a,b]中点的函数值f((a+b)/2)，并作下面的判断： 如果0)2()(<+ba f a f ，转到（2）； 如果0)2()(>+b a f a f ，令 2ba a +=，转到（1）； 如果 0)2()(=+b a f a f ，则 2ba x +=为一个跟。
（2）如果 ε<+-|2|b a a （ε为预先给定的精度），则43ab x +=为一个根，否则令2ba b +=，转到（1）。
在MATLAB 中编程实现的二分法函数为：HalfInterval 。
功能：用二分法求函数在某个区间上的一个零点。
调用格式：root=HalfInterval(f,a,b,eps). 其中，f 函数名； a 为区间左端点； b 为区间右端点；eps 为根的精度； root 为求出的函数零点。
二分法的MATLAB 程序代码如下：function root=HalfInterval(f,a,b,eps) %二分法求函数f 在区间[a,b]上的一个零点 %函数名：f %区间左端点：a %区间右端点：b %根的精度：eps %求出的函数零点：root if (nargin==3) eps=1.0e-4;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); %两端点的函数值f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0)root=a;endif(f2==0)root=b;endif(f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0!');return;elseroot=FindRoots(f,a,b,eps); %调用求解子程序endfunction r=FindRoots(f,a,b,eps)f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); %中点函数值if(f-1*mf>0)t=(a+b)/2;r=FindRoots(f,t,b,eps); %右递归elseif(f_1*mf==o)r=(a+b)/2;elseif(abs(b-a)<=eps)r=(b+3*a)/4; %输出根elses=(a+b)/2;r=FindRooots(f,a,b,eps); %左递归endendend流程图：实例应用：采用二分法求方程0133=+-x x 在区间[0，1]上的一个根。
数学中的非线性方程求解算法研究
数学中的非线性方程求解算法研究一、引言非线性方程是数学中的重要问题，具有广泛的应用背景。
在现实生活中，很多问题都是由非线性方程建模的，需要通过求解非线性方程来得到问题的解。
因此，对于非线性方程求解算法的研究具有重要的理论和实际意义。
本文旨在对目前常用的非线性方程求解算法进行详细介绍，并对其优缺点进行评价和比较。
二、二分法二分法也称为割线法或区间收缩法，它是一种比较基础的求解非线性方程的方法。
具体来讲，二分法的思想是：首先给定一个初始区间，然后取区间中点作为近似值，通过与零点的比较来缩小区间，直到区间长度小于给定的精度要求为止。
二分法的基本流程可以简述如下：1. 给定初始区间[a,b]，满足f(a)f(b)＜0。
2. 求出中点c=(a+b)/2。
3. 计算f(c)并判断其与零点的位置关系。
4. 根据f(a)f(c)＜0或者f(c)f(b)＜0将区间缩小。
5. 重复步骤2~4，直到满足收敛条件。
二分法的优点在于其思路简单，易于实现和理解。
但是，其收敛速度比较慢，并且对函数的单调性和连续性要求比较高。
三、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于导数信息的非线性方程求解方法。
其基本思想是：选取一个初始点作为近似解，并通过不断迭代，逐渐逼近方程的零点。
牛顿迭代法的基本流程如下：1. 选取一个初始点x0。
2. 计算函数f(x)的一阶导数f'(x0)。
3. 计算当前点x0的函数值f(x0)。
4. 根据泰勒公式得到近似解x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
5. 重复步骤2~4直到满足收敛条件。
牛顿迭代法具有收敛速度快的优点，尤其适用于连续可微的函数。
但是其缺点在于需要求取函数的一阶导数，如果函数难以求导或者计算导数比较费时，则会影响其求解效率和准确性。
四、弦截法弦截法是一种基于线性插值的非线性方程求解方法。
其基本思路是：从两点出发构造一条直线，通过直线与x轴的交点来逼近方程的零点。
根据插值定理，可以通过两个初始点上的函数值来构造一条直线，并根据截距与零点的位置关系来选择新的近似解。
求解非线性方程与二次曲线性质
求解非线性方程与二次曲线性质在数学中，我们经常会遇到非线性方程与二次曲线。
这些问题在高中数学中就已经开始学习，而在大学中，这些知识被更深入地学习和应用。
在本文中，我们将讨论如何求解非线性方程以及二次曲线的一些基本性质。
求解非线性方程非线性方程指的是在未知量的一次以上的项中，至少有一项不是常数。
例如，$ax^2+bx+c=0$ 就是一个非线性方程，其中 $a$，$b$，$c$ 都是常数，$x$ 是未知量。
解非线性方程的方法有很多种，下面我们讨论常用方法。
1. 二分法二分法是解非线性方程的一种简单方法。
假设我们需要求方程$f(x)=0$ 的根，那么我们可以先找到一个区间 $[a,b]$，使得$f(a)$ 和 $f(b)$ 的符号不同。
然后我们从区间的中点 $c$ 开始，计算 $f(c)$ 的符号。
如果 $f(c)$ 的符号与 $f(a)$ 相同，那么我们可以将 $a$ 替换为 $c$，否则将 $b$ 替换为 $c$。
接着我们再计算$c$ 的中点，用同样的方法来判断符号。
不断重复这个过程，直到求得一个满足误差限的根。
2. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种基于泰勒级数的求根方法，具有快速收敛的特点，但需要计算函数的导数。
假设我们要求解方程 $f(x)=0$ 的根，我们可以选择一个初值 $x_0$，然后按照下面的公式迭代求解：$$x_{i+1}=x_i-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$其中，$f'(x_i)$ 是 $f(x)$ 在 $x_i$ 处的导数。
不断重复迭代，直到满足误差限。
二次曲线的性质二次曲线是用一般式表示的形如$ax^2+by^2+2hxy+2gx+2fy+c=0$ 的方程。
在本节中，我们将讨论二次曲线的一些基本性质。
1. 对称轴对称轴是指将二次曲线对称的轴。
以一般式表示的二次曲线的对称轴方程是：$$y=-\frac{b}{2a}x-\frac{h}{a}y-\frac{g}{a}$$其中，$a$，$b$，$h$，$g$ 表示二次曲线的系数。
非线性方程求解算法比较
非线性方程求解算法比较在数学和计算机科学领域中，非线性方程是一种无法简单地通过代数方法求解的方程。
因此，研究和开发高效的非线性方程求解算法是至关重要的。
本文将比较几种常见的非线性方程求解算法，包括牛顿迭代法、割线法和二分法。
通过对比它们的优缺点和适用范围，可以帮助人们选择最适合的算法来解决特定的非线性方程问题。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种常用的非线性方程求解算法。
它基于泰勒级数展开，使用函数的导数信息来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$。
2. 计算函数$f(x_0)$和导数$f'(x_0)$。
3. 根据牛顿迭代公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
牛顿迭代法的收敛速度很快，通常二次收敛。
然而，它对于初始值的选择非常敏感，可能会陷入局部极值点，导致找到错误的根。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要根据具体问题选择合适的初始近似值。
二、割线法割线法是另一种常见的非线性方程求解算法。
它是对牛顿迭代法的改进，使用两个近似解来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似值$x_0$和$x_1$。
2. 计算函数$f(x_0)$和$f(x_1)$。
3. 根据割线公式$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$，计算下一个近似解$x_{n+1}$。
4. 重复步骤2和步骤3，直到达到预设的收敛条件。
与牛顿迭代法相比，割线法不需要计算导数，因此更加灵活。
然而，割线法的收敛速度比牛顿迭代法慢，通常是超线性收敛。
与牛顿迭代法一样，割线法也对初始近似值的选择敏感。
三、二分法二分法是一种简单直观的非线性方程求解算法。
它利用函数在根附近的特性，通过不断缩小区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始区间$[a,b]$，其中$f(a)$和$f(b)$异号。
非线性方程的求解方法
非线性方程的求解方法一、引言在数学领域中，非线性方程是指未知量与其对自身的各次幂、指数以及任意函数相乘或相加得到的方程。
求解非线性方程是数学中一个重要而又具有挑战性的问题。
本文将介绍几种常见的非线性方程求解方法。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种经典的非线性方程求解方法，它利用方程的切线逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，在初始点x0附近取切线方程y=f'(x0)(x-x0)+f(x0)，令切线方程的值为0，则可得到切线方程的解为x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
三、二分法二分法是一种简单而又直观的非线性方程求解方法。
它利用了连续函数的中间值定理，即若f(a)和f(b)异号，则方程f(x)=0在[a, b]之间必有根。
根据中值定理，我们可以取中点c=(a+b)/2，然后比较f(a)和f(c)的符号，若同号，则根必然在右半区间，否则在左半区间。
重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
四、割线法割线法是一种基于切线逼近的非线性方程求解方法，它与牛顿迭代法相似。
由于牛顿迭代法需要求解导数，而割线法不需要。
设f(x)为非线性方程，在两个初始点x0和x1附近取一条直线，该直线通过点(x0,f(x0))和(x1, f(x1))，它的方程为y=f(x0)+(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)*(x-x0)，令直线方程的值为0，则可得到直线方程的解为x2 = x1 - (f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0))重复这个过程直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
五、试位法试位法是一种迭代逼近的非线性方程求解方法。
它利用了函数值的变化率来逼近根的位置。
设f(x)为非线性方程，选取两个初始点x0和x1，然后计算f(x0)和f(x1)的乘积，如果结果为正，则根位于另一侧，否则根位于另一侧。
然后再选取一个新的点作为下一个迭代点，直到满足精确度要求或迭代次数达到指定次数。
非线性方程的数值解法中的二分法
非线性方程的数值解法中的二分法
二分法，又称秦九韶算法，是一种用来求解非线性方程的有效的数值解法。
它可以有效地将一个不确定的区间划分为两个不相交的子区间，其中一个至少包含方程的一个根，而另一个不包含根，这样重复地使用子区间，就可以缩小包含根的子区间从而求出根。
它具有准确性好、计算量小、理论考虑简单等优点。
因此，二分法逐渐得到了在互联网科技领域的广泛应用，受到了更多关注。
作为一种基础性的数学算法，二分法的基本原理是将一个不确定的区间分成两个相等的小区间，其中一个必定包含方程的一个根，而另一个肯定不包含根，然后针对这两个相邻区间，不断求解，直到最后已经求出根为止。
具体地说，在给定一个区间[a，b]，要求函数f (x)在[a，b]内存在唯一根r，根据贴合定理，只需要计算函数在两个端点的值，并判断它们是否异号，如果异号，则区间[a，b]一定包含根r。
接着，利用c =(a＋ b) / 2将区间[a，b]分成两个小区间[a，c]和[c，b]，逐渐缩小根所在的区间范围，直到最后确定根的准确值。
由于数值计算的准确性高、计算量小、计算过程简单，因此二分法在许多互联网科技应用中大量采用，如自动搜索引擎服务，精准推荐等。
此外，在建模和科学研究中，二分法也被广泛运用，例如求解非线性方程组、解析一元函数最优解等。
综上所述，二分法是一种有效的数值解法，在互联网科技的应用非常广泛，如搜索引擎服务、精准推荐以及科学研究等，它具有计算准确度高、计算量小、理论需要考虑较少的优势，有效地解决非线性方程的求解问题，同时也为科技进步和科学发展作出了贡献。
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1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之（参考书籍《精通MATLAB 科学计算》，王正林等编著，电子工业出版社，2009年） “二分法非线性方程求解”二分法的具体求解步骤如下。
（1）计算函数f(x)在区间[a,b]中点的函数值f((a+b)/2)，并作下面的判断： 如果0)2()(<+ba f a f ，转到（2）； 如果0)2()(>+b a f a f ，令 2ba a +=，转到（1）； 如果 0)2()(=+b a f a f ，则 2ba x +=为一个跟。
（2）如果 ε<+-|2|b a a （ε为预先给定的精度），则43ab x +=为一个根，否则令2ba b +=，转到（1）。
在MATLAB 中编程实现的二分法函数为：HalfInterval 。
功能：用二分法求函数在某个区间上的一个零点。
调用格式：root=HalfInterval(f,a,b,eps). 其中，f 函数名； a 为区间左端点； b 为区间右端点；eps 为根的精度； root 为求出的函数零点。
二分法的MATLAB 程序代码如下：function root=HalfInterval(f,a,b,eps) %二分法求函数f 在区间[a,b]上的一个零点 %函数名：f %区间左端点：a %区间右端点：b %根的精度：eps %求出的函数零点：root if (nargin==3) eps=1.0e-4;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); %两端点的函数值f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0)root=a;endif(f2==0)root=b;endif(f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0!');return;elseroot=FindRoots(f,a,b,eps); %调用求解子程序endfunction r=FindRoots(f,a,b,eps)f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); %中点函数值if(f-1*mf>0)t=(a+b)/2;r=FindRoots(f,t,b,eps); %右递归elseif(f_1*mf==o)r=(a+b)/2;elseif(abs(b-a)<=eps)r=(b+3*a)/4; %输出根elses=(a+b)/2;r=FindRooots(f,a,b,eps); %左递归endendend流程图：实例应用：采用二分法求方程0133=+-x x 在区间[0，1]上的一个根。
解： 流程图：在MATLAB 命令窗口中输入：r=HalfInterval('x^3-3*x+1',0,1)运行结果：2、编程以解决以下科学计算问题。
试验6 现有一平面上的封闭曲线，取一点建立坐标系，每隔9弧度测一点，数据如下表： i 0和18 1 2 3 4 5 6 7 8 Xi 100 134 164 180 198 195 186 160 136 Yi503525514.3 451.0 326.5 188.6 92.259.662.2输入：r=HalfInterval('x^3-3*x+1',0,1)输出r调用HalfInterval 函数开始结束用周期样条求曲线轮廓并作图。
分析：将周期样条分成两部分来求，最后画在一个图上。
用spline进行拟合。
流程图：源程序：>> x1=[0 5 17 32 63 100 134 164 180 198];y1=[280.5 324.9 369.4 413.8 458.3 503 525 514.3 451 326.5];x11=[0:1:198];y11=spline(x1,y1,x11);plot(x11,y11,'*-',x1,y1,'-.rd')hold onx2=[198 195 186 160 136 100 66 35 15 0 ];y2=[326.5 188.6 92.2 59.6 62.2 102.7 147.1 191.6 236.0 280.5]; x22=[198:-1:0];y22=spline(x2,y2,x22);plot(x22,y22,'*-',x2,y2,'-.rd') legend('计算数据','实验数据') 运行结果：实验7 用电压V=10伏的电池给电容器，电容器上t 时刻的电压)/ex p()()(0r t V V V t V ---=，其中0V 是电容器的初始电压，t 是充电常数，试由下面一组V ，t 数确定0V 和r 。
t/s 0.51 2 3 4 5 6 7 V/V 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63分析：采用最小二乘法进行拟合，对V （t ）=V-（V-V 0）exp （-t/τ）两边求自然对数得到：log(V-V(t))=log(V- V 0)-t/τ令k=-1/τ，w=log （V- V 0），x=t ，y=log （V-V （t ））。
得到方程：y=kx+w流程图：开始编程如下：t=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];V=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63]; V1=log(10-V);[p, s]=polyfit(t, V1, 1);[V1p, delta]=polyval(p, t, s);t0= -1/p(1)V0 = 10 - exp(p(2))plot(t, V, '--r', t, 10 - (10 - V0)*exp(-t/ t0)) legend('实验数据','拟合数据')结果：t0 =3.5269 V0 = 5.6221实验 8 假定某天的气温变化记录如下表，试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律。
t/h 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 T/C ︒ 15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 t/h 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 T/C ︒31 3231292725242220181716考虑下列类型函数，计算误差平方和，并作图比较效果： （1）二次函数； （2）三次函数； （3）四次函数；（4）函数))(ex p(2c t b a C --=。
分析：对“二次函数”“三次函数”“四次函数”用最小二乘法进行拟合（polyfit ）,对指数函数首先两边取对数，再通过移项化简，获得普通形式的函数，用最小二乘法进行拟合，并求出相应系数。
流程图：源程序t=0:1:24;T=[15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 31 32 31 29 27 25 24 22 20 18 17 16];%二次函数拟合[p2, s2]=polyfit(t, T, 2);T2=polyval(p2, t);plot(t, T, '*-', t, T2);legend('观测数据', '计算数据') title('二次函数拟合')p2deltaT2=sum((T2-T).*(T2-T)) %三次函数拟合[p3, s3]=polyfit(t, T, 3);T3=polyval(p3, t);figureplot(t, T, '*-', t, T3);legend('观测数据', '计算数据') title('三次函数拟合')p3deltaT3=sum((T3-T).*(T3-T)) %四次函数拟合[p4, s4]=polyfit(t, T, 4);T4=polyval(p4, t);figureplot(t, T, '*-', t, T4);legend('观测数据', '计算数据') title('四次函数拟合')p4deltaT4=sum((T4-T).*(T4-T)) %指数函数拟合Te0=log(T);[pe, se]=polyfit(t, Te0, 2);b=pe(1);c=pe(2)/2/b;a=exp(pe(3)+c);Te1=polyval(pe, t);Te2=exp(Te1);figureplot(t, T, '*-', t, Te2);legend('观测数据', '计算数据') title('指数函数拟合')abcdeltaTe=sum((Te2-T).*(Te2-T)) 结果：二次函数拟合：三次函数拟合：四次函数拟合：指数函数拟合：二次方三次方四次方幂函数误差平方和241.2430 106.0776 36.2838 178.6060因此，可以看出，四次函数拟合的最好，其次是三次函数，二次函数拟合的最差。