用二分法求方程的近似解
答案:12
方法技巧 精确度ε与等分区间次数之间的关系 :若初始区间选定为 (a,b),则区
间长度为 b-a,等分 1 次,区间长度变为 b ? a ;等分 2 次,区间长度变为 b ? a ;则等分
.
解析:设至少需要计算 n 次,则 n 满足 b ? a <0.001, 2n
故结束计算的条件是 b ? a <0.001.
答: b ? a <0.001
2n
2n
题型三 用二分法求方程的近似解 【例3】 用二分法求函数f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上的一个近似零点.(精确 度0.1)
解:f(x)=2x3+3x-3,因为f(0)=-3<0,f(1)=2>0, 所以函数在(0,1)内存在 零点,即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有实数根. 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0,又f(1)>0, 所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有实数根. 如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间 ,如下表:
.
答案:x3
课堂探究——典例剖析·举一反三
题型一 二分法的概念 【例1】 (2017·恩施州高一月考)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能 用二分法求函数零点近似值的是 ( )
解析:能用二分法求函数零点的函数 ,在零点的左右两侧的函数值符号 相反,图象要穿过x轴.B图象不穿过x轴.故选B.
方法技巧 用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适 用,即条件f(a)·f(b)<0是必不可少的,对函数的不变号零点不适用 .
-0.005 43
2 所以方程的正根在 (0,1)内,取(0,1)为初始区间,用二分法逐次计算 ,列出下表:
区间 (0,1) (0,0.5) (0.25,0.5) (0.25,0.375) (0.25,0.312 5) (0.25,0.281 25) (0.265 625,0.281 25) (0.273 437 5,0.281 25)
想一想 导入中的实例给出价格的一个范围 ,是如何逐步逼近其真实价 格的? (它是利用了二分法的思想 ,通过对中点值的判断 ,每次把区间一分为二 , 使区间的两个端点逐步逼近真实价格 ,从而在较短的时间内猜中真实价格 )
知识探究
1.二分法的定义
对于在区间[a,b]上 连续不断 且 f(a)·f(b)<0 的函数y=f(x),通过不断地
(C)[0,1]
(D)[ 1,2]
3.(精确度)用“二分法”可求近似解,对于精确度ε 说法正确的是(B )
(A)ε 越大,零点的精确度越高 (B)ε 越大,零点的精确度越低
(C)重复计算次数就是ε
(D)重复计算次数与ε 无关
4.(二分法的概念)已知函数y=f(x)的图象如图所示,则不能利用二分法
求解的零点是
解析:只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号 , 才可以用二分法求函数的零点的近似值 ,故①错;二分法有规律可循,可以 通过计算机来进行,故③错;求方程的近似解也可以用二分法,故④错. 答案:②
【备用例1】 若用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为
0.001,则结束计算的条件是
2
22
n 次,区间长度变为 b ? a .要想达到精确度 ,需满足 b ? a <ε?
2n
2n
n>log2 b ? a . ?
即时训练2-1:下面关于二分法的叙述,正确的是 .(填序号) ①用二分法可求所有函数零点的近似值; ②用二分法求方程的近似解时,可以精确到小数点后的任一位; ③二分法无规律可循; ④只有在求函数零点时才用二分法 .
因为|0.687 5-0.75|=0.062 5<0.1, 所以函数f(x)=2x3+3x-3在(0,1)上 的一个近似零点可取为0.75.
题后反思 二分法求解过程中,每次取中点求值可以利用列表的方式 ,使 计算步骤明确,当区间长度小于精确度时,即为计算的最后一步.
即时训练3-1:利用计算器,求方程lg x=2-x的近似解(精确度0.1).
解:作出y=lg x,y=2-x的图象可以发现,方程lg x=2-x有唯一解,设为x0, 并且在区间(1,2)内, 设f(x)=lg x+x-2, 用计算器计算得f(1)<0,f(2)>0? x0∈(1,2); f(1.5)<0,f(2)>0 ? x0∈(1.5,2); f(1.75)<0,f(2)>0 ? x0∈(1.75,2); f(1.75)<0,f(1.875)>0 ? x0∈(1.75,1.875); f(1.75)<0,f(1.812 5)>0 ? x0∈(1.75,1.812 5). 因为|1.812 5-1.75|=0.062 5<0.1, 所以方程的近似解可取为1.812 5.
中点值 0.5 0.25
0.375 0.312 5 0.281 25 0.265 625 0.273 437 5
因为|0.273 437 5-0.281 25|=0.007 812 5<0.01, 所以方程的根的近似值为0.273 437 5, 即f(x)=0的正根约为0.273 437 5.
中点函数近似值 0.732 -0.084 0.328 0.124 0.021 -0.032
(a,b)
(a,b) 的中点
f(a)
f(b)
f( a ? b )
2
(0,1) (0.5,1)
0.5 0.75
f(0)<0 f(0.5)<0
f(1)>0 f(1)>0
f(0.5)<0 f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)<0 f(0.75)>0 f(0.687 5)<0
即时训练1-1:观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是
.
答案:①
题型二 二分法的步骤 【例2】 用二分法求方程f(x)=0在[0,4] 上的近似解时,至少经过 次 计算精确度可以达到0.001.
解析:初始区间是 [0,4], 精确度要求是 0.001,需要计算的次数 n 满足 4 ? 0 <0.001,
2.二分法的步骤
给定精确度ε ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下: (1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0 ,给定精确度ε .
(2)求区间(a,b)的中点c.
(3)计算f(c):
①若f(c)=0,则c就是函数的零点; ②若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x0∈ (a,c) ); ③若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x0∈ (c,b) ). (4)判断是否达到精确度ε :即若 |a-b|<ε ,则得到零点近似值a(或b);否
把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近 零点 , 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 .
探究:若函数y=f(x)在定义域内有零点,该零点是否一定能用二分法求解 ? 答案:二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反),因此 函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解 ,如f(x)=(x-1)2的零点就不 能用二分法求解.
3.1.2 用二分法求方程的近似解
课标要求:1.理解二分法求方程近似解的原理和步骤 .2.能根据具体的函 数,借助于学习工具,用二分法求出方程的近似解 .3.知道二分法是求方程 近似解的一种常用方法,体会“逐步逼近”的思想.
自主学习 课堂探究
自主学习——新知建构·自我整合
【情境导学】
导入 在一档娱乐节目中 ,主持人让选手在规定时间内猜某物品的价格 ,若猜中了 ,就把物品奖 给选手 .某次竞猜的物品为价格在 600 ～1 000 元之间的一款手机 ,选手开始报价 : 选手 :800. 主持人 :低了. 选手 :900. 主持人 :高了. 选手 :850. 主持人 :高了. 选手 :825. 主持人 :祝贺你 ,答对了 .
【备用例2】 已知函数f(x)=3x+ x ? 2 在(-1,+∞)上为增函数,求方程f(x)=0
x?1
的正根(精确度0.01).
解:由于函数 f(x)=3x+ x ? 2 在(-1,+∞)上为增函数,故在(0,+∞)上也单调递增 ,
x?1
因此 f(x)=0 的正根最多有一个 . 因为 f(0)=-1<0,f(1)= 5 >0,
则重复(2)～(4).
自我检测
1.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时,初始区间可选为
(D)
(A)(-1,0) (B)(0,1) (C)(2,3) (D)(1,2)
2.(二分法的步骤)用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是
(A)
(A)[-2,-1]
(B)[-1,0]
二分法求方程近似解
二分法求方程近似解：求方程f(x) = x^3 + x^2 - 1 = 0在[0,1]上的近似解，精确度为0.01。
算法分析：二分法求方程近似解的基本思想是将方程的有解区间平分为两个小区间，然后判断解在哪个小区间；继续把有解的区间一分为二进行判断，如此周而复始，直到求出满足精确要求的近似解。
二分法求方程近似解的算法步骤：
⑴确定区间[a,b]，验证f(a).f(b) < 0，给定精确度e
⑵求区间(a, b)的中点mid
⑶计算f(mid)
若f(mid) = 0，则mid就是函数的零点
若f(a).f(mid) < 0，则令b = mid(此时零点a < x0 < mid)
若f(mid).f(b) < 0，则令a = mid(此时零点mid < x0 < b)
⑷判断是否达到精确度e：即若|a-b| < e，则得到零点近似值a（或b）；否则重复⑵-⑷。
用二分法求方程的近似解(带练习)
4.5.2用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0．(2)求区间(a，b)的中点__c__．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则__c__就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)<0(此时零点x0∈(c，b))，则令a＝c.(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．以上步骤可借助口诀记忆：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断.1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点的个数分别为()A．4，4 B．3，4C．5，4 D．4，3D解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的零点个数为3，故选D.2．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分( )A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次C 解析：设对区间(1，2)至少二等分n 次，初始区间长为1. 第1次二等分后区间长为12；第2次二等分后区间长为122；第3次二等分后区间长为123；…第n 次二等分后区间长为12n .根据题意，得12n ＜0.01，∴n ＞log 2100. ∵6＜log 2100＜7， ∴n ≥7.故对区间(1，2)至少二等分7次．【例1】下面关于二分法的叙述中，正确的是( ) A ．用二分法可求所有函数零点的近似值B ．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C ．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D ．只能用二分法求函数的零点B 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A 错误；二分法是一种程序化的运算，可以在计算机上完成，故选项C 错误；求函数的零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D 错误．故选B.运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数的零点．1．下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A．若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B．若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解A解析：使用二分法必须满足二分法的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确．2．已知下列四个函数图象，其中能用二分法求出函数零点的是()A解析：由二分法的定义与原理知A选项正确.【例2】利用二分法求方程x2－x－1＝0的近似解(精确度为0.3)．解：令f(x)＝x2－x－1，由于f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝1＞0，故可取区间(1，2)作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：零点所在区间中点的值中点函数值(1，2) 1.5 －0.25(1.5，2) 1.75 0.312 5(1.5，1.75) 1.625 0.015 625∵|1.75－1.5|＝0.25＜0.3，∴方程x2－x－1＝0的近似解可取1.5或1.75.二分法的步骤证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一一个零点，并求出这个零点．(精确度为0.1)证明：∵函数f(x)＝2x＋3x－6，∴f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0.∴f(x)在区间(1，2)内有零点．又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1，2)内有唯一的零点．设该零点为x0，则x0∈(1，2)，取x1＝1.5，f(1.5)≈1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1，1.5)．取x2＝1.25，f(1.25)≈0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1，1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)≈－0.44<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125，1.25)．取x4＝1.187 5，f(1.187 5)≈－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5，1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴可取x0＝1.25，则该函数的零点近似解为1.25.探究题1某方程在区间D＝(2，4)内有一无理根，若用二分法求此根的近似值，要使所得的近似值的精确度达到0.1，则应将区间D等分的次数至少是________次．5解析：第一次等分，则根在区间(2，3)内或(3，4)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，3)内，第二次等分，则根在区间(2，2.5)内或(2.5，3)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.5)内，第三次等分，则根在区间(2，2.25)内或(2.25，2.5)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.25)内，第四次等分，则根在区间(2，2.125)内或(2.125，2.25)内，此时精确度ε>0.1；不妨设根在(2，2.125)内，第五次等分，则根在区间(2，2.062 5)内或(2.062 5，2.125)内，此时精确度ε<0.1.满足题目要求，故至少要等分5次.探究题2在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6C解析：已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝12×(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．1．根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．区分好“精确度”与“精确到”．3．现实生活中，有很多问题可以用二分法来解决，例如线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量轻一点)，现在只有一台天平，应用适当的方法最多称几次就可以发现这枚假币？将26枚金币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那13枚金币里面；将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在轻的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚金币里面；将这3枚金币任意拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则轻的那一枚是假币．依据上述分析，最多称4次就可以发现这枚假币．用二分法求方程的近似解练习(30分钟60分)1.(5分)定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)<0，用二分法求x0时，当fa＋b2＝0时，函数f(x)的零点是() A．(a，b)外的点B.a＋b2C．区间a，a＋b2或a＋b2，b内的任意一个实数D．x＝a或bB解析：由fa＋b2＝0知a＋b2是零点，且在(a，b)内．2．(5分)为了求函数f(x)＝2x＋3x－7的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x和函数f(x)的部分对应值，如表所示．x 1.25 1.312 5 1.375 1.437 5 1.51.562 5f(x) －0.871 6 －0.578 8 －0.281 30.021 01 0.328 43 0.641 15则方程2x＋3x＝7的近似解(精确到0.1)可取为()A．1.32 B．1.39 C．1.4 D．1.3C解析：由题意可知f(x)为增函数．由f(1.375)•f(1.437 5)＜0，可知方程2x＋3x＝7的近似解可取为1.4.故选C.3．(5分)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下．f(1)≈－2 f(1.5)≈0.625 f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()A．1.25 B．1.375 C．1.42 D．1.5C解析：由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25，1.437 5)之间，且1.437 5－1.406 25<0.05.结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.4.(5分)用二分法求方程ln x－2＋x＝0在区间[1，2]上零点的近似值时，先取区间中点c＝32，则下一个含根的区间是32，2．5.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在后面的过程中，他用二分法又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．1．5，1.75，1.875，1.812 5解析：第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5)．6.(5分)利用计算器，列出部分自变量和函数值的对应值如表：x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8 －0.6 －0.4 －0.2 0y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 30.659 8 0.757 9 0.870 6 1y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一行里的数据中取值)，则a 的值为________．－1或－0.8解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，f(－0.6)>0，f(－0.8)<0, f(－0.4)>0，∴方程的根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内．∴a＝－1或a＝－0.8.7.(5分)用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度为0.001)时，如果选取初始区间是[1.4，1.5]，则达到精确度要求至少需要计算________次．7解析：设至少需要计算n次，则n满足0.12n<0.001，即2n>100，因为n∈N*，且27＝128，故要达到精确度要求至少需要计算7次．8.(12分)以下是用二分法求方程x3＋3x－5＝0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论．设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图象在(－∞，＋∞)上是连续不断的一条曲线．先求值，f(0)＝________，f(1)＝________，f(2)＝________，f(3)＝________．所以f(x)在区间________内存在零点x0，填表：区间中点m f(m)的符号区间长度解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为区间中点m f(m)的符号区间长度(1，2) 1.5 ＋ 1(1，1.5) 1.25 ＋0.5(1，1.25) 1.125 －0.25(1，125，1.25) 1.187 5 ＋0.125(1.125，1．187 5) 0.062 5因为|1.187 5－1.125|＝0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为1.187 5.9.(13分)求方程x2－2x－1＝0的一个大于零的近似解(精确度为0.1)．解：设f(x)＝x2－2x－1，先画出函数图象的草图，如图所示.因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，所以在区间(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x1，取2和3的中间数2.5，因为f(2.5)＝0.25>0，所以x1∈(2，2.5)，再取2与2.5的中间数2.25，因为f(2.25)＝－0.437 5<0，所以x1∈(2.25，2.5)，如此继续下去，得f(2.375)<0，f(2.437 5)>0，则x1∈(2.375，2.4375)，因为|2.437 5－2.375|＝0.062 5<0.1.所以此方程大于零的近似解为2.437 5.。
《用二分法求方程的近似解》教学设计
《用二分法求方程的近似解》教学设计1. 引言1.1 背景介绍二分法是一种常用的数值计算方法，广泛应用于计算机科学、数学和工程领域。
它通常用于寻找数值解的逼近值，特别是在无法准确求解的情况下。
二分法的基本原理是将求解区间逐步缩小，直到满足精度要求为止。
在实际应用中，我们常常需要解决一些复杂的方程，例如非线性方程、传统解法求解困难的方程等。
这时候，二分法就成为了一种简单而有效的求解方法。
通过不断缩小求解区间，逐步逼近方程的解，我们可以快速得到一个近似解。
在本次教学设计中，我们将重点介绍二分法的原理、算法步骤和示例演示，帮助学生更好地理解和掌握这一数值计算方法。
通过本次教学，我们旨在引导学生掌握二分法的基本思想和应用技巧，提高他们的数值计算能力，为进一步学习和研究相关领域打下坚实的基础。
1.2 问题提出问题提出：在数学中，求解方程是一个常见的问题。
特别是对于非线性方程，往往无法用代数方法得到精确解析解。
我们需要借助数值计算方法来求得近似解。
二分法是一种简单且常用的数值计算方法，可以用来求解单调函数的根。
在实际应用中，我们经常遇到需要求解方程的情况，比如物理问题中的牛顿定律、化学问题中的化学反应速率等等。
掌握二分法求方程的近似解有着重要的意义。
本教学设计将重点介绍二分法的原理及应用，帮助学生掌握这一实用的数值计算方法。
1.3 目的本教学设计的目的是帮助学生了解和掌握二分法求解方程的基本原理和方法，通过实际的示例演示和练习，培养学生解决实际问题的能力和思维。
通过本教学设计，学生将能够掌握二分法的具体步骤，理解其优缺点，掌握其应用范围，并能将所学知识运用到实际生活和工作中。
通过本教学设计的学习，学生将不仅能够提高数学解题的能力，还能培养逻辑思维和分析问题的能力，为将来深入学习数学和相关领域打下扎实的基础。
本教学设计也旨在培养学生的团队合作和沟通能力，鼓励学生通过合作学习和讨论来促进自身的学习效果。
通过本教学设计，学生将不仅能够学会求解方程的方法，还能够培养自主学习和解决问题的能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
用二分法求方程的近似解课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
- + -6<0，因此f（x）的零点在区间 ,
64 8 4
4 2
＝
7 5
,
4 2
1,
5
2
上.
上，
上.
【方法总结】通过二分法不断缩小根所在区间长度，直到符合某个选项中的区间.用二分法求方程近似解，若没有给出初
始区间，首先要选初始区间，这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能小.
高中数学
必修第一册
A. 2.52
B. 2.56
C. 2.66
D. 2.75
5. ［多选题］下列函数图象均与x轴有交点，其中不能用二分法求图象所对应函数的零点的是（AC）
A
B
C
D
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
6. 函数f（x）＝x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 a2＝4b .
7. 某同学在借助计算器求“方程lg x＝2-x的近似解（精确度0.1）”时，设f（x）＝lg x+x-2，算得f（1）<0，
第8章
8.1
二分法与求方程近似解
8.1.2
用二分法求方程的近似解
高中数学
必修第一册
配套江苏版教材
学习目标
1. 通过具体实例，理解二分法的概念和适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，并从中
体会函数与方程之间的联系.
2. 借助于计算器或信息技术手段用二分法求方程的近似解.
核心素养：数学运算、逻辑推理.
∵ f（0）＝c>0，∴ a>0.
1
取区间［0，1］的中点2，则
1
2
3
3
1
3.1.2用二分法求方程的近似解(s必修一 数学 优秀课件)
f (2.75) 0.512 0
f (2.5) f (2.75) 0 所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于 (2,3) (2.5,3) (2.5, 2.75) 所以零点所在的范围确实越来越小
用二分法求方程的近似解：
口 诀
定区间，找中点， 中值计算两边看. 同号去，异号算， 零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
x 2 bx c, x 0 5.设函数 f ( x) ，若f (– 4) = f (0)， x0 2,
f (– 2) = – 2，则关于x的方程f (x) = x的解的个数为（ （B ） 2 （C ）3 （D ）4
）
（A ）1
6.若直线y = 2a与函数y = | a x– 1 |（a > 0且a ≠ 1）的
函数f(x)的一个零点在（-1，0）内，另一个零点在（2，3）内
y
如何进一步有效缩小根所在的区间？ 第一步：得到初始区间（2，3） 第二步：取2与3的平均数2.5 第三步：再取2与2.5的平均数2.25 如此继续取下去： 若要求结精确度为0.1，则何时停 止操作？
y=x2-2x-1
-1 0 1 2 3 2.25 2
15
10
y
-
(2,3)
+
2.5 2.75 2.625
-0.084
0.512
-20
1
5
（2.5，3） +
0.5
-10 0.25
-(2.5,2.75)+
0.215
o
5
10
x
-(2.5,2.625)+ 2.5625
(2.5,2.5625)
用二分法求方程的近似解(很实用)通用课件
使用数学软件实现二分法
总结词
数学软件如Matlab、Mathematica等提 供了强大的符号计算和数值计算功能， 适合用于实现二分法。
VS
详细描述
这些数学软件通常提供了内置的二分法函 数，可以直接调用。用户只需要输入方程 的形式和初始区间，软件会自动调用二分 法函数来求解近似解。
使用在线工具实现二分法
二分法的原理
总结词
二分法基于函数的连续性和零点的存在性定理，通过不断缩小搜索区间来逼近零点。
详细描述
二分法利用了函数在区间端点上的函数值异号的性质，每次迭代都将搜索区间缩小一半，从而以较快 的速度逼近零点。这个过程一直持续到找到满足精度要求的零点或者搜索区间长度小于某个阈值。
二分法的适用范围
总结词
二分法适用于寻找连续函数在某个区间内的零点。
详细描述
二分法要求函数在零点所在的区间内连续，且在区间的端点上的函数值异号。对于一些不满足这些条件的函数， 如分段函数或有多个零点的函数，二分法可能无法找到正确的零点。因此，在使用二分法之前，需要先对函数进 行适当的分析和验证。
02
二分法的基本步骤
确定初始区间
首先需要确定方程有解的初始区间 ，可以通过代入法或观察法得到。
计算中点
在初始区间内取中点，并计算中点 的函数值。
判断中点性质
根据中点的函数值与区间端点的函 数值进行比较，确定下一步的搜索 区间。
迭代搜索
不断重复上述步骤，每次将搜索区 间缩小一半，直到达到所需的精度 要求。
求函数的零点
01
确定初始区间
同样需要确定函数有零点的初 始区间。
02
计算中点
在初始区间内取中点，并计算 中点的函数值。
用二分法求方程的近似解
总结作业
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
0.03
(2.5625,2.625)
新课讲解
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
给定精确度 ,用二分法求函数f (x)零点近似值
的步骤 :
宇普西龙
1.确定区间[a,b], 验证f (a) f (b) 0;
2.求区间(a, b)的中点c;
3.计算f (c);
(1)若f (c) 0,则c就是函数的零点;
(2)若f (a) f (c) 0,则令b c(此时零点x0 (a, c)); (3)若f (c) f (b) 0,则令a c(此时零点x0 (c, b)); 4.判断是否达到精确度 :即若 | a b | ,则得到零点近似值a(或b);否
则重复2 4.
新课讲解
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
例1、借助计算器或计算机,用二分法求方程x
3 lg x在(2,3)内的近似解(精确度0.1). 近似 值
区间
中点的值 中点的函数值
(2,3) (2.5,3) (2.5,2.75)
2.5 2.75 2.625
0.10 0.19 0.04
(2.5,2.625) 2.5625
A.(3,4) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
新课讲解
二分法 :
茅盾中学 用二分法求方程的近似解
对于区间[a,b]上连续不断且f (a) f (b) 0的函 数y f (x), 通过不断地把函数f (x)的零点所在 的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近 零点, 进而得到零点近似值的方法, 称之.
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§ 3.1.2 用二分法求方程近似解
复习引入 新课讲解 课堂小结 课后作业
高中数学 3.1.2《用二分法求方程的近似解》课件 新人教A版必修1
(1.375,1.5) 1.438
(1.375,1.43
|a－b| 1 0.5
0.25 0.125
第十六页，共24页。
由上表计算可知区间(1.375,1.438)长度小于0.1，故可在 (1.438,1.5)内取1.406 5作为函数f(x)正数的零点的近似值．
第十七页，共24页。
1．准确理解“二分法”的含义 顾名思义，二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不 断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附 近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值 近似地表示真正的零点．
图象可以作出，由图象确定根的大致区间，再用二分法求解．
第九页，共24页。
【解析】 作出y＝lg x，y＝3－x的图象可以发现，方程lgx＝3－x有 唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．
设f(x)=lgx+x-3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，
∴x0∈(2,3)； f(2.5)<0，f(3)>0⇒x0∈(2.5,3)； f(2.5)<0，f(2.75)>0⇒x0∈(2.5,2.75)； f(2.5)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.5,2.625)； f(2.562)<0，f(2.625)>0⇒x0∈(2.562,2.625)． ∵|2.625－2.562|＝0.063<0.1 ∴方程的近似解可取为2.625(不唯一)．
第四页，共24页。
下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的 是( )
【思路点拨】 由题目可获取以下主要信息： ①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念． 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
4.5.2用二分法求方程的近似解课件(人教版)
）
答案：×，×，×.
辨析2：用二分法研究函数() = 3 + 3 − 1的零点时，第一次经计算(0) <
0，(0.5) > 0，可得其中一个零点0 ∈________，第二次计算________，以上横线
上应填的内容为（ ）.
A.(0，0.5)，(0.25)
B.(0，1)，(0.25)
2.5390625
0.010
(2.53125,2.5390625) 2.53515625
0.001
新知探索
零点所在区间
中点的值
中点函数近似
值
(2,3)
2.5
−0.084
(2.5,3)
2.75
0.512
(2.5,2.75)
2.625
0.215
(2.5,2.625)
2.5625
0.066
(2.5,2.5625)
0，所以0 ∈ (1,1.5).
再取区间(1,1.5)的中点2 = 1.25，用信息技术算得(1.25) ≈ −0.87.因为
(1.25)(1.5) < 0，所以0 ∈ (1.25,1.5).
同理可得，0 ∈ (1.375,1.5)，0 ∈ (1.375,1.4375).
由于|1.375 − 1.4375| = 0.0625 < 0.1，所以，原方程的近似解可取为1.375.
间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围.
新知探索
取(2,3)的中点2.5，用计算工具算得(2.5) ≈ −0.084.因为(2.5)(3) < 0，所以零
点在区间(2.5,3)内.
再取区间(2.5,3)的中点2.75，用计算工具算得(2.75) ≈ 0.512.因为(2.5)(2.75) <
用二分法求方程的近似解的案例分析
“用二分法求方程的近似解”的案例分析随着新课程的深入，对新课程的研究也一逐步在加深，由我组织了几位老师共同探讨了“用二分法求方程的近似解”的教学，进行三次教学实践，记述如下：一、案例要研究的问题在对《课程标准》和与之相配套的新教材的学习中，我们感到，“二分法”这一内容是新增的，因此也就包含了有许多值得研究的焦点问题，这些焦点问题实际上涉及了本次高中课改的一些核心问题，例如：●“二分法”是第一次进入高中教材，对教师来讲，教学内容是全新的，所体现算法的思想也是全新的，这就需要对“二分法”的本质和教材编写背景进行研究．●“二分法”体现了现代信息技术与数学课程的整合，教学中要探索如何将数学教学与信息技术紧密结合，既要恰当渗透算法思想，又要合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台组织教学，这就需要对教学手段进行研究．●苏教版内容组织的主要形式是“问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思”，在“二分法”教学中能否实践与这种内容呈现方式相适应的新的教学范式．●《课程标准》倡导改善学生的学习方式，既要有教师主导下的接受式学习，有要有学生自主探索、自主发现、自主创造的主动式学习，在“二分法”教学中能否实践如何改善学生的学习方式．二、案例研究的实施过程本案例的研究采用了“以课例为载体的行动教育”模式，整个研究过程的要素是：以课例为载体，通过同伴互助，专业引领，行为跟进，教学反思等基本环节进行研究，可简述为“一个课例，两次反思，三次设计”．我们的具体实施过程如下：（1）第一次设计：对“二分法”这一课题独立设计了第一轮教案，请两位教师分别在两个平行班级开设公开课．两位老师同题开课的意图是希望通过对比，形成教学理念、教学设计、教学实施上的差异和冲撞，进而产生更多值得研究的焦点问题．（2）第一次反思：同行对两位老师的课进行比较、评议，提出一些值得研究的焦点问题，然后通过讨论、反思，提出改进意见．（3）第二次设计：本人根据第一轮反思的意见进行改进，形成第二轮教案．（4）第二次反思：同行对第二次课进行集中评议，从更深层次反思教学设计与学生实际收获之间的差距，形成新的改进调整意见．（5）第三次设计：我再次改进完善教学设计，形成第三轮教案．按照“行动教育”的基本模式，上述过程可多次往复，形成螺旋式上升．三、教学片段●片段1 提出问题第一次设计：1．能否求解方程lg x=3-x?2．能否求出这个方程的近似解？3．你了解一元二次方程ax2+bx+c=0根的哪些知识？第二次设计：1．能否求解下列方程：(1)lg x=3-x；(2)x2-2x-1=0；(3)x3-3x-1=0．2．能否求出上述方程的近似解？（精确到0.1）第三次设计实录：师：今天想同大家一起探讨一个熟悉的问题——解方程．请学生们思考下面的问题：能否求解下列方程：（1）x 2-2x -1=0；（2）lg x =3-x ；（3）x 3-3x -1=0．（三个方程逐个出示）课堂反响：对于第一个方程，采用配方法或求根公式法即可求解．而对于第二个方程，较多学生提议用图象法，但观察图象得不出准确解；而第三个方程则无法求解．师：既然解方程（2）、（3）有困难，那么能否求出这些方程的近似解呢？（精确到0.1） 课堂反响：对于方程（2），将学生画的图用实物投影仪展示（见图2），由于学生画的图象普遍不够精确，因此很难从图中得出近似值究竟是2.4，2.5还是2.6．对于方程（3）学生还是束手无策．师：实际工作中求方程的近似值往往有更大的实用价值，从方程（2）的研究我们可以看到，仅仅依靠图象，求方程的近似解仍然有困难，因此本节课我们就来研究如何求一元方程的近似解．片段2 探究方法（第三次教学实录）下面我们从熟悉的一元二次方程入手，寻找一般的解决问题的方法．（板书：不解方程，求方程x 2-2x -1=0的一个正的近似解（精确到0.1））课堂反响：问题一出，学生们马上投入研究，但是进展似乎很不顺利．于是建议学生来相互交流自己研究的进展．生：我画出了f (x )= x 2-2x -1的图象（见图3），发现正根在区间（2，3）内．师：为什么可以确定这个正根在区间（2，3）内？生（思考片刻）：因为f (2)＜0，f (3)＞0，所以在区间（2，3）内必有一根．师：×同学把方程的根与函数图象与x 轴的交点联系起来，并给出了合理的解释，分析得很好．现在根的范围缩小了很多，那么下一步我们该如何研究呢？课堂反响：学生们建议要进一步缩小区间．“如何缩小呢？”，问题再一次把学生们推向了研究的前沿．一番认真探索之后，有学生想表达他的观点．生：先找区间的中点，把区间一分为二．师：为什么？生：因为根必定在区间（2，2.5）或（2.5，3）内．而由于f (2)＜0，f (2.5)＞0，所以根必在区间（2，2.5）内．师：同学们你们认为此法如何（众学生均表示赞同）．目标又进了一步，但还需努力，下面又该怎么办？课堂反响：受了上面方法的启发，马上有学生建议能否依次类推．于是师生按此法进一步探究，即先分区间，再判断，依次类推．当根所在区间为（2.375，2.4375）时，由于在精确度0.1的情形下，2.375和2.4375的近似值即为2.4．至此问题终于得到了解决，为了进一步加深学生对上述方法的直观理解，教师又用线段表示区图3间（2，3），并演示线段不断被对折缩短的过程，即不断对分区间的过程（见图4）． 师：同学们能否简述上述求方程近似解的过程． 生：第一步画出图象观察根所在的区间；第二步对分区间：根据f (a ) f (b )＜0，来判断根所属的区间，并不断对分区间；第三步是根据所给精确度，当区间两端的近似值相等时，即可得出近似解． 师：归纳总结得很好．同学们能否给这种求方程近似解的方法取个名称． 生：对分法． 师：取得很好，很直观．习惯我们把这种方法称为二分法，它是求一元方程近似解的常用方法．本节课我们就来探讨如何用二分法来求方程的近似解．（随即，教师在黑板上板书课题：用二分法求方程的近似解）．● 片段3 变式探究（第三次教学实录）师：能否用二分法求方程lg x =3-x 的近似解（精确到0.1）课堂反响：有了上述探究的方法，学生们个个跃跃欲试．但是高涨的热情马上又被困难扼制了．为了能找出症结，教师建议大家一起来探讨．生1：我先画了y =lg x 和y =3-x 的图象，观察图象交点，得出根属于区间（2，3），二分了区间，但我无法判断根在（2，2.5）还是（2.5，3）内．师：有没有同学能帮他解决这个困难．生2：可先把方程转化为lg x +x -3=0，再设f (x )=lg x +x -3，由f (2.5)＜0，f (3)＞0，可判断根在区间（2.5，3）内．师：很好，这个方程的形式为g (x )=h (x )，而第二位同学则把它转化为g (x )-h (x )=0，并设f (x )=g (x )-h (x )，从而使问题得以有效解决．解决了困难，顺利进入了不断二分区间的环节，教师建议可用表格形来完成求x 1≈2.6 .● 片段4 总结归纳（第三次教学实录）师：解决了求两种形式方程的近似解的问题，下面请同学们再来完整地归纳用二分法求方程近似解的基本步骤．课堂反响：一番讨论之后，学生们较一致地认为应分三个步骤，第一个步骤为：利用图象法找出解所在的区间：即若方程形式为f (x )=0，则画出y =f (x )图象后，观察图象与x 轴的交点所在的区间；若方程形式为g (x )=h (x )，则画出y = g (x )与y =h (x )的图象，观察它们的交点所在的区间，即为根所在的区间．师：图象法用得很好，但请同学们考虑一下，要得出根所在的区间，是否一定- +2 3- + 2 2.5 - +2 2.25 2.5 3- + 2 2.375 2.5 3- +2 2.375 2.4753 图4要画图？课堂反响：结合前面问题的研究，有学生发现第二个函数 f (x )=lg x +x - 3，f(3)=lg3>0，而利用函数的单调性，很快又可找到函数值小于零的点，如f (1)= -2<0，因此根必属于区间（1，3）．师：非常正确．也就是说我们还可利用函数的性质来判断根所属的区间． 课堂反响：对于解题步骤二和三，学生们归纳得出了以下结论：步骤二：不断二分区间，不妨设)(a f <0，)(b f >0，则),(0b a x ∈， 若)2(b a f +>0，则)2,(0b a a x +∈；若)2(b a f +<0，则),2(0b b a x +∈； 若)2(b a f +=0，则20b a x +=；再依次类推． 步骤三：根据精确度得出近似解．当x 0∈（m ，n ），在给定精确度下，若m 、n 的近似值相同均为P ，则方程的近似解即为P ．片段5 拓展探究（第三次教学实录）师：同学们，你们认为用二分法求方程的近似解最大的困难是什么？生：最大的困难是第一步，即如何确定根所在的区间．师：那好，我们就以方程x 3-3x -1=0为例，再来探讨如何确定根所在的区间． 课堂反响：有了前面研究的基础，学生们很快提出了两种方法，即画出y =x 3和y =3x +1的图象，再观察它们交点所在的范围．或研究函数f （x ）=x 3-3x -1，由f （1）= -3＜0，f （2）=1＞0，得出根在区间（1，2）内．师：有没有同学通过作出函数f （x ）= x 3-3x -1的图象来判断根所在的区间？课堂反响：学生们面面相觑，问及原因，是因为不会作图．师：难道这个函数图象真的不能作？大家回忆一下，作一个函数图象最基本的方法是什么？生：列表、描点、连线．师：对，那么我们今天就利用这个方法并借助电脑来实施这一过程．教师当场示范如何利用Excel 来作图．先对x 限定在（0，4）上取值，取步长为0.1，得到四十个自变量的值，再计算出相应的y 值，点击工具栏中的“图表”，随即生成图形（见图5）．课堂反响：学生们在惊讶的同时，观察图形马上得出了根所属的区间．师：学生们，只要你能给出函数解析式，我们就能利用Excel 作出它的图象，可见计算机是我们解决数学问题的有力武器．实际上，如果我们将步长取得足够小，从Excel 表的列B 中，我们可以直接得出近似解，当然，这种方法的背后是电脑要进行大量的计算．四、案例所触及的几个焦点问题图51．关于教学目标二十世纪五十年代，英国哲学家波兰尼(M.Polanyi)提出:“我们所知道的多于我们言传的.”据此，他提出人类大脑中的知识分为两类：明确知识(explicit knowledge)和黙会知识(tacit knowledge)．前者可以言传，后者却不能言传，不能系统表达．明确知识存在于书本之中，它可编码(逻辑性)、可传递(共享性)、可反思(批判性)．它告诉我们“是什么”和“为什么”，主要是事实和原理；而黙会知识存在于个人经验之中(个体性)，镶嵌于实践活动之中(情境性)，它告诉我们“怎么想”和“怎么做”，常常是不可言传的，其本质是理解力和领悟.如果把知识比作一座冰山，那么明确知识就是冰山浮在水面的部分，而黙会知识则是其水下部分．张奠宙先生曾经说过：“数学教学的有效性关键在于对数学本质的把握、揭示和体验”，这里所说的数学本质，既包含数学概念、定理、方法等明确知识，其实更重要的往往是“不可言传”的黙会知识．教学中，基于明确知识的教学目标往往是显性的，教师比较重视也易于把握，教学的成效也易于达成；而基于黙会知识的教学目标往往是隐性的，教师容易忽视并难以把握，教学的成效往往也是隐性和难以达成的．在本节课中，基于明确知识的显性教学目标是向学生介绍一种求方程近似解的方法，衡量这个教学目标达成度的标准是看学生对“二分法”解题方法掌握的程度．如果教师把本节课的教学目标仅仅定位于这个基于明确知识的显性教学目标，则容易导致片面采用例题讲解和练习巩固的教学方式．在几次案例研究的过程中，我们觉得《课程标准》增加“二分法”这节内容并非仅仅为了这样一个显性目标，苏教版新教材的编者在编写这节内容时已经很好地将新课程的理念、算法的思想、现代教育技术的使用等隐性教学目标揉合在“二分法”一起，我们的教学要努力使更多的隐性目标能够在这堂课中进行渗透并达成，因此，最终我们把本节课的隐性目标定位于使“方法建构、技术运用、算法渗透”三者能够同步发展．从第三次教学的实录片断中，可以看到，本节课以问题解决为基本策略将明确知识精心组织成了一个有序的教学流程，这是一条组织教学的明线，在问题解决的过程中，采用了先破后立的方式，使黙会知识镶嵌于教学流程的背后构成了一条暗线（见下图6）．在教学过程中，暗线所串联起的隐性教学目标是在先破后立的价值取向中逐步实现的．例如，第二个环节“简单方程入手，寻找一般规律”，在第一次教学过程中，暗线：方法建构、技术运用、算法渗透先破图6用《几何画板》作出了函数图象，由于《几何画板》作的函数图象比较精确，学生直接观察图象就可以得到近似解，这就为后续的教学带来了干扰．在后二次的教学中，要求学生用纸笔作图，使学生能打破采用观察图象求解的思维定势，进而发现计算区间端点函数值的方法．在这样连续先破后立的过程中，达到了“方法建构、技术运用、算法渗透”的教学目的．2．新教材为什么要在高一讲“二分法”？“二分法”有什么优点和缺点？ 本节课的引发我们思考的第二个焦点问题是新教材为什么要在高一函数中增加“二分法”？首先，“二分法”简便而又应用广泛，它对函数没有要求，任何方程都可以用“二分法”求近似解，这就为教材后面函数知识的应用提供了一个很好的、必需的工具．其次，它体现现代而又根植传统，算法作为一种计算机时代最重要的数学思想方法，将作为新课程新增的内容安排在数学必修3中进行教学，“二分法”是数学必修3教学的一个前奏和准备，它所涉及的主要是函数知识，其理论依据是“函数零点的存在性（定理）”．再次，“二分法”朴素而又寓意深刻，体现了数学逼近的过程，二分法虽然简单，但包含了许多以后可以在算法以及其他地方运用和推广的朴素的思想，可以让学生感受“整体→局部”、“定性→定量”、“精确→近似”、“计算→技术”、“技法→算法”这些数学思想发展的过程，具有萌发数学思想萌芽的数学教育的价值．利用二分法求方程的近似解时，首先需要有初始搜索区间，即一个存在解的区间（要用到此区间的两端点），为此，有时需要初步了解函数的性质或形态；其次需要有迭代，即循环运算的过程，具体表现在不断“二分”搜索区间；最后需要有一个运算结束的标志，即当最终搜索区间的两端点的精确度均满足预设的要求时（两端点的近似值相同），运算终止． “二分法”的优点在于思想方法简单，所需的数学知识较少，算法流程比较简洁，收敛速度比较快（得到符合条件的近似解的速度快），误差比较小，是同类算法中效率最高的．其缺点在于：无法用其求出方程偶次重根的近似解．因此，类似于图7的图象所对应的函数就无法通过“二分法”来求零点．3．“二分法”教学中应该怎样逐步渗透算法思想本节课的引发我们思考的第三个焦点问题是在“二分法”教学中应该怎样逐步渗透算法思想的精髓？在“二分法”教学中，“方法建构、技术运用、算法渗透”的同步发展是本节课的隐性教学目标，其中“方法建构、技术运用”都是为“算法渗透”服务的．例如，在“方法建构”的过程中，多次进行了数形转化，第一阶段是“数→形”，这是为了更好地说明“二分法”的理论依据，第二阶段是“形→数”，其中的形包括“图图7图8象→数轴→表格”，这个过程中“形”的特征不断淡化，最后抽象成了以“数”为特征的算法流程（见图8）．在这样一个数形转化和逐步抽象的过程中，学生加深了对算法思想的理解和掌握，因而能够比较顺利地自主归纳出用二分法求方程近似解的基本步骤（见片断5）．4．教学中如何恰当把握接受式学习和发现式学习的关系本节课的引发我们思考的第四个焦点问题是“二分法”教学中应该如何处理教师传授和学生自主发现的关系？西南师范大学张大均教授在《教学心理学》中指出：在课堂教学中，教师是主导性主体，其对象性活动指向学生；学生是发展性主体，其对象性活动指向自身发展，教学是在这种师生双主体的关系下开展的主体性活动．双主体的师生关系，从教学过程角度表现出来是预设与生成的关系，从学生学习方式的角度表现出来是接受式学习和发现式学习的关系．在教学过程中，师生双方主体作用的发挥应该各有侧重，其中有意义的接受式学习体现了教师的主导趋向，有意义的发现式学习则体现了学生自主发展的趋向．在本节课的教学中，如何将有意义的发现式学习与有意义的接受式学习有机地结合起来是需要研究和努力追求的一个方向．本节课采用了“整体预设，局部生成”的方式来协调师生双主体的关系以及两种学习方式的关系．精心确定教学重点，构思教学流程，分解教学目标，控制教学方向和节奏，这些都充分体现了教师的主导作用，当教学流程以教师“预设”的明线或暗线的方式展开时（见图6、图8），学生的学习体现了认知、思维、情感、身心等的和谐统一，是一种有意义的接受式学习．同时，教师在教学流程的局部放手让学生进行积极主动的思维和自主的探究，例如，本节课教师鼓励学生自行尝试解决问题，大量运用实物投影仪展示学生的研究成果（见片段3）；学生自己概括提炼出“二分法”的基本步骤（见片段4）；教师在Excel中现场操作，即时生成函数图象（见片段5）等．这种自主“生成”的学习是一种有意义的发现式学习，在这样的学习过程中，学生充分体验到了解题遇阻时的困惑以及解决问题后的快乐，感受到了数学学习的乐趣．在第一次同题开课的过程中，两位老师对课题名称出现的时机采用了不同的处理，一位采用了“开门见山”式的“课题先行”的方式，在教学的起始阶段就点明了本节课要学习的课题是“用二分法求方程的近似解”，使学生产生了一种“且听分解”的欲望．本节采用了“曲径通幽”式的“问题先行”的方式，课题名称是在学生自主概括“二分法”名称之后生成的，不是预知的．比较两种处理的教学效果，我们认为，学生自主概括“二分法”名称的过程中是对“二分法”本质概括的过程，是一种有效的数学思维的训练．而在本节课教学中，课题先行会对学生带来暗示，不利于学生的创造性思维，不利于学生参与方法建构的完整过程．五、案例研究的价值从本次“二分法”案例的研究过程中，我们充分感受到了案例研究的巨大价值，它既是教师研究新课程的一个重要载体，也是深化课堂教学改革的一个突破口，也是教师专业化成长的一个极好的平台．我们认为，在新课程推进的过程中，课堂教学改革是新课程改革的落脚点和支撑点，教师的课堂教学行为不改变，课改成功就是一句空话．我们希望案例研究能成为基层学校教学研究的一种主要方式，教师迫切需要这种能依托新教材并直接切入到课堂教学的新课程培训，需要这种聚焦课堂的教学研修和专业引领．。