卷积
推广：
f ( x ) ( x x0 ) f ( x x0 )
意义：说明 任意函数与 ( x )函数卷积的结果是
把该函数平移到 ( x )函数所在的位置
以上性质请自行证明
17
课后作业 习题一
1.5 （3）
1.6 1.7 1.8 （2）（3）（4）中 选2题
f1 ( x )
f 2 ( x ) h( x )
3、分配率
f ( x ) g ( x ) h( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) h( x )
4、连续性
当f 1 ( x )、f 2 ( x )有 界 ， 则f 1 ( x ) f 2 ( x )连 续
第一章
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 §1.7
数 学 基 础
常用函数 脉冲函数 卷积 相关函数 傅里叶变换 傅里叶变换定理 常用函数的傅里叶变换
1
第一章 数学基础
§1.3 卷积
一、概念的引入(1)
实例1
convolution
用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x) 扫描，
To§1－4相关函数
18
f ( , ) f
1
2
( x , y )d d
6
第一章
§1.3 卷积
—— 借助几何作图
g( x ) f 1 ( x ) f 2 ( x )
三、卷积的计算方法
步骤
置换变量： f1 (ξ) 和 f2 (ξ) 第一步 翻转：将 f2 (ξ)翻转，得到 f2 (-ξ) 第二步 平移：将 f2 (-ξ) 平移到－x处，得到 f2 (x-ξ) 第三步 相乘： f1 (ξ) × f2 (x-ξ) 第四步 积分：
二、卷积的定义
若 f1 (x)与 f2 (x) 有界且可积, 定义：
g( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )
f1 ( ) f 2 ( x )d
*: 卷积符号
g(x)称为函数f1(x)与f2(x)的 卷积 二维函数的卷积:
g( x , y ) f1 ( x , y ) f 2 ( x , y )
卷积运算的两个效应
• 展宽：卷积的宽度等于被卷积函数的宽 度之和 • 平滑化：被卷积的函数经过卷积运算， 其细微结构在一定程度上被消除，函数 本身的起伏振荡变得平缓圆滑。
13
练 习
1
rect() rect() 1
计算 rect(x)*rect(x)
-1/2 1 rect(t) 0 1/2 -1/2 0 1/2
（x0，y0） S
h (x) d0 f (x)
因透镜孔径衍射影响，物平面上的单位脉冲，在像平面产生弥散斑
f() 1 0 2
di
成像
h(x- 2)
h(x)
h(x- 1)
x
3
第一章
实例2
§1.3 卷积
f()
成像
h(x- 2)
h(x)
h(x- 1)
x
1 0
2
像平面上的光场分布：
15
第一章
§1.3 卷积
（p15）
四、卷积的运算定律（2）
5、位移不变性
设：f ( x ) h( x ) g( x )
则有： ( x－x0 ) h( x ) g( x－x0 ) f
以上定律请自行证明
16
第一章
§1.3 卷积
五、包含脉冲函数的卷积
任意函数与 ( x )函数的卷积：
0
ξ
f1 ( ) f 2 ( x )d
11
回到前面的例题:
a f(x)=2+cos(2pf0x)
探测器输出的光强度分布:
x g ( x ) f ( x ) rect a x f ( )rect( )d a
请考虑：怎样计算？
12
0 < x <1;
g(x) =rect(x)*rect(x) = tri(x)
14
第一章
§1.3 卷积
（p14）
1.29
四、卷积的运算定律（1） 1、交换率 2、结合率
f1 ( x ) f 2 ( x )＝f 2 ( x ) f1 ( x )
＝f 1 ( x ) f 2 ( x ) h( x )
在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。 a
f(x)=2+cos(2pf0x)
这是一个
卷积运算问题
x g ( x ) f ( x ) rect a
卷积符号
f ( )rect(
x
a
)d
2
第一章
实例2
§1.3
卷积
研究物体经透镜成像 （xi，yi）
一、概念的引入(2)
应是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用 卷积运算
来描述：
g( x ) f ( x ) h( x )
f ( )h( x )d
4
卷积在光学成像中的物理意义
• 光学系统像平面上的光强分布是物的光 强分布与单位强度点光源对应的像强度 分布的卷积。
5
第一章
§1.3 卷积
-1/2 0 1/2 x x+1/2 x x+1/2 x-1/2
求 rect(x)
g(x) = 0
× rect(x) 曲线下的面积：
|x| >1; -1< x <0;
x-1/2
g(x) = 1[x＋1/2-(-1/2)]=1＋x
g(x) = 1[1/2-( x-1/2)]= 1- x
g(x) 1 x -1 0 1
பைடு நூலகம்
f1 ( ) f 2 ( x )d
求曲线
下的面积
To练习
7
翻转 翻转
f2(-ξ)
f(ξ) f2(ξ) ξ
0
8
平移
f2(-ξ)
f(ξ) f2(x-ξ)
0
ξ
x
9
相乘
f(ξ) f2(x-ξ)
2 0
ξ
f1(ξ) f2(x-ξ)
f1(ξ)
10
积分
f(ξ)
f1(ξ) f2(x-ξ)
卷积的公式
卷积的公式
卷积运算是深度学习和计算机视觉中的一项重要的计算方法，卷
积操作在图像处理中广泛应用，其公式一般表示为：
f(x,y)∗g(x,y)=(f⊗g) (x,y)=∑m∑nf(m,n)g(x-m,y-n)
其中：
f（x, y）为输入图像；
g（x, y）为卷积核；
(x, y) 为原始图像上的像素坐标；
(m, n) 为卷积核上的（滑动）坐标；
(f ⊗g ) (x,y) 为卷积核和原始图像的点积；
卷积操作的最基本思想就是不断地把卷积核核移动到图像的每一
个位置上，相乘后求和，从而得到图像的卷积结果。
卷积运算的作用是在原始信号上滤波，可以看到，卷积可以把通
用的二维函数f（x,y）的元素与通用的二维函数g（x,y）的元素组合，从而实现特殊的数学计算操作，比如模糊、边缘检测、形状检测等等。
卷积操作还可以用来处理图像中特定区域的特定特征，比如人脸识别、物体识别等等。
卷积及其性质
f1()
f2(t
)d
iii) 若t 0, f1(t)0, f2(t)0,则
S(t) 0,
t
0
t
S(t) 0
f1() f2(t )d,
t
0
精选PPT
2
§2.7 卷积及其性质
2， 卷 积 及 分 的 求 取 方 法
（1） 函 数 计 算 法
例，已知
f1 (t )
1 [u (t 2
2 ) u (t 5)]
二，离散卷积和
1，定义
两个序列x1(n)，x2(n) 得卷积和定义为
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m
如果两个序列都是因果的，即 x1(n) x1(n)u(n)，x2(n) x2(n)u(n) 则有
n
x1(n)*x2(n) x1(m)x2(nm) m0
精选PPT
13
§2.7 卷积及其性质
解 ： s(t) f1 (t)* f1 (t) d fd 1 ( tt)* t f2 ()d
f1(t)
f2(t)
2
1
0 123
t
1
2
01
t
精选PPT
11
§2.7 卷积及其性质
f1'(t) 2
1
0 12 3
t
f2'(t)
1
2
01
t
s(t) 2
45
1 23
t
-2
精选PPT
12
§2.7 卷积及其性质
f1( ) f2 (t )d
举例说明。
精选PPT
6
§2.7 卷积及其性质
（1）分配律：f1(t)[ f2(t) f3(t)] f1(t） f2(t) f1(t) f3(t) 物理意义：几个系统并联，可等效为一个冲激响应
函数的卷积
函数的卷积什么是卷积卷积是一种数学运算，常用于信号处理、图像处理和深度学习等领域。
在函数的卷积中，我们将两个函数进行卷积运算，得到一个新的函数。
卷积的定义给定两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积定义为： *g(t)=_{-}^{}f(t-u)g(u)du)卷积的性质卷积具有如下性质：1.交换律：f(t)*g(t) = g(t)*f(t)2.分配律：f(t)*[g1(t)+g2(t)] = f(t)*g1(t) + f(t)*g2(t)3.结合律：f(t)*[g1(t)*g2(t)] = [f(t)*g1(t)]*g2(t)卷积的计算方法在实际计算中，可以使用离散形式的卷积来对函数进行计算。
离散形式的卷积可以表示为： [n]=_{k=-}^{}f[k]g[n-k])一维离散卷积的例子例如，给定两个离散函数f = [1, 2, 1]和g = [2, 1, 2]，它们的卷积可以通过如下方式计算：f = [1, 2, 1]g = [2, 1, 2]f*g = [1*2 + 2*1 + 1*2, 1*2 + 2*1, 1*2] = [6, 4, 2]二维卷积除了一维函数的卷积，卷积还可以应用于二维函数（如图像）。
二维函数的卷积可以通过将两个函数的权重矩阵进行对应元素相乘，再求和得到。
举个例子，假设我们有一个3x3的图像矩阵A和一个2x2的卷积核矩阵B，它们的卷积计算如下：A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]B = [[2, 0],[1, 2]]我们可以将卷积核B在图像矩阵A上滑动，将对应的元素相乘，然后求和，得到新的矩阵C：C = [[1*2 + 2*0 + 3*1, 2*2 + 0*1 + 3*2],[4*2 + 5*0 + 6*1, 5*2 + 6*1 + 9*2]]C = [[7, 10],[16, 23]]我们可以看到，经过卷积运算后，原始图像矩阵被卷积核影响，生成了一个新的矩阵。
§3.8 卷积特性(卷积定理)
1 时间函数的乘积 各频谱函数卷积的 2π 倍.
卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系, 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系,在通信 时间域 的运算关系 系统和信号处理研究领域中得到大量应用. 系统和信号处理研究领域中得到大量应用.
二.应用
用时域卷积定理求频谱密度函数. 用时域卷积定理求频谱密度函数.
§3.8卷积特性(卷积定理) 3.8卷积特性(卷积定理)
卷积定理 卷积定理 卷积定理的应用 卷积定理的应用
一.卷积定理
时域卷积定理 时域卷积定理 若 f1(t ) F (ω) , f2 (t ) F2 (ω) 1 则 f1(t ) f2 (t ) F (ω) F2 (ω) 1 时域卷积对应频域频谱密度函数乘积. 时域卷积对应频域频谱密度函数乘积. 频域卷积定理 频域卷积定理 若 f1 (t ) F1 (ω), f2 (t ) F2 (ω) 1 则 f1(t ) f2 (t ) F (ω) F2 (ω) 1 2 π +∞ 其 中 F (ω) F2(ω) = ∫ F (u)F2(ω u)du 1 ∞ 1
的傅里叶变换. 求∫ f (τ ) dτ的傅里叶变换.
t ∞
1 F(ω) ∫∞ f (τ )dτ F(ω) πδ(ω) + jω =π F(0)δ (ω) + jω g(t ) 求系统的响应. 求系统的响应. f (t )
t
∫
t
∞
f (τ ) dτ = ∫∞ f (τ )u(t τ ) dτ = f (t ) u = f (t ) h(t ) G(ω) = F(ω)H(ω) g(t ) = F 1[G(ω)]
将时域求响应,转化为频域求响应. 将时域求响应,转化为频域求响应.
�
第二章第3讲 卷积
[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：
[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d
结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt
t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )
f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0
f1() f2(-)
卷积公式的例子
卷积公式的例子
卷积公式的应用非常广泛，以下是5个具体的例子：
1. 丢骰子：有两枚骰子，求两枚骰子点数加起来为4的概率。
可以把它写成卷积的形式：(f∗g)(4)=∑m=13f(4−m)g(m)。
2. 做馒头：假设馒头的生产速度是f(t)，腐败函数为g(t)，那么一天后生产出来的馒头总量就是f(t)和g(t)的卷积，即馒头生产出来之后，会随时间不断腐败。
3. 信号处理：如果一个系统对输入信号的响应是g(t)，那么在t=0时刻有一个输入，这个输入将随时间按g(t)的规律衰减，这也是卷积的应用。
4. 图像处理：在图像处理中，卷积常常用来进行滤波操作。
比如，有一个滤波器h，和一幅图像f，那么滤波后的图像g就是f和h的卷积。
5. 物理学：在物理学中，卷积被用来描述两个函数之间的关系。
例如，如果一个力在时间上作用于一个物体，那么该物体在时间上的位移就是该力和单位冲激响应的卷积。
卷积
其中 D(k)(x)为k阶卷积。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲 得很详细。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
简介
简介
卷积（又名褶积）和反卷积（又名反褶积）是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷 积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反卷积，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten 等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反卷积方法很快引起了数学界的广泛注意。有专家认为，反卷积的应 用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它 专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大 。
对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析 的Peter-Weyl定理。
应用
应用
卷积在工程和数学上都有很多应用：
统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概 率密度函数的卷积。光学中，反射光可以用光源与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处 理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任 何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
卷积
数学算子
01 简介
目录
最通俗易懂的卷积解释
最通俗易懂的卷积解释在深度学习和计算机视觉领域，我们常常会听到一个词汇：卷积。
那么，卷积到底是什么？如何通俗易懂地解释它？本文将为大家详细解析卷积的概念、原理和应用。
让我们一起来探讨这个有趣且实用的技术。
卷积的概念卷积是一种数学运算，它描述了两个函数相互作用的过程。
在深度学习中，卷积通常用于处理图像、声音等数据。
通过卷积操作，我们可以有效地提取数据中的局部特征，从而实现更高层次的抽象表示。
卷积的应用卷积在许多领域都有广泛的应用，其中最为典型的是图像处理、信号处理和卷积神经网络。
图像处理在图像处理中，卷积可以用于实现边缘检测、模糊、锐化等功能。
通过将图像与特定的卷积核进行卷积操作，我们可以突出或抑制图像中的某些特征，从而达到处理的目的。
信号处理在信号处理中，卷积用于分析和处理信号。
例如，通过卷积可以消除噪声、平滑信号，从而提高信号的质量。
卷积神经网络卷积神经网络（CNN）是一种常用于计算机视觉、语音识别等领域的深度学习模型。
通过使用卷积层，CNN能够在大量数据中自动学习并提取有用的特征，进而实现高效的分类、检测等任务。
卷积的数学原理为了更好地理解卷积，让我们深入探讨一下它的数学原理。
卷积核卷积核是一个小型矩阵，用于在卷积过程中与输入数据进行运算。
根据任务的不同，卷积核的形状和取值也会有所不同。
例如，在图像处理中，我们可以使用不同的卷积核来实现边缘检测、模糊等效果。
卷积过程卷积过程是通过在输入数据上滑动卷积核，并将卷积核与局部数据相乘累加，从而得到输出结果。
这个过程可以用下面的公式表示：输出(x, y) = Σ(卷积核(i, j) * 输入(x + i, y + j)) 其中，Σ表示求和，i和j表示卷积核的坐标。
步长与填充在卷积过程中，我们可以通过调整步长和填充来控制输出结果的尺寸。
步长表示卷积核每次滑动的距离，填充表示在输入数据周围添加额外的元素。
通常情况下，我们使用零填充，即添加数值为零的元素。
卷积的作用
卷积的作用卷积是一种在数学和信号处理中广泛应用的操作，它在图像处理、音频处理、自然语言处理等领域发挥着重要的作用。
本文将介绍卷积的基本概念、作用和应用。
首先，我们来了解一下卷积的基本概念。
卷积是一种在两个函数之间进行操作的数学方法，通常用符号*表示。
在离散情况下，卷积可以表示为两个序列之间的乘积和。
在连续情况下，卷积可以表示为两个函数之间的积分。
卷积的基本公式如下所示：(f*g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ （连续情况）(f*g)(n) = Σf(k)g(n-k) （离散情况）在图像处理中，卷积可以应用于图像的滤波、边缘检测、模糊等操作。
通过卷积操作，我们可以将一个图像与一定的卷积核进行卷积运算，从而改变图像的特征。
例如，在进行边缘检测时，我们可以使用卷积核对图像进行卷积操作，从而突出图像中的边缘信息。
同样，在进行图像模糊时，我们可以使用不同的卷积核对图像进行卷积运算，从而实现不同程度的模糊效果。
在音频处理中，卷积可以应用于音频的滤波、声音增强等操作。
通过对音频信号与一定的卷积核进行卷积运算，我们可以改变音频信号的频域特性。
例如，在进行音频滤波时，我们可以使用不同的卷积核对音频信号进行卷积操作，从而实现不同频率范围的滤波效果。
同样，在进行音频增强时，我们可以使用不同的卷积核对音频信号进行卷积运算，从而增强特定频率范围的声音。
在自然语言处理中，卷积可以应用于文本的特征提取、情感分析等任务。
通过对文本进行卷积操作，我们可以提取文本的局部特征。
例如，在进行情感分析时，我们可以使用卷积操作对文本进行特征提取，从而识别文本中的情感倾向。
同样，在进行文本分类时，我们可以使用卷积操作对文本进行特征提取，从而实现文本的分类。
除了上述应用之外，卷积还被广泛应用于图像识别、语音识别、自动驾驶等领域。
在图像识别中，卷积神经网络（CNN）通过多层卷积操作实现对图像的特征提取和分类。
而在语音识别和自动驾驶中，卷积操作用于对音频和图像数据进行处理和分析，从而实现语音或图像的识别和控制。
卷积的定义和概念
卷积的定义和概念 简单定义：卷积是分析数学中⼀种重要的运算。
设:f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于⼏乎所有的实数x，上述积分是存在的。
这样，随着x的不同取值，这个积分就定义了⼀个新函数h(x)，称为函数f与g的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。
容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x)仍为可积函数。
这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）空间是⼀个代数，甚⾄是巴拿赫代数。
卷积与傅⾥叶变换有着密切的关系。
利⽤⼀点性质，即两函数的傅⾥叶变换的乘积等于它们卷积后的傅⾥叶变换，能使傅⾥叶分析中许多问题的处理得到简化。
由卷积得到的函数f*g⼀般要⽐f和g都光滑。
特别当g为具有紧致集的光滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。
利⽤这⼀性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出⼀列逼近于f的光滑函数列fs，这种⽅法称为函数的光滑化或正则化。
卷积的概念还可以推⼴到数列、测度以及⼴义函数上去。
定义：卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。
如果卷积的变量是序列x(n)和h(n)，则卷积的结果，其中星号*表⽰卷积。
当时序n=0时，序列h(-i)是h(i)的时序i取反的结果；时序取反使得h(i)以纵轴为中⼼翻转180度，所以这种相乘后求和的计算法称为卷积和，简称卷积。
另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n对应不同的卷积结果。
如果卷积的变量是函数x(t)和h(t)，则卷积的计算变为，其中p是积分变量，积分也是求和，t是使函数h(-p)位移的量，星号*表⽰卷积。
参考《数字信号处理》杨毅明著，p.55、p.188、p.264，机械⼯业出版社2012年发⾏。