湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题14
习题十四
1.试判断下列语句是否为命题,并指出哪些是简单命题,哪些是复合命题。
分析:本题主要是考察命题的定义,只要理解定义即可。
(1)2是有理数。
解:是命题,且为简单命题
(2)计算机能思考吗?
解:非命题
(3)如果我们学好了离散数学,那么,我们就为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
解:是命题,且为复合命题。
(4)请勿抽烟!
解:非命题。
(5)X+5>0
解:非命题。
(6)π的小数展开式中,符号串1234出现奇数次。
解:是命题,且为简单命题。
(7)这幅画真好看啊!
解:非命题。
(8)2050年元旦的那天天气晴朗。
解:是命题,且为简单命题。
(9)李明与张华是同学
解:是命题,且为简单命题。
(10)2既是偶数又是质数。
解:是命题,且为复合命题。
2.讨论上题中命题的真值,并将其中的复合命题符号化。
解:(1)F (3)T (6)不知真假(8)不知真假(9)真或假,视情况而定(10)T
(3)P:我们学好了离散数学。Q:我们为学习计算机专业课程打下了良好的基础。
P→Q
(10)P:2是质数;Q:2是偶数;P∧Q
3.将下列命题符号化
分析:本题主要是考察命题的符号化,主要是要分清合取、析取、蕴含、等价的使用环境。
(1)小王很聪明,但不用功
解:P:小王很聪明;Q:小王不用功;P∧Q
(2)如果天下大雨,我就乘公共汽车上班。
解:P:天下大雨;Q:我乘公共汽车上班;P→Q
(3)只有天下大雨,我才乘公共汽车上班
解:P:天下大雨;Q:我乘公共汽车上班;Q→P
(4)不是鱼死,就是网破
解:P:鱼死;Q:网破;P∨Q
(5)李平是否唱歌,将看王丽是否伴奏而定。
解:P:李平唱歌Q:王丽伴奏P Q
4.求下列命题公式的真值表:
分析:主要考察真值表。这个最好自己按照一个思路写出来所有的解释,不要遗漏。(可以参考二进制来进行给出解释,例如:P,Q,那么我们可以按照这样的顺序给出解释:(0,0)(0,1)(1,0)(1,1))
(1)P →(Q ∨R)
()
101111111100111011111000011011000010
1
1
1
P Q R Q R P Q R ∨→∨
(2)P ∧(Q ∨?R )
解:()
1110111010000110100
010001101111001110101100
1
1
P Q R R Q R P Q R ?∨?∧∨?
(3)())(Q Q P P →→∧
解:()())((1
1
1
1010011111
10001
Q
Q P P Q P P Q P Q P →→∧→∧→
(4)()P Q Q ?
→∧
解:()()0
1
1
0010000111
01001
Q Q P Q P Q P Q P ∧→?→?→
(5)()()Q P Q P ∧?∨
1
1
100001111100101)()(Q P Q P Q P Q P Q P ∧?∨∧∨
5.用真值表方法验证下列基本等值式
分析:本题主要是通过验证等值符号两边的真值表相同即可。 (1)分配律
解:1))()()(R P Q P R Q P ∨∧∨?∧∨
1
1
00000000111100111111000111111110010001001111111111110101)()()(R P Q P R P Q P R Q P R Q R Q P ∨∧∨∨∨∧∨∧
∴)()(R P Q P R Q P ∨∧∨?∧∨ (2)De Morgen 律 ⅰ) ()P Q P Q ?∧??∨? ⅱ) ()P Q P Q ?
∨??∧?
ⅰ) ()1
1100001
00101101011010
1
1
1
1
P Q P Q P Q P Q P Q ∧?∧???∨?
ⅱ) ()1
1100001
01001001101000
1
1
1
1
P Q P Q P Q P Q P Q ∨?∨???∧?
(3) 吸收律
ⅰ)()P Q P P ?∨∧ ⅱ) ()P Q P P ?∧∨
ⅰ) ()
01
1
00001111
1101
Q P P Q P Q P ∨∧∨
ⅱ) ()
1
00001111
1001
Q P P Q P Q P ∧∨∧
6.用等值演算的方法证明下列等值式:
分析:本题主要是通过所学过的基本等值式来进行等值演算,把某一边转换到另一边,或者是两边同时等值演算到一个相同的命题公式。 (1)()()P Q P Q P ∧∨∧??
解:
()()()P Q P Q P Q Q P ∧∨∧??∧∨??
(2)()()()()R Q P R P Q P ∧→?→∧→( 解:
()()()()()()()(())P Q P R P Q P R P Q R P Q R →∧→??∨∧?∨??∨∧?→∧
(3)()()()()P Q P Q P Q ???
∨∧?∧
解:()()()()()()()P Q P Q Q P P Q Q P ????
→∧→???∨∧?∨
()()()()()()P Q Q P P Q Q P ???∨∨??∨?∧?∨∧??
()()()()()()()P Q Q P Q P P Q Q Q ∧?∨∧∧?∨??∨∧?∨∧
()()()()()()()P P Q P P Q Q P P Q P Q ∨?∧?∨??∨∧?∨??∨∧?∧
7.设A 、B 、C 为任意命题公式,试判断以下的说法是否正确,并简单说明之。
分析:本题主要是两个命题公式的析取、合取、否满足一定条件,另外的一种情况的结论是否满足。成立给出证明,不成立给出反例。 (1)若B A C B C A ?∨?∨则,
。
解:不正确。 如A 为真,B 为假,C 为真时, C B C A ∨?∨成立,但B A ?不成立。 (2)若B A C B C A ?∧?∧则,
。
解:不正确,如A 为真,B 为假,C 为假时,C B C A ∧?∧成立,但B A ?不成立。 (3)若,
A B A B ????则。
解:成立。A ?,B ?同真时,A 、B 同假,A ?、B ?假时,A ,B 同真。
8.下表是含两个命题变元的所有命题公式F 1~F 16的真值表,试写出每个命题公式Fi 的最多两个命题变元的具体形式,i=1,2……16。
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11001100110011000111110000111100001011111111000000000016151413121110987654321F F F F F F F F F F F F F F F F Q P 分析:本题主要是观察所给出的真值表,通过两个命题变元的析取、合取、否、蕴含、等价等基本运算来写出对应的命题公式。 解:0:1F Q P F ∧:2
3:F P Q ∧? P F :4 5:F P Q ?∧ Q F :6
()1:F P Q ?? Q P F ∨:8 Q P F ?∧?:9 Q P F ?:10 11:F Q ? 12:F P Q ∨?
P F 7:13 Q P F →:14
()15:F P Q ?∧ 1:16F
11.求下列命题公式的析取范式和合取范式:
分析:通过所学过的基本等值式经过等值演算写出析取范式、合取范式。 (1)
()P Q R ?∧→
解:原式?()()P Q R P Q R P Q R ?
?∧∨?∨?∨?∨?∨(析、合取范式)
(2)()R Q P →→ 原式()()()P Q R P Q R P Q R ?
?∨→???∨∨?∧?∨
∴析取范式为:
()P Q R ∧?∨
又
()()()P Q R P R Q R ∧?∨?∨∧?∨ ∴合取范式为:()()P R Q R ∨∧?∨ (3)
()()P Q Q P ?→→?∨
解:原式()()P Q Q P ?
∨→?∨
()()()()()7()P Q Q P P Q Q P P Q Q Q P
??∨∨?∨??∧?∨∨??∧?∨???∨∴析、合取范式均为:Q P ?∨
(4)()P Q P R ?
→∧∧
解:原式()()R Q P R P Q P R P Q P ∧?∧?∧∧?∧?∧∧∨?77 ∴析、合取范式均为:()R Q P ∧?∧
12.求下列命题的主析取范式和主合取范式
分析:通过所学过的基本等值式,经过等值演算写出析取范式、合取范式,然后再根据定理求出对应的主析取范式、主合取范式。
(1)
()()P Q P Q ?∨?→??
解:原式()()()()()P Q P Q Q P P Q ?
?∨?→→?∧?→??∨?→
()
()()P Q Q P ?∨?∧∨()()()(()()()()()(P Q P Q Q P P Q P Q P Q Q
???∨?∨?∨?∧∨???∨?∨?∨?∧??∨?∨()P Q P Q Q P ∨?∨∨∧∧?)(1
∴主合取式为P Q ∨=M 0
∴主析取式为m 1∨m 2∨m 3=)()()(Q P Q P Q P ∧∨?∧∨∧?? (2)()()()P P Q Q R ∨
?→∨?→
解:原式?()R Q P R Q P P R Q Q P P ∨∨?∨∨∨?∨∨∨∨)()))(((
∴主合取式为:R Q P ∨∨=M 0
∴主析取式为:7654321m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨ 即:
()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R ?∧?∧∨?∧∧?∨?∧∧∨∧?∧?∨
()()()P Q R P Q R P Q R ∧?∧∨∧∧?∨∧∧
(3)
()()P R P Q ?→∧?
解:原式
()()()()()()P R P Q Q P P R P Q P Q ??→∧→∧→?∨∧?∨∧∨? ()()
()()()())(()()P R Q Q P Q R R P Q R R ?∨∨∧?∧?∨∨∧?∧∨?∨∧?
()()()()()P R Q P R Q P Q R P Q R P Q R ?∨∨∧∨∨?∧?∨∨?∧?∨∨∧∨?∨?∨
()()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ∨?∨?∨∨∧∨?∨∧?∨∨?∧?∨∨
()()P Q R P Q R ∧∨?∨?∧∨?∨
∴主合取范式为:
()()()()()P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ∨∨∧∨?∨∧?∨∨?∧?∨∨∧∨?∨?
=M 0 ∧ M 2∧ M 3∧M 4 ∧M 5 。
∴主析取范式为:761m m m ∨∨=()()()P Q R P Q R P R Q ?∧?∧∨∧∧?∨∧∧ 13.通过求主析取范式,证明:()P P Q P Q ∨?∧?
∨
分析:本题主要是通过求主析取范式来证明一个命题公式蕴含另外一个命题公式。这个题目如果没有要求用主析取范式来证明,我们同时也可以用求主合取范式来证明结论。 证:
()(())()()()()P P Q P Q Q P Q P Q P Q P Q ∨?∧?∧?∨∨?∧?∧?∨∧∨?∧ ()(())(())()()P Q P Q Q Q P P P Q P Q ∨?∧∨?∨∧?∨?∧∨∧?∨ ()()()()()Q P P Q P Q P Q P Q ∧?∨∧?∧∨?∧∨∧?
∴两式的主析取范式相同,即
()P P Q ∨?∧为真时,Q P ∨亦为真,此时()()P P Q P Q ∨?∧→∨成立
而()P P Q ∨?∧为假时,不论Q P ∨为何值()()P P Q P Q ∨?∧→∨成立 ∴()()P P Q P Q ∨?∧→∨为重言式 故()()P P Q P Q ∨?∧?∨
14.构造下面推理的证明:
分析:本题主要是通过构造证明法,依据所学的基本的蕴含式来证明。 (1)前提:(),,.P Q Q R R ?
∧??∨?
证论:?P 证明:(1)?R 前提引入
(2)?Q ∨R 前提此入
(3)?Q 析取三段论(1)、(2) (4)?(P ∧?Q ) 前提引入
(5)?P ∨Q 等值置换(4) (6)?P 析取三段论(3)、(5) (2) 前提:P →(Q →S ),Q ,P ∨?R
证论:R →S 证明:(1)R 附加前提
(2)P ∨?R 前提
(3)P 析取三段式(1)、(2) (4)P →(Q →S ) 前提
(5)?P ∨(?Q ∨S )等价置换(4) (6)?Q ∨S 析取三段式(3)、(5)
(7)Q 前提
(8)S 析取三段式(6)、(7) (3) 前提P →Q , 结论:P →(P ∧Q ) 证明:(1)P 附加前提
(2)P →Q 前提
(3)Q 假言推理(1)、(2)
(4)Q P ∧ 合取 (4)前提:S Q R P Q P →→∨,,
结论:R S ∨
证明:(1)Q P ∨ 前提 (2)R P → 前提 (3)S Q → 前提
(4)R S ∨ 构造二难性(1)、(2)、(3) (5)前提:()Q P R S Q P ,7,
∨→→
结论:S R → 证 明:(1)R 附加前提
(2)R P ?∨ 前提
(3)P 析取三段式(1)、(2) (4)()S Q P →→ 前提 (5)()P Q S ?∨?∨ 等值置换(4)
(6)Q S ?∨
析取三段式(3)、(5)
(7)Q 前提
(8)S 析取三段式(6)、(7)
(6)前提:P Q ?∧? 结论:()P Q ?
∧
证明:(1)P Q ?∧? 前提 (2)P ? 简化(1) (3)P Q ?∨? 附加(2) (4)()P Q ?
∧ 等值置换(3)
15、某公安人员审查一件盗窃案,已知的事实如下: (1)甲或乙盗窃了电视机;
(2)若甲盗窃了电视机,则作案的时间不能发生在午夜前; (3)若乙的口供正确,则午夜时屋里的灯光未灭; (4)若乙的口供不正确,则作案时间发生在午夜之前; (5)午夜时屋里的灯光灭了。
试利用逻辑推理来确定谁盗窃了电视机。
分析:本题是一个实际应用题。通过已知的事实来推断一个结论。本题主要是写出符号化前提、结论,然后转化为明天逻辑的内容。最后根据前提以及所学过的基本蕴含式以及等值式来证明结论成立。
解:P :甲盗窃了电视机; Q :乙盗窃了电视机; R :作案时间发生在午夜前; S :乙的口供正确;
T: 午夜时屋里的灯光灭了。
前提:T R S T S R P Q P ,,,,
→??→?→∨
(1)T 前提 (2)T S ?→ 前提
(3)?S 拒取式(1)、(2) (4)S R ?→ 前提
(5)R 假言推理(3)、(4) (6)P R →? 前提
(7)?P 拒取式(5)、(6) (8)Q P ∨ 前提 (9)Q 析取三段式 结论:乙盗窃了电视机。
16、判断下面的推理是否正确:
(1)如果a 、b 两数之积为0,则a 、b 中至少有一个数为0。a 、b 两数之积不为 P Q ?P
零,所以,a 、b 均不为零
?Q
解:不正确 。因推理形式为:,
P Q P Q →???
(2)若a 、b 两数之积是负的,则a 、b 中恰有一个数为负数。 则a 、b 中不是恰 P Q
有一个数为负数,所以,a 、b 两数之积是非负的。 解:正确。因推理形式为:,
P Q Q P →???
(3)如果今天是星期一,则明天是星期三。今天是星期一,所以,明天是星期三。
P Q 解:正确。因推理形式为:Q P Q P ?→,
(4)如果西班牙是一个国家, 则北京是一个城市。北京是一个城市,所以,西班牙是P
Q
一个国家。
解:错误。因推理形式为:P Q Q P ?→,
17、给出下列定理的证明序列 ① ()()B A B A A →→→→)(
解:(1)()()()()()()()(B A A B A B A A B A A →→→→→→→→→→ (L 1) (2) ()
()()()()()()(B A A B A B A A B A A →→→→→→→→→→
()()()(()))()(())()()(B A A B A A B A B A A B A A →→→→→→→→→→→→→→(
(L 2) (3) ()()()(())()()()()(B A A B A A B A B A A B A A →→→→→→→→→→→→→
(1), (2) , MP
(4) ()()()()()()()(B A A B A B A A B A A →→→→→→→→→→
()(()B A B A A B A A →→→→→→→→)()( L 2
(5) ()()B A B A A →→→→)( (3)、(4), MP
② ()())()(C A C B B A →→→→→
解:(1)()()()(()))()()(B A C A C B B A B A →→→→→→→→→ L 1 (2)()()()(())()()()()(B A B A C A C B B A B A →→→→→→→→→→→
(()()())(B A B A C A C B B A →→→→→→→→→→))()()( L 2
(3)()()()()))()())((((B A B A C A C B B A B A →→→→→→→→→→→
MP (1)、(2)
(4)()()()()))()())((((B A B A C A C B B A B A →→→→→→→→→→→
()()()))((C A C B B A →→→→→→ L 2
(5) ()()()))((C A C B B
A →→→→→ MP (3)、(4)
18、利用演绎定理证明:
1、┝())B A A B ?→?→→( 解:先证:()A B →┝
()A B ?→?
(1)()A B → 假设 (2)()()B A A B 77→→→ L 3
(3)B A 77→ (1),(2), MP 由演绎定理得:┝
()()B A A B →→?→?
2、┝())(A A B A →→→ 解:先证:()A B A →→┝A
(1)()A B A →→ 假设 (2)(())()A B A A B →→→→ (1), 置换
(3)A B → (1)、(2), MP (4)A (1)、(3)MP 由演绎定理得: ┝())(A A B A →→→
3、┝()()A B B A ?
→→→
解:先证 ()A B ?→┝ ()A B →
(1)()A B ?→ 假设
(2)()())(A B A A B ?→→?→?→ L 1 (3)()A A B ?→?→ (1)、(2),MP (4)(()())(A A B A B A ?→?→→→→ L 3
(5)()A B A →→ (3)、(4),MP (6)()B A B →→ L 1 (7)A B → (5)、(6),HS
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离散数学试题(A卷答案) 一、(10分)求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解:(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、(10分)在某次研讨会的休息时间,3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断: 甲说:王教授不是苏州人,是上海人。 乙说:王教授不是上海人,是苏州人。 丙说:王教授既不是上海人,也不是杭州人。 王教授听后说:你们3人中有一个全说对了,有一人全说错了,还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人? 解设设P:王教授是苏州人;Q:王教授是上海人;R:王教授是杭州人。则根据题意应有: 甲:?P∧Q 乙:?Q∧P 丙:?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以,丙至少说对了一半。因此,可得甲或乙必有一人全错了。又因为,若甲全错了,则有?Q ∧P,因此,乙全对。同理,乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为:
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此,王教授是上海人。 三、(10分)证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系,则由定理4.19知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系,则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )='R ,进而有tsr (R )?t ('R )='R 。 综上可知,tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、(15分)集合A ={a ,b ,c ,d ,e }上的二元关系R 为R ={,,,,,,,,
离散数学作业答案
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外)安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业,大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求2010年12月19日前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,以便教师评分。 一、填空题 1.命题公式()P Q P →∨的真值是 1 . 2.设P :他生病了,Q :他出差了.R :我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了,我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R . 3.含有三个命题变项P ,Q ,R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) . 4.设P(x):x 是人,Q(x):x 去上课,则命题“有人去上课.” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) . 5.设个体域D ={a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) . 6.设个体域D ={1, 2, 3},A(x)为“x 大于3”,则谓词公式(x)A(x) 的真值为 . 7.谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 . 8.谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ,y))中的约束变元为 X . 三、公式翻译题 1.请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式. 1.解:设P :今天是天晴; 则 P . 2.请将语句“小王去旅游,小李也去旅游.”翻译成命题公式. 解:设P :小王去旅游,Q :小李去旅游, 则 PQ . 3.请将语句“如果明天天下雪,那么我就去滑雪”翻译成命题公式. 解:设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q . 4.请将语句“他去旅游,仅当他有时间.”翻译成命题公式. 7.解:设 P :他去旅游,Q :他有时间, 则 P Q . 5.请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式. 11.解:设P(x):x 是人,Q(x):x 去工作,
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《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式?( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧! 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
离散数学题库及答案
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不? (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不? B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统,其中A={a,b,c}, 则幺元就是 ;就是否有幂等 性 ;就是否有对称性 。 6、4阶群必就是 群或 群。 7、下面偏序格就是分配格的就是 。 8、n 个结点的无向完全图K n 的边数为 ,欧拉图的充要条件就是 。 * a b c a b c a b c b b c c c b
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈>∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
(完整版)离散数学作业答案一
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次,内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习,基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目,目的是通过综合性书面作业,使同学自己检验学习成果,找出掌握的薄弱知识点,重点复习,争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业,大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求:将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了,Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了,我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P,Q,R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人,Q(x): x去上课,则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3},A(x)为“x大于3”,则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x,y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答:在第三章里面有公式(1)是附加律,(4)可以由第二章的蕴含等值式求出(注意与吸收律区别) 2、下列公式中哪些是永真式?( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答:(2),(3),(4)可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答:(2)是第三章的化简律,(3)类似附加律,(4)是假言推理,(3),(5),(6)都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y,x))z C(y,z))D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。 答:x,y, x,z(考察定义在公式x A和x A中,称x为指导变元,A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中,x的所有出现都称为约束出现,即称x为约束变元,A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y,x)和z C(y,z)中y为自由变元,x和z为约束变元,在D(x)中x为自由变元) 5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗?(4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进!(6) 给我一杯水吧! 答:(1)是,T (2)是,F (3)不是(4)是,T (5)不是(6)不是(命题必须满足是陈述句,不能是疑问句或者祈使句。) 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答:所有人都不是大学生,有些人不会死(命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在,换成”,然后将命题的结论否定,“且变或或变且”) 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校(2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校答:(1)P ?(注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的)(2)Q P→ ? P? ?(4)Q P? →(3)Q 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x存在整数y满足x+y=0 (2)存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答:(1)F (反证法:假若存在,则(x- 1)*y=0 对所有的x都成立,显然这个与前提条件相矛盾) (2)F (同理)(3)F (同理)(4)T(对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的)
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?},则-A ? = ( ),-A {?} = ( ), )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素,则A 上的二元关系有( )个,其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ,对于其上的整除关系“|”,元素( )不存在补元. 5.当n ( )时,n 阶完全无向图n K 是平面图,当当n 为( )时,n K 是欧拉图. 二.1. 若n B m A ==||,||,则=?||B A ( ),A 到B 的2元关系共有( )个,A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)},则( )是单射,( )是满射,( )是双射. 3. 下列5个命题公式中,是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(; (2))(q p p ∨→; (3))(q p p ∧→; (4)q q p p →∨∧?)(; (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合,“|”是其上的整除关系,则3的补元( ),4的补元( ),6的补元( ).
吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法: 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表,若表中对应公式所在列的每一取值全为1,这说明该公式在它的所有解释下都是真,因此是恒真的;若表中对应公式所在列的每
一取值全为0,这说明该公式在它的所有解释下都为假,因此是恒假的。 真值表法比较烦琐,但只要认真仔细,不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解:该公式的真值表如下: 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1,故
G恒真。 方法二.以基本等价式为基础,通过反复对一个公式的等价代换,使之最后转化为一个恒真式或恒假式,从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解:由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1,以及 ? (Q→P) ∧ P= ?(?Q∨ P)∧ P = Q∧? P∧ P=0 知,((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0,故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子,若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项,则G是恒真的;若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项,则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G,设其中有原子P1,P2,…,P n,令P1取1值,求G的真值,或为1,或为0,或成为新公式G1且其中只有原子P2,…,P n,再令P1取0值,求G真值,如此继续,到最终只含0或1为止,若最终结果全为1,则公式G恒真,若最终结果全为0,则公式G
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________; ρ(A) - ρ(B)=__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G=?(P→Q)∧R,则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为__________,分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B=_________________________; A?B=_________________________;A-B=_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G=?(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有__________________________,_____________________________, __________________________. 9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学期末试卷及答案
一.判断题(共10小题,每题1分,共10分) 在各题末尾的括号内画 表示正确,画 表示错误: 1.设p、q为任意命题公式,则(p∧q)∨p ? p ( ) 2.?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3.初级回路一定是简单回路。( ) 4.自然映射是双射。( ) 5.对于给定的集合及其上的二元运算,可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6.群的运算是可交换的。( ) 7.自然数集关于数的加法和乘法
列为。 19.n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20.7阶圈的点色数是。 三、运算题(共5小题,每小题8分,共40分) 21.求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22.已知无向图G有11条边,2度和3度顶点各两个,其余为4度顶点,求G 的顶点数。 23.设A={a,b,c,d,e,f},R=I A?{,},则R是A上的等价关系。求等价类[a]R、[c]R及商集A/R。 24.求图示带权图中的最小生成树,并计算最小生成树的权。 25.设R*为正实数集,代数系统< R*,+>、< R*,·>、< R*,/>中的运算依次为普通加法、乘法和除法运算。试确定这三个代数系统是否为群?是群者,求其单位元及每个元素的逆元。 四、证明题(共3小题,共20分) 26 (8分)在自然推理系统P中构造下述推理的证明: 前题:p→(q∨r),?s→?q,p∧?s 结论:r 27 (6分)设
慕课 离散数学 电子科技大学 课后习题十 答案
作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图,(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画,(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G=
数至少为2,而V2中的每个结点度数至多为2,从而它满足t条件t=1,因此存在从V1到V2的匹配,故可分配。 5.此平面图具有五个面,如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1,边界为abca,D(r1)=3; ?r2,边界为acga,D(r2)=3; ?r3,边界为cegc,D(r3)=3; ?r4,边界为cdec,D(r4)=3; ?r5,边界为abcdefega,D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r,由欧拉公式可得,6?12+r=2,所以 r=8,其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图,故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的,那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是,已知所有面的次数之和等于边数的两倍,即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题(每空2分,共20分) 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c},B={a,b,c,d,e},则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4},B={1,3,5,7,9},则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3},A上的二元运算定义为:a* b = a和b两者的最大值,则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法,是加法的幂等元, 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学试题及答案(1)
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________; ρ(A) - ρ(B)=__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G=?(P→Q)∧R,则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为__________,分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B=_________________________; A?B =_________________________;A-B=_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G=?(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有__________________________, _____________________________, __________________________. 9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学试卷及答案
填空10% (每小题 2 分) 1、若P,Q,为二命题,P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数,都存在比它大的实数” 令F(x):x 为实数,L(x, y) : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP(x) xQ(x)的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号,公式其余的部分不变,这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元,A的论域为D,A(x)关于y 是自由的,则被称为存 在量词消去规则,记为ES。 选择25% (每小题分) 1、下列语句是命题的有()。 A、明年中秋节的晚上是晴天; C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0; D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有()。 A、2+2=4当且仅当3是奇数; B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数; C、2+2≠4 当且仅当3是奇数; D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数; 3、下列符号串是合式公式的有() A、P Q ; B、P P Q; C、( P Q) (P Q); D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有( )。 A、P QQ P ; B、P(P R) R; C、P (P Q) Q; D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ,且A1 A2 A n B 则 ( )。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件; B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论
C 、 x(M (x) Mortal (x)) ; D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为:个体域 D={2} ,P(x) :x>3, Q(x) :x=4则 A 的 真 值为( ) 。 A 、 1; B 、 0; C 、 可满足式; D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是( )。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x); B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x); C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ; D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在( )。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②; B 、④; C 、⑤; D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ,B 为二合式公式,且 B ,则( )。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式; B 、 B ; E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为( )。 论域为全总个体域) M (x ) : x 是人; Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ; B M (x) Mortal (x)
离散数学作业答案
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合,B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求: (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中,能被3或5整除,但不能被15整除的正整数共有多少个? 能被5整除的有40个, 能被15整除的有13个, ∴能被3或5整除,但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗? (1)2是正数吗? (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了,那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r),其中p、q、r为如下命题: p:你得流感了 q:你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语,其中C(x)表示x有电脑,F(x,y) 表示x和y是同 班同学,个体域是学校全体学生的集合。 解: 学校的全体学生要么自己有电脑,要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解: ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式?( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些是永真式?( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式 x((A(x) B(y ,x)) z C(y ,z))D(x)中,自由变元是( ),约束变元是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是,给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗? (4) 若7+8>18,则三角形有4条边。 (5) 前进! (6) 给我一杯水吧! 答:(1) 是,T (2) 是,F (3) 不是 (4) 是,T (5) 不是 (6) 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( ),而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答:所有人都不是大学生,有些人不会死 7、设P :我生病,Q :我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 是奇数,Q(x):x 是偶数,谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是( )。 答:2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答:(2) 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为( ),公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为( )。 答:?P ,Q →P