根轨迹分析法
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
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根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理第10-1讲
自动控制原理
9
4.4.1 参变量根轨迹的绘制
K * P( s ) 设系统开环传递函数为 G(s) H (s) ，系统闭环特 Q( s )
征方程为 1 G(s) H (s) 0 ， 用不含待分析参数的各项除方 程两端，得 P( s ) 1 K 0 Q( s ) Q ( s ) 都是复变量s的多项式， K 为待分析的 式中的 P ( s ) 、 参数，与特征方程
p
n m
p z
j 1 j i 1
i
p0
n m 1
180 (2k 1) n m 1
渐近线的重心将沿实轴向右移动。且-p0数值愈大，向右 移动的距离也愈大。(P126) 因此，渐近线将带动根轨迹向右半s平面弯曲或移动， 从而可能引起系统性能恶化。
自动控制原理
幅值条件
G(s) H (s) 1
幅角条件 G(s) H (s) 2k， k 0， 1，， 2
思考：与负反馈根轨迹绘制有何不同？ 在正反馈系统根轨迹的绘制规则中，凡是与幅角条件有 关的规则都要作相应的修改。 1）实轴上根轨迹的确定：右边开环零、极点的个数为偶数。 2）根轨迹的渐近线：在实轴上交点坐标和夹角为 n m
100% 是阻尼比 的函 （1）相对百分比超调量 % e 数，且当 越小，百分比超调量σ%越大。(P68) （2）调节时间只取决于特征根的实部 。当 n增加时，调 节时间相应变短；反之，调节时间相应就长。如果对 调节时间有限制的话，就要使特征根与虚轴保持一定 的距离。(P69) 2 1 （3）振荡频率 d n
1 2
自动控制原理
16
4.5.1 性能指标在s平面上的表示(续)
s平面上的三种规律
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
孙炳达版 《自动控制原理》第4章 控制系统的根轨迹分析法-5
R(s)
s 1
k s 2 (s 2)
Y(s)
j
j
σ
-1/τ
σ
4.5 系统性能的根轨迹分析
系统开环传递函数：
Gk ( s) Kg s( s 2)(s 3)
Þ ¿ Î ª » ·Á ã µ ã
j¦ Ø 2 -3 -2 -1 0 ¦ Ò -2
增加零点-z
Gk ( s) K g (s z) s( s 2)(s 3)
4.5 系统性能的根轨迹分析
例 系统的结构图如下，
R(s)
K
s 2 2 s 5 ( s 2 )( s 0.5 )
Y(s)
要求： １）用根轨迹法确定使系统稳定的Ｋ的取值范围； ２）用根轨迹法确定系统的阶跃响应不出现超调 量的Ｋ的最大值。
4.5 系统性能的根轨迹分析
解 由已知条件画出根轨迹如图， 其中根轨迹与虚轴的交点 分别为0和1.254j，对应的开环 增益Ｋ分别为0.2和0.75。 分离点为d=-0.409。 所以，系统稳定Ｋ的取值范围为：0.2<K<0.75 不出现超调量的Ｋ最大值出现在分离点处d=-0.409 处。将d代入 D( s ) ( s 2)(s 0.5)
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s1, 2 b jn n j 1 2 n 0.35 j 0.61
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点：
Kg OA CA DA 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极 点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大，故取 Kg=2.3可满足要求。
4.5 系统性能的根轨迹分析
将零点z1<-10，系统根轨迹为 系统根轨迹仍有两条始 终位于S平面右半部， 系统仍无法稳定。
第四章 根轨迹分析法 2
4. 牛顿余数定理
（1）求出表达式 Ps D(s)N(s) N(s)D(s)
（2）分析根轨迹，估计在其分离点（或会合点）可能出现的实轴 坐标附件找一个试探点 s1。
（3）用 s s1 去除 Ps ，得出商多项式 Qs 及余数，该余数记
为 R1 ；
（4）再用 s s1 去除商多项式 Qs，得第二个余数，定义为 R2 ；
s2 3
k gp
s1 6-kgp 3
s0 kgp
令 6-kgp 3
0 kgp
6
由辅助方程求交点坐标：
3s2 Hale Waihona Puke 6 0s1,2 2 j
法则10 闭环极点的和与积
若n-m>=2，则有
n
n
(sj ) ( pj ) const
j1
j1
证明：
开环传递函数：
m
根轨迹的入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点出的切线同正 实轴的夹角。
j
[s]
p1 p1 z1
z1
0 z2
z2 p2 p2
m
n
先求出射角： (s zi ) (s pj ) 180o (2k 1)
i 1
j 1
• s1 →-p1则 0, (s1 pa ) a
1802k 1 (180 arctan1) arctan 1 90 71.6
j
2
p4 p3 71.6
7) 根轨迹同虚轴的交点：
-p3
1.1j
p3
j
特征方程 s4 5s3 8s2 6s kg 0
令s j
-p2 s1
-3
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
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根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
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根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
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根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
根轨迹分析方法
第4章 根轨迹分析法通过对控制系统的时域分析，我们知道，系统的稳定性和输出响应中的瞬态分量都由系统闭环特征方程的特征根（闭环传递函数的极点）所决定。
你可能有问题：当系统的某个参数发生变化时，特征根会随之在复平面上移动，系统的性能也就会发生变化。
是的，确实如此！因此，我们可以根据特征根在复平面上的分布来分析系统的性能，也可以根据系统的性能指标要求来确定满足该指标的特征根的位置，并进一步确定相关的系统参数。
这就是根轨迹分析的意义。
s s 鉴于高阶特征方程的求解具有较大的难度，1948年伊文思（W••R••Evans）提出了一种求闭环系统特征根的简便图解法，称为根轨迹法。
4.1 根轨迹的基本概念根轨迹法主要研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。
下面我们可以结合具体的例子来说明根轨迹的含义。
)2()(+=s s Ks G 设控制系统的结构如图4.1所示，图中，，系统的开环传递函数为1)(=s H图4.1 系统结构图)2()()(+=s s Ks H s GK 其中，为开环传递函数零极点形式的放大系数，也称为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为Ks s Ks R s C ++=2)()(2 则闭环特征方程为022=++K s sK s −+−=111K s −−−=112可以解出该方程的根为 ，可见，、是随参数1s 2s K 的变化而变化的。
改变K 值时，特征根、的变化值如表4.1所示，在平面上的轨迹变化如图4.2所示。
图中的粗实线就称为系统的根轨迹，根轨迹上的箭头方向表示1s 2s s ∞→K 时，闭环极点的变化方向，标注的数据代表与闭环极点位置相应的开环增益K 的数值。
表4.1 S S 12K 0 0 -2 0.5 -0.29 -1.7071 -1 -1图4.2 闭环特征根的轨迹实际上，图中的根轨迹是由两条分支组成的：①当0=K 时，闭环特征根、与开环极点重合，即开环极点为根轨迹的起点。
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第四章根轨迹分析法一、主要内容<1）根轨迹法的基本概念<2）绘制180o根轨迹的基本法则<3）绘制0o根轨迹的基本法则<4）参变量系统的根轨迹<5）非最小相位系统的根轨迹<6）控制系统的根轨迹分析二、基本要求<1）理解根轨迹法、根轨迹、根轨迹方程、180o根轨迹和0o根轨迹等概念。
<2）掌握180o根轨迹的绘制方法，理解和熟记根轨迹的绘制法则，会用幅值方程求对应的<或）值。
<3）了解闭环零、极点分布和系统阶跃响应的定性关系，掌握系统根轨迹分析的基本思路。
<4）掌握0o根轨迹、参变量系统根轨迹和非最小相位系统根轨迹绘制的方法。
三、内容提要1、根轨迹法的基本概念<1）根轨迹：当系统开环传递函数中某参数<如根轨迹增益）在某一范围内<如）连续变化时，闭环特征根在S平面上移动的轨迹，称为根轨迹。
b5E2RGbCAP<2）根轨迹方程幅值方程：相角方程：。
相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定对应点的增益。
2、绘制180o根轨迹的基本法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），m条根轨迹终止于开环零点，条根轨迹分支终止于无穷远处。
法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。
法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数等于，即系统的阶数。
法则4：根轨迹的渐近线有条渐近线，渐近线与实轴正方向的夹角为：，渐近线与实轴的交点为：法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则6：根轨迹的分离<会合）点根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。
p1EanqFDPw 设系统闭环特征方程为：满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。
法则7：根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点，实质上就是闭环系统的临界稳定工作点。
方法1：在闭环特征方程中，令，得到，将分为实部和虚部，即于是有，求解得到值，即为根轨迹与虚轴的交点坐标频率。
方法2：由劳斯稳定判据，令劳斯表中出现全零行，但第一列元素符号保持不变，此时系统处于临界稳定状态，并可求得根轨迹与虚轴的交点。
DXDiTa9E3d法则8：根轨迹的出射角和入射角当开环零点和开环极点处于复平面时，根轨迹离开开环极点处的切线与正实轴的方向夹角，称为根轨迹的出射角<出发角）。
同样，根轨迹进入开环零点处的切线与正实轴的方向夹角，称为根轨迹的入射角<终止角）。
RTCrpUDGiT复数极点的出射角用公式表示为由与的共轭性，同理可得，复数零点的入射角用公式表示为由与的共轭性，。
3、绘制0o根轨迹的基本法则根轨迹作图法则与根轨迹作图法则所不同的是，要修改与相角条件有关的规则，具体有：<1）根轨迹的渐近线渐近线的交点坐标不变，与正实轴的夹角改为，<2）实轴上的根轨迹分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为偶数<包括0），则该区域必是根轨迹。
<3）根轨迹的出射角和入射角出射角：入射角：4、参变量系统的根轨迹参量根轨迹的处理方法是，将原来的开环传递函数经过数学变换成以参变量作为“根轨迹增益”的等效开环传递函数形式，然后依上述的作图规则绘制根轨迹图。
5PCzVD7HxA5、根轨迹分析法<1）闭环零点、极点和开环根轨迹增益的确定①闭环零点闭环传递函数零点实际上是前向通道的零点和反馈通道的极点组成，当为单位反馈时，闭环零点就是开环零点。
②闭环极点对于比较简单的系统可先使用幅值方程进行试探确定部分闭环实数极点，然后用综合长除法求其余的闭环极点，或采用闭环极点的和与积的性质来确定其余的闭环极点。
jLBHrnAILg③根轨迹增益若已知系统的闭环零点和闭环极点，则可利用幅值方程来确定对应的根轨迹增益。
求闭环根轨迹上某一点对应的根轨迹增益，则由幅值方程得到：xHAQX74J0X<2）闭环零点、极点分布对系统性能的影响①稳定性：要求闭环系统稳定，其根轨迹必须全部位于S左半平面。
如果系统存在三条或三条以上的渐近线，则必有一个值，使系统处于临界稳定状态。
LDAYtRyKfE②运动形态：当闭卷极点全部位于负实轴时，响应呈单调上升状态。
当闭环极点出现复数时，响应呈衰减振荡形式。
Zzz6ZB2Ltk③平稳性：阻尼角越大,阻尼比小，系统的振荡频率越高，振荡越剧烈。
要使系统的暂态响应平稳，同时又有比较好的快速性，系统的阻尼比不能太大，也不能太小，理论上讲，阻尼比时，系统的总体性能最好。
dvzfvkwMI1④快速性，要使系统具有较好的快速性，除闭环主导极点以外，其余闭环极点应该远离虚轴，使其暂态响应分量衰减加快，系统调节时间减小，从而提高系统的响应速度。
rqyn14ZNXI<3）开环零、极点分布对系统性能的影响①增加开环零点对根轨迹的影响★加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角；★增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。
系统阻尼增加，过渡过程时间缩短；EmxvxOtOco★增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系统的相对稳定性越好。
②增加开环极点对根轨迹的影响★加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角；★增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。
系统阻尼减小，过渡过程时间加长；SixE2yXPq5★增加的开环极点越接近坐标原点，积分作用越强，系统的相对稳定性越差。
③增加开环偶极子的作用增加一对开环偶极子，对根轨迹几乎没有影响，但可以改善系统的稳态性能。
4.1 引言根轨迹分析法：当开环系统的一个或多个参数发生变化时，根据系统的开环零点和极点，借助于若干条绘图法则，绘制出闭环特征根变化的轨迹。
利用根轨迹法可以分析闭环系统的稳定性，计算<或估算）闭环系统的暂态和稳态性能指标，确定闭环系统的某些参数对于系统性能的影响以及对闭环系统进行校正等。
6ewMyirQFL 1．根轨迹以下为例，说明系统根轨迹的基本概念。
系统开环传递函数为式中K 为开环增益<放大倍数），为系统的根轨迹增益。
闭环传递函数为，闭环特征方程为： ，求得闭环特征根为：。
0 0.5 1.02.03.0 0……画出当由变化时，闭环特征根随根轨迹增益变化时的2条轨迹线如下。
根轨迹：当系统开环传递函数种某个参数 <如本例中的根轨迹增益）在某一范围内<如）连续变化时，闭环特征根在-1面上移动的轨迹，称为根轨迹。
图中箭头表示随着值的增加，跟轨迹的极点）位置相对应的变化趋势，而标注的数值则代表与闭环特征根<根轨迹分析：<1）当时，系统闭环特征根为2个负实数，表明该系统是过阻尼二阶系统，其单位阶跃响应为单调上升曲线。
<2）当时，系统闭环特征根为2个相等的负实数<2重根），系统为临界阻尼状态，其单位阶跃响应仍为单调上升曲线。
kavU42VRUs<3），系统闭环特征根为2个实部为负的共轭复数，系统是欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应为衰减振荡曲线。
由以上分析可见，完全可以由根轨迹图来分析系统的性能。
<1）负反馈系统的根轨迹方程典型负反馈控制系统的结构图如右图所示。
根轨迹方程是关于复变量方程，写成极坐标形式如下于是，根轨迹方程又可以分解为幅值方程和相角方程如下幅值方程：相角方程：，<2）幅值方程、相角方程的几何意义从绘制根轨迹图的角度来看，根轨迹上的任意一点只要满足相角方程，即可画出根轨迹了，可以说相角方程是根轨迹的充分必要条件。
而幅值方程的作用主要用来确定已知点对应的增益。
y6v3ALoS89 <3）正反馈系统的根轨迹方程若系统为正反馈时，其根轨迹方程为幅值方程为：相角方程为：，另外，时，负反馈系统的根轨迹称为根轨迹，正反馈系统的根轨迹就称为根轨迹。
4.2 绘制根轨迹的基本法则1．根轨迹作图法则法则1：根轨迹的起点和终点根轨迹的起点是指根轨迹增益时，闭环极点在S平面上的位置，而根轨迹的终点则是指时闭环极点在S平面上的位置。
M2ub6vSTnP根轨迹起始于系统的开环极点<包括重极点），而终止于开环零点。
然而实际的控制系统中，开环传递函数的分子多项式阶次与分母多项式阶次之间，满足的关系。
如果，那么剩余的条根轨迹分支终止于无穷远处。
0YujCfmUCw法则2：根轨迹的连续性和分支数根轨迹具有连续性，且对称于实轴。
对于线性时不变系统，闭环系统特征根或为实数，或为共轭复数，其分布必然对称于实轴，因此根轨迹是对称于实轴的。
eUts8ZQVRd 法则3：根轨迹的分支数根轨迹的分支数与开环有限零点数和有限极点数中的大者相等。
当时，分支数等于，即系统的阶数。
法则4：根轨迹的渐近线所谓根轨迹的渐近线，是指当时，应有条根轨迹分支的终点在无穷远处，所谓渐近线，可以认为当时，根轨迹与渐近线是重合的。
因为渐近线是直线，要确定直线的方向，只要确定直线的与正实轴方向的倾角以及与实轴的交点坐标即可。
sQsAEJkW5T渐近线与实轴正方向的夹角为：，渐近线与实轴的交点为：法则5：实轴上根轨迹的分布实轴上某区域，若其右边的开环零点和开环极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。
法则6：根轨迹的分离<会合）点两条或两条以上根轨迹分支在复平面上相遇后又分离的点称为分离<会合）点。
根轨迹的分离<会合）点实质上闭环特征方程的重根，因而可以用求解方程式重根的方法来确定其在复平面上的位置。
GMsIasNXkA设系统开环传递函数为其闭环特征方程为：满足以下任何一个方程，且保证为正实数的解，即是根轨迹的分离<会合）点。
法则7：根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点，实质上就是闭环系统的临界稳定工作点。
因此临界工作点的求法有如下两种方法。
方法一：在闭环特征方程中，令，得到，将分为实部和虚部，即于是有，求解得到值，即为根轨迹与虚轴的交点坐标频率。
方法二：由劳斯稳定判据，令劳斯表中出现全零行，但第一列元素符号保持不变，此时系统处于临界稳定状态，并可求得根轨迹与虚轴的交点。
TIrRGchYzg例1：设单位负反馈控制系统的开环传递函数为，试绘制系统的闭环根轨迹，并求根轨迹的分离<会合）点以及与虚轴的交点。
7EqZcWLZNX解：开环极点：，无开环零点，有3条根轨迹分支，分别起始于3个开环极点，终止于无穷远处开环零点。
渐近线夹角和实轴的交点坐标分别为实轴上根轨迹分布为<0，-1），<-5，-）。
根轨迹分离<会合）点。