第五章 线性系统的根轨迹法
根轨迹,频率分析
（a）
（b）
该命令将打开rltool工具的界面，显示原开环模型的根轨迹图，如图 （a）所示。单击该图形菜单命令Analysis中的Response to Step Command 复选框，则将打开一个新的窗口，绘制系统的闭环阶跃响 应曲线，如图（b）所示。可见这样直接得出的系统有很强的振荡， 就需要给这个对象模型设计一个控制器来改善系统的闭环性能。
线性系统的根轨迹
根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的 根在s平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K。 用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化 对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为
b1 s m + b2 s m−1 + ⋯ + bm s + bm+1 G ( s ) = KG0 ( s ) = K n s + a1 s n−1 + ⋯ + bn−1 s + an
练习：请绘制下面系统的根轨迹曲线
K G (s) = 2 2 s ( s + 2 s + 2)( s + 6 s + 13)
K (0.05 + 1) G (s) = 2 s (0.0714 s + 1)(0.012 s + 0.1s + 1)
线性系统的频域分析 频域分析法是应用频域特性研究控制系统的一种经典方法。 它是通过研究系统对正弦信号下的稳态和动态响应特性来分 析系统的。采用这种方法可直观的表达出系统的频率特性， 分析方法比较简单，物理概念明确。
2）Bode图的绘制与分析 对数坐标图 ） 图的绘制与分析(对数坐标图 图的绘制与分析 对数坐标图)
系统的Bode图又称为系统频率特性的对数坐标图 对数坐标图。Bode 对数坐标图 图有两张图，分别绘制开环频率特性的幅值和相位与角频率 ω 的关系曲线，称为对数幅频特性曲线 对数相频特性曲线 对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线 对数幅频特性曲线 对数相频特性曲线。 MATLAB中绘制系统Bode图的函数调用格式为： bode(num,den) 频率响应w的范围由软件自动设定 bode(num,den,w) 频率响应w的范围由人工设定 [mag,phase,w]=bode(num,den,w) 指定幅值范围和相角范 围的伯德图
自动控制原理第二版课后答案
自动控制原理第二版课后答案X.2- 2由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得/；(x.-x0)-/2x0=rnx整理得"等十⑺S字" d\将上式拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得［亦+(人+/2)$］血0)=人迟⑸于是传递函数为疋($)恥 + /; +/2②其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A,并设A点位移为无，方向朝下; 而在其下半部工。
引出点处取为辅助点B。
则由弹簧力与阻尼力平衡的原则,从A和B两点可以分别列出如下原始方程：K］（兀-x） = /（x-x c）消去中间变量X,可得系统微分方程佔+心）牛+ K心0 = 牛at at对上式取拉氏变换，并计及初始条件为零，得系统传递函数为K ⑸一/（&+£）$+&瓦③以引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程: 蜀（兀-X）+ /（乙-对）=丘％移项整理得系统微分方程/贽+ （陌+ 0）心=令+瓦兀对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即X r（。
） = X0（。
）= °则系统传递函数为X。
(£)_ fz K\ 兀G) 一冷+ (K]+0)2-3r 並'C 2s=1 （&C°s 十 1）一 1 {T.S + 1）・・・——(T.s + 1)所以.5(s)_ S _ C“ -_⑺s + l)®s + l)'5(s) Z 1 + Z 2 尽 |1(匚「J 尽C Q S + ^S + I)込s + 1)T 、s +1 C 2s 2(b) 以幻和fl 之间取辅助点A,并设A 点位移为方向朝下；根据力的平 衡原则，可列出如下原始方程：解：(a):利用运算阻抗法得：Z] =R 』R.——1 _ C\s泾尽+丄R 】 RiGs +1+1K2(X.-X0)+ f2(x. - x0) = /；(x0 -x) (1)A：1x = /；(x(> -x) (2)所以K2(x i-X0)4-/2(X,--X0)=K x x (3)対(3)式两边取微分得恳2(乙—攵。
线性系统的根轨迹-自动控制原理实验报告
自动控制原理实验报告实验题目：线性系统的根轨迹班级：学号：姓名：指导老师：实验时间：一、实验目的1. 熟悉MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2. 利用MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。
3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、实验内容同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围。
2．1绘制下面系统的根轨迹曲线)136)(22()(22++++=s s s s s Ks G程序：G=tf([1],[1 8 27 38 26 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-12-10-8-6-4-20246-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s0204060801001201400.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K>28.74252．2绘制下面系统的根轨迹曲线)10)(10012)(1()12()(2+++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([1 12],[1 23 242 1220 1000]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-100102030-50-40-30-20-1001020304050Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s01234560.0020.0040.0060.0080.010.012Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围： K>1.1202e+032．3绘制下面系统的根轨迹曲线)11.0012.0)(10714.0()105.0()(2++++=s s s s s K s G 程序：G=tf([5 100],[0.08568 1.914 17.14 100 0]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹[k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k 和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线-60-50-40-30-20-10010203040-60-40-200204060Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s012345670.10.20.30.40.50.60.70.80.91Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K 值的范围：K> 7.8321根据实验结果分析根轨迹的绘制规则：⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。
控制工程基础C作业2017答案S
《控制工程基础C》作业和解答第一章自动控制概论1-1解：u（表征液位的希被控对象：水箱。
被控量：水箱的实际水位c。
给定量：电位器设定点位r c）。
比较元件：电位器。
执行元件：电动机。
控制任务：保持水箱液面高度不变。
望值ru）时，电动机静止不动，控制阀门有一定的开工作原理：当电位器电刷位于中点（对应rc。
一旦流入水量或流出水量发度，流入水量与流出水量相等，从而使液面保持给定高度rc。
生变化，液面高度就会偏离给定高度r例如：当液面升高时，浮子也相应升高，通过杠杆作用，是电位器电刷由中点位置下移，从而给电动机提供一定的控制电压，驱动电动机，通过减速器带动进水阀门向减小开度的方向转动，从而减少流入的水量，使液面逐渐降低，浮子位置也相应下降，直到电位器电刷回到c。
中点位置，电动机的控制电压为零，系统重新处于平衡状态，液面恢复给定高度r反之，若液面降低，则通过自动控制作用，增大进水阀门开度，加大流入水量，使液面升高c。
系统方块图如图所示到给定高度r在上图中，比较环节：电位器（电位比较）；控制器：电位器（比例控制器）；被控对象：电动机、减速器、控制阀、水箱（输出水位）；检测变换：浮子连杆、电位器（位移—>电位）1-2解：被控对象：电炉。
被控量：炉温。
给定量：电位计的给定电压。
放大元件：电压放大器和功率放大器。
执行机构：电动机和减速器。
测量元件：热电偶。
工作原理：热电偶将温度信号转换为电信号，反映炉温，其输出电势与给定电信号之差为偏差信号。
偏差信号经电压放大和功率放大后，带动电机旋转，并经减速器使自耦调压器的活动触点移动，从而改变加在电阻丝两端的电压。
当炉温达到预定值时，热电偶感应的电压值与电位计输出电压大小相同，相互抵消，放大器零输出，电机不动，变压器输出电刷不动，电阻的端电压恒定，保持炉温等于希望值。
当炉温偏离希望值时，放大器输入端的平衡会打破，其输出电压会驱动电机通过减速器调节变压器输出电刷位置，改变电阻丝的端电压，使炉温达到希望值。
自动控制原理胡寿松笔记
自动控制原理胡寿松笔记自动控制原理是电气工程领域的重要课程，胡寿松教授的笔记是该领域学习的重要参考资料。
本文将按照章节顺序，对胡寿松教授的笔记进行梳理和总结，帮助读者更好地理解和掌握自动控制原理。
第一章自动控制的基本概念1. 自动控制的基本组成：控制器、传感器、执行器、被控对象。
2. 自动控制的目的：实现对系统的稳态和动态性能的优化。
3. 自动控制的基本术语：控制量、受控量、干扰、传递、转换等。
4. 自动控制系统的分类：开环控制系统和闭环控制系统。
第二章自动控制系统的数学模型1. 微分方程：描述系统动态特性的基本数学工具。
2. 传递函数：描述控制系统动态特性的重要数学模型。
3. 动态结构图：描述控制系统动态特性的图形工具。
4. 信号流图：描述控制系统内部信息传递方式的图形工具。
5. 梅逊公式：用于将微分方程转化为传递函数的公式。
第三章线性定常系统的时域分析法1. 控制系统性能的评价指标：稳态误差、超调量、调节时间等。
2. 系统的稳定性分析：稳定性定义、代数稳定判据、李亚普诺夫直接法。
3. 系统性能的改善：放大缩小法、超前滞后补偿法、PID控制器等。
4. 一系列具体分析方法的介绍：单位阶跃响应、斜坡响应、李亚普诺夫直接法等。
第四章线性定常系统的根轨迹法1. 根轨迹的基本概念和性质：幅值-相位特性、零点-极点关系、渐近线等。
2. 绘制根轨迹的基本规则和步骤：参数方程、几何意义、注意事项等。
3. 根轨迹图的特征分析：闭环零点、极点与系统性能的关系等。
4. 基于根轨迹法的系统优化设计：稳定化控制器设计、增益调度等。
第五章线性系统的频域分析法1. 频率域的基本概念和性质：频率特性、频率响应、频域分析方法等。
2. 频率域分析方法的应用：稳定性分析、系统性能评估、频率特性设计等。
3. 对数频率特性曲线及其应用：增益边界和相位边界的意义、系统性能的评估等。
4. 基于频率域分析法的系统优化设计：频率相关控制器设计、频率调制等。
线性系统的根轨迹法实验报告
线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1，掌握matlab绘制根轨迹的方法。
2，观察k值变化对系统稳定性的影响。
3，掌握系统临界稳定情况下k值得求取。
4，了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。
二，实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了，稳定性的判定，当开环增益从零变到无穷大时，根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面，此时K的范围为系统稳定的范围，根轨迹与虚轴的交点处的K值，为系统的临界开环增益，开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。
三，实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。
3，在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应，输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出，所以此时系统为临界稳定状态。
当改变开环增益为50和20时观察示波器，得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出，此时系统不稳定，当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢，最后趋于稳定，所以此时的系统是稳定的。
B，设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1，由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面，所以系统在K=0到K=?都是稳定的。
最新自动控制原理西安电子科技大学第三版课后答案 陕西科技大学自动控制原理考研真题优秀
最新自动控制原理西安电子科技大学第三版课后答案陕西科技大学自动控制原理考研真题优秀自动控制原理西安电子科技大学第三版课后答案陕西科技大学自动控制原理考研真题篇一1)自动控制、自动控制系统的基本概念以及自动控制系统的三种基本控制方式;2)能分析某个自动控制系统的原理并绘制原理方框图;3)自动控制系统的分类以及对控制系统的基本要求。
2.控制系统的数学模型1)掌握控制系统的时域数学模型、控制系统的复域数学模型的建立方法及其相互转换;2)通过结构图的化简或梅逊增益公式求取系统的闭环传递函数、误差传递函数及干扰信号作用下的闭环传递函数等，了解绘制系统结构图的方法。
3.线性系统的时域分析法1)掌握系统性能指标的定义;2)掌握系统稳定性概念、劳斯稳定判据及其应用;3)掌握一阶、二阶系统的动态性能分析，及动态性能指标的计算，掌握二阶系统性能的改善，了解高阶系统动态性能的分析方法;4)掌握稳态误差的定义及计算。
4.线性系统的根轨迹法1)掌握根轨迹的基本概念，根轨迹与系统性能的关系;2)掌握根轨迹绘制的基本法则，灵活应用基本法则绘制系统的根轨迹;3)利用根轨迹分析系统的性能;4)了解参数根轨迹和零度根轨迹的概念及绘制方法。
5.线性系统的频域分析法1)理解频率特性的定义及其几何表示法;2)典型环节的频率特性，掌握系统开环对数频率特性图、幅相曲线图的绘制;3)掌握利用奈奎斯特稳定判据、对数频率稳定性判据判断闭环系统的稳定性;4)掌握相角稳定裕量和幅值稳定裕量的定义及其求取方法，及它们与系统性能的关系;5)开环频率特性与闭环系统性能之间的关系，了解闭环频率特性。
6.线性系统的校正方法1)正确理解控制系统校正的基本概念，校正方式，常用校正装置的特性;2)掌握串联超前校正、滞后校正、滞后-超前校正网络的校正原理及设计方法;3)将性能指标转换为希望开环对数幅频特性，根据希望特性确定最小相位系统的校正装置;4)了解局部反馈校正、复合校正的基本思路与方法。
自动控制理论 线性系统的根轨迹法
z1
p3
3
1
p2
s2
s1
p1 s3
4
z2
2
p4
先看试验点s1点： ①成对出现的共轭极点p3、 p4对实轴上任意 试探点构成的两个向量的相角之和为0°； ②成对出现的共轭零点z1、 z2对实轴上任意试探点构成的两个向量的 相角之和为0°； ③试探点左边的极点p2对试探点构成的向量的相角为0°； ④试探点右边的极点p1对试探点构成的向量的相角为180°； 所以s1点满足根轨迹相角条件，于是[－p2 ,－p1]为实轴上的根轨迹。 再看s2点：不满足根轨迹相角条件，所以不是根轨迹上的点。
2、根轨迹的对称性
一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共 轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。
3、根轨迹的支数、起点和终点： n阶特征方程有n个根。当 K* 从0到无穷大变化时，n个根
在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统 阶数。
线性系统的根轨迹法>>根轨迹绘制的基本法则
j 1
i 1
n
d ln (s p j )
d ln m (s zi )
j1
i1
ds
ds
d
n j 1
ln(s
p j )
d
m i 1
ln(s
zi )
ds
ds
n d ln(s p j ) m d ln(s zi )
j 1
ds
i 1
ds
n
1
m
1
j1 s p j i1 s zi
设 K* Kgd 时，特征方程有重根 d ，则必同时满足
F(d ) 0 和 F'(d ) 0
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2020年4月9日7时10分
8
5.2 根轨迹的绘制规则
通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为 普通根轨迹（或 180°根轨迹），简称根轨迹。
第五章 线性系统的根轨迹法
5.1 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的绘制规则 5.3 广义根轨迹 5.4 零度根轨迹 5.5 系统性能分析
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1
本章重点
➢ 根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 ➢ 根轨迹的基本绘制规则 ➢ 等效传递函数的概念 ➢ 根轨迹的简单应用
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幅值条件:
n
n
1 kg
(s zi )
i 1
n
(s pj)
(s zi )
i 1
n
(s pj)
j1
j1
相角条件:
m
n
(s zi ) (s pi ) (1 2k) , k 0,1, 2, 3....
i 1
j1
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我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程 的根——即闭环极点。
令此方程中虚部为零，即可求得 根轨迹与虚轴的交点处
的频率为 。用 代入实部方程，即可求出系统开环根
轨迹临界值kc。
(2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方 程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯表 中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
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23
s zj
j1
n
s pi
1 kg
i 1
当 kg 时，必有 s z j ( j 1, 2,L , m)
此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把 开环零点称为根轨迹的终点。
结论：根轨迹起始于开环极点 (kg 0) ，终止于开环
零点 (kg ) 。
如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止 于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环 极点数n，则有m-n 条根轨迹起始于S平面的无穷远处。
(s d ) 1[(s 1)(s 2 )L (s n )] 0
即可求得 dF (s) 0
ds
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16
故在重根处有:
dF (s) ds
d (kg
N
(s) ds
D(s))
kg
N
'(s)
D
'(s)
0
D(s)
因为： kg N (s)
所以： D(s) N '(s) D '(s) 0
规则一 根轨迹的起点
m
由根轨迹的幅值条件可知： s z j j 1 n s pi
1 kg
i1
当 kg 0 ,必有 s pi (i 1, 2,L , n)
此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，把开环极点 称为根轨迹的起点。
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规则二 根轨迹的终点
m
由根轨迹的幅值条件可知：
当 k g由0到∞连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s 在平面上的变化也是连续的，因此,根轨迹是n条连续的曲线。
由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的特征方程有复 数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称 于实轴的。
结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨 迹是连续且对称于实轴的曲线。
当开环极点数 n大于开环零点数m时, 系统有n-m条根轨 迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线 叫做根轨迹的渐近线，因此渐近线也有n-m条, 且它们交于实 轴上的一点。
渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为:
n
mPi Z ji1 Nhomakorabeaj1
nm
2k 1 ,k 0,1, 2,L , n m 1
近线夹角为：
2k 1
600 ,1800
n m
k 0,1, 2,L ,n m 1
渐近线与实轴的交点为
n
m
Pi Z j
i1
j1 1
nm
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求分离点：kg s3 3s2 2s 由上式可求 dkg 3s2 6s 2
ds 上式的根为 s1 0.423
K1
分离点
根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离点
和会合点处必有闭环特征重根,令闭环特征方程为:
F(s) kg N(s) D(s) (s d ) (s 1)(s 2)L (s n ) 0
如果令
dF (s) ds
(s d )
d ds
[(s
1
)(s
2
)L
(s n )]
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规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性
根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特 征方程的根（即闭环极点） 在s平面上的分布，那么，根轨迹 的分支数就应等于系统特征方程的阶数。
由例5-1 看出，系统开环根轨迹增益k（g 实变量）与复变量 s有一一对应的关系。
事实上，分离点还可由下式确定
因为
m
1
n
1
i1 s zi j1 s p j
D(s)N(s) D(s)N(s) 0
即 其中
N (s) D(s) N (s) D(s)
d [ln N (s)] d [ln D(s)]
ds
ds
N(s) (s z1)(s z2 )L L (s zm )
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3
当 kg 0 时, s1 0, s2 2
当 0 kg 1 时, s1与 s2 为不相等的两个负实根；
当 kg 1时， s1 s2 1 为等实根；
当 kg 1 时，s1,2 1 j kg 1 共轭复根。
该系统特征方程
S Kg
j
的根，随开环系
规则九、根轨迹的走向
当n-m≥2满足时，随着Kg增加，一些根轨迹分支向左 方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。
开环传递函数：
m
m
G(s)H(s)
kg(s
z1 )L
L
(s
zm
)
(s p1 )L L (s pn )
kg (sm zi sm1 L L zm )
i 1
i 1
n
n
sn pj sn1 L L pj
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规则四 实轴上的根轨迹
实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分
别为： N z , N p
m
n
则: i j Nz N p (1 2k)
i 1
j1
即右侧开环零,极点数的和为奇数时,该段为根轨迹。
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规则五 渐近线
nm
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例5-2 已知系统的开环传递函数,试画出该系统根轨迹的渐近线。
Gk
s
kg (s 2) s2 (s 1)(s
4)
解
1渐近线：系统有n=4,m=1,n-m=3 三条渐近线与实轴交点位置为：
σ 1 4 2 1 3
实轴正方向的交角分别是
j
π 60(k 0) 3
24
当 Kg变化时，极点的重心保持 不变。所以，为了平衡“重心” 的位置，当一部分根轨迹随着的 增加向左方移动时，另一部分根 轨迹将向右方移动。
例
G(s)H(s)
K*
s(s p2 )(s p3)(s p4 )
Im p4
p2
0 p1 Re
p3
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规则十、 根轨迹上kg值的计算
N (s)
即：dkg D '(s)N (s) D(s)N '(s)
ds
N 2(s)
分离点/会合点:
dkg 0 和 dF (s) 0
ds
ds
以上分析没有考虑 kg 0 (且为实数)的约束条件，所以 只有满足 kg 0 的这些解，才是真正的分离点（或会合
点）。
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A
B
60 0
5π 60(k 2) 3
π 180(k 1)
渐近线如图所示。
1800
-4 -3 -2 -1
300 0
0
60 0
C
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规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点
K1
K1 0
K1
K1 K1 0
K1 0
会合点 K1 0
2
5.1 根轨迹的基本概念
一、一个例子
例5-1 一单位负反馈系统的开环传递函数为：
Gk
s
kg s(s
2)
试分析该系统的特征方程的根随系统参数
k
的变化在S平面
g
上的分布情况。
解 系统的闭环特征方程： s2 2s kg 0
特征方程的根是： s1,2 1 1 k g 设 k的g 变化范围是〔0, ∞﹚
动态性能 当0 kg 1 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过
阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。
当 kg 1 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼