根轨迹分析法
合集下载
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理第10-1讲
自动控制原理
9
4.4.1 参变量根轨迹的绘制
K * P( s ) 设系统开环传递函数为 G(s) H (s) ，系统闭环特 Q( s )
征方程为 1 G(s) H (s) 0 ， 用不含待分析参数的各项除方 程两端，得 P( s ) 1 K 0 Q( s ) Q ( s ) 都是复变量s的多项式， K 为待分析的 式中的 P ( s ) 、 参数，与特征方程
p
n m
p z
j 1 j i 1
i
p0
n m 1
180 (2k 1) n m 1
渐近线的重心将沿实轴向右移动。且-p0数值愈大，向右 移动的距离也愈大。(P126) 因此，渐近线将带动根轨迹向右半s平面弯曲或移动， 从而可能引起系统性能恶化。
自动控制原理
幅值条件
G(s) H (s) 1
幅角条件 G(s) H (s) 2k， k 0， 1，， 2
思考：与负反馈根轨迹绘制有何不同？ 在正反馈系统根轨迹的绘制规则中，凡是与幅角条件有 关的规则都要作相应的修改。 1）实轴上根轨迹的确定：右边开环零、极点的个数为偶数。 2）根轨迹的渐近线：在实轴上交点坐标和夹角为 n m
100% 是阻尼比 的函 （1）相对百分比超调量 % e 数，且当 越小，百分比超调量σ%越大。(P68) （2）调节时间只取决于特征根的实部 。当 n增加时，调 节时间相应变短；反之，调节时间相应就长。如果对 调节时间有限制的话，就要使特征根与虚轴保持一定 的距离。(P69) 2 1 （3）振荡频率 d n
1 2
自动控制原理
16
4.5.1 性能指标在s平面上的表示(续)
s平面上的三种规律
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
孙炳达版 《自动控制原理》第4章 控制系统的根轨迹分析法-5
R(s)
s 1
k s 2 (s 2)
Y(s)
j
j
σ
-1/τ
σ
4.5 系统性能的根轨迹分析
系统开环传递函数：
Gk ( s) Kg s( s 2)(s 3)
Þ ¿ Î ª » ·Á ã µ ã
j¦ Ø 2 -3 -2 -1 0 ¦ Ò -2
增加零点-z
Gk ( s) K g (s z) s( s 2)(s 3)
4.5 系统性能的根轨迹分析
例 系统的结构图如下，
R(s)
K
s 2 2 s 5 ( s 2 )( s 0.5 )
Y(s)
要求： １）用根轨迹法确定使系统稳定的Ｋ的取值范围； ２）用根轨迹法确定系统的阶跃响应不出现超调 量的Ｋ的最大值。
4.5 系统性能的根轨迹分析
解 由已知条件画出根轨迹如图， 其中根轨迹与虚轴的交点 分别为0和1.254j，对应的开环 增益Ｋ分别为0.2和0.75。 分离点为d=-0.409。 所以，系统稳定Ｋ的取值范围为：0.2<K<0.75 不出现超调量的Ｋ最大值出现在分离点处d=-0.409 处。将d代入 D( s ) ( s 2)(s 0.5)
由根轨迹图可测得该对主导极点为：
s1, 2 b jn n j 1 2 n 0.35 j 0.61
由根轨迹方程的幅值条件，可求得A、B两点：
Kg OA CA DA 2.3
根据闭环极点和的关系可求得另一闭环系统极 点s3=-4.3，它将不会使系统超调量增大，故取 Kg=2.3可满足要求。
4.5 系统性能的根轨迹分析
将零点z1<-10，系统根轨迹为 系统根轨迹仍有两条始 终位于S平面右半部， 系统仍无法稳定。
第四章 根轨迹分析法 2
4. 牛顿余数定理
（1）求出表达式 Ps D(s)N(s) N(s)D(s)
（2）分析根轨迹，估计在其分离点（或会合点）可能出现的实轴 坐标附件找一个试探点 s1。
（3）用 s s1 去除 Ps ，得出商多项式 Qs 及余数，该余数记
为 R1 ；
（4）再用 s s1 去除商多项式 Qs，得第二个余数，定义为 R2 ；
s2 3
k gp
s1 6-kgp 3
s0 kgp
令 6-kgp 3
0 kgp
6
由辅助方程求交点坐标：
3s2 Hale Waihona Puke 6 0s1,2 2 j
法则10 闭环极点的和与积
若n-m>=2，则有
n
n
(sj ) ( pj ) const
j1
j1
证明：
开环传递函数：
m
根轨迹的入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点出的切线同正 实轴的夹角。
j
[s]
p1 p1 z1
z1
0 z2
z2 p2 p2
m
n
先求出射角： (s zi ) (s pj ) 180o (2k 1)
i 1
j 1
• s1 →-p1则 0, (s1 pa ) a
1802k 1 (180 arctan1) arctan 1 90 71.6
j
2
p4 p3 71.6
7) 根轨迹同虚轴的交点：
-p3
1.1j
p3
j
特征方程 s4 5s3 8s2 6s kg 0
令s j
-p2 s1
-3
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
根轨迹分析方法
第4章 根轨迹分析法通过对控制系统的时域分析，我们知道，系统的稳定性和输出响应中的瞬态分量都由系统闭环特征方程的特征根（闭环传递函数的极点）所决定。
你可能有问题：当系统的某个参数发生变化时，特征根会随之在复平面上移动，系统的性能也就会发生变化。
是的，确实如此！因此，我们可以根据特征根在复平面上的分布来分析系统的性能，也可以根据系统的性能指标要求来确定满足该指标的特征根的位置，并进一步确定相关的系统参数。
这就是根轨迹分析的意义。
s s 鉴于高阶特征方程的求解具有较大的难度，1948年伊文思（W••R••Evans）提出了一种求闭环系统特征根的简便图解法，称为根轨迹法。
4.1 根轨迹的基本概念根轨迹法主要研究当系统的某一参数发生变化时，如何根据系统已知的开环传递函数的零极点，来确定系统的闭环特征根的移动轨迹。
下面我们可以结合具体的例子来说明根轨迹的含义。
)2()(+=s s Ks G 设控制系统的结构如图4.1所示，图中，，系统的开环传递函数为1)(=s H图4.1 系统结构图)2()()(+=s s Ks H s GK 其中，为开环传递函数零极点形式的放大系数，也称为根轨迹增益。
系统的闭环传递函数为Ks s Ks R s C ++=2)()(2 则闭环特征方程为022=++K s sK s −+−=111K s −−−=112可以解出该方程的根为 ，可见，、是随参数1s 2s K 的变化而变化的。
改变K 值时，特征根、的变化值如表4.1所示，在平面上的轨迹变化如图4.2所示。
图中的粗实线就称为系统的根轨迹，根轨迹上的箭头方向表示1s 2s s ∞→K 时，闭环极点的变化方向，标注的数据代表与闭环极点位置相应的开环增益K 的数值。
表4.1 S S 12K 0 0 -2 0.5 -0.29 -1.7071 -1 -1图4.2 闭环特征根的轨迹实际上，图中的根轨迹是由两条分支组成的：①当0=K 时，闭环特征根、与开环极点重合，即开环极点为根轨迹的起点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m
(s zi )
或：K g
i 1 n
1
(s pi )
j 1
m
n
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
i 1
j 1
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
5
第二节 绘制根轨迹的基本法则
一.根轨迹的连续性
二.根轨迹的对称性
关于实轴对称
三.根轨迹的分支数
分支数=系统的阶数
令s j,得：( j)3 3( j)2 2( j) Kg 0
K2g 332
0 0
Kg
2 6
(2)用劳斯表求：
令 6 Kg 3
0, Kg
6
辅助方程：3s2 Kg 0,则：s1,2 j 2
2020/4/10
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
《自动控制原理》第四章
s3 1 2 s2 3 Kg s1 6Kg
3
s0 Kg
(s)
Kg (s 4) s(s 2)
解： R 4 2 2.83
Kg 6
10 8 6 4 2
j
4
2
2 2
Kg 6
4
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
21
二.参量根轨迹
除开环增益以外的其它参数变化时对系统的影响 首先求出等效单回路开环传递函数
例：求由0 变化时的根轨迹
解：
R(s)
《自动控制原理》第四章
13
例：求根轨迹离开复数共轭极点 p1, p2的出射角
解：1 180o (2k 1) p1 z1 p1 p2
p1 p3 p1 p4 180o (2k 1) 45o 90o
135o 26.6o
j
s平面 p1 26.6o
180o 2k 26.6o p426.6o
45o
取k 0,得1 26.6o 3 2 z1
135o
0 p3
p2 26.6o j
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
14
九.根轨迹与虚轴的交点
s j 0 j
例：开环传递函数为: GK
(s)
s(s
Kg 1)(s
2)
解：(1)s(s 1)(s 2) Kg 0,得：s3 3s2 2s Kg 0
G
K
(s)
s(s
K 1)(0.5s
，求 1)
0.5
时的闭环主导极点及其它闭环极点，并估算性能指标。
解：G K
(s)
s(s
2K 1)(s
2)
s(s
Kg 1)(s
2)
cos1 cos1 0.5 60o
(1)作图得： s1 0.33 j0.58 s2 0.33 j0.58
根据闭环极点之和 开环极点之和 C常数的法则知：
《自动控制原理》第四章
25
二.求取闭环系统零点的方法
三.闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系
(1)全部闭环极点应在s平面左半部，即系统稳定； (2)闭环极点应远离虚轴，即系统的快速性好； (3)共轭复根应在 45o 上， 0.707，即系统的平稳性好； (4)主导极点； (5)闭环零点可以削弱或抵消附近闭环极点的作用。
GK (s)
g
s2
s 0.2s 1
p1,2 0.1 j0.995 z0
R 0.12 0.9952 1
p1
0
1.8
1
0
p2
j
1
0.5 z1
0
0.5
1
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
23
第四节 求取闭环系统零、极点的方法
一.求取闭环系统极点的方法
例： 已知开环传递函数为 :
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
2
j
Kg
Kg=5
2
Kg=2
1
Kg=0
Kg=1 Kg=0
-2 -1
Kg=2
-1
Kg=5
-2
Kg
(1)K g : 0 , 根轨迹 (2)0 K g 1,实轴上 (3)K g 1,开始进入复平面 (4)K g 1,复平面 (5)关于实轴对称
2020/4/10
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
26
第五节 增加开环零、极点对根轨迹的影响
一.增加开环零点对根轨迹的影响
（1）改变实轴上的根轨迹； （2）改变渐近线的条数、倾角和截距； （3）开环零点与附近的开环极点构成开环偶极子； （4）根轨迹曲线向左偏移，改善了系统的动态性能， 所加 零点越靠近虚轴，影响越大。
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
18
(4)分离点: s 2.28
2.28
3 d
1.25
j
1.09
0 1.09
(5)与虚轴的交点： s4 5s3 8s2 6s Kg 0
1.1, Kg 8.6
(6)出射角:3 180o (2k 1) (135o 26.6o 90o ) 71.6o
故：D(s) 3s2 6s 2; N(s) 0 D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
（不合题意）
(2)极值法：s(s 1)(s 2) Kg 0
dKg (3s2 6s 2) 0 ds
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
第四章 根轨迹分析法
第一节 根轨迹的基本概念
一.根轨迹图 S平面： 复平面 根轨迹：指系统开环传递函数中的某一参数变化时， 闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
1
例：开环传递函数为G(s) K 2K Kg
s(0.5s 1) s(s 2) s(s 2)
i 1
m
lim lim lim ( ) 其余n m, s
s zi
i 1 n
s pj
s
sm sn
s
1 s
nm
0
j 1
lim ( 1 ) 0,此时s ，即无穷远处
K Kg g
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
7
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
s
即当s
时, (s
a )nm
Kg , s
a
1
(Kg ) nm
1 j(2 1)180o
在s平面内,
(
K
g
)
1 nm
nm
Kg e
nm
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
9
例：开环传递函数为: GK
(s)
s(s
Kg (s 4)(s2
1) 2s
2)
解： n 4, m 1
p1 0, p2 1 j, p3 1 j, p4 4
《自动控制原理》第四章
3
二.根轨迹方程
R(s)
+－
G(s)
(s) G(s) G(s)
1 G(s)H (s) 1 GK (s)
H(s)
式中：GK (s) G(s)H(s)是开环传递函数
m
(s zi )
GK (s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
zi,开环零点 p j ,开环极点 Kg , 根轨迹增益
解： (s)
C(s) R(s)
s2
Kg 2s
Kg
则：s2 2s Kg 0
得：s1 1 1 Kg , s2 1 1 Kg
Kg 0
1 4
1 2
1
2 5
S1 0 -0.13 -0.29 -1 -1+j -1+2j 1 j
S2 -2 -1.866 -1.707 -1 -1-j -1-2j 1 j
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
19
圆弧根轨迹：
设系统开环传递函数为：GK
(s)
(s
Kg (s z) p1)(s p2 )
由相角条件： s z s p1 s p2
将s j代入得：
j z j p1 j p2
tg1 tg1 tg1
+ －+ －
GK
(s)
G(s)H (s)
5(s 1)
s(5s 1)
5 s(5s 1)
s
C(s)
由此得闭环系统的特征方程为：s(5s 1) 5(s 1) 0
(5s2 s 5) 5s 0
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
22
1
5s2
5s
s
5
0
1
s2
gs
0.2s
1
0
1 GK (s) 0
极值法：
就实轴部分而言：
（1）Kg=0增大时，当Kg取最大值时，进入复平面， 此时为分离点。
（2）Kg增大时，从复平面进入实轴时Kg取最小值， 以后Kg不断增加。
dKg ds
0
2020/4/10
《自动控制原理》第四章
11
例：
开环传递函数为: GK
(s)
s(s
Kg 1)(s
2)
解： (1)重根法： D(s) s(s 1)(s 2); N(s) 1
(2)K Kg 0.525 2
60o
2
(3)又：2.34 0.33
7，则
s1,
是主导极点
2
p3
2
0.5 n (0.33)2 (0.58)2 0.667
60o p2