2013年秋季黄冈市高一数学期末考试参考答案

2013年秋季黄冈市高一数学期末考试参考答案
一．选择题: CBBDC ACBAC 二．填空题：11 18 ； 12 2
5
； 13 )6
2sin(2π
+=x y ； 14
3
5
； 15 ②④ 三．解答题： 16、【解析】
(1)}3x 1|x {A ≤≤= }
4x 2|x {B <<= ……4分 }2x 1|x {B C A D U
≤≤=⋂= ……6分 (2)}
4x 1|x {B A <≤=⋃ ……7分 当a a 4
≥-，即2a ≤时，A=φ,满足题意 ……9分 当a a 4<-，即2a >时，⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥->4a 1a 42
a ，解得：3a 2≤<
∴实数a 的取值范围是3a ≤ ……12分
17.(1)证明：由 (a ＋b )·(a －b )＝|a |2
－|b |2
＝(cos 2
α＋sin 2
α)－(14＋34)＝0…4分
故a ＋b 与a -b 垂直． ……5分
(2)由|3a ＋b |＝|a -3b |，平方得3|a |2
＋23a ·b ＋|b |2
＝|a |2
－23a ·b ＋3|b |2
,所以2(|a |2
－|b |2
)＋43a ·b ＝0， …… 6分 而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0， ……8分 则(－12)×cos α＋3)2×sin α＝0，即cos α=3sina ……10分
,3
3
tan =
α又0°
≤α<180°，则α＝30°. ……12分 18.(1)解：设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，由x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1知 f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x4x ＋
1， ……4分
又f (x )为奇函数知，－f (x )＝2x4x ＋1，即f (x )＝－2x4x ＋1.
故当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－2x4x ＋1 .……6分 (2)证明：设0<x 1<x 2<1，则f (x 2)－f (x 1)＝
……8分
……10分
∴f (x 2)－f (x 1)<0.
即f (x 2)<f (x 1)．因此，f (x )在(0,1)上是减函数． ……12分 19.【解】 (1)f (x )＝sin(2x ＋π3)＋3)2，
故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. ……1分
[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+∴∈37,332,,0ππππx x ……2分 当
≤2π2x ＋π3时，23π≤即时，12
712ππ≤≤x
f (x )＝sin(2x ＋π3)＋3)2单调递减， ……5分
故函数在[]上的单调递减区，区间π
0.127,12⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ππ， ……6分 (2)由题意g (x )＝f (x －π4)＋3)2
∴g (x )＝sin[2(x －π4)＋π3]＋3＝sin(2x －π6)＋3， ……8分
当x ∈[0，π4]时，2x －π6∈[－π6，π3]，g (x )是增函数， ……10分
∴g (x )max ＝g (π4)＝3)2. ……12分
20.解：（1）]14,0(∈t 时，设2
()(12)82p f t c t ==-+(0<c )，
将)81,14(代入得41
-=c
]14,0(∈t 时 ，2
1()(12)824
p f t t ==--+ ……3分
]40,14[∈t 时，将)81,14(代入()835log +-=x y a ，得31=a ……5分
∴(),(,]()l o g (),(,]t t p f t t t ⎧--+∈⎪==⎨
-+∈⎪⎩2
131********
5831440． ……6分
（2）当时(]14
,12∈t ，显然符合题意， ,
当]40,14[∈
t 时，8083)5(
log 3
1≥+-t 解得325≤<t ，∴]32,14[∈
t …10分 ∴]32,12(∈t ， ………12分 老师在(]32,12∈t 时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳． …13分 注：t ∈[12,32]不扣分。

21．解：（Ⅰ）(1,1)x ∈- ，定义域关于原点对称 ………1分
令0x y ==得(0)0f =， ………2分 再令y x =-得()()(0)0f xf x f +-==
， ()()
f x fx ∴-=- ………3分 ()y f x ∴=为(1,1)-上的奇函数. ………4分
（Ⅱ） 1()ln
1x
h x x -=+，10(1,1)1x x x
-∴>⇒∈-+ ………5分 对于任意的,(1,1)xy ∈-有11(1)(1)()()l n l n
l n
11(1)(1)x y x y
h xh y x y x y
----+=+=++++ 11()1l n l n
1()11x y
x y x y x y x y x y x y x y
+-
+-++==++++++ 即()()1
x y hx hy h x y ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭（可以证明(1,1)1x y
xy +∈-+） ………7分 当10
x -<<时，12
111x x x
-=-+
++在()1,0-为减函数， ∴121111x x x -=-+>++，∴1()l n l n 101x hx x
-=>=+， ∴()h x 同时满足三个条件，∴()h x M ∈. ………9分
（Ⅲ）由()f x M ∈，令任意的12,(1,1)x x ∈-且12x x <， 再令上式中的12
,x x y x ==-可得： 12
1212()()()1x x f x f x f x x -+-=-1212
12
()()()1x x f x f x f x x -⇔-=-
12
121212
0,()011x x x x f x x x x --<∴>-- ，12
()()f x f x ∴> ()f x ∴在(1,1)-上为单调递减函数 ………11分
∴1
()2
y f x =+在(1,1)-上最多有一个零点
又1()12f -= ，1()12
f ∴=-
2121
()0,2()1,()()()()
212
x f x f x f x f x f f x +==-∴+==+即 ………12分 又()(1,1)
f x - 在上是减函数，
2
221,410
12
x x x x ∴=∴-+=+，2x ∴= ………13分
(1,1),x x ∈-∴=又 1
()2
y f x ∴=+只有．．一个零点且为2. ………14分。