正交信号：复数,但不复杂[中译版本]
正交信号-复数的,但不是复杂的
正交信号：复数的，但不是复杂的by Richard Lyons简介正交信号是基于复数的概念的。
这些数字和它们的诸如j-operator（算符，算子），complex（复数的），imaginary（虚部的），real（实部的），orthogonal（正交的）的术语，可能比其他题目更能给数字信号处理的新手们带来心痛。
如果你有点不确定复数和j=sqrt(-1)（-1开平方根）算子的实际（physical）意义，不要感觉糟糕，没关系。
为什么甚至是Karl Gauss（高斯），世界最伟大的数学家之一，曾把j-operator叫做“影子们的影子”。
这里，我们会给这个影子些许光亮，那样，你就再不用打正交信号心理（Psychic Hotline）热线求助了。
正交信号处理被用于科学和工程的很多领域，并且，描述在现代数字通信系统中的处理方法和实现（processing and implementation），正交信号是必须的。
在这次指导课，我们会回顾复数的基础（fundamentals），并且习惯（get comfortable with）他们怎样被用于表示正交信号。
接下来，我们会检查（examine）与正交信号代数符号(algebraic notation)相关的负频率的概念（notion），并且，学习说正交处理的语言（learn to speak the language of）。
另外，我们将用三维的时间和频率域图（plot）来给正交信号一些实际意义。
这次指导课的最后，简要的介绍了怎样通过正交采样（quadrature-sampling）的手段生成正交信号。
为什么关心正交信号？正交信号形式（formats），也被叫做复信号（complex signals），在很多数字信号处理应用中被使用，例如：-数字通信系统-雷达系统-无线电测向系统中的到达时间差处理（time difference of arrival processing in radio direction finding schemes）-相参脉冲测量系统-天线波束形成应用-单边带调制器（single sideband modelators）-等等。
信号与系统重点概念公式总结
信号与系统重点概念及公式总结：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f ji dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
正交频分复用
正交频分复用(OFDM)是多载波传输技术之一，近年来受到广泛关注。
目前，这项技术已在许多高速信息传输领域得到应用，并且有可能成为下一代蜂窝移动通信系统的物理层传输技术。
本讲座将分3讲来介绍OFDM技术的基本原理及其应用。
第1讲首先介绍OFDM的基本原理，第2讲介绍OFDM中的相关信号处理技术，第3讲介绍OFDM中的多址方式及其在通信系统中的应用情况。
1 引言近些年来，以正交频分复用(OFDM)为代表的多载波传输技术受到了人们的广泛关注。
多载波传输把数据流分解为若干个独立的子比特流，每个子数据流将具有低得多的比特速率。
用这样低比特率形成的低速率多状态符号去调制相应的子载波，就构成了多个低速率符号并行发送的传输系统。
OFDM是多载波传输方案的实现方式之一，在许多文献中，OFDM 也被称为离散多音(DMT)调制。
OFDM利用逆快速傅立叶变换(IFFT)和快速傅立叶变换(FFT)来分别实现调制和解调，是实现复杂度最低、应用最广的一种多载波传输方案。
除了OFDM方式之外，人们还提出了许多其他的实现多载波调制的方式，如矢量变换方式、基于小波变换的离散小波多音频调制（DWMT）方式等，但这些方式与OFDM相比，实现复杂度相对较高，因而在实际系统中很少采用。
OFDM的思想最早可以追溯到20世纪50年代末期。
60年代，人们对多载波调制作了许多理论上的工作，论证了在存在符号间干扰的带限信道上采用多载波调制可以优化系统的传输性能；1970年1月有关OFDM的专利被首次公开发表；1971年，Weinstein和Ebert在IEEE杂志上发表了用离散傅立叶变换实现多载波调制的方法；80年代，人们对多载波调制在高速调制解调器、数字移动通信等领域中的应用进行了较为深入的研究，但是由于当时技术条件的限制，多载波调制没有得到广泛的应用；90年代，由于数字信号处理技术和大规模集成电路技术的进步，OFDM技术在高速数据传输领域受到了人们的广泛关注。
压缩感知原理
压缩感知原理(附程序)1压缩感知引论传统方式下的信号处理，是按照奈奎斯特采样定理对信号进行采样，得到大量的采样数据，需要先获取整个信号再进行压缩，其压缩过程如图2.1。
图2.1 传统的信号压缩过程在此过程中，大部分采样数据将会被抛弃，即高速采样后再压缩的过程浪费了大量的采样资源，这就极大地增加了存储和传输的代价。
由于带宽的限制，许多信号只包含少量的重要频率的信息。
所以大部分信号是稀疏的或是可压缩的，对于这种类型的信号，既然传统方法采样的多数数据会被抛弃，那么，为什么还要获取全部数据而不直接获取需要保留的数据呢？Candes和Donoho等人于2004年提出了压缩感知理论。
该理论可以理解为将模拟数据节约地转换成压缩数字形式，避免了资源的浪费。
即，在采样信号的同时就对数据进行适当的压缩，相当于在采样过程中寻找最少的系数来表示信号，并能用适当的重构算法从压缩数据中恢复出原始信号。
压缩感知的主要目标是从少量的非适应线性测量中精确有效地重构信号。
核心概念在于试图从原理上降低对一个信号进行测量的成本。
压缩感知包含了许多重要的数学理论，具有广泛的应用前景，最近几年引起广泛的关注，得到了蓬勃的发展。
2压缩感知原理压缩感知，也被称为压缩传感或压缩采样，是一种利用稀疏的或可压缩的信号进行信号重构的技术。
或者可以说是信号在采样的同时被压缩，从而在很大程度上降低了采样率。
压缩感知跳过了采集N个样本这一步骤，直接获得压缩的信号的表示。
CS理论利用到了许多自然信号在特定的基 上具有紧凑的表示。
即这些信号是“稀疏”的或“可压缩”的。
由于这一特性，压缩感知理论的信号编解码框架和传统的压缩过程大不一样，主要包括信号的稀疏表示、编码测量和重构算法等三个方面。
对于一个实值的有限长一维离散时间信号X ，可以看作为一个N R 空间N ×1的维的列向量，元素为[]n ，n ,=1，2，…N 。
N R 空间的任何信号都可以用N ×1维的基向量{}1i Ni =ψ的线性组合表示。
图象变换1正交变换傅立叶变换
2024年10月13日
第三章 图像变换
31
W的定义表达式W=e-j2π／N，由欧拉公式知系数W是以N为周
期的。这样，W阵中很多系数就是相同的， 且由于W的对称性，
即
N
W2
j 2 N
e N 2
ux N
1,W 2
N
W ux W 2
W ux
因此可进一步减少计算工作量。
例如，对于N=4， W阵为
W 0 W 0 W 0 W 0
2024年10月13日
第三章 图像变换
11
一维傅立叶变换的定义
f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：
F (u) f (x)e j2uxdx
其反变换为：
f (x) F (u)e j2uxdu
式中：j 1 ，x称为时域变量，u为频域变量。
通常傅立叶变换为复数形式F(u)=R(u)+jI(u)
1 N 1
2ux
2ux
f (x)(cos j sin ) (3 1)
N x0
N
N
完成全部DFT运算的计算量与N2成正比。特别是当N较大 时，其运算时间将迅速增长， 以至于无法容忍。
为此，研究离散傅立叶变换的快速算法（Fast Fourier Transform，FFT）非常必要。
2024年10月13日
1
幅度谱： F (u) R2 (u) I 2 (u) 2 相位谱： (u) arctan[I (u) / R(u)]
2024年10月13日
第三章 图像变换
12
变换分析的直观说明
2 1.299
1
h( t)
4
2
0
2
4
1
正交调制解调
多进制正交振幅调制技术及其在衰落信道下实现1.背景：在数字通信中．调制解调方式有三种基本方式：振幅键控、频移键控和相位键控。
但单纯的这三种基本方式在实际应用中都存在频谱利用率低、系统容量少等不足。
而在现代通信系统中，通信用户数量不仅在不断增加，人们亦不满足传统通信系统的单一语音服务，希望进行图像、数据等多媒体信息的通信。
因此，传统通信调制解调方式的容量已经越来越不能满足现代通信的要求。
近年来，如何在有限的频率资源中提供高容量、高速率和高质量的多媒体综合业务，是数字通信调制解调领域中一个令人关注的课题。
通过近十多年来的研究，分别针对无线通信信道和有线通信信道的特征，提出了不同的高频谱利用率和高质量的调制解调方案。
其中的QAM调制解调方案为：发送数据在比特／符号编码器内被分成速率各为原来1／2的两路信号，分别与一对正交调制分量相乘，求和后输出。
接收端完成相反过程，解调出两个正交码流．均衡器补偿由信道引起的失真，判决器识别复数信号并映射回二进制信号。
不过．采用QAM调制技术，信道带宽至少要等于码元速率，为了码元同步，还需要另外的带宽，一般要增加15％左右。
2.QAM基本原理：在QAM（正交幅度调制）中，数据信号由相互正交的两个载波的幅度变化表示。
模拟信号的相位调制和数字信号的PSK（相移键控）可以被认为是幅度不变、仅有相位变化的特殊的正交幅度调制。
因此，模拟信号相位调制和数字信号的PSK（相移键控）也可以被认为是QAM的特例，因为其本质上就是相位调制。
QAM是一种矢量调制，将输入比特先映射（一般采用格雷码）到一个复平面（星座）上，形成复数调制符号，然后将符号的I、Q分量（对应复平面的实部和虚部，也就是水平和垂直方向）采用幅度调制，分别对应调制在相互正交（时域正交）的两个载波（coswt和sinwt）上。
这样与幅度调制(AM)相比，其频谱利用率将提高1倍。
QAM是幅度、相位联合调制的技术，它同时利用了载波的幅度和相位来传递信息比特，因此在最小距离相同的条件下可实现更高的频带利用率，QAM最高已达到1024-QAM（1024个样点）。
信号与系统概念公式总结
信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
正交信号的一些理解
《正交信号：复数，但不复杂》读后心得体会姓名：学号：信号是信息的载体，实际的信号总是实的，但在实际应用中采用复信号却可以带来很大好处，由于实信号具有共轭对称的频谱，从信息的角度来看，其负频谱部分是冗余的，将实信号的负频谱部分去掉，只保留正频谱部分的信号，其频谱不存在共轭对称性，所对应的时域信号应为复信号。
正交信号，也称为复信号，被用于数字信号处理的很多领域，比如：数字通信系统、雷达系统、无线电测向中对到达时间差异的处理、相关脉冲测量系统、天线波束形成的应用、信号边带调制器等等。
实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量。
正交信号也一样，必须用实部和虚部两路信号来表示它，两路信号传输会带来麻烦，实际信号的传输总是用实信号，而在信号处理中则用复信号。
（实部和虚部的称谓是传统的叫法，在我们日常应用中一直被延用。
在通信工程中分别用同相和正交相表示。
）复数具有实部和虚部，实数我们很好理解，对于虚数的难于理解，一定程度上是由于难以想像它究竟是个什么东西，就像4维以上的空间，难以在脑子里建立其形象的影像一样。
对于j，这个-1的平方根，容易产生一种直觉的排斥，除了掌握能够解出数学题目的运算规则以外，一般人都不会去琢磨它有没有实际意义，有什么实际意义。
在“达芬奇的密码”里，Langdon关于科学家对j的信仰以及教徒对宗教的信仰的类比，是对j之虚无缥缈和其重要性的绝妙诠释。
但是，对于一个搞通信或是信号处理的人来说，由于quadrature signal 的引入，j被赋予了确确实实的物理含义。
从数学上说，虚数真正确立其地位是在十八世纪欧拉公式以及高斯复平面概念建立起来之后。
欧拉公式告诉我们实数的正弦余弦与任意一个复数的关系；高斯复平面则给出了形象表示复数的方法，并暗示了实部与虚部的正交性。
欧拉公式：exp（-jφ）=cos（φ）-j sin（φ）的极坐标表达式非常有用，因为：‐它简化了数学微分和分析：--把三角方程转换为简单的指数代数形式，而且；--复数的数学运算完全遵循实数的运算法则；‐它使信号的相加仅仅是复数的加法(向量相加)；‐最简洁的记法；‐在文献中用来说明数字通信系统是如何实现与描述很直观；这也进一步说明了正交信号为什么会被用于数字通信系统。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图 1. 实数和复数的几何表示 我们将从几何的角度出发来理解复数的一些数学运算。 如图 2 所示， 可以用直角三角形 来定义复数 c 的不同表示方式。
图 2. 复数平面上复数 c=a+jb 的相位表示 在文献中，复数 c 用不同的方式加以描述，比如， 名称 直角坐标形式 数学表达式 备注 用于解释的目的。 较容易理解(也叫做笛卡尔平面) 三角函数形式 c M = cos (φ ) + j sin (φ ) 一极坐标形式 一般用于描述通信系统中的正 交信号 (2) (1)
图 6. 向量 e j 2π f0t 的运动(a)，向量末端的运动(b) 回到图 5(b)，并自问“如果这两个向量沿着相反的方向旋转，那么他们的和是什么？” 略加思考……是的，向量的实部将同向相加，而虚部将相互抵消。这就意味着向量 e j 2π f0t 和
e − j 2π f0t 的和将是一个纯实数。当今数字通信系统的实现就基于这条性质。
−1 ，可解释为， j 和它自己相乘时其结果为-1。这个定义对
初学者而言， 理解起来可能比较困难， 因为大家熟知的是任何数和它自己相乘以后其结果都 为正数。(不幸的是，在 DSP 的相关教材中，都定义 j ，然后理所当然地说 j 可以用于分析 和处理正弦信号，读者也很快就忘记： j=
−1 的真实含义是什么？)而 −1 现在数学领
c= a + jb
c = Me jφ
不易理解，主要用于数学表达 式中(也叫做指数形式，有时写 为 M exp ( jφ )
(3)
幅度—相角形式
c = M ∠φ
用于描述的目的。但是用于代 数方程时较笨拙(本质上是方程 (3)的简写)
(4)
方程(3)和(4)告诉我们 c 也可以表示为复平面上幅度为 M ， 与正实轴正夹角为 φ 的一个 向量，如图 2 所示。记得 c 是一个复数，而且变量 a , b, M 和 φ 都是实数。c 的幅度，也叫 c
= e jφ cos (φ ) + j sin (φ )
(7)
可能也有读者有疑惑， “为什么可以用如此怪诞的一个式子——自然对数的底，即 e 的 虚数次幂来表示一个复数呢？”我们可以按照世界上无穷级数方面最伟大的数学家莱昂哈 德·欧拉的方式来证明(7)式，即用 jφ 代替图 3 中最上面一行关于 e z 的级数展开定义式中 的 z ，其替代结果如图 3 中第二行所示。然后，我们估计 j 的更高阶结果并放在图 3 的第三 行。那些和欧拉一样具备数学才能的人(或者看过相关参考文献)可能记得图 3 中第三行级数 展开中交替出现的正负项刚好是正弦和余弦函数的定义式。
e jπ /2 = cos (π / 2 ) + j sin (π / 2 ) = 0 + j1, or e jπ /2 = j
(9)
这里需要记住。 如果一个复数， 由复平面的一个点来表示， 现在这个数乘以 j 或者 e jπ /2 将得到复平面上一个新的点，它是由原来的点在平面上逆时针旋转 90 得到的。一定不能忘 了这个性质，因为它对你开始阅读正交处理系统文献非常有用。 就此歇一会， 缓一下神。 如果对虚数和复平面的概念还是觉得有些神秘的话也不必太担 心，大家最初接触到它们的时候都一样，当你用多了，自然就习惯了。(记住， j 算子困扰了 欧洲重量级数学家们数百年了。 )诚然， 不仅复数的数学表达式有些奇怪， 其术语也很怪诞。 然而， “虚数”是一种不幸运的说法，术语“复数”也是相当的古怪。初次见到复数常令人 联想到“复杂的数” 。这很遗憾，其实，复数的概念并不是真的那么复杂。我们只要知道， 上面冗长的数学推导只是为了得到方程(2)、(3)、(7)和(8)。现在，让我们(终于!)开始讨论时 域信号。 实信号的复向量表示 现在，我们先关注一类复数，它是时间的函数。考虑一个数，其幅度为 1，而相位随时 间的增加而增加。 这个数可写为 e j 2π f0t ,如图 5(a)所示。(这里，2π f 0 是单位为弧度/秒的角频 率，它对应于频率 f 0 周/秒， f 0 用 Hz 来度量)随着时间 t 的增加，复数的相位也在增加，该 数围绕复平面原点作逆时针旋转。图 5(a)表示该数某一时刻的值，用一个黑色的点来表示。 假设 f 0 = 2 Hz， 那么该点将沿着该圆每秒旋转 2 周。 我们也可以考虑另外一个复数， e − j 2π f 0 t ， 图中用白色的点表示， 它沿着顺时针方向旋转， 因为随着时间的增加， 其相位是负向地增加。
图 3. 用 e ,cos (φ ) 和 sin (φ ) 的级数展开来导出欧拉方程
z
图 3 验证了方程(7)和复数的极坐标表达式：Me jφ 方程(3)的结果。如果将图 3 中最上行中的
z 用 − jφ 代替，就可以得到一个稍微不同但是很有用的欧拉公式的另外一种表达式：
= e − jφ cos (φ ) − j sin (φ )
为了强调这两个复正弦曲线之和为实数， 我们将给出另外一幅图。 考虑一个三维的波形， 如图 7 所示，它是由两个幅度为 1/2 的复向量之和构成，即 时间轴以相反的方向旋转。
1 j 2π f 0 t 1 − j 2π f 0 t 和 e ，他们沿着 e 2 2
图 7. 由两个旋转的复数向量之和表示一个正弦信号 思索这些向量， 现在已经很清晰， 为什么一个余弦函数可由两个复指数函数之和来表示：
图 5. 两个指数随时间变化的复数在时域的瞬间表示
现在， 我们称这两个复数表达式， 为正交信号。 他们都有实部和虚部， e j 2π f 0 t 和 e − j 2π f 0 t ， 而且都是时间的函数。 e j 2π f0t 和 e − j 2π f0t 在文献中也常被称作复指数函数。 我们也可以把 e j 2π f0t 和 e − j 2π f0t ， 看作是沿相反方向变化的两个向量， 如图 5(b)所示。 我 们一直坚持向量的概念， 是因为这样会很容易帮助我们实现在复平面中表示一个实的正弦信 号。别换频道! 为了确保我们理解这些向量的性质，图 6(a)展示了 e j 2π f0t 向量随时间增长的三维图形。 我们增加了时间轴，其方向指向经页面朝外，是为了展示该向量的螺旋路径。图 6(b)给出了 正如所期望的， 其末端以时间轴为中心， 该向量末端一种连续形式的运动轨迹。 复数 e j 2π f0t ， 并呈螺旋线前进。在图 6(b)中， e j 2π f0t 的实部和虚部投影分别为正弦和余弦函数。
方程(7)和(8)的极坐标表达式非常有用，因为： ‐ 它简化了数学微分和分析 --把三角方程转换为简单的指数代数形式，而且 --复数的数学运算完全遵循实数的运算法则 ‐ 它使信号的相加仅仅是复数的加法(向量相加) ‐ 最简洁的记法 ‐ 在文献中用来说明数字通信系统是如何实现与描述很直观
(8)
我们将用方程(7)和(8)来说明为什么正交信号会被用于数字通信系统，并说明是怎么样 用的。但是，首先让我们深吸一口气，进入 j 算子的阴阳魔界。 前面已给出定义式 j=
−1 的物理含义不
是那么明确的话，不必感到懊恼，因为你有很好的同伴。为何甚至是世界上最伟大的数学家 之一的卡尔·高斯都曾经说过，虚数 j 算子是“虚幻的幻影” 。本文将对这个“幻影”做出 一些解释，这样，你就不必打电话到“正交信号心理咨询热线”寻求帮助了。 正交信号处理应用于科学和工程的很多领域， 而且用正交信号来描述现代数字通信系统 中的处理和实现过程也很必要。在本文中，我们首先复习一下复数的基础知识，然后对他们 是怎样用来表示正交信号就不感陌生了。接着，我们将对负频率的概念加以说明，因为它和 正交信号的代数表示有关，然后学习正交处理的相关概念。此外，我们将用时域和频域的三 维图形对正交信号的物理意义加以描述。 本文对如何通过正交采样得到正交信号也做了简单 介绍。
图 4. 将数字 8 乘以 j 后产生的现象
实轴上的任何数乘以 j 将得到一个位于虚轴上的虚数。图 4 中的例子说明，如果+8 是 由正实轴上的点表示，那么+8 乘以 j 后得到 +8 j ,它在复平面上的位置为从+8 这个点开始 逆时针旋转 90 ，最后落在正虚轴上。同样， +8 j 再乘以 j 后其结果为-8，仍然是逆时针再 旋转 90 ，最后落在负实轴上，因为 j 2 = −1 。最后再让-8 乘以 j ,其结果为 −8 j ，仍然是从 负实轴开始逆时针再旋转 90 后落在负虚轴上。总之，无论复平面上任何数乘以 j 其结果都 是逆时针旋转 90 。(相反，如果乘以 − j ，其结果则是在复平面上顺时针旋转 −90 ) 如果在方程(7)中，我们令 φ = π / 2 ，则
正交信号：复数，但不复杂
理查德·莱昂斯
翻译：DSP-数字信号处理群(152346662)成员 小桃 校对：DSP-数字信号处理群(152346662)成员 Delta 引言：
基于复数概念的正交信号，对于 DSP 的初学者而言，可能没有什么比 j 算子、复数、 虚部、 实部和正交等数据及概念更令他们头痛的了。 如果你对复数和 j=
域中有段时间了， 大家最初也没有意识到其重要性， 直到 16 世纪被用于求解三次方程[1][2]。 数学家们才开始不情愿地接受其抽象概念， 但是并没有使之形象化， 因为其运算性质和一般 实数的法则都相同。 是欧拉首先引入复数由实正弦和余弦函数构成， 然后由高斯成功的引入了复平面， 最后 在 18 世纪，欧洲的数学家们给予 −1 概念的合法地位。欧拉超越了实数领域，并确定复数 和大家熟知的正弦和余弦三角函数具有明确的关系。 就像爱因斯坦展示质量和能量之间的关 系一样， 欧拉展示了实正弦和余弦与复数之间的关系。 这就好像当今好多物理学家虽然不知 道电子是什么，但是对其性质却十分了解，我们也不必担心到底 " j " 是什么，而只需要明确 其特性就可以了。对我们而言， j 算子就是让一个复数按逆时针方向旋转 90 (而对英国人 而言，顺时针反而意味着是逆时针。)让我们看看到底为什么会这样。 在图 4 中， 通过考查 j= 式。 我们将很容易理解虚数的复平面表达形 −1 算子的数学性质，