北大心理统计知识点总结统计

第八章访查分析

一方差分析初步

思考以下实验设计的统计方法

程序: 方差分析 (ANOVA).

●ANOVA能够处理数据的类型：在上例中有两个自变量 (称为因素): 学习的时间和

性别. 两个都是组间 (独立样本) 变量. ANOVA 亦可用于分析包含组内 (重复测量)

因素的研究设计，同时包含组间和组内因素的混合设计(e.g. 假设上例中我们对复习时间超过半年的学员纵向研究。性别是组内变量,学习的时间是组间变量).

什么是因素？什么是水平？

●在方差分析中,因素就是自变量. 包含一个自变量的研究称为单因素设计（single-

factor design）. 具有多于一个自变量研究称为因素设计（factorial design）.

请举一个单因素设计的例子

请前一个例子上再将这个改为多因素设计

●构成因素的个别处理条件称为因素的水平.

性别这个因素的水平？

●上述研究称为因素设计, 两个组间因素,培训的经历这个因素有 3 个水平，专业这个

因素有2个水平 (称为 3 X 2 组间设计).

ANOVA的逻辑

●与假设检验的逻辑是同样的, 只是具体内容有变化

step 1: 陈述 H0 (和H1 ??) ，确定标准: α = ?

step 2: ANOVA 检验总是单尾

step 3: 指出检验的df (有两个 df)

step 4: 查表找出临界 F统计量

step 5: 对于样本，计算 F统计量

step 6: 比较 F统计量和临界 F统计量

step 7: 对于H0 作出结论

单因素, 独立测量研究设计的例子

●检验三个不同的学习方法的效应。将学生随机分配到3个处理组

●方法 A：让学生只读课本, 不去上课.

●方法 B：上课,记笔记，不读课本.

●方法 C：不读课本，不去上课, 只看别人的笔记

●Step 1: 陈述假设和设定标准 (选择 a)

H0: μ1 = μ2 = μ3

H1: 其中一个组与另一个（或更多）的组均值不同。备择假设可能的形式很多：

μ1不等于μ2 = μ3

μ 1 = μ3 不等于μ2

μ 1 = μ2 不等于μ3

μ 1 不等于μ2 不等于μ3

因此，只需给出虚无假设就够了

●step 2: ANOVA 检验总是单尾. 因为不存在负的方差. F分布表也只有单侧的Alpha.

（F分布图）

●step 3: 找出检验的 df. 注意要考虑几个 df

●step 4: 从表找出临界 F统计量

与 t分布表类似, F分布表也是描述一族 F分布.

需要用到两个df,用一个找出正确的行另一个找出正确的列.上面一行对应于α= 0.05, 下面一行对应于α= 0.01.

●step 5: 计算样本的F统计量观测值

概念的水平的讨论：

ANOVA 非常类似两个独立样本的 t检验

tobs = 得到的样本均值间差异

期望的机会差异

对于 ANOVA检验统计量 (称为 F比率) 类似

F = 样本均值间方差 (差异)

期望的机会(误差)方差(差异)

为什么用方差?

●

●因为有多于两个组.

●如何计算一个分数来描述差异间分布? 差异不能够分割, 但是方差能够分割。这就

是ANOVA -方差分析名字的由来.

●首先考虑方差的来源.

●什么造成样本的不同(处理间变异) ？

●处理/组效应 - 处理造成的差异

●个体差异效应 - 个体差异变异

●随机误差

●每一个样本内部的变异 (处理内变异)

●个体差异效应

●随机误差

F比率可以表达为:

●F比率 =样本均值间的方差 (差异)

●期望的机会 (误差)方差(差异)

●F比率 =处理间方差

●处理内方差

●F比率 = 处理效应 + 个体差异 + 随机误差

●个体差异 + 随机误差

●注意: 有时分母叫做误差部分，其量度了由于机会造成的方差

●

如果 H0 为真,处理效应的值应该如何?

●H0: μ1 = μ2 = μ3

●如果没有差异, 效应方差 = 0

如果效应方差 = 0, F比率值?

●F比率 = 0 + 个体差异 + 随机误差 = 1.0 个体差异 + 随机

误差

●如果 H0 为假， F比率应该大于 1.

●step 6: 比较 F统计量的观测值与临界 F统计量

●如果 F统计量的观测值 (Fobs) 在统计上显著地大于 1.0 则拒绝 H0

ANOVA的专用符号

●K = 处理条件(或组)的数目

●n = 每一个组的数目(如果它们相等)

ni = 第i组的数目(如果它们不等)

N = ∑ni = 总的样本容量

Ti = ∑Xij

●G = ∑Xij =总的和

G-bar = G / N = 总的均值

●SSi = 每一个组的和方 = ∑(Xij - Xi)2

●在上例中：

●∑X2 = 106

G = 30 = 总的和

N = 15 = 总的样本容量

G-bar = 30/15 = 2 = 总的均值

K = 3 =处理条件 (或组) 的数目

●

ANOVA的过程和例题

●F比率 = 处理间方差

●处理内方差

●需要找出两个方差.

●最基本公式s2 = SS/df.

●SS和 = ∑X2 - (G2/N)

●SS和 = 106 - (302/15) =106 - 60 = 46

●需要将其分解为组间变异和组内变异.

●SS和 = SS组间 + SS组内

●如何得到SS组内? 将每一个组SS相加

●SSwithin = ∑SS每一个处理内部 = ∑SSi

●= 6 + 6 + 4 = 16

如何得到SS组间?

●快捷的方法是:

●SS和- SS组内

●若数据足够，不推荐用这种方法,因为:

●无法检查计算错误

●未涉及SS组间是如何组成.

直接计算 SS组间的两个公式 :定义公式和计算公式

●SS和 = SS组间 + SS组内 = 16 + 30 = 46

●s2 = SS/df.

●已计算出SS, 找出 df:

●共有两个 (或三个) 自由度, 一个组间方差df,一个组内方差df (以及一个总的 df).

●df和 = N - 1

●df组内 = = N - K

●df组间= K - 1

●df和 = df组内 + df组间

●在例子中:

●df组内 = 15 - 3 = 12

●df组间= 3 - 1 = 2

●df和 = 15 - 1 = 14, = 12 + 2

●现在计算方差. 这里称为均方.

●方差 = 均方 = MS = SS/df

●MS组间= SS组间/df组内

●--> 上例中 = 30/2 = 15

●注意: 有时 MS组间称为误差的均方.

●MS组内 = MS误差 =误差的均方 = SS组内/df组内

●--> 上例中 = 16/12 = 1.33

●F比率 = 处理间方差 = MS组间

●处理内方差 MSw组间

●上例中的F比率是: 15/1.33 = 11.28

方差分析表

查 F表确定 Fcrit

●查 F表确定 Fcrit 对假设作出结论

●df组间 = 分子的df

df组内 = 分母的df (误差)

●--> 上例中:

●df组内 = 12; df组间 = 2

●如果选择 a = .05, Fcrit = 3.88

如果选择 a = .01, Fcrit = 6.93

●F比率的观测值11.28大于 Fcrit., 所以拒绝 H0 (m1 = m2 = m3).

●报告结果

●F(df组间,df组内) = Fobs, p < ?

●"单因素方差分析发现学习方法有显著的效应, F(2,12) = 11.28, p < 0.01.

事后检验（Post hoc tests）

● ANOVA 的结果是检验H0: μ1 = μ2 = μ3 ,这是一个两点 (拒绝/不拒绝) 决策. 并

未提供哪个备择假设得到支持. 也就是说, 只知道一些组与其它组不同, 但并知道差别在哪些组之间.

●所以从ANOVA得到显著差异的结果 (拒绝H0)后,一定要做作事后检验. 事后检验

使我们能够比较各组, 发现差异产生在什么地方.

●事后检验就是比较每一个处理组与另一个处理组, 一次比较两个. 这称为成对比较.

在上例中, 可以比较μ1 与μ2, μ 1与μ3, 以及μ2与μ3.

●这样的做法有没有问题？

●每一个比较都是一个单独的假设检验, 每一个都有犯I类错误的风险. 所以,比较对

数越多, 作结论的风险越大。即容易发现实际不存在的差异。这称为实验导致的

（experimentwise）alpha 水平 (或族系（familywise）误差)

αEW = 1 - (1 - a)c c = 比较对数

对于上述例子, 如果选择 a = 0.05 作3 对比较

αEW = 1 - (1 - a)c = 1 - (.95)3 = 1 - .857 = .143

●I类错误的机会增加到14.7%而不再是5%，多数事后检验设计中都控制了实验导致

误差.

●这里介绍两个事后检验: Tukey's HSD 检验 (honestly差异显著性) 检验和 Scheff 检验. Tukey's HSD 检验

●可以计算出单一的值确定处理均值间的最小差异，考查此差异在统计上是否显著.

●此检验要求各组有相等的样本容量.

●HSD = q * sqrt（MS组内/n）

●q 值可以从表中查出(附表6). 需要用到K和 df组内, 以及αEW

●在上例中 (用αEW = .05):

●HSD = q * sqrt（MS组内/n）=(3.77) sqrt（1.33/5） = (3.77)(.516) = 1.94

●比较 1: H0: μ1 = μ 2

● 2 -1 = 4.0 - 1.0 = 3.0

●HSD = 1.94 < 3.0，拒绝 H0

●比较 2: H0: μ1 = μ 3

● 3 -1 = 1.0 - 1.0 = 0.0

●HSD = 1.94 > 0.0，不能拒绝 H0

●比较 3: H0: μ2 = μ 3

● 2 -3 = 4.0 - 1.0 = 3.0

●HSD = 1.94 < 3.0，拒绝 H0

●所以 B 与 A 和 C不同，而A 与 C 没有差异

Scheffe检验

●用F比率检验差异. 这是最保守的检验 (降低 I类错误的风险, 但增加II类错误的

风险). 特别适用于n 不等的情况

●重新计算 MS组间, 每次只检验一个比较.注意:用整体的 df组间和整体的MS组内

●比较 1:

H0: μ1 = μ 2

SS组间 == 52/5+202/5-252/10 = 22.5

MS组间 = = 22.5/2 = 11.25

MS组内 = = 16/12 = 1.33

F比率 = MS间 = 11.25/1.33 = 8.46 MS组内

查 F表. a = .05, Fcrit(2,12) = 3.88

8.46 > 3.88, 拒绝 H0

●比较 2:

H0: μ 1 = μ 3

SS组间== + - = 0

MS组间 = = 0/2 = 0

MS组内 = = 16/12 = 1.33

F比率 = MS间 = 0/1.33 = 0 MS组内

查 F表. a = .05, Fcrit(2,12) = 3.88

0 < 3.88, 不能拒绝 H0

●比较 3:

H0: μ2 = μ3

SS组间 ==52/5+202/5-252/10 = 22.5

MS组间 = = 22.5/2 = 11.25

MS组内 = = 16/12 = 1.33

F比率 = MS间 /MS组内 = 11.25/1.33 = 8.46

查 F表. a = .05, Fcrit(2,12) = 3.88

8.46 > 3.88, 拒绝 H0

方差分析与t-检验的关系

●差异间独立样本 t-检验与两个水平的单因素组间 ANOVA有和区别?

●没有. F比率 = t2

●差异间t-检验和 ANOVA, t-检验是考察两个均值间的差异ANOVA 是考察方差. 如

果只有两个组, t 统计量的平方就是F 统计量.

方差分析的前提

●每个样本内的观察都是独立的

●样本所来自的总体为正态分布

●样本所来自的总体有相等的方差（方差一致性）

●一位研究者报告3*2的方差分析中，对其中一个因素主效应F检验的结果是F

（2，24）=5.92。根据此结果可知研究中有_____个被试。

二重复测量的方差分析

思考下面的实验设计

?比较患有恐怖症的病人在治疗前、治疗后1周、治疗后1个月、治疗后1年的状况。

?研究儿童1岁到3岁的记忆能力发展状况。

用方差分析解决多次重复测量的问题

●两次以上的重复测量若是用t检验则一类错误的风险累加

●方差分析对多次检验只用一个F比率,降低了一类风险。

重复测量与独立测量的区别

?重复测量实验中始终用同一个样本，而独立测量是有几个处理用几个样本，肯定不等于一。

?重复测量消除了处理间个体差异

?重复测量的优点

?节省被试，降低研究成本

?重复测量的缺点

?前一种处理会影响后一种处理

?疲劳

重复测量方差分析的主要任务

?因为不存在了处理间的个体差异，那么应该在处理内也需要人为的去除个体间差异

重复测量方差分析之原理

?因为最终是用F比率判断效果所以我们从F的分子与分母出发

?分子：处理间方差分为：处理效果 +随机误差—处理间方差可以由处理效果引起，随机误差引起。但绝不肯能由个体间差异引起。

?分母：随机尺度内方差。因为个体差异在分子中已经被自动消除，所以必须在分母中消除这个差异

重复测量的公式推导与符号

?分子：处理间方差的推导与独立测量分子完全相同。

?分母: 处理内方差减去个体间方差叫做剩余方差（residual variance\error variance）?与独立测量方差分析的符号基本相同，只有一个新符号P

?P:每个个体的处理间分数和

?T纵向的，P是横向的。

重复测量方差分析假设检验的步骤

?STEP1 确定假设，确定α值

?虚无假设H0：μ1=μ2=μ3

?备择假设H1：至少有一个处理的均值不同于其它

?STEP2计算自由度，确定临界值

?dfbetween treatment=k-1

?Dferror=(N-k)-(n-1)

?STEP3计算各个统计量为F比率的计算做准备：最好列张表

例题

?

?∑X2 = 140

G = 36

?K = 3， n=4， N=12

?第1阶段：SS和 = SS组间 + SS组内

?SS和 = ∑X2 - (G2/N)

?SS和 = 140 - (362/12) =140 - 108 = 32

?需要将其分解为组间变异和组内变异.

?SS组间 = S(T2/ni) - G2/N

?= 82/4 + 202/4 + 182/4–108 = 14

?SS组内 = ∑SS每一个处理内部 = ∑SSi = 2 + 5 + 11 = 18

?第2阶段：

?SS组内 = SS被试间 + SS误差

?SS被试间= S(P2/k) - G2/N

?= 122/3 + 62/3 + 62/3 + 122/3–108 = 12

?SS误差 = SS组内-SS被试间= 18-12=6

计算均方和F值

?均方和F值的计算.

?MS = SS/df

?MS组间= SS组间/df组间

?--> 上例中 = 14/2 = 7

?MS误差 = SS误差/df误差

?--> 上例中 = 6/6 = 1

?F比率 = 处理间方差

误差方差

做结论

?查 F表确定 Fcrit 对假设作出结论

?df组间 = 分子的df

df组内 = 分母的df (误差)

?--> 上例中:

?df误差 = 6; df组间 = 3

?假设中选择 a = .05, Fcrit = 4.76

（如果选择 a = .01, Fcrit = 9.78）

?F比率的观测值6大于 F.05., 所以拒绝 H0

?报告结果

?F(df组间,df误差) = Fobs, p < ?

?各练习次数的均值和标准差列在表1中。重复测量的方差分析发现练习次

数有显著的效应, F(2,6) = 6, p < 0.05.

重复测量的事后检验

?Tukey’HSD和Scheffe检验都还和以往独立测量的相同，只是这里把公式中的MSwithin换成MSerror,查表时也是把dfwithin换成dfrror。

练习题

总结

?重复测量方差分析可以被看成两个分两个步骤的分析。第一个步骤和独立的方差分析相同，将总体的方差分为两部分：处理间的和处理内的。由于在各个处理条件下用的是同一组被试，所以处理间的成分不包含被试的差异。然而处理内的成分包含个体差异，为了得到实验误差，在第二个步骤中必需将个体差异去掉。

?F= 处理间方差（不包含个体差异）

实验误差（排除了个体差异）

?和方的计算

?SS误差和df误差的计算

?自由度的计算

?事后检验

?重复测量的方差分析和独立测量的方差分析的比较

三二因素方差分析

previw

?一个社会心理学的实验设计

?自变量1：信息发布者的吸引力

?自变量2：沟通的呈现方式

?因变量：态度改变的大小

overview

?方差分析

?单因素研究设计

?因素设计

?本章所涉及的因素设计

?二因素

?独立测量

?每组被试数相同

例子：研究工人的工作效率

?二因素方差分析的目的

?湿度的两个水平上的平均数差异

?温度的三个水平上的平均数差异

?特定的温度和特定的湿度的组合造成的平均数的差异

?原理

?在一次分析中包含三个不同的假设检验

?这三个假设检验有不同的F比率

?F= variance (differences) between sample means

variance (differences) expected by chance

主效应

?前面的例子：2X3的因素设计

?主效应：

?因素a:湿度．两个水平之间的平均数差异

?因素b：温度．三个水平的平均数之间的差异

交互作用的定义

?在每个某个因素的某个水平下平均数的差异不能被该因素总体的平均数差异所预测．

?当一个因素的效应的大小依赖于另一个因素的不同水平，那么就存在交互作用．交互作用的图解

因素a与因素b不存在交互作用（１）

因素a与因素b不存在交互作用（２）

因素a与因素b存在交互作用

实际研究的例子

紧张状况对完成任务效果的影响

?紧张状况：弱中等强

?任务类型：简单复杂

作图在二因素方差分析中的作用

?如何做图

?一个因素用横坐标表示

?另一个直接在线上进行标定

?可以大致判断一下是否存在交互作用

?两条线是否平行？

?每个因素的是否存在主效应

?横作标上的因素：线是否水平

?标的因素：两条线的重合度

虚无假设

?因素A的主效应

H0:μA1=μA2

?因素B的主效应

H0:μB1=μB2= μB3

?交互作用

H0:因素A和因素B之间没有交互作用。所有处理条件之间的差异能用两个因素的主效应解释。

和方的第二阶段分解

?和方的第一阶段分解:

?总和方=处理间和方 + 处理内和方

?和方的第二阶段分解：

?处理间和方

?= A的主效应+ B的主效应+AXB交互作用

?三个F比率可以表达为:

?误差方差

? F AXB= AXB交互作用

误差方差

方差分析表

如何作假设检验

?先考察交互作用

?如果交互作用显著, 主效应就难于解释

?然后考察主效应

?一定要作图以直观表示结果

因素设计ANOVA的符号

? a：A 因素的水平数

?b：B 因素的水平数

?A1B2：在单位格A1B2中分数的和

?A1：在所有A1处理中分数的和

例题

?例：根据心理学原理，测验条件与学习条件一致时，学习效果最好。以下数据是否显示了教室与考场大小对测验成绩有无显著差异

虚无假设

?教室大小对成绩没有显著影响

?Ho：μ a1=μa 2 ； H1：μ a1≠μa 2

?考场大小对成绩没有显著影响

?Ho：μ b1=μb 2 ； H1：μ b1≠μb 2

?考场大小对成绩的影响不因教室大小而不同

?三者均以 = .05 为标准

自由度

?dfa=a-1=2-1=1

?dfb=b-1=2-1=1

?dfaxb =(a-1)(b-1)= (2-1)(2-1)=1

?Df 处理内=N-ab = 20-2*2=16

?Fcrit A= Fcrit B =Fcrit AXB=4.49

?方差分析准备

?计算各组的统计量，G和ΣX2

?和方分解第一阶段

?SS总和 =

?SS处理间= ΣAB2/n –G2/N

?SS处理内=

?和方分解第二阶段

?SSA=ΣA2/bn –G2/N

?SSB=ΣB2/an –G2/N

?SSAxB= SS处理间–SSA –SSB

方差分析表

结论

? A 因素：F（1，16）=.55， p>.05

? A 因素主效应不显著

? B 因素：F（1，16）=.55， p>.05

? B 因素主效应不显著

?交互作用： F（1，16）=92.60， p <.05

?考场大小对成绩的影响因教室大小而不同:

?当考场大小与教室大小匹配时，考试成绩较高

?当考场大小与教室大小不匹配时，考试成绩较低

按序的交互作用

?两个自变量效应的方向一致, 但差别的大小不同

非按序的交互作用

?一个自变量所引起的差别在另一个自变量的不同水平上不同?有时称为交叉式交互作用

交互作用及其解释

?交互作用对于研究结果的解释至关重要

?离开了对交互作用的了解，主效应的解释非常不同

?将几个因素的信息平均是非常危险的

?Simpson’s paradox

?平均的效应可能与各组内的情况完全不同

更复杂的研究设计

? 4 x 2: 第一个因素有4个水平, 第二个因素有2个水平

? 2 x 2 x 2: 有3个因素，每个因素有两个水平

?高次的交互作用使解释变得困难

?解释2 x 2 x 2的交互作用

天花板和地板效应

?地板效应–被试的分数不能再低

?天花板效应–被试的分数不能再高

?天花板效应和交互作用 (地板效应情况类似)

?一个组的被试达到天花板。而另一组尚未达到

?得到统计上的交互作用

?这种情况中，交互作用并不反映实际情况

练习题

?检查记忆的方法通常有两种，再认和回忆。一般说，幼儿的回忆能力很差，随着年龄增长而提高。而再认能力在各年龄段儿童差不多。在下列6种条件中各有10个

儿童，因变量是每个儿童正确记忆的数目。用ANOVA 以α = .05的标准作假设检验

?下列数据是说明某种药物对雄性和雌性大鼠饮食行为的影响。药物的剂量分3 种，无，小剂量和大剂量。因变量是24小时内摄取的食物单位。用ANOVA 以α = .05的标准作假设检验，并用论文格式报告结果

回顾

?前提

?主效应

?交互作用

?如何做图

?和方的分解

作业

1.下列方差分析表总结了四种条件下的实验结果。在每种实验条件中包含n=10的样

本，填充表的值。

来源SS df MS

处理间15.0 F=5.00

处理内108 3.0

总和153 39

解：df组间＝3，df组内＝36， SS组间＝45。则简易计算可得。

2.以下实验数据是2岁、6岁和10岁儿童瞬时记忆的结果。用α=.05的标准来检验年

龄组间平均数的差异。

2岁n=20 X=2.1 s=1.3

6岁n=20 X=4.3 s=1.5

10岁n=20 X=6.9 s=1.8

解：

来源SS df MS

处理间230.93 2 115.45 F=48.30

处理内136.4257 2.39

总和267.35 59

H0: m1 = m2 = m3 =m4

Gbar＝（X1＋X2＋X3）/3＝4.43

SS组间＝20*((2.1-4.43)^2+(4.3-4.43)^2+(6.9-4.43)^2)=230.93

SS组内＝SS1+SS2+SS3=s1^2*df1+s2^2*df2+s3^2*df3=136.42

查表得F(2,57) = 3.15，拒绝H0

3.一位研究者考察身体吸引力对人们对人知觉和判断的影响。将应聘者分为3组：高

吸引力组、中等吸引力组和低吸引力组，每组n=12。以下分数是人事经理对三组被试的整体评价。

a)计算三组的均值并画图表示

b)在α=.05的水平上确定3组间有无差异。

解：X1=4.5，X2=5.92，X3=2.33

G =153

N = 36

G-bar = 153/36 = 4.25

K = 3

计算SS1= 23,SS2= 24.92,S3= 12.67

SS组间＝12*((4.5-4.25)^2+(5.92-4.25)^2+(2.33-4.25)^2)=78.45

SS组内＝SS1+SS2+SS3= 60.58

来源SS df MS

处理间78.45 2 39.23 F=21.32

处理内60.5833 1.84

总和139.03 35

查表得F(2,33) = 3.28，拒绝H0

作业11

1.以下是三种不同处理的实验比较数据：

处理

A B C

0 1 2

2 5 5

1 2 6

5 4 9

a

论，不同处理有显著差异？

解：H0: m1 = m2 = m3 =m4

SS1＝14，SS2＝30，SS3＝30；SSwithin＝74

X1＝2，X2＝4，X3＝6

Gbar＝4，SSbetween＝40

dfwithin＝12，dfbetween＝2

来源SS df MS

处理间40 2 20 F=3.24

处理内7412 6.17

总和114 14

查表，F(2,12)＝3.88，在.05的alpha水平上，接受H0。

b、如果实验采用重复测量设计，在.05的alpha水平上，研究者能否得出结

论，不同处理有显著差异？

解：H0: m1 = m2 = m3 =m4

SS1＝14，SS2＝30，SS3＝30；SSwithin＝74

X1＝2，X2＝4，X3＝6

Gbar＝4，SSbetween＝40

dfwithin＝12，dfbetween＝2

P1=3,P2=12,P3=9,P4=18,P5=18

SS被试间＝294－G*Gbar＝44

SS误差＝SSwithin－SS被试间＝30

来源SS df MS

处理间40 2 20 F=5.33

误差308 3.75