《线性代数》电子教程之十四(矩阵对角化)

令
1
P (1,2 ) 1
11,
则
P
1
1 2
11
11, 且
P 1 AP 1
3, 即 A PP 1n .
An ( PP 1 )n
Pn P 1
11
11 1
3
n
1 2
1 1
11
1 2
1 1
11 1
1 3n 1
11
1 2
1 1
3n 3n
1 1
1 1
0 0
r
1 0
0 1
0 0
1 0 0 0 0 0
0
得基础解系
p1 0,
1
所以对应于1 2 的全部特征向量为 kp1(k 0).
17
当 2 3 1 时，解齐次方程 ( A E)x 0，
2
A E 4
1 2
0 0
r
1 0
0 1
1 2
1 0 1 0 0 0
3n 3n
.
32
说明
➢此例体现了方阵对角化的作用，如前面所述. ➢将此例与第二章中的有关的例题相比较，后者给
出关系式 AP P、矩阵 A和 ，也就是给出条 件① A可对角化；② A的相似对加阵 ；③相似变 换矩阵P . 前者则更具有理论性和实践性: 已知 A， 通过计算 和 P，求 An. 因此尽管两者都是求 A的
7
主要内容 特
征 ❖特征值与特征向量的概念、求法；
值 与
❖特征值与特征向量的性质. ❖矩阵对角化的方法和充要条件
特 征
基本要求
向 ❖理解矩阵的特征值与特征向量的概念， 量 了解其性质，并掌握其求法.
❖矩阵对角化的方法和充要条件
8
方 一、特征值与特征向量的概念
阵 的 特
定义 设 A是 n 阶矩阵，如果数和 n 维非零列向
特征值. 在复数范围内 n 阶矩阵有 n个特征值(重
根按重数计算).
⑵ 设 是方阵 A的一个特征值，则齐次方程
( A E)x 0
的全体非零解就是 A的对应于特征值 的全部特
征向量；齐次方程 (A E)x 0的基础解系就是
对应于特征值 的全体特征向量的最大无关组.
12
例1
求矩阵
A
3 1
31 的特征值和特征向量.
1. 特征值的性质
⑴ 设n 阶矩阵A 的n 个(在复数范围内)特征值为
1 , 2 , , n , 则
① 1 2 n a11 a22 ann ; ( A的迹trA )
② 12 n A .
证明 举例
⑵ 若是A的特征值，且
的特征值.
A
0
，则
1
是矩阵A1
证明 举例
35
特 征
⑶ 若 是A 的特征值，则 k是矩阵Ak (k N ) 的
从而求得.
➢矩阵 A能否对角化，取决于它的线性无关特征 向量的个数，而与 A的秩，A的行列式都无关.
26
例2
设
A
3 1
42, 试问 A能否对角化？
若能，找出一个相似变换矩阵P 将 A化为对角阵.
解 析：这是前面提到的一个例题. 现在再讲，目
的是为了熟悉找相似变换矩阵的方法.
先求 A的特征值，
3 A E
n 阶矩阵A可对角化 A 有n 个线性无关特征向量.
由此可推得另一个充要条件：
对
A
的每个不同的特征值
i，
的重数
i
=对应于i 的线性无关特征向量的个数
n R( A i E).
24
0 1 1
A E 1 1 x (1 ) 1
1 0 ( 1)2 ( 1)
所以的特征值为 1(二重)，1. 对应于单根 1，可求得线性无关的特征向量1个； 对应于二重特征值 1，若 A能对角化，则
可逆矩阵P 称为把 A变成 B 的相似变换矩阵.
4
三、方阵可对角化的充要条件
1. 方阵对角化的概念
对n 阶矩阵 A，寻找相似变换矩阵 P ，使
P 1 AP (为对角阵)
这就称为把方阵A 对角化.
说明
如果能找到可逆矩阵P ，使 P 1 AP ，则 A可对角化；如果找不到这样可逆矩阵P ，则 A
与对角阵相似.
说明
当 A 的特征方程有重根时，不一定有 n个线性无
关的特征向量，从而不一定能对角化； 但是，有 重根时，也有可能能对角化. 所以
特征值互不相等只是 A与对角阵相似的充分条件.
23
例1 设 0 0 1
A 1 1 x, 1 0 0
问 x 为何值时，矩阵能对角化？
解 析：此例是定理4的应用. 定理4表明：
《线 性 代 数》
电子教案之十四
1
主要内容 方 阵 ❖相似矩阵的概念和性质； 的 ❖方阵与对角阵相似的条件； 对 角 化 基本要求
❖了解相似矩阵的概念和性质，了解方阵可相似 对角化的充要条件.
2
第 一、相似矩阵的概念
三 1. 概念的引入
节 相
已知矩阵
A
3 1
42 ,求 A11 .
似 矩
我们可以找到一个可逆矩阵
不可对角化.
5
2. 引入
设有可逆矩阵 P，使 P 1 AP 为对角阵. 下面 回答 P 能否由 A确定.
P1 AP
AP P
A( p1, p2 , , pn ) ( p1, p2 , , pn )
1
A( p1,
p2 ,
,
pn )
(
p1 ,
p2 ,
,
pn
)
2
n
6
( Ap1, Ap2 , , Apn ) (1 p1, 2 p2 , , 2 pn ) Ap j j p j ( j 1,2, , n).
1 0 2
的特征值和特征向量.
解 A的特征多项式
1 1 0
A E 4
3
1 0 (2 )
1
4 3
1 0 2
(2 )(2 2 1) (2 )( 1)2
所以 A的特征值为 1 2, 2 3 1. 16
当 1 2时，解齐次方程 (A 2E)x 0 ，
3
A 2E 4
所以对应于 1 2 的全部特征向量为 kp1(k 0).
14
当 2 4时，对应的特征向量应满足
34 1
1 34
x1 x2
00
即
x1 x1
x2 x2
0, 0.
解得 x1
x2 , 得基础解系
p2
11,
所以对应于 2 4 的全部特征向量为 kp2(k 0).
15
例2 求矩阵
1 1 0 A 4 3 0
4 ( 1)( 2)
1 2
所以 A的特征值为 1 1, 1 2.
再求特征向量，
27
当 1 1时，对应的特征向量满足
4 1
41
x1 x2
0 0
解之，得基础解系 p1 11,
所以对应于1 1 的线性无关的特征向量可取为p1;
当 2 2 时，对应的特征向量满足
1 1
4 4
x1 x2
0 0
于2重特征值 2 3 1 仅有一个线性无关特征向 量；在例3中，对应于2重特征值 2 3 2有两个
线性无关特征向量.
22
3. 方阵可对角化的充要条件
定理4 n 阶矩阵 A与对角阵相似(即A 能对角化) 的充要条件是 A有 n 个线性无关的特征向量.
推论 若n阶矩阵 A的n个特征值互不相等，则 A
⑵ 求特征向量；
⑶ 若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶
数，则相似变换矩阵存在(否则不存在)，由线性 无关的特征向量构成的矩阵就是所求.
29
例4
设
A
2 1
21 ，求 An .
解 析：此例的目的是掌握利用矩阵对角化理论 计算方阵的幂及多项式.
⑴ 求 A的特征值，
由
2 A E
1 ( 1)( 3),
▪以 为未知数的一元 n 次方程
A E 0
称为方阵A 的特征方程.
▪以 为变元的 n次多项式 A E ，即
a11 a12 a1n
f ( ) A E a21 a22 a2n
an1 an2 ann
称为方阵A 的特征多项式.
11
2. 结论
⑴ 矩阵 A的特征方程 A E 0的根就是 A的
量 x 使关系式
征
Ax x
值 与 特
成立， 那么这样的数 称为方阵 A 的特征值；非
零向量x 称为方阵 A的对应于特征值 的特征向量.
征 注意：
向 量
➢关系式 Ax x是特征值与特征向量满足的条
件式，由此可知 A必须为方阵.
➢零向量显然满足关系式 Ax x，但零向量不
是特征向量. 特征向量是非零向量.
值 特征值.
证明
的
一般地，若 是A 的特征值，且
性
( ) amm a22 a1 a0 ,
质 则 ( ) 是矩阵 ( A) am Am a2 A2 a1A a0E 的特征值.
说明
如果 A 0，则上述结论中的幂指数可取任意实数.
⑷ 若 是 A 的特征值，且 0 ，则 A 是A 的
P
1 1
4 1
，使
阵
P 1 AP
1 0
02
A PP1 ——相似矩阵
A11
P11P 1
2731 683
2763824
3
2. 相似矩阵的概念
定义 设 A, B都是阶矩阵，若有可逆矩阵 P，使 P 1 AP B,
则称 B是A 的相似矩阵， 或称矩阵 A与 B相似. 对 A进行运算P 1 AP 称为对 A进行相似变换，