第二十讲 矩阵的对角化
§7.52020线性变换的对角化
把（7.5.2）减去（7.5.3）得：
k1(λ1 − λm )ξ1 + k2 (λ2 − λm )ξ2 + " + km−1(λm−1 − λm )ξm−1 = 0 由假设知，ξ1,ξ2 ,",ξm−1 线性无关，故得
⎞ ⎟ ⎟
=
⎛ ⎜ ⎜
0 0
⎞ ⎟ ⎟
,
⎝⎜ −3 −6 −3⎠⎟ ⎝⎜ x3 ⎠⎟ ⎝⎜ 0⎠⎟
其基础解系为
⎛1⎞
η3
=
⎜ ⎜
−2
⎟ ⎟
⎜⎝ 3 ⎟⎠
⎛ −2 1 1 ⎞
⎛2 0 0 ⎞
故A可对角化，令
T
=
⎜ ⎜⎜⎝
1 0
0 1
−2 3
⎟ ⎟⎟⎠
,
则
T ′AT
=
⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2 0
0 −4
⎟ ⎟⎟⎠
ki (λi − λm ) = 0, i = 1, 2,", m − 1 。 又由于 λi ≠ λm , i = 1, 2,", m − 1, 故得 ki = 0, i = 1, 2,", m − 1 代入（7.5.1）得 kmξm = 0, 又 ξm ≠ 0, 故 km = 0 。
因此 ξ1,ξ2 ,",ξm 线性无关。
结论（1） 若 dimV = t1 + t2 + " + ts , 则 σ 可对角化； （2）若 t1 + t2 +" + ts < dimV , 则 σ 不可对角化。
对角化原理
对角化原理
对角化原理是线性代数中的一个重要概念，它涉及到将一个矩阵转换为对角矩阵的过程。
通过对角化，我们能够将一个复杂的矩阵问题简化，从而更容易地解决相关问题。
对角化原理的基本思想是将一个矩阵相似于一个对角矩阵。
对角矩阵是一个除了主对角线上的元素外，其他元素都为零的矩阵。
通过对角化，我们可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的特征向量和对应的特征值。
为了将对角化原理应用于实际问题，我们需要找到一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是一个对角矩阵。
这个过程称为矩阵的对角化。
如果存在这样的可逆矩阵P，那么称矩阵A是可对角化的。
矩阵可对角化的条件是其所有特征值都是非零的，且每个特征值对应一个线性无关的特征向量。
如果这些条件满足，则存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP是对角矩阵。
对角化原理的应用非常广泛，包括数值分析、信号处理、图像处理、控制系统等领域。
例如，在信号处理中，对角化可以用于将信号分解为一组正交的基函数，从而更好地理解和分析信号的特性。
在控制系统理论中，对角化可以用于分析系统的稳定性和性能。
总之，对角化原理是一种重要的数学工具，它可以简化复杂矩阵问题，并将其分解为一组简单的特征向量和特征值。
通过将对角化原理应用于实际问题，我们可以更好地理解和分析相关问题的特性，从而为实际应用提供更好的解决方案。
矩阵的对角化
Λ
0
1
0
，则有
A PΛP1
0 0 0
1 1 0
从而
An
(PΛP 1)n
PΛn P 1
2
2
0
4 2 1
23
(3) f ( A) A3 3A2 A 2I Pf ( Λ)P1
f (1)
Hale Waihona Puke P
22
(2) 解方程组 (I A)x 0 ，得对应于 1 的2个 线性无关的特征向量 p1 (1, 2, 0)T , p2 (0, 0,1)T
解方程组 (0I A)x 0 ，得对应于 0
的1个线性无关的特征向量 p3 (1,1, 2)T
1 0 0
令
P ( p1, p2 , p3 )及
(3) 非零的实反对称矩阵不可能相似于实对角矩阵.
幂等矩阵
定义
设 A 为 n 阶方阵, 若满足 A2 A 则称 A 为幂等矩阵.
性质
(1) 幂等矩阵的特征值为0或1.
(2)
幂等矩阵一定相似于形如
Ir
0
0 0
的对称阵.
幂零矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵, 若满足 Am 0 (ｍ为正整数），则称
*
2
L
M M L
*
*L
n
则 1, 2 ,L , n
是A的全部特征值。
4
3.2.2 矩阵的对角化 定理3.6 n 阶矩阵A能相似于对角矩阵的充
分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。 充分性 设方阵A的n个线性无关的特征向量
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
矩阵对角化
引言在高等代数中，我们为了方便线性方程组的运算引入了矩阵的概念. 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵反应出线性方程组的一些重要性质，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程.除线性方程组之外，在二次型中我们用矩阵研究二次型的性质，引入了矩阵合同、正定、负定、半正定、半负定等概念及其判别方法.在线性空间中用矩阵研究线性变换的性质，引入矩阵相似的概念，这是一种等价关系，利用它我们把矩阵分类，其中与对角矩阵相似的矩阵引起的我们的注意，由此我们对线性变换归类，利用简单的矩阵研究复杂的，方便我们看待问题，进而又引入对角型矩阵、λ矩阵及若尔当标准型.基本概念定义定义1 常以n m P ⨯表示数域P 上n m ⨯矩阵的全体，用E 表示单位矩阵.定义2 n 阶方阵A 与B 是相似的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异的方阵矩阵T n n P ⨯∈，使得AT T B 1−=或者BT T A 1−=.根据定义我们容易知道相似为矩阵间的一个等价关系：①反身性：AE E A 1−=； ②对称性：若A 相似于B ，则B 相似于A ； ③传递性：如果A 相似于B ，B 相似于C ，那么A 相似于C . 定义3 n 阶方阵A 与B 是合同的，如果我们可以找到一个n 阶非奇异方阵T n n P ⨯∈，使得B =T T AT 或者BT T A T =.根据定义我们容易知道合同也为矩阵间的一个等价联系：①反身性：A =AE E T ；②对称性：由AT T B T =即有11)(−−=BT T A T ；③传递性：由111AT T A T=和2122T A T A T =有)()(21212T T A T T A T =.定义4 式为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯m b b b 000000021的m 阶方阵叫对角矩阵，这里i b 是数（),2,1m i ⋯⋯=. 定义5 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A 1−=，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可相似对角化. 定义6 方阵A n n P ⨯∈，若BT T A T =，T 非奇异，B 是对角阵，则称A 可合同对角化.定义7 矩阵的初等变换：⑴互换矩阵的第i 行(列)于j 行(列)； ⑵用非零数c P ∈乘以矩阵第i 行(列)；⑶把矩阵第j 行的t 倍加到第i 行.定义 8 由单位矩阵经过一次初等行(列)变换所得的矩阵称为初等矩阵. 共有三种初等矩阵：①单位矩阵经过初等变换⑴得),(j i P 且),(),(1j i P j i P =−；②单位矩阵经过初等变换⑵得))((t i P 且)/1(())((1t i P t i P =−；③单位矩阵经过初等变换⑶得))(,(t j i P 且))(,())(,(1t j i P t j i P −=− 定义9 设方阵n n P B ⨯∈，若E B =2，就称B 为对合矩阵。
线性代数—实对称矩阵的对角化
T
9
1 − 1 4 例4 将向量组 α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = − 1 − 1 1 0 标准正交化. 标准正交化. 解 β1 = α1 , − 1 1 − 1 − 1 4 5 (α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1 = 3 − 2 = 1 , β2 = 1 , ′ ( β1 , β1 ) 1 6 − 1 3 1 1 ′ (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) ′ β3 = α3 − β1 − β2 ′ ′ ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
6 1 4 1 − 1 2 − 5 1 ′ = − 1 − 2 − 1 = 0 , β3 = 0 , 1 0 6 − 1 3 1 3 6
10
1 − 1 1 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 0 , ′ ′ − 1 1 1
再单位化, 再单位化
1 1 − 1 1 1 1 γ1 = 2 , γ2 = 0 . 1 , γ3 = 6 2 3 − 1 1 1
n维基本单位向量组 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 是两两正交的。 是两两正交的。
ε 1 = (1, 0, ⋯ , 0)T , ε 2 = (0, 1, ⋯ , 0)T , ⋯ ,
ε n = (0, 0, ⋯ , 1)T ,
矩阵的正交对角化
矩阵的正交对角化是线性代数中一个重要的概念和方法。
正交对角化是指将一个实对称矩阵或复Hermite矩阵通过相似变换，化为对角矩阵的过程。
在这个过程中，新的矩阵具有一些特殊的性质，其中对角元素是原矩阵的特征值，而非对角元素为零。
要进行矩阵的正交对角化，首先需要满足两个条件：矩阵的特征值存在且为实数，且矩阵的特征值对应的特征向量构成一组正交向量组。
对于实对称矩阵和复Hermite矩阵而言，这两个条件是成立的。
以实对称矩阵为例，假设有一个实对称矩阵A，其特征值为λ1, λ2, ...,λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
由于实对称矩阵的特征值都为实数，所以可以得出特征向量是线性无关的，并且可以正交化得到一组标准正交基{u1, u2, ..., un}。
接下来，将标准正交基{u1, u2, ..., un}作为列向量组成一个矩阵U，其中每一列就是一个单位特征向量。
由于特征向量是一个实数域上的向量，对于任意的特征向量ui和uj，都有其内积成立：ui·uj = δij。
然后，构造一个对角矩阵Λ，其对角线上的元素为矩阵A的特征值。
即Λ = diag(λ1, λ2, ..., λn)。
由于特征向量构成一组标准正交基，可以得到一个正交矩阵U，使得U^T·U = U·U^T = I，其中I为单位矩阵。
最后，可以得到正交对角矩阵D，使得D = U^T·A·U，其中D是一个对角矩阵，对角线上的元素即为A的特征值。
这个过程就是矩阵的正交对角化。
矩阵的正交对角化具有很多重要的意义。
首先，对角化可以将一个复杂的矩阵转化为一个很简单的矩阵，对于计算特征值和特征向量等操作提供了便利。
其次，正交对角化可以保留矩阵的一些重要性质，如行列式的性质、迹的性质、矩阵的幂等性等。
再次，正交对角化也为解决线性方程组和常微分方程等问题提供了基础。
需要注意的是，并非所有的矩阵都能进行正交对角化。
《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
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20.1 矩阵可对角化的条件
设矩阵有个线性无关的特征向量令
则是一个对角矩阵其对角元素是
的特征值：
20.1 矩阵可对角化的条件事实上，
于是
因可逆，故
20.1 矩阵可对角化的条件
若存在可逆矩阵使为对角矩阵，则称矩阵是可对角
化的(diagonalized).
由上面的分析知，反之也成立. 故有
定理：矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关
的特征向量.
20.1 矩阵可对角化的条件
例：的特征值为
故只有个线性无关的特征向量，因此不能对角化.
20.1 矩阵可对角化的条件
定理：设是的互异特征值，是相应特征向量. 则线性无关.
证明：设
两边左乘得
再左乘得
不断左乘直到得
故有
20.1 矩阵可对角化的条件
左边第二个矩阵的行列式行列式
因此该矩阵可逆，故
由于特征向量均为非零向量，故
所以线性无关.
20.1 矩阵可对角化的条件
推论：具有个两两互异特征值的矩阵可以对角化.
但若矩阵有相同特征值，其也可能对角化.
例：有重特征值任何可逆矩阵都使
是对角阵. 这反映了所有非零向量都是单位矩阵的特征向量.
20.2 特征值的代数重数和几何重数
定义：设其中
称为特征值的代数重数(algebraic
multiplicity)，记作称为特征值
的几何重数(geometric multiplicity)，记作
例：
20.2 特征值的代数重数和几何重数
例：
例：
20.2 特征值的代数重数和几何重数
一般地，
命题：
引理1：相似矩阵具有相同的特征多项式.
事实上，设可逆，则我们有
20.2 特征值的代数重数和几何重数
引理2：任意复方阵相似于上三角阵，且其对角元为矩阵的特征值. 证明：对方阵的阶数用数学归纳法.
时结论成立. 假设对阶复方阵结论成立.
对任意阶复方阵设其有特征值及相应特征向量
则可将其扩充得的一组基有
记则有
20.2 特征值的代数重数和几何重数
对阶复方阵由归纳假设, 存在可逆阵使得
为上三角阵.
令
为上三角阵.
则结论第一部分得证.
由引理1知
上三角阵的对角元为的特征值.
20.2 特征值的代数重数和几何重数
命题的证明：
由引理2，相似于上三角阵则和有相同特征值，且对任
意特征值
因此，不妨设是上三角阵，即
于是
故
20.2 特征值的代数重数和几何重数
定理：复方阵可对角化对任意特征值
事实上，
若则
故有个线性无关的特征向量.
从而可对角化.
20.2 特征值的代数重数和几何重数
例：判断是否可对角化，若可以求使
为对角阵.
解：
于是
又
因此，可对角化.
20.2 特征值的代数重数和几何重数对
的基础解系为
对
的基础解系为
20.2 特征值的代数重数和几何重数
令
则
20.2 特征值的代数重数和几何重数
注：可以看到，使对角化的矩阵不是唯一的. 一个特征向量乘
以非零常数后仍是属于同一特征值的特征向量，所以若用任意非
零常数乘以的各列，则得一个新的使对角化的矩阵. 而对于重特征值则有更大自由度. 上例中由的任意线性组合得到的
两个线性无关的向量都可充当的前两列.
20.2 特征值的代数重数和几何重数
例：设其中为矩阵.
的秩为
的秩为
故可对角化.
20.3 矩阵可对角化的应用
若矩阵可对角化，则可快速计算
例：设求
解：的特征值
可对角化.
20.3 矩阵可对角化的应用
对
的基础解系为
对
的基础解系为
20.3 矩阵可对角化的应用
令 则
故
20.3 矩阵可对角化的应用
例（Markov过程）：
每年海淀区以外人口的迁入海淀区，而海淀区人口的迁出. 这给出一个差分方程：
设最初外部人口为内部人口为则一年以后
外部人口
内部人口
即
20.3 矩阵可对角化的应用
这个虚构的人口迁移过程有两个特点：(1)人口总数保持不变；(2)海淀区外部和内部的人口数不是负的. 我们称之为Markov(马尔科夫)过程.
由性质(1)，矩阵每一列元素之和为由性质(2)，矩阵元素非负. 同样等也非负.
20.3 矩阵可对角化的应用
记
取则
20.3 矩阵可对角化的应用
于是我们可求和年之后的人口分布：
20.3 矩阵可对角化的应用
可以看出，经过很多年之后，会变得非常小，从而这个解达到一个极限状态：
此时，总人口仍为与初始状态相同. 但在此极限状态下,
总人口的在外部，在内部, 并且这个数据无论初始分布
怎样总成立.
20.3 矩阵可对角化的应用
注意到
即这个稳定状态是Markov矩阵关于的特征向量.
20.3 矩阵可对角化的应用
例（Fibonacci数列）：
数列满足规律
这是一个差分方程.
怎样由出发，求出Fibonacci数列的通项公式呢？
20.3 矩阵可对角化的应用
令则
即
于是只需求
20.3 矩阵可对角化的应用
故
20.3 矩阵可对角化的应用
初始值给出
于是
Fibonacci数是这个乘积的第二个分量
20.3 矩阵可对角化的应用
我们希望研究由差分方程描述的离散动力系统的长期行为，即时解的性质.
设可对角化，即存在可逆矩阵其中
使为对角阵.
则
其中即
可以看出，的增长由因子支配. 因此系统的稳定性依赖于的特征值.
20.3 矩阵可对角化的应用
对由一个差分方程定义的离散动力系统，当的所
有特征值时，它是稳定的(stable)，且；当所有
时，它是中性稳定的(neutrally stable)，且有界；而当
至少有一个特征值时，它是不稳定的(unstable)，且是
无界的.
Markov过程是中性稳定的，Fibonacci数列是不稳定的.
20.3 矩阵可对角化的应用
例：考虑差分方程其中
的特征值为其对角元和故该系统是稳定的.
由任何一个初始向量出发，的解必定最终趋向于
如：
20.3 矩阵可对角化的应用
可以看到从开始，
而的实际作用是，若把分解成的两个特征向量
的和：
则把属于的特征向量化为零，而把属于
的特征向量乘以
20.4 同时对角化
问题：给定两个阶矩阵是否存在可逆矩阵使得
同时为对角阵，也即同时对角
化？
命题：若有相同特征向量矩阵使得
为对角阵，则
事实上，
20.4 同时对角化
重要的是，“逆”命题也成立. 我们不加证明地给出：
定理：若均可对角化，且则可同时对角化.
注意到，若则
故和是的属于同一特征值的特征向量. 看简单的情况.
假设的特征值两两互异，则其所有特征子空间都是一维的. 于是
必是的倍数，也即是的特征向量. 从而有公共特
征向量矩阵，可同时对角化.
20.4 同时对角化
定理：对阶复矩阵若矩阵的特征值两两互异，则
可同时对角化.
20.4 同时对角化
小结：
1. 矩阵可对角化，指存在可逆矩阵使为对角阵.
2. 矩阵可对角化有个线性无关的特征向量.
3. 若复矩阵有个互异特征值，则可对角化.
4. 复矩阵可对角化任意特征值的几何重数等于代数重数.
5. 设可对角化, 即存在可逆阵使则
6. 差分方程的解为
其中。