第二十讲 矩阵的对角化

20.1 矩阵可对角化的条件

设矩阵有个线性无关的特征向量令

则是一个对角矩阵其对角元素是

的特征值：

20.1 矩阵可对角化的条件事实上，

于是

因可逆，故

20.1 矩阵可对角化的条件

若存在可逆矩阵使为对角矩阵，则称矩阵是可对角

化的(diagonalized).

由上面的分析知，反之也成立. 故有

定理：矩阵可对角化的充要条件是有个线性无关

的特征向量.

20.1 矩阵可对角化的条件

例：的特征值为

故只有个线性无关的特征向量，因此不能对角化.

20.1 矩阵可对角化的条件

定理：设是的互异特征值，是相应特征向量. 则线性无关.

证明：设

两边左乘得

再左乘得

不断左乘直到得

故有

20.1 矩阵可对角化的条件

左边第二个矩阵的行列式行列式

因此该矩阵可逆，故

由于特征向量均为非零向量，故

所以线性无关.

20.1 矩阵可对角化的条件

推论：具有个两两互异特征值的矩阵可以对角化.

但若矩阵有相同特征值，其也可能对角化.

例：有重特征值任何可逆矩阵都使

是对角阵. 这反映了所有非零向量都是单位矩阵的特征向量.

20.2 特征值的代数重数和几何重数

定义：设其中

称为特征值的代数重数(algebraic

multiplicity)，记作称为特征值

的几何重数(geometric multiplicity)，记作

例：

20.2 特征值的代数重数和几何重数

例：

例：

20.2 特征值的代数重数和几何重数

一般地，

命题：

引理1：相似矩阵具有相同的特征多项式.

事实上，设可逆，则我们有

20.2 特征值的代数重数和几何重数

引理2：任意复方阵相似于上三角阵，且其对角元为矩阵的特征值. 证明：对方阵的阶数用数学归纳法.

时结论成立. 假设对阶复方阵结论成立.

对任意阶复方阵设其有特征值及相应特征向量

则可将其扩充得的一组基有

记则有

20.2 特征值的代数重数和几何重数

对阶复方阵由归纳假设, 存在可逆阵使得

为上三角阵.

令

为上三角阵.

则结论第一部分得证.

由引理1知

上三角阵的对角元为的特征值.

20.2 特征值的代数重数和几何重数

命题的证明：

由引理2，相似于上三角阵则和有相同特征值，且对任

意特征值

因此，不妨设是上三角阵，即

于是

故

20.2 特征值的代数重数和几何重数

定理：复方阵可对角化对任意特征值

事实上，

若则

故有个线性无关的特征向量.

从而可对角化.

20.2 特征值的代数重数和几何重数

例：判断是否可对角化，若可以求使

为对角阵.

解：

于是

又

因此，可对角化.

20.2 特征值的代数重数和几何重数对

的基础解系为

对

的基础解系为

20.2 特征值的代数重数和几何重数

令

则

20.2 特征值的代数重数和几何重数

注：可以看到，使对角化的矩阵不是唯一的. 一个特征向量乘

以非零常数后仍是属于同一特征值的特征向量，所以若用任意非

零常数乘以的各列，则得一个新的使对角化的矩阵. 而对于重特征值则有更大自由度. 上例中由的任意线性组合得到的

两个线性无关的向量都可充当的前两列.

20.2 特征值的代数重数和几何重数

例：设其中为矩阵.

的秩为

的秩为

故可对角化.

20.3 矩阵可对角化的应用

若矩阵可对角化，则可快速计算

例：设求

解：的特征值

可对角化.

20.3 矩阵可对角化的应用

对

的基础解系为

对

的基础解系为

20.3 矩阵可对角化的应用

令 则

故

20.3 矩阵可对角化的应用

例（Markov过程）：

每年海淀区以外人口的迁入海淀区，而海淀区人口的迁出. 这给出一个差分方程：

设最初外部人口为内部人口为则一年以后

外部人口

内部人口

即

20.3 矩阵可对角化的应用

这个虚构的人口迁移过程有两个特点：(1)人口总数保持不变；(2)海淀区外部和内部的人口数不是负的. 我们称之为Markov(马尔科夫)过程.

由性质(1)，矩阵每一列元素之和为由性质(2)，矩阵元素非负. 同样等也非负.

20.3 矩阵可对角化的应用

记

取则

20.3 矩阵可对角化的应用

于是我们可求和年之后的人口分布：

20.3 矩阵可对角化的应用

可以看出，经过很多年之后，会变得非常小，从而这个解达到一个极限状态：

此时，总人口仍为与初始状态相同. 但在此极限状态下,

总人口的在外部，在内部, 并且这个数据无论初始分布

怎样总成立.

20.3 矩阵可对角化的应用

注意到

即这个稳定状态是Markov矩阵关于的特征向量.