矩阵同时对角化_赵俊锋

λ １
λ １
λ ２ " λ ｎ
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λ ２ " λ ｒ " ０
阵 Ｐ ， 使 Ｐ－ １ＡＰ＝
， 其中 λ ｉ（ｉ＝１，２， … ，ｎ）为 Ａ 的特征值。 推论 ｎ 阶实对称矩阵可正交合同对角化。 定理 ２ 幂等矩阵 （Ａ＝Ａ２）一定可以对角化。 定理 ３ 任一正规矩阵 Ｎ 必酉相似于对角矩阵
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,ｎ ＝ｎ，由定理 １ 知 ， 存 在
ｉ ｉ ＝ １
λ １ Ｅｎ
１
ｎ 阶正交矩阵 Ｐ ， 使 Ｐ＇ ＡＰ＝
λ ２ Ｅｎ
２
"
λ ｓ Ｅｎ
ｓ
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， 作 Ｐ＇ ＢＰ， 下
３． 主要内容
３．１ 有关概念 ｎ 定 义 １ 设 矩 阵 Ａ，Ｂ∈Ｐｎ× ， 若 存 在 ｎ 阶 可 逆 矩 阵 Ｐ， 使 Ｐ － １ＡＰ、 Ｐ － １ＢＰ
１． 前言
在当代社会 ， 数学已经成为现代文化的重要组成部分。在高等代 在矩阵理论、 二次型及线 数或线性代数中 ， 矩阵对角化占有重要地位。 性变换等问题上矩阵对角化有广泛的应用。 它是高等代数研究的主要 内容 ， 也是理论体系最完善的一部分。单个矩阵对角化的问题已在高 等代数或线性代数教材中有了系统的讨论。 本文主要讨论两个或多个 矩阵对角化问题 ， 探 讨 一 部 分 同 时 对 角 化 的 矩 阵 类 ， 进 而 加 深 对 矩 阵 理论的理解和认识 ， 从而对于深化高等代数或线性代数的学习及问题 的解决是有益的。
证 Ｐ＇ ＢＰ 是分块对角阵 ， 将 Ｐ＇ ＢＰ 分块为
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科技信息
○ 高校讲坛 ○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００８ 年
第 ２１ 期
Ｐ＇ＢＰ＝
# $ $ $ $ $ $ $ %
Ｂ１１ Ｂ２１ ┆ Ｂｓ１
Ｂ１２ Ｂ２２ ┆ Ｂｓ２
… …
"
…
Ｂ１ｓ Ｂ２ｓ ┆ Ｂｓｓ
的实子块 ， 由于 ＡＢ＝ＢＡ， 而正交矩阵 Ｐ ， 又满足 ＰＰ＇ ＝Ｅ ， 所以 （Ｐ＇ ＡＰ） （Ｐ＇ＢＰ）＝（Ｐ＇ＢＰ）（Ｐ＇ＡＰ）化简得 ： # & # & … λ … λ λ λ ２Ｂ１２ ｓＢ１ｓ １ Ｂ１１ １ Ｂ１２ １ Ｂ１ｓ １ Ｂ１１ ) λ ’ ) λ ’ ) ’ ) ’ … … Ｂ λ Ｂ λ Ｂ λ Ｂ λ Ｂ λ Ｂ ) λ ) ’ ’ ２ ２１ ２ ２２ ２ ２ｓ ２ ２２ ｓ ２ｓ １ ２１ ＝ ) ’ ) ’比 ) ’ ) ’ ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ ┆ ) ) ’ ) ’ ) ’ ’ … … λ λ λ λ ｓＢｓ１ ｓＢｓ２ ｓＢｓｓ ２Ｂｓ２ ｓＢｓｓ % λ ( % λ ( １ Ｂｓ１ 较等式两边矩阵 ， 由于当 ｉ≠ｊ 时 ， λ ｉ≠λ ｊ（ｉ，ｊ＝１，２ … ｓ）故 Ｂｉｊ ＝０ （ ｉ ≠ｊ ） ， 于 是
同时为对角矩阵 ， 则称 Ａ， Ｂ 可同时相似对角化。 ｎ 定义 ２ 设矩阵 Ａ，Ｂ∈Ｐｎ× ， 若存在 ｎ 阶可逆矩阵 Ｐ， 使 Ｐ＇ ＡＰ 、 Ｐ＇ ＢＰ 同 时为对角矩阵 ， 则称 Ａ， Ｂ 可同时合同对角化。
ｎ *＇ ＝Ａ， 则称 Ａ 为埃尔米特矩阵 ； 定义 ３ （ １ ） 设 Ａ∈Ｃｎ× ， 若Ａ ｎ *＇ Ａ＝Ｅ 则称 Ａ 为酉矩阵 ； （ ２ ） 设 Ａ∈Ｃｎ× ， 若Ａ ｎ * ＇ Ａ＝ＡＡ * ＇ 则称 Ａ 为正规阵。 若Ａ （ ３ ） 设 Ａ∈Ｃｎ× 两个矩阵同时对角化的矩阵类 ３．２ 定 理 １ 设 Ａ， Ｂ 为 ｎ 阶 实 对 称 矩 阵 ， 且 Ａ 为 正 定 矩 阵 ， 则 Ａ， Ｂ 可 同时对角化。 证 明 ： 因 为 Ａ 为 ｎ 阶 正 定 矩 阵 ， 则 存 在 ｎ 阶 可 逆 矩 阵 Ｐ 使 Ｐ＇ ＡＰ＝ Ｅ ， 又因为 Ｂ 为 ｎ 阶对称矩阵 ， 于是 Ｐ＇ ＢＰ 仍为对 称 矩 阵 ， 存 在 ｎ 阶 正 交
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２． 预备知识
２．１ 有关概念 ｎ 定义 １ 设矩阵 Ａ，Ｂ∈Ｐｎ× ， 若存在 ｎ 阶可逆矩阵 Ｐ 使 Ｐ－ １ＡＰ＝Ｂ， 则 # & １ $ λ ’ $ ’ λ $ ’ ２ 称 Ａ 相似于 Ｂ。若 Ｂ 为对角阵 ， 即 Ｂ＝ $ 则称 Ａ ’ $ ’ " $ ’ $ ’ λ % ( ｎ
Ｍａｔｒ ｉｃｅｓ’ｏｐｐｏｓｉｔｅ ａｎｇｌｅ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ 【 Ａｂｓｔｒ ａｃｔ 】 Ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ａｎｇｌｅ ｉｓ ｏｎｅ ｏｆ ｋｅｙ ｑｕｅｓｔｉｏｎｓ ｉｎ ａｄｖａｎｃｅｄ ａｌｇｅｂｒａ ｒｅｓｅａｒｃｈ． Ｒｅｇａｒｄｉｎｇ ａ ｍａｔｒｉｘ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ａｎｇｌｅ ｑｕｅｓｔｉｏｎ ， ｉｔ ｏｂｔａｉｎｓ ｔｈｅ ｇｏｏｄ ｒｅｓｕｌｔ． Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ａｎａｌｙｓｅｓ ｓｏｍｅ ｍａｔｒｉｃｅｓ ｃｌａｓｓｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｔｒｉｘ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ａｎｇｌｅ ，ｓｔｕｄｉｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｗｏ ｍａｔｒｉｃｅｓ ’ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ａｎｇｌｅ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ ，ａｎｄ ｏｂｔａｉｎｅｄ ｓｏｍｅ ｒｅｓｕｌｔｓ． 【 Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ】 Ｍａｔｒｉｘ ，ｏｐｐｏｓｉｔｅ ａｎｇｌｅ ，ｏｐｐｏｓｉｔｅ ａｎｇｌｅ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ．
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λ １
. ＇ ＡＵ＝ ) Ｕ )
λ ２ " λ ｎ
μ １
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μ ２ " μ ｎ
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， 即证
Ｂ１１
Ｐ＇ ＢＰ＝
Ｂ２２ " Ｂｓｓ
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Ａ， Ｂ 同时对角化。 定理 ６ 设 Ａ， Ｂ 均为 ｎ 阶循环矩阵 ， 则存在一个可逆矩阵 ＰＰ ， 使 Ａ， Ｂ 同时对角化。 证明 ： 矩阵 Ａ 是由 ａ１ ，ａ２ ， … ，ａｎ 构成的 ｎ 阶循环阵 ， 矩阵 Ｂ 是 由 ｂ １ ，
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又因为 Ｂ 为 ｎ 阶实对称阵 ， 于是 Ｐ＇ ＢＰ 仍为对称矩阵 ， 存在 ｎ 阶正
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ｕ１
ｕ２ " ｕｒ " ０
* ＇ＮＵ＝ Ｕ
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λ １
交 矩 阵 Ｑ， 使 Ｑ－ １（Ｐ＇ ＢＰ）Ｑ＝
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， 而 Ｑ－ １（Ｐ＇ ＡＰ）Ｑ＝Ｑ－ １ＥＱ＝Ｅ ，
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λ １
λ １
记 Ｔ＝ＰＱ， 则 Ｔ 可 逆 ， 且 Ｔ＇ ＡＴ＝Ｅ，Ｔ＇ ＢＴ＝
λ ２ " λ ｎ
， 即 Ａ，Ｂ
λ ２ " λ ｎ
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则称 Ａ
可合同对角化。 ２．２ 可对角化的矩阵类 定理 １ ｎ 阶实对称矩阵可正交相似对角化。即若 ｎ 阶实矩阵 Ａ 满足 Ａ＝Ａ＇ 则存在 ｎ 阶正交矩阵 Ｐ ， 使 Ｐ－ １ＡＰ＝
则 Ｔ 可逆 ， 且 Ａ， Ｂ 仍可同时合同对角化。 定 理 ３ 设 Ａ，Ｂ 为 ｎ 阶 实 对 称 矩 阵 ， 且 ＡＢ＝ＢＡ， 则 Ａ，Ｂ 可 同 时 正 交合同对角化。 证明 ： 设 ｎ 阶实对称矩阵 Ａ 的特征值为 λ ２， … ，λ ｎ， 且其中 λ ２， １ ，λ １ ，λ
ｓ
… ，λ ｓ 全不相等 ， λ ｉ 为 ｎｉ 重特征值 （ｉ＝１，２ … ｓ），
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同时对角化。 定理 ２ 设 Ａ，Ｂ 为 ｎ 阶实对称半正定方阵 ， 则存在 ｎ 阶实可逆矩 阵 Ｐ ， 使 Ｔ－ １ＡＴ， Ｔ－ １ＢＴ 同时为对角矩阵。 证明 ： 因为 Ａ 为 ｎ 阶实对称半正定 方 阵 ， 所 以 存 在 ｎ 阶 实 可 逆 矩
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， 又 由 于 Ｂ 为 实 对 称 矩 阵 ， 故 Ｐ＇ ＢＰ 仍
ｎ－ １ … ，ｆ（ξ ）， 其 中 ｆ（ｘ）＝ａ１＋ａ２ｘ＋ … ａｎｘｎ－ １，ξ ＝ｅ
ｉ ２π ｎ
为实对称矩阵 ， 从而 Ｂ＇ ｉｉ＝Ｂｉｉ， 即 Ｂｉｉ（ｉ＝１，２ … ｓ）为 ｎｉ 阶实对称子块。 对每个 子块 Ｂｉｉ（ｉ＝１，２ … ｓ）， 应用定理 １ ， 存在正交矩阵 Ｐｉ 使
Ｐｉ＇ ＢｉｉＰｉ＝
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μ ｉ１
μ ｉ２ " μ ｉｎ
ｉ
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＝∧ｉ 记 Ｐ０＝ ) )
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Ｐ１
Ｐ２ " Ｐｓ
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，则
Ｐ０ 为正交矩阵 ， 且 Ｐ０＇（Ｐ＇ＢＰ）Ｐ０＝
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可相似对角化。 ｎ 定 义 ２ 设 矩 阵 Ａ，Ｂ∈Ｐｎ× ， 若 存 在 ｎ 阶 可 逆 矩 阵 Ｐ， 使 Ｐ＇ ＡＰ＝Ｂ， 则 称 Ａ 合同于 Ｂ。若 Ｂ 为对角阵 ， 即 Ｂ＝
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λ １
矩 阵 Ｑ，Ｑ （Ｐ＇ ＢＰ）Ｑ＝
－１
λ ２ " λ ｎ
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２ ），ｆ（ξ ）， ｂ２ ， … ，ｂｎ 构成的 ｎ 阶循环阵。循环矩阵 Ａ 的全部特征值是 ｆ（１），ｆ（ξ ｍ ， 属 于 特 征 值 ｆ（ξ ）的 一 个 特 征 & … １ １ １ １ ’ ２ ’ ｎ－ １ ’ … １ ξ ξ ξ ’ ｍ （ｎ－ １）ｍ ２ ４ ’ 向量是 （１，ξ 令 Ｐ＝ １ ， Ｐ 是 ２（ｎ－ １） ， … ，ξ ）。 … ξ ξ ξ ’ ’ ┆ ┆ ┆ ┆ ’ ｎ－ １ ２（ｎ－ １） （ｎ－ １）（ｎ－ １） ’ … ξ １ ξ ξ ( ｎ－ １ 范德蒙行列式 ， 由于 １，ξ 从而 Ｐ 的 两两不等 ， 因此 Ｐ 不等于 ０ 。 ， … ，ξ 列向量组线性无关。于是 Ａ 有 ｎ 个线性无关的特征向量 ， 因此 Ａ 可对 ｎ－ １ 角化 ， 并且 Ｐ－ １ＡＰ＝ｄｉａｇ｛ｆ（１），ｆ（ξ ）， … ，ｆ（ξ ）｝。 ｎ－ １ ｎ－ １ 同理也存在 Ｐ－ １ＢＰ＝ｄｉａｇ｛ｇ（１），ｇ（ξ ）， … ，ｇ（ξ ）｝， ｇ（１），ｇ（ξ ）， … ，ｇ（ξ ）是矩阵 Ｂ 的全部特征值 ， 即证存同一个可逆矩阵 Ｐ 使得 Ａ， Ｂ 同时对角化。 ｎ 设 Ａ，Ｂ∈Ｐｎ× 且 Ａ２＝Ａ， Ｂ２＝Ｂ，ＡＢ＝ＢＡ 则 Ａ， Ｂ 可 同 时 相 似 于 推论 １ 、