中考数学总复习第二轮中档题突破专项突破6圆的有关证明与计算课件
中考数学总复习 第二编 中档题型突破专项训练篇 中档
1 中档题型专训(四)
三角形、四边形中的相关证明及计算
纵观近5年遵义市中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．
,中考重难点突破)
三角形的有关计算及证明
【例1】(2017荆门中考)已知：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，∠C＝90°，OB＝25，OC＝20，若点M是边OC上的一个动点(与点O，C不重合)，过点M作MN∥OB交BC于点N.
(1)求点C的坐标；
(2)当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；
(3)在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由．
【解析】(1)如图①，过C作CH⊥OB于H，根据勾股定理得到BC＝OB2－OC2＝252－202＝15，根据三角形的面积公式得到CH＝OC·BCOB＝20×1525＝12，由勾股定理得到OH＝OC2－CH2＝16，于是得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到CMCN＝OCBC＝2015＝43，设CM＝x，则CN＝34x，根据已知条件列方程即可得到结论；(3)如图②，由(2)知，当CM＝x，则CN＝34x，MN＝54x，①当∠NMQ1＝90°，MN＝MQ1时，②当∠MNQ2＝90°，MN＝NQ2时；③当∠MQN＝90°，MQ＝NQ时，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【答案】解：(1)如图，过C作CH⊥OB于H，
∵∠C＝90°，OB＝25，OC＝20，
∴BC＝OB2－OC2＝252－202＝15.
∵S△OBC＝12OB·CH＝12OC·BC，
∴CH＝OC·BCOB＝20×1525＝12，
∴OH＝OC2－CH2＝16，∴C(16，－12)；
(2)∵MN∥OB，∴△CNM∽△CBO，
∴CMCN＝OCBC＝2015＝43，
∴设CM＝x，则CN＝34x. 2 ∵△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等，
2020年中考数学二轮复习专题：圆的综合(求阴影部分面积) 附详细答案
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
1 / 27 2020年中考数学二轮复习专题：圆的综合（求阴影部分面积）
1．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝4，点C是上的一动点（不与A，B重合），过点
B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，点E是BD的中点，连接EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）当∠D＝30°时，求阴影部分面积．
2．如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠
ACD＝120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．
3．如图，AB为⊙O的直径，C、D是半圆AB的三等分点，过点C作AD延长线的垂线CE，
垂足为E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
2 /
27 FG⊥BA，垂足为G．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
5．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作
射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．
6．如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，
AD＝AB，∠D＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
7．如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连
接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积． 知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
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8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点
2021-2023年中考复习考点 - 圆的证明与计算(word版含答案)
圆的证明与计算
考点一：圆的有关性质
1．如图，以△BMC的边为直径的⊙O与边BC交于点D，与BM的延长线交于点E，∠E＝∠B，DE交CM于点F．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若CF＝3MF，求tan∠E的值．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．
（1）求证：CD＝BD；
（2）若ABBC＝58，求sin∠BDE的值．
BACDEO
3．如图，⊙O中，AB是弦，OB，OC为圆的半径，∠BOC＝90°＋∠B．
（1）求证：AC＝BC；
（2）延长BO交⊙O于点D点，连接AC交BD于E点，AD＝5，DE＝2，求⊙O的半径长．
4．如图，AB是⊙O的直径，D是BC的中点，OD交BC于点E．
（1）若BC＝8，AB＝10，求sin∠AEO的值；
（2）若BC＝8，DE＝2，求tan∠BAE的值．
5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，D是BC延长线上的一点，⊙O是△ABD的外接圆，E是⊙O上一点，且AE＝AD，AE交BD于F．
（1）求证：DE是⊙O的直径；
（2）若AB＝32，CD＝2，求AF的长
6．如图，点P是⊙O外一点，PB交⊙O于A，B，PD交⊙O于C，D，连接BD，AD．
（1）求证：APAD＝CPBC ；
（2）若∠DBC＝∠P，∠BDC＝60°，CPDC＝54，求tan∠P的值．
CAOBPD
7．已知⊙O中，点A，B，C在圆⊙O上，AB＝AC，D为AB上一点．
（1）如图1，BM⊥CD于M，若∠ADC＝75°，求证：DM＝3BM．
（2） 如图2，若tan∠ADC＝4，求cos∠BDC的值．
MOBBOCADCAD
图1 图2
8．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的动点．
（1）如图1，点P是劣弧AC的中点，求证：OP∥BC；
（2）如图2，点P是劣弧AC的中点，tan∠A＝21，求tan∠ABC的值．
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算
复习目标
1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。
2.掌握圆的基本性质。
3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。
考点梳理
一、圆的有关概念
1. 圆的定义
如图所示，有两种定义方式：
①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作①O，线段OA叫做半径；
①圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2.与圆有关的概念
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．
①直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是①O的直径，直径是圆中最长的弦．
①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是①O中的弧，分别记作BC，BAC．
①半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．
①劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．
①优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．
①同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．
①弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
①等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
①等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中①AOB，①BOC是圆心角．
⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中①BAC、①ACB都是圆周角．
例1．已知：如图所示，在①O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．
(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；
(2)若半径OD＝R，①AOB＝120°，求CD的长.
【答案】
解：①半径OD经过弦AB的中点C，
①半径OD①AB．
(1)①AB＝23，AC＝BC＝3．
①OC＝1，由勾股定理得OA＝2．
①CD＝OD－OC＝OA－OC＝1， 即CD＝1.
(2)①OD①AB，OA＝OB，
2023年中考数学二轮专题复习频考点突破 圆的综合(含解析)
2023年中考数学频考点突破--圆的综合
1．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E， 𝐶𝐷=𝐶𝐸 .
（1）求证：OA＝OB；
（2）已知AB＝4 √3 ，OA＝4，求阴影部分的面积.
2．AB是 ⊙𝑂 的直径，点C是 ⊙𝑂 上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足 ∠𝐵𝐶𝑀=∠𝐵𝐴𝐶=𝛼 ．
（1）如图①，求证：直线MN是 ⊙𝑂 的切线；
（2）如图②，点D在线段BC上，过点D作 𝐷𝐻⊥𝑀𝑁 于点H，直线DH交 ⊙𝑂 于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且 𝐶𝐸=53 ，若 ⊙𝑂
的半径为1， cos𝛼=34 ，求 𝐴𝐺⋅𝐸𝐷 的值．
3．如图，已知A、B是⊙O上两点，⊙OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊙AB交AB的延长线于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线； （2）E为弧AB̀的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan⊙AFE= 34 ，BE=BG，EG=3 √10 ，求⊙O的半径．
4．如图， 𝐶𝐷 为⊙O的直径， 𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 ，垂足为点 𝐹 ， 𝐴𝑂⊥𝐵𝐶 ，垂足为点
𝐸 ， 𝐵𝐶=3 .
（1）求 𝐴𝐵 的长；
（2）求⊙O的半径.
5．如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EF⊙BC，且FE＝FC（CE＜CB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG．
（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是 ；
（2）将图1中的⊙CEF绕点C按逆时针旋转，使⊙CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，连接FG、DF．
①在图2中，依据题意补全图形；
②求证：DF＝ √2 FG．
6．如图，已知⊙ABC，AC=3，BC=4，⊙C=90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
中考数学复习 圆的计算与证明
第1页
圆的计算与证明
1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积．
2．如图，已知AB为⊙O的直径，CD切⊙O于C点，弦CF⊥AB于E点，连结AC．
（1）求证：∠ACD＝∠ACF；
（2）当AD⊥CD，BE＝2cm，CF＝8cm，求AD的长．
3．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．
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4．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．
5．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO．若DE＝2，∠DPA＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分及△PBF的面积．
6．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝8，OG＝10，求⊙O的半径．
第3页
7．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，13为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝24，求OP的长．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为△ABC角平分线的交点，以OC为半径的⊙O交△ABC于D、E、F、G．
（1）求证：CD＝EF；
（2）若⊙O的半径为4，AE＝2，求AB的长．
9．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．
学初三数学圆综合练习题
OFABCDEFEDCBOACEBODFA北京市丰台区2015-2016学年度第一学期 初三数学
第24章 圆 综合练习题
一、与圆有关的中档题：与圆有关的证明（证切线为主）和计算（线段长、面积、三角函数值、最值等）
1. 如图，BD为⊙O的直径，AC为弦，ABAC，AD交BC于E，2AE，4ED．
（1）求证：ABEADB△∽△，并求AB的长；
（2）延长DB到F，使BFBO，连接FA，判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由.
2. 已知：如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若等边三角形ABC的边长为4，求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
3、如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD．
（1）请证明：E是OB的中点；
（2）若8AB，求CD的长．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC = 60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作OCCD交PQ于点D．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP:PO的值．
5． 已知:如图, BD是半圆O的直径,A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C, 交半圆O于点E，且E为»DF的中点.
（1）求证：AC是半圆O的切线；
（2）若662ADAE，，求BC的长．
6.如图，ABC△内接于⊙O，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D，且AB2=AP·AD
（1）求证：ABAC；
（2）如果60ABCo，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，
求AD的长.
7．如图，在△ABC中，∠C=90°, AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点, 以OA为半径的⊙O经过点D.
北京中考数学压轴题解题方法突破 第9版
北京中考数学压轴题解题方法突破 第9版
全文共3篇示例，供读者参考
考试技巧
1、做题时间规划
考试写不完，大部分时间花在难题上，建议1到18题25分钟做完，中考第12题或16题若卡住了，思考时间不要多于5分钟，因为做题前5分钟效率是最高的，5到10分钟左右焦虑情绪明显上升，10分钟以后已经不再想题了，而在思考做不出的严重后果，遇到难题该跳则跳。
2、避免审题丢分
考试中存在很多由于审题不仔细(多看条件、少看条件、看错条件)丢分案例。为什么会这样呢?因为我们平时做题太多，遇到类似题，审题就会思维定势，先入为主，主观臆断，不假思索认为是以前做过的题，如在抛物线对称轴上找点很可能看成在抛物线上找点或者在y轴上找点;运动方向大部分题是由下往上，从左往右，习惯性以为都这样已知的;点在直线或线段上等等。一旦审错题浪费时间更多，所以审题不要着急，一个字一个字读，耐得住这份心，才能审好题。
3、学会检查 检查要专注，考查一个人的定力，有没有耐心复查已经做过的题。
当然还要检查答题卡客观题有没有誊错、格式有没有按照规定(分式方程检验、带单位、要写解和证明，分类讨论要写综上所述等等)。
最后检查计算，检查的时候要注意摆正心态。
4、遇到中档题卡住怎么办?
保持冷静，影响你的不是题目本身，而是心中杂念，这个时候跳出思维的漩涡，不应该怀疑自己的能力，更应该怀疑的是审题错了，果断重新审题，或者尝试常规解题方法。
5、争取多拿意外的分
阅卷老师一般是先找答案，答案正确再看步骤，步骤不严谨扣1-2分，找不到答案或答案错误再重头看有没有能给分的，所以书写要规范、整洁。
中考数学压轴题解题方法
1、学会运用数形结合思想
数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想。纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。
2018中考数学题型专项研究圆的综合应用
第10讲圆的综合应用
1．圆的基本性质的研究．
2．切线性质及其判定的运用研究．
3．圆与正多边形的关系研究．
4．与圆相关的计算研究．
学生在解决圆知识问题时往往忽视圆中角边关系等隐藏的条件，及其对辅助线的处理往往考虑不到位，致使问题缺少条件，对计算问题公式不能熟悉．
对圆知识重点在于四个方面的处理，垂径定理、圆周角圆心角关系、切线性质与判定及其弧线长、扇形面积计算公式的灵活应用．
1.垂径定理及其逆定理：根据垂径定理及推论可得出线段相等、角相等、弧相等、三角形全等等结论；同时利用构造勾股定理列出方程求出圆环的面积；
2. 圆心角与圆周角：当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意90°的圆周角的构造．同时注意同弧所对圆周角是圆心角的一半的关系；
3. 点与圆、直线与圆的位置关系：圆的切线的判定常见方法有两种类型：(1)当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线．这种方法简称“连半径，证垂直”．(2)当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长．这种方法简称“作垂直，证半径”；
4、圆的相关计算：(1)扇形的周长等于弧长与经过弧的两个端点的半径的和，千万不要错误地认为扇形的周长等于扇形的弧长．(2)计算圆锥的侧面积时，要注意各量之间的关系，不要把圆锥底面圆的半径当成扇形的半径，也不要把圆锥的母线长当成扇形的弧长．
5. 与圆有关的综合运用问题：解决动态问题的关键是善于抓住运动变化中暂时静止的一
瞬间，进行观察、猜想，分析“主动”与“被动”，并探索“变”中的“不变”．寻找等量关系式，达到解题的目的；
【典例解析】
【例题1】（2017山东临沂）如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E，
（1）求证：DE=DB；
中考试题专题突破(五) 四边形的有关计算
-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
信达 专题突破(五) 四边形的有关计算
四边形中档解答题所考查知识点相对稳定，主要考查学生对所学四边形、相似、解直角三角形等内容的综合应用能力和计算能力.2015年计算量和难度都有所下降．
2011—2015年北京中考知识点对比
题型
年份 2011 2012 2013 2014 2015
题型 梯形有
关计算 四边形
有关
计算 四边形有
关证明及
计算 四边形
有关证
明及
运算 四边形
有关证
明与
计算
1．[2015·北京] 如图Z5－1，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB. -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------
信达
图Z5－1
2．[2014·北京] 如图Z5－2，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．
图Z5－2
3．[2013·北京] 如图Z5－3，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝12BC，连接DE，CF.