3.2.1奇偶函数图象的对称性

奇偶函数图象的对称性一．选择题（共35小题）1．（2019秋•丹东期末）下列函数中，其图象与函数y lgx =的图象关于点(1,0)对称的是()A ．(1)y lg x =-B ．(2)y lg x =-C ．0.1log (1)y x =-D ．0.1log (2)y x =-2．（2008•全国卷Ⅱ）函数1()f x x x=-的图象关于( ) A ．y 轴对称B ．直线y x =-对称C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称3．（2010•重庆）函数41()2x x f x +=的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y x =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称4．（2011•山东）对于函数()y f x =，x R ∈，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2009•黑龙江）函数22log 2xy x-=+的图象( ) A ．关于直线y x =-对称 B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称6．（2014•南昌模拟）已知定义域为R 的函数()y f x =满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，若124x x +<且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．可能等于0D ．可正可负7．（2015•凯里市校级模拟）函数sin 3xy x =+的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．8．（2012•天门模拟）函数2sin cos 3cos 3y x x x =+-的图象的一个对称中心是( ) A ．23(,)32π- B ．53(,)62π- C ．23(,)32π-D ．(,3)3π-9．（2015•上饶校级二模）奇函数()f x 、偶函数()g x 的图象分别如图1、2所示，方程(())0f g x =、(())0g f x =的实根个数分别为a 、b ，则(a b += )A ．14B ．10C ．7D ．310．（2009•福建）定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如图所示，则在(2,0)-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是( )A ．21y x =+B ．||1y x =+C ．321,01,0x x y x x +⎧=⎨+<⎩D ．,0,0x x e x y e x -⎧=⎨<⎩11．（2018•宝鸡三模）函数41()2x x f x +=的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称12．（2014•烟台三模）函数(1),0()cos ,02lg x x f x x x π+>⎧⎪=⎨<⎪⎩图象上关于坐标原点O 对称的点有n 对，则(n = )A ．3B ．4C ．5D ．无数13．（2016•北海一模）下列函数中，图象关于坐标原点对称的是( ) A ．y lgx =B ．cos y x =C ．||y x =D ．sin y x =14．（2012秋•尖山区校级期末）函数1()f x x x=-的图象关于( ) A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y x =对称15．（2010•南昌二模）函数2log x y x=的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．16．（2014秋•椒江区校级期中）函数()22x x f x -=+的图象关于( )对称． A ．坐标原点B ．直线y x =C ．x 轴D ．y 轴17．（2013•潼南县校级模拟）设()f x 定义在实数集R 上的函数，满足条件(1)y f x =+是偶函数，且当1x 时，1()()12x f x =-，则231(),(),()323f f f 的大小关系是( )A ．231()()()323f f f >>B ．213()()()332f f f >>C ．321()()()233f f f >>D ．132()()()323f f f >>18．（2017秋•碑林区期中）函数3()f x x x =+的图象关于( ) A ．y 轴对称B ．直线y x =-对称C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称19．（2014秋•汉台区校级期末）下列说法错误的是( ) A ．42y x x =+是偶函数 B ．偶函数的图象关于y 轴对称C ．32y x x =+是奇函数D ．奇函数的图象关于原点对称20．（2011•辽宁校级二模）函数()y xln x =-与y xlnx =的图象关于( )A ．直线y x =对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称21．（2012秋•黄冈期末）已知函数f ()x 是定义在闭区间[a -，](0)a a >上的奇函数，()F x f = ()1x +，则()F x 最大值与最小值之和为( )A ．1B ．2C ．3D ．022．（2010•长沙校级模拟）在直角坐标系中，如果两点(,)A a b ，(,)B a b --在函数()y f x =的图象上，那么称[A ，]B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点([A ，]B 与[B ，]A 看作一组）．函数4cos 0()2log (1),0x x g x x x π⎧⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．423．（2012•公安县校级模拟）如图展示了一个由区间(0,4)到实数集R 的映射过程：区间(0,4)中的实数m 对应数轴上的点M （如图），将线段AB 围成一个正方形，使两端点A 、B 恰好重合（如图），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y 轴上，点A 的坐标为(0,4)（如图），若图中直线AM 与x 轴交于点(,0)N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =．现给出以下命题： ①f （2）0=；②()f x 的图象关于点(2,0)对称； ③()f x 在(3,4)上为常数函数； ④()f x 为偶函数．其中正确命题的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．424．（2012•武昌区模拟）函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-，当12x 时，2()f x x =，则()f x 的单调减区间是( )A ．[2k ，21]()k k Z +∈B ．[21k -，2]()k k Z ∈C ．[2k ，22]()k k Z +∈D ．[22k -，2]()k k Z ∈25．（2015秋•青州市期中）已知函数()y f x =是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程()0f x = 的所有实根之和是( )A ．0B ．1C ．2D ．426．（2011秋•裕安区校级期末）已知()f x 是奇函数，且方程()0f x =有且仅有3个实根1x 、2x 、3x ，则123x x x ++的值为( )A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定27．（2011•黄冈一模）定义在R 上的函数的图象关于点3(4-，0)成中心对称且对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+且(1)1f -=，(0)2f =-，则f （1）f +（2）(2010)(f +⋯+=) A ．0B ．2-C ．1-D ．4-28．（2010•江苏模拟）设奇函数()f x 的定义域为[5-，5]．若当[0x ∈，5]时，()f x 的图象如右图，则不等式()0f x <的解是( )A ．(5-，2)(2-⋃，5]B ．(5-，2)(2-⋃，5)C ．[2-，0](2⋃，5]D ．(2-，0)(2⋃，5]29．（2010•中山市模拟）10、已知函数(),0(),0f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =对应的图象如图所示，则()(g x = )A ．2xB ．12()log x -C ．2log ()x -D ．2log ()x --30．（2005•天津）设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图象关于直线3x =对称，则下面正确的结论是( )A ．(1.5)(3.5)(6.5)f f f <<B ．(3.5)(1.5)(6.5)f f f <<C ．(6.5)(3.5)(1.5)f f f <<D ．(3.5)(6.5)(1.5)f f f <<31．（2018秋•汇川区校级期中）二次函数()f x 的二次项系数为正数，且对任意项x R ∈都有()(4)f x f x =-成立，若22(12)(12)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <-或02x <<C ．20x -<<D ．2x <-或0x >32．（2016春•石家庄校级期末）设偶函数()y f x =和奇函数()y g x =的图象如图所示：集合{|(())0}A x f g x t =-=与集合{|(())0}B x g f x t =-=的元素个数分别为a ，b ，若112t <<，则a b +的值不可能是( )A ．12B ．13C ．14D ．1533．（2015秋•凯里市校级期末）函数22()x xf x x--=的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．关于直线y x =对称34．（2015•天津校级模拟）函数()f x 的图象与函数()2x g x e =+的图象关于原点对称，则()f x 的表达式为( )A ．()2x f x e =--B ．()2x f x e -=+C ．()2x f x e -=--D ．()2x f x e -=-35．（2012•闵行区一模）若函数()y f x =的图象与函数12x y +=的图象关于1y x =+对称，则()(f x = )A ．2log xB ．2log (1)x -C ．2log (1)x +D ．2log 1x -二．填空题（共15小题）36．（2005•天津）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）f +（5）= ． 37．（2011•泰安一模）设函数()||f x x x bx c =++，给出四个命题：①0c =时，()y f x =是奇函数；②0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实数根； ③()y f x =的图象关于(0,)c 对称； ④方程()0f x =至多有两个实数根； 上述命题中正确的命题的序号是 ．38．（2011•太原一模）定义在(,)-∞+∞上的偶函数()f x 满足(1)()f x f x +=-，且在[1-，0]上是增函数，下面是关于函数()f x 的判断： ①()f x 的图象关于点1(2P ，0)对称；②()f x 的图象关于直线1x =对称； ③()f x 在[0，1]上是增函数； ④f （2）(0)f =．其中正确的判断有 ．（把你认为正确的判断都填上）39．（2011•苏州一模）已知奇函数()f x 的图象关于直线2x =-对称，当[0x ∈，2]时，()2f x x =，则(9)f -= ．40．（2016•洛阳模拟）若函数22(0)()()(0)x x x f x g x x ⎧+=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -= ．41．（2011•二七区校级模拟）设函数()||f x x x bx c =++，给出下列4个命题： ①0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实数根； ②0c =时，()y f x =是奇函数； ③()y f x =的图象关于点(0,)c 对称； ④函数()f x 至多有2个零点．上述命题中的所有正确命题的序号是 ．42．（2012•静安区一模）设函数()|1|||f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为 ．43．（2018•青岛二模）若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()f x 的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则对称点(,)P Q 是函数()f x 的一个“友好点对”（点对(,)P Q 与(,)Q P 看作同一个“友好点对” )．已知函数2241,0()2,0x x x x f x x e⎧++<⎪=⎨⎪⎩则()f x 的“友好点对”有 个．44．（2012•海门市校级模拟）用{min a ，}b 表示a ，b 两数中的最小值，若函数(){||f x min x =，||}x t +的图象关于12x =-对称，则t 的值为 ．45．（2010•海安县校级模拟）对于定义在R 上的函数()f x ，有下述命题： ①若()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称； ②若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数； ③若对x R ∈，有(1)()f x f x -=-，则()f x 的周期为2； ④函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于直线0x =对称． 其中正确命题的序号是 ．46．（2014•海门市校级模拟）函数42sin 1()1xy x R x x =-∈++的最大值与最小值之和为 ．47．（2012秋•雁塔区校级期中）下列几个命题①方程2(3)0x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <．②函数y =③函数()f x 的值域是[2-，2]，则函数(1)f x +的值域为[3-，1]．④设函数()y f x =定义域为R 且满足(1)(1)f x f x -=-，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称．⑤曲线2|3|y x =-和直线()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1． 其中正确的有 ．48．（2007•莱州市校级一模）设函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x -=-对一切x R ∈都成立，又当[1x ∈-，1]时，3()f x x =，则下列四个命题： ①函数()y f x =是以4为周期的周期函数； ②当[1x ∈，3]时，3()(2)f x x =-； ③函数()y f x =的图象关于1x =对称； ④函数()y f x =的图象关于(2,0)对称． 其中正确的命题是 ．49．（2017秋•清流县校级期中）已知奇函数()f x 在0x 时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集 ．50．（2013•东至县一模）若直角坐标平面内M、N两点满足：①点M、N都在函数()f x的图象上；②点M、N关于原点对称，则称这两点M、N是函数()f x的一对“靓点”．已知函数3,0()3,0x xf xx x⎧=⎨->⎩则函数()f x有对“靓点”．奇偶函数图象的对称性参考答案与试题解析一．选择题（共35小题）1．（2019秋•丹东期末）下列函数中，其图象与函数y lgx =的图象关于点(1,0)对称的是()A ．(1)y lg x =-B ．(2)y lg x =-C ．0.1log (1)y x =-D ．0.1log (2)y x =-【分析】设所求函数图象上任意一点(,)P x y ，则(,)P x y 关于(1,0)对称的点(2,)x y --在y lgx =上，代入即可求解．【解答】解：设所求函数图象上任意一点(,)P x y ，则(,)P x y 关于(1,0)对称的点(2,)x y --在y lgx =上，即(2)y lg x -=-，所以0.1(2)log (2)y lg x x =--=- 故选：D ．【点评】本题主要考查了利用函数的对称性求解函数解析式，属于基础试题． 2．（2008•全国卷Ⅱ）函数1()f x x x=-的图象关于( ) A ．y 轴对称B ．直线y x =-对称C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称【分析】根据函数()f x 的奇偶性即可得到答案． 【解答】解：1()()f x x f x x-=-+=-∴1()f x x x=-是奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称 故选：C ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，是高考必考题型．3．（2010•重庆）函数41()2x x f x +=的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y x =对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【分析】题设条件用意不明显，本题解题方法应从选项中突破，由于四个选项中有两个选项是与奇偶性有关的，故先验证奇偶性较好，【解答】解：4114()()22x xx x f x f x --++-===，()f x ∴是偶函数，图象关于y 轴对称故选：D ．【点评】考查函数的对称性，宜从奇偶性入手研究．4．（2011•山东）对于函数()y f x =，x R ∈，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】通过举反例判断出前面的命题推不出后面的命题；利用奇函数的定义，后面的命题能推出前面的命题；利用充要条件的定义得到结论．【解答】解：例如2()4f x x =-满足|()|f x 的图象关于y 轴对称，但()f x 不是奇函数， 所以，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”推不出“()y f x =是奇函数”当“()y f x =是奇函数” ()()|()||()||()|f x f x f x f x y f x ⇒-=-⇒-=⇒=为偶函数⇒，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”所以，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的必要而不充分条件 故选：B ．【点评】本题考查奇函数的定义、判断一个命题是另一个命题的条件问题常用判断是否相互推出，利用条件的定义得到结论． 5．（2009•黑龙江）函数22log 2xy x-=+的图象( ) A ．关于直线y x =-对称 B ．关于原点对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y x =对称【分析】先看函数的定义域，再看()f x -与()f x 的关系，判断出此函数是个奇函数，所以，图象关于原点对称．【解答】解：由于定义域为(2,2)-关于原点对称， 又222222()loglog()x x x x f x f x +--+-==-=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称， 故选：B ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性． 6．（2014•南昌模拟）已知定义域为R 的函数()y f x =满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，若124x x +<且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．可能等于0D ．可正可负【分析】设12x x <，根据题意推断出122x x <<，根据已知等式推断出214x x <-，进而利用函数的单调性判断出21()()f x f x <-，得出结论． 【解答】解：设12x x <，有122x x <<， 11()(4)f x f x =--124x x +<， 214x x ∴<-，2x >，()f x 单调递增 211()(4)()f x f x f x ∴<-=- 12()()0f x f x +<，故选：B ．【点评】本题主要考查函数的对称性． 7．（2015•凯里市校级模拟）函数sin 3xy x =+的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【分析】确定函数的定义域，考查函数的性质，即可得到函数的图象． 【解答】解：设()sin 3xf x x =+，则函数的定义域为R ()sin()(sin )()33x xf x x x f x --=+-=-+=-∴函数为奇函数1()cos3f x x '=+，()sin f x x ''=-，∴函数在原点右侧，靠近原点处单调增，且0x <时，()0f x <，0x >时，()0f x >．故选：C ．【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性与奇偶性，属于基础题． 8．（2012•天门模拟）函数2sin cos 3cos 3y x x x =+-的图象的一个对称中心是( ) A ．23(,)32π- B ．53(,)62π- C ．23(,)32π-D ．(,3)3π-【分析】先根据二倍角公式将函数进行化简为3sin(2)32y x π=+-，然后代入检验即可．【解答】解：2133sin cos 3cos 3sin 2cos2222y x x x x x =+-=+-3sin(2)32x π=+-故原函数的对称中心的纵坐标一定是32-故排除CD 将23x π=代入sin(2)3x π+不等于0，排除A ． 故选：B ．【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式和对称中心．这种题型是每年高考中必考题目，做题第一步先将原函数化简再进行求解．9．（2015•上饶校级二模）奇函数()f x 、偶函数()g x 的图象分别如图1、2所示，方程(())0f g x =、(())0g f x =的实根个数分别为a 、b ，则(a b += )A ．14B ．10C ．7D ．3【分析】先利用奇函数和偶函数的图象性质判断两函数的图象，再利用图象由外到内分别解方程即可得两方程解的个数，最后求和即可【解答】解：由图可知，图1为()f x 图象，图2为()g x 的图象，(2,1)m ∈--，(1,2)n ∈∴方程(())0()1f g x g x =⇔=-或()0g x =或()11g x x =⇔=-，1x =，x m =，0x =，x n =，2x =-，2x =，∴方程(())0f g x =有7个根，即7a =；而方程(())0()g f x f x a =⇔=或()0f x =或()()01f x b f x x =⇔=⇔=-，0x =，1x =，∴方程(())0g f x = 有3个根，即3b = 10a b ∴+=故选：B ．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的图象性质，利用函数图象解方程的方法，数形结合的思想方法，属基础题10．（2009•福建）定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如图所示，则在(2,0)-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是( )A ．21y x =+B ．||1y x =+C ．321,01,0x x y x x +⎧=⎨+<⎩D ．,0,0x x e x y e x -⎧=⎨<⎩【分析】首先利用偶函数的对称性，判断出()f x 在(2,0)-为减函数．然后分别分析选项中4个函数的单调性．最后判断答案即可． 【解答】解：利用偶函数的对称性 知()f x 在(2,0)-上为减函数． 又21y x =+在(2,0)-上为减函数； ||1y x =+在(2,0)-上为减函数；321,01,0x x y x x +⎧=⎨+<⎩在(2,0)-上为增函数．,1,0x x e x o y x e⎧⎪∴=⎨<⎪⎩在(2,0)-上为减函数．故选：C ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的关系，涉及到二次函数，绝对值函数，一次函数，3次函数，以及指数函数的单调性．属于中档题．11．（2018•宝鸡三模）函数41()2x x f x +=的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．【解答】解：因为4141()22222x x x x x x x f x -+===+=+，所以()2222()x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()f x 是偶函数，即函数图象关于y 轴对称． 故选：A ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．12．（2014•烟台三模）函数(1),0()cos ,02lg x x f x x x π+>⎧⎪=⎨<⎪⎩图象上关于坐标原点O 对称的点有n 对，则(n = ) A ．3B ．4C ．5D ．无数【分析】要求函数图象上关于坐标原点对称，则有()()f x f x -=-，转化为方程根的个数，再用数形结合法求解．【解答】解：当0x <时，函数()cos 2f x x π=，则关于原点对称的图象为cos 2y x π=-，0x >，作出函数的图象如图： 当10x =时，111y lg =>， 11cos12y π=-=，0x >， 则由图象可知两个图象的交点个有4个， 故4n =，故选：B ．【点评】本题主要通过分段函数来考查函数奇偶性的应用，同时还考查了学生作图和数形结合的能力．13．（2016•北海一模）下列函数中，图象关于坐标原点对称的是( ) A ．y lgx =B ．cos y x =C ．||y x =D ．sin y x =【分析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，要找图象关于原点对称，即在4个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法．【解答】解：根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称， :A y lgx =是非奇非偶函数，错误:cos B y x =为偶函数，图象关于y 轴对称，错误 :||C y x =为偶函数，图象关于y 轴对称，错误 :sin D y x =为奇函数，图象关于原点对称，正确故选：D ．【点评】本题主要考查了函数奇、偶函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，奇偶函数的判断，注意：再判断函数的奇偶性时，不但要检验()f x -与()f x 的关系，更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验． 14．（2012秋•尖山区校级期末）函数1()f x x x=-的图象关于( ) A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y x =对称【分析】利用函数奇偶性的定义进行验证，可得函数1()f x x x=-是定义在(-∞，0)(0⋃，)+∞上的奇函数，由此可得函数图象关于原点对称．【解答】解：1()f x x x=- 1()f x x x ∴-=-+，11()()f x x x x x-=--=--，可得()()f x f x -=-又函数定义域为{|0}x x ≠∴函数()f x 在其定义域是奇函数根据奇函数图象的特征，可得函数()f x 图象关于原点对称 故选：C ．【点评】本题给出函数()f x ，要我们找()f x 图象的对称性，着重考查了函数的奇偶性与函数图象之间关系的知识，属于基础题． 15．（2010•南昌二模）函数2log x y x=的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】先由奇偶性来确定是AB 还是CD 中的一个，再通过对数函数，当1x =时，函数值为0，可进一步确定选项． 【解答】解：()()f x f x -=-是奇函数，所以排除A ，B当1x =时，()0f x =排除C 故选：D ．【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并灵活地运用图象及其分布是数形结合解题的关键．16．（2014秋•椒江区校级期中）函数()22x x f x -=+的图象关于( )对称． A ．坐标原点B ．直线y x =C ．x 轴D ．y 轴【分析】根据已知函数的解析式，求出函数的奇偶性，进而根据偶函数的图象关于y 轴对称得到答案．【解答】解：函数()22x x f x -=+的定义域为R()22()x x f x f x --=+=∴函数()f x 为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称 故选：D ．【点评】本题考查的知识点是奇偶函数的图象的对称性质，其中分析出函数的奇偶性是解答的关键．17．（2013•潼南县校级模拟）设()f x 定义在实数集R 上的函数，满足条件(1)y f x =+是偶函数，且当1x 时，1()()12x f x =-，则231(),(),()323f f f 的大小关系是( )A ．231()()()323f f f >>B ．213()()()332f f f >>C ．321()()()233f f f >>D ．132()()()323f f f >>【分析】根据函数(1)y f x =+是偶函数得到函数关于1x =对称，然后利用函数单调性和对称之间的关系，进行比较即可得到结论． 【解答】解：(1)y f x =+是偶函数，(1)(1)f x f x ∴-+=+，即函数()f x 关于1x =对称．当1x 时，1()()12x f x =-，为减函数，∴当1x 时函数()f x 为增函数．3111()(1)(1)()2222f f f f =+=-+=，且112323<<，∴112()()()323f f f <<，即231()()()323f f f >>．故选：A ．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件求出函数的对称性是解决本题的关键．18．（2017秋•碑林区期中）函数3()f x x x =+的图象关于( ) A ．y 轴对称B ．直线y x =-对称C ．坐标原点对称D ．直线y x =对称【分析】利用3()()f x x x f x -=--=-可判断函数()f x 的奇偶性，根据奇偶函数的性质即可判断选项．【解答】解：3()()f x x x f x -=--=-，∴函数3()f x x x =+为奇函数，奇函数的图象关于原点对称， 故选：C ．【点评】本题考查奇偶函数图象的对称性，着重考查奇偶函数的定义及性质，属于基础题． 19．（2014秋•汉台区校级期末）下列说法错误的是( ) A ．42y x x =+是偶函数 B ．偶函数的图象关于y 轴对称C ．32y x x =+是奇函数D ．奇函数的图象关于原点对称【分析】利用偶函数的定义判断出A 对；利用偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称得到B ，D 正确．【解答】解：偶函数的定义是满足()()f x f x -=；奇函数的定义是()()f x f x -=- 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 所以B ，D 是正确的对于A 将x 换为x -函数解析式不变，A 是正确的 故选：C ．【点评】本题考查偶函数、奇函数的定义；偶函数、奇函数的图象的对称性． 20．（2011•辽宁校级二模）函数()y xln x =-与y xlnx =的图象关于( ) A ．直线y x =对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称【分析】根据选择项，若关于直线y x =对称，则有1()()f x g x -=，关于y 轴对称则有()()f x g x =-，关于x 轴对称，则有()()f x g x =-关于原点对称()()f x g x =--，从而得到结论． 【解答】解：()()f x xln x =-，()g x xlnx =()f x xlnx -=- ()()f x g x ∴-=-()()f x xln x ∴=-与()g x xlnx =的图象关于原点对称．故选：D ．【点评】本题主要考查两个函数的对称性，一般地，()()f x g x =-关于y 轴对称，()()f x g x =-关于x 轴对称，()()f x g x =--关于原点对称，1()()f x g x -=关于y x =对称，属于基础题．21．（2012秋•黄冈期末）已知函数f ()x 是定义在闭区间[a -，](0)a a >上的奇函数，()F x f = ()1x +，则()F x 最大值与最小值之和为( )A ．1B ．2C ．3D ．0【分析】由已知中函数f ()x 是定义在闭区间[a -，](0)a a >上的奇函数，我们可以判断()f A -，f （A ），进而求出()F x 的最大值与最小值，进而求出答案． 【解答】解：函数f ()x 是定义在闭区间[a -，](0)a a >上的奇函数， 则函数的最大值和最小值，分别为()f A -，f （A ）， 又()F x f = ()1x +，()F x ∴最大值与最小值分别为()1f A -+，f （A ）1+， ()F x ∴最大值与最小值之和为2故选：B ．【点评】本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，其中根据奇函数的性质，判断出函数f ()x 在闭区间[a -，](0)a a >上的最大值与最小值互为相反数是解答本题的关键．22．（2010•长沙校级模拟）在直角坐标系中，如果两点(,)A a b ，(,)B a b --在函数()y f x =的图象上，那么称[A ，]B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点([A ，]B 与[B ，]A 看作一组）．函数4cos 0()2log (1),0x x g x x x π⎧⎪=⎨⎪+>⎩关于原点的中心对称点的组数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】根据函数图象的变化，分析可得函数4log (1)(0)y x x =+>的图象过空点(0,0)和实点(3,1)，结合题意，找到其关于原点对称的点，易得其对称的图象与cos ,02y x x π=有两个交点，即可得答案．【解答】解：函数4log (1)y x =+可以由对数函数4log y x =的图象向左平移1个单位得到， 又由0x >，则图象过空点(0,0)和实点(3,1)，则与函数4log (1)y x =+，0x >图象关于原点对称的图象过(3,1)--， 所以对称的图象与cos,02y x x π=有两个交点，坐标分别为(0，0)(3-，0)， 故关于原点的中心对称点的组数为2， 故选：B ．【点评】本题考查分段函数的图象，涉及余弦函数与对数函数的图象，注意其图象中的特殊点进行分析即可．23．（2012•公安县校级模拟）如图展示了一个由区间(0,4)到实数集R的映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M（如图），将线段AB围成一个正方形，使两端点A、B恰好重合（如图），再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上，点A的坐标为(0,4)（如图），若图中直线AM与x轴交于点(,0)N n，则m的象就是n，记作()=．现给出以下命题：f m n①f（2）0=；②()f x的图象关于点(2,0)对称；③()f x在(3,4)上为常数函数；④()f x为偶函数．其中正确命题的个数有()A．1B．2C．3D．4【分析】本题利用直接法和排除法解决．由题意知，①可直接求解其函数值进行判断；函数()f x是非奇非偶函数，故④错．当x从f x的定义域为(0,4)，不关于原点对称，函数()→变化时，点N始终在正方形的一条边的延长线上，其对应的坐标值不变，所以③34正确．对于②，由于当2m=时对应的正方形的点在y轴，可从运动的角度进行分析．【解答】解：由题意知，f（2）0=，故①对；又函数()f x是非奇非偶函数，故④错．f x的定义域为(0,4)，不关于原点对称，∴函数()当x从34→变化时，点N始终在正方形的一条边的延长线上，其对应的坐标值不变，故f x在(3,4)上为常数函数，所以③正确．()对于②，由于当2f x的图象关于点(2,0)对称，故m=时对应的正方形的点在y轴，所以()②正确．故选：C．【点评】本题主要考查了映射和函数的概念及其构成要素，具有一定的新意，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．24．（2012•武昌区模拟）函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-，当12x 时，2()f x x =，则()f x 的单调减区间是( )A ．[2k ，21]()k k Z +∈B ．[21k -，2]()k k Z ∈C ．[2k ，22]()k k Z +∈D ．[22k -，2]()k k Z ∈【分析】根据对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-，可以得出函数的奇偶性和周期性，再根据当12x 时，2()f x x =可得函数的单调性，故可求得R 上函数的单调减区间．【解答】解：对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)(3)f x f x -=-， (3)(3)f x f x ∴-=-，∴函数()f x 是偶函数，1x =是一条对称轴，周期函数，周期为2．又12x 时，2()f x x =∴函数()f x 在区间[1，2]上单调递增． ∴函数()f x 在区间[0，1]上单调递减．()f x ∴的单调减区间是[2k ，21]()k k Z +∈．故选：A ．【点评】考查函数的单调性，对称性和周期性，属中档题．25．（2015秋•青州市期中）已知函数()y f x =是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程()0f x = 的所有实根之和是( )A ．0B ．1C ．2D ．4【分析】由函数()y f x =是偶函数，知其图象关于y 轴对称，与x 轴有四个交点自然也关于y 轴对称可得结论．【解答】解：函数()y f x =是偶函数∴其图象关于y 轴对称∴其图象与x 轴有四个交点也关于y 轴对称 ∴方程()0f x = 的所有实根之和为0故选：A ．【点评】本题主要考查偶函数的图象关于y 轴对称，同时考查函数与方程的转化． 26．（2011秋•裕安区校级期末）已知()f x 是奇函数，且方程()0f x =有且仅有3个实根1x 、2x 、3x ，则123x x x ++的值为( )A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定【分析】首先根据()f x 是奇函数，分析一个根为零，另外两个根互为相反数．然后即可求出123x x x ++的值． 【解答】解：()f x 是奇函数，()f x ∴一定过原点方程()0f x =有且仅有3个实根1x 、2x 、3x∴其中一个根为0，不妨设20x =()f x 是奇函数∴方程的两个根关于原点对称，即130x x +=1230x x x ∴++=故选：A ．【点评】本题考查奇偶函数图象的性质问题，通过分析奇偶函数的性质求出3个根的关系．本题属于基础题．27．（2011•黄冈一模）定义在R 上的函数的图象关于点3(4-，0)成中心对称且对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+且(1)1f -=，(0)2f =-，则f （1）f +（2）(2010)(f +⋯+=) A ．0B ．2-C ．1-D ．4-【分析】先根据条件确定函数的周期，再由函数的图象关于点3(4-，0)成中心对称知为奇函数，从而求出f （1）、f （2）、f （3）的值，最终得到答案． 【解答】解：由3()()2f x f x =-+得()(3)f x f x =+即周期为3，由图象关于点3(4-，0)成中心对称得3()()02f x f x +--=，从而33()()22f x f x -+=---，所以()()f x f x =-．f （1）f =（4）(2008)1f =⋯==，由(1)1f -=，可得出f （2）f =（5）(2009)1f =⋯==，由(0)2f =-， 可得出f （3）f =（6）(2010)2f =⋯==-， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数的性质--周期性和对称性．函数的性质是研究一个函数的基本，是每年高考必考题．28．（2010•江苏模拟）设奇函数()f x 的定义域为[5-，5]．若当[0x ∈，5]时，()f x 的图象如右图，则不等式()0f x <的解是( )A ．(5-，2)(2-⋃，5]B ．(5-，2)(2-⋃，5)C ．[2-，0](2⋃，5]D ．(2-，0)(2⋃，5]【分析】由奇函数图象的对称特征得出此函数在y 轴左侧的图象特征，再结合图象，只须观察图象在x 轴下方时相应的x 的值即可解题． 【解答】解：当[0x ∈，5]时，由()f x 的图象可知， (0,2)x ∈时，不等式()0f x >， (2x ∈，5]时，不等式()0f x <又奇函数()f x 的定义域为[5-，5] 故(2,0)x ∈-，不等式()0f x <， [5x ∈-，2))-时，不等式()0f x >．则不等式()0f x <的解是：(2-，0)(2⋃，5]． 故选：D ．【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，是数形结合思想运用的典范，解题要特别注意图中的区间的端点细节．29．（2010•中山市模拟）10、已知函数(),0(),0f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数，()log a f x x =对应的图象如图所示，则()(g x = )A ．2xB ．12()log x -C ．2log ()x -D ．2log ()x --【分析】由函数(),0(),0f x x y g x x >⎧=⎨<⎩是偶函数得到图象关于y 轴对称．再由()log a f x x =对应的图象过(2,1)求得a ，再由0x >时，2()log f x x =求得()g x ． 【解答】解：函数(),0(),0f x x yg x x >⎧=⎨<⎩是偶函数∴图象关于y 轴对称．()log a f x x =对应的图象过(2,1)2a ∴=又0x >时，2()log f x x =0x ∴<时，2()log ()f x x =-即：2()log ()g x x =- 故选：C ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性及其图象，特别是常见函数对称性，如：()f x 与()f x -，()f x -图象关系，及(||)f x ， |()|f x ，|(||)|f x 的图象变化．30．（2005•天津）设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，()f x 在(0,3)内单调递减，且()y f x =的图象关于直线3x =对称，则下面正确的结论是( )A ．(1.5)(3.5)(6.5)f f f <<B ．(3.5)(1.5)(6.5)f f f <<C ．(6.5)(3.5)(1.5)f f f <<D ．(3.5)(6.5)(1.5)f f f <<【分析】由函数()f x 的周期为6，从而有(6)()f x f x +=，所以有(6.5)(0.5)f f =，(3.5)(2.5)f f =，又因为00.5 1.5 2.53<<<<，且函数在(0,3)内单调递减，从而判断大小【解答】解：()f x 在R 上以6为周期，对称轴为3x =，且在(0,3)内单调递减，(3.5)(2.5)f f =，(6.5)(0.5)f f = 0.5 1.5 2.5<<(2.5)(1.5)(0.5)f f f ∴<<即(3.5)(1.5)(6.5)f f f << 故选：B ．【点评】本题主要考查了函数的周期性与单调性的综合运用，利用周期性把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法．31．（2018秋•汇川区校级期中）二次函数()f x 的二次项系数为正数，且对任意项x R ∈都有()(4)f x f x =-成立，若22(12)(12)f x f x x -<+-，则x 的取值范围是( )A ．2x >B ．2x <-或02x <<C ．20x -<<D ．2x <-或0x >【分析】由条件“对任意项x R ∈都有()(4)f x f x =-”可得函数()f x 的对称轴为2x =，得到函数()f x 在(-∞，2]上是单调减函数，所以利用二次函数的单调性建立不等式关系，解之即可． 【解答】解：对任意项x R ∈都有()(4)f x f x =-∴函数()f x 的对称轴为2x =而函数的开口向上，则函数()f x 在(-∞，2]上是单调减函数 2121x -，2212(1)22x x x +-=--+，22(12)(12)f x f x x -<+-221212x x x ∴->+-，解得20x -<<，故选：C ．【点评】本题考查了函数的单调性的应用，以及奇偶函数图象的对称性，属于基础题． 32．（2016春•石家庄校级期末）设偶函数()y f x =和奇函数()y g x =的图象如图所示：集合{|(())0}A x f g x t =-=与集合{|(())0}B x g f x t =-=的元素个数分别为a ，b ，若112t <<，则a b +的值不可能是( )A ．12B ．13C ．14D ．15。