上海市虹口区2020届高三数学二模
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 函数()3cos21f x x =+的最小值为
2.
函数()f x =的定义域为 3. 设全集R U =，若{||2|3}A x x =-≥，则U A =
4. 3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活 动的概率为
5. 已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =
6.
设复数cos i sin i z αα=
（i
为虚数单位），若||z =tan2α= 7.
若25(ax +的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 8. 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c
，若b =，8c =，30A =︒， 则sin C =
9. 已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩
，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅的
最大值为
10. 已知1F 、2F 是椭圆22
2:13
x y C a +=
（a >的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60° 的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为
11. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====
，PB =点D 为 BC
的中点，且PD =O 的体积为
12. 已知函数|51|1()811
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
14. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体
的表面积（单位：2cm ）为（ ）
A. 32
B. 36
C. 40
D. 48
15. 已知函数1()sin()62f x x π
ω=++（0ω>）在区间(0,)2
π 上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）
A. 14(2,]3
B. 14[2,)3
C. 10[,4)3
D. 10(,6]3
16. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,N m n ∈，若存在正整数i 、j （1i j <<），使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ）
A. 16
B. 12
C. 8
D. 6
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB == 2=，设E 、F 、F 分别为PC 、PC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图.
（1）求证：FH ∥平面PBD ；
（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的大小.
18. 已知函数4()31
x f x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由； （2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3x u f x ≥
恒成立， 求实数u 的最大值.
19. 某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H 型” 图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边 是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2AOB α∠=，记“H ”型图形的面积为S . （1）将AB 、AD 用R 、α表示，并将S 表示成α的函数； （2）为了突出“H ”型图形，设计时应使S 尽可能大，则当α为何值时，S 最大？并求出S 的最大值.
20. 设双曲线22
22:1x y C a b
+=的左顶点为D ，且以点D 为圆心的圆222:(2)D x y r ++= （0r >）与双曲线C 分别相交于点A 、B ，如图所示.
（1）求双曲线C 的方程；
（2）求DA DB ⋅的最小值，并求出此时圆D 的方程；
（3）设点P 为双曲线C 上异于点A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别与x 轴相交于点M 、N ，求证：||||OM ON ⋅为定值（其中O 为坐标原点）.
21. 已知项数为m （*N m ∈，2m ≥）的数列{}n a 满足条件：
①*N n a ∈（1,2,,n m =⋅⋅⋅）；②12m a a a <<⋅⋅⋅<；
若数列{}n b 满足*12()N 1
m n n a a a a b m ++⋅⋅⋅+-=∈-（1,2,,n m =⋅⋅⋅），则称{}n b 为数列 {}n a 的“关联数列”.
（1）数列1，5，9，13，17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”， 若不存在，请说明理由；
（2）若数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，证明：11n n a a m +-≥-（1,2,,1n m =⋅⋅⋅-）；
（3）已知数列{}n a 存在“关联数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，
求数列{}n a 项数m 的最小值与最大值.
参考答案
一. 填空题
1. 2-
2. (3,1]-
3. (1,5)-
4.
18
5. 2
6. 1
7. 12
- 8. 7
9. 16 10. 11.
12. 8(,4)5
二. 选择题
13. B 14. A 15. D 16. C
三. 解答题
17.（1）略；（2）arcsin 15
. 18.（1）2a =，奇函数，2a ≠，非奇非偶函数；（2）3.
19.（1）2sin AB R α=，2cos sin 3AD R R αα=-；22162(sin cos sin )33
S R ααα=-；
（2）12arctan 423
πα=-时，max 169S =. 20.（1）2
214
x y -=；（2）13-，2211(2)9x y ++=；（3）4. 21.（1）存在；（2）略；（3）略.。
2020年上海市高三数学二模分类汇编：三角(16区全)
1（2020静安二模）. 若sin 3x =，则cos(2)x π-的值为 1（2020虹口二模）. 函数()3cos21f x x =+的最小值为2（2020宝山二模）. 函数)1arcsin(+=x y 的定义域是 2（2020黄浦二模）. 函数22cos 2y x =+的最小正周期为 3（2020杨浦二模）. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为 3（2020徐汇二模）. 函数()cos 3xf x π=的最小正周期为5（2020黄浦二模）. 如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+= 5（2020徐汇二模）. 方程1sin 3x =在[,]2ππ上的解是 7（2020奉贤二模）. 在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅，则A 的取值范围是7（2020崇明二模）. 若1sin()23πα+=，则cos2α=8（2020虹口二模）. 设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若b =，8c =，30A =︒，则sin C =9（2020崇明二模）. 将函数()sin f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ>）个单位后得到函数()y g x =的图像，若对满足12|()()|2f x g x -=的任意1x 、2x ，12||x x -的最小值是3π，则ϕ的最小值是10（2020普陀二模）. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若22csc()ab ca b c A B -=++，则角C 的大小为11（2020崇明二模）. 在△ABC 中，,cos )AB x x =uu u r ，(cos ,sin )AC x x =uuu r ，则△ABC面积的最大值是12（2020嘉定二模）. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222sin a b c A ++=，则A =14（2020宝山二模）. 若函数x a x x f cos sin )(+=的图像关于直线4x π=对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 1-C.D. 15（2020徐汇二模）. 设点2( 1)(0)2t P t t+<，是角α终边上一点，当||OP uu u r 最小时，cos α的值是（ ）A. 5-B. 5C. 5D. 515（2020虹口二模）. 已知函数1()sin()62f x x πω=++（0ω>）在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）A. 14(2,]3 B. 14[2,)3 C. 10[,4)3 D. 10(,6]315（2020长宁二模）. 在直角坐标系xOy 中，角α的始边为x 轴的正半轴，顶点为坐标原点O ，已知角α的终边l 与单位圆交于点(0.6,)A m ，将l 绕原点逆时针旋转2π与单位圆交于点(,)B x y ，若4tan 3α=-，则x =（ ）A. 0.6B. 0.8C. 0.6-D. 0.8- 15（2020浦东二模）. 已知函数()cos |cos |f x x x =⋅，给出下列结论： ①()f x 是周期函数； ②函数()f x 图像的对称中心(,0)2k ππ+（Z k ∈）；③若12()()f x f x =，则12x x k π+=（Z k ∈）；④不等式sin 2|sin 2|cos2|cos2|x x x x ππππ⋅>⋅的解集为15{|,Z}88x k x k k +<<+∈； 则正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③④C. ①③④D. ①②④16（2020静安二模）. 若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ≤<）满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合，对任意的x ∈R 都有()(26f x f π≤=）成立.（1）求()f x 的解析式；（2）若锐角△ABC 的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =， 求△ABC 的周长l 的取值范围.18（2020闵行二模）. 已知函数2()3cos cos f x x x x ωωω=+（0ω>）. （1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值；（2）当1ω=时，设△ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32A f =，且a =，6b =，求△ABC 的面积.18（2020松江二模）. 已知函数2()2cos cos f x x x x =+.（1）求()f x 的最大值和最小正周期T ；（2）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()32Af =，且1a =， 求△ABC 面积的最大值.18（2020宝山二模）. 已知函数())f x x ωϕ=+，()g x x ω=，0ω>，[0,)ϕπ∈，它们的最小正周期为π.（1）若)(x f y =是奇函数，求)(x f 和)(x g 在[0,]π上的公共递减区间D ； （2）若()()()h x f x g x =+的一个零点为6x π=-，求()h x 的最大值.18（2020普陀二模）. 设函数2()2sin ())1263x f x x ωππω=++-.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为()2f π，求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数()f x 在区间(,2)ππ内不存在零点，求正实数ω的取值范围.18（2020嘉定二模）. 设常数a ∈R ，函数2()2cos f x x a x =+.（1）若()f x 为奇函数，求a 的值；（2）若()36f π=，求方程()2f x =在区间[0,]π上的解.18（2020青浦二模）. 已知函数2π()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x =++. （1）若函数()y f x =的图像关于直线x a =（0a >）对称，求a 的最小值； （2）若存在05[0,]2π1x ∈，使0()20mf x -=成立，求实数m 的取值范围.18（2020杨浦二模）. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且5a =，7b =.（1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.18（2020金山二模）. 已知函数2()2cos 2xf x x =. （1）求函数()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间； （2）当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3πα+的值.18（2020长宁二模）. 已知函数()sin f x x x =-，R x ∈.（1）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若()0f A =，且2b =，3c =，求a 的值；（2）求函数()cos y f x x =的最大值.18（2020浦东二模）. 已知锐角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方形重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q . （1）求cos()αβ+的大小；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为三个内角A 、B 、C 对应的边长，若已知角C αβ=+，3tan 4A =，且22a bc c λ=+，求λ的值.。
上海市虹口区2020年高考数学二模试卷(理科)含答案解析
上海市虹口区2020年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、填空题（本大题满分56分）本大题共14小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得4分，否则一律不得分.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N=．2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=．3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为（结果用数值表示）4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为．5．已知函数f（x）的对应关系如表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2f（x） 3 ﹣2 1 5 m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为．6．在正项等比数列{a n}中，a1a3=1，a2+a4=，则（a1+a2+…+a n）=．7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为．9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为．11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为．12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为．13．假设某10张奖券中有一等奖1张奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖．现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望Eξ的概率为．14．已知对任意的x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），y∈[﹣1，1]，不等式x2+﹣2xy﹣﹣a≥0恒成立，则实数a的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共4小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分. 15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．已知抛物线C1：y2=4x的焦点F恰好是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的右焦点，且两条曲线C1与C2交点的连线过点F，则椭圆C2的长轴长等于（）A． +1 B．2 C．2+2 D．417．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+）=0，则△ABC的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形18．已知点列A n（a n，b n）（n∈N*）均为函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，点列B n（n，0）满足|A n B n|=|A n B n+1|，若数列{b n}中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，1）∪（1，）C．（0，）∪（，+∞）D．（，1）∪（1，）三、解答题（本大题共5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若=12，求△ABC的面积．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．（1）求点A到平面PCD的距离；（2）若点Q为线段BP的中点，求直线CQ与平面ADQ所成角的大小．21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．23．设数列{a n}的前n项和为S n，且（S n﹣1）2=a n S n（n∈N*）．（1）求出S1，S2，S3的值，并求出S n及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n+1（a n+a n+1）（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=（n+1）a n（n∈N*），在数列{c n}中取出m（m∈N*且m≥3）项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列{d n}，若对任意的数列{d n}，均有d1+d2+…+d n≤M，试求M 的最小值．2020年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共14小题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填写对得4分，否则一律不得分.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|log2x≤0}，则M∪N=[0，1] ．【分析】求出M中方程的解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出两集合的并集即可．【解答】解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即M={0，1}，由N中不等式变形得：log2x≤0=log21，即0＜x≤1，∴N=（0，1]，则M∪N=[0，1]，故答案为：[0，1]【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知虚数1+2i是方程x2+ax+b=0（a，b∈R）的一个根，则a+b=3．【分析】根据实系数的一元二次方程x2+ax+b=0的两个虚数根互为共轭复数，再利用根与系数的关系，即可求出a、b的值．【解答】解：虚数1+2i是方程x2+ax+b=0的一个根，∴共轭虚数1﹣2i也是此方程的一个根，∴a=﹣（x1+x2）=﹣（1+2i+1﹣2i）=﹣2；b=x1x2=（1+2i）（1﹣2i）=5；∴a+b=﹣2+5=3．故答案为：3．【点评】本题考查了实系数的一元二次方程两个虚数根互为共轭复数以及根与系数关系的应用问题，是基础题．3．在报名的5名男生和4名女生中，选取5人参加志愿者服务，要求男生、女生都有，则不同的选取方法的种数为125（结果用数值表示）【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名中选取5人，参加志愿者服务，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有男生的情况，即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的5名男生和4名女生，共9名学生，在9名中选取5人，参加志愿者服务，有C95=126种；其中只有男生C55=1种情况；则男、女生都有的选取方式的种数为126﹣1=125种；故答案为：125．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．4．已知复数z在复平面内对应的点在曲线y=上运动，则|z|的最小值为2．【分析】设z=x+i（x∈R，x≠0），利用复数模的计算公式、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设z=x+i（x∈R，x≠0），则|z|=≥=2，当且仅当x=时取等号，故答案为：2．【点评】本题考查了复数的模的计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知函数f（x）的对应关系如表：x ﹣2 ﹣1 0 1 2f（x） 3 ﹣2 1 5 m若函数f（x）不存在反函数，则实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5} ．【分析】由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，利用反函数的定义及其性质即可得出．【解答】解：由已知可得：f（﹣2）=3，f（﹣1）=﹣2，f（0）=1，f（1）=5，f（2）=m，∵函数f（x）不存在反函数，则m的值只可以为：﹣2，1，3，5，否则存在反函数．∴实数m的取值集合为{﹣2，1，3，5}．故答案为：{﹣2，1，3，5}．【点评】本题考查了反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．在正项等比数列{a n}中，a1a3=1，a2+a4=，则（a1+a2+…+a n）=．【分析】由题中的条件求出q=，a1=，利用等比数列的前n项和公式求出a1+a2+…+a n 的值，再利用数列极限的运算法则求出结果．【解答】解：由a1a3=1即a2=1，得解得q=，a1=，（数列是正项数列）则a1+a2+a3+…+a n==（a1+a2+…+a n）=故答案为：【点评】本题考查数列极限的运算法则，等比数列的前n项和公式求出q=，a1=，求出是解题的关键，是中档题．7．已知f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，则实数ω的最大值为．【分析】由条件利用正弦函数的单调性可得ω≤，由此求得实数ω的最大值．【解答】解：∵f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0，]单调递增，∴ω≤，求得ω≤，则实数ω的最大值为，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦函数的增区间，属于基础题．8．若行列式中的元素4的代数余子式的值等于，则实数x的取值集合为．【分析】根据余子式的定义求出元素4的代数余子式的表达式，列出关于x的方程化简，利用余弦函数的性质求出实数x的取值集合．【解答】解：由题意得，f（x）==cos（π+x）×1﹣2×（﹣1）=﹣cosx+2=，解得cosx=，则，所以实数x的取值集合是，故答案为：．【点评】本题考查了三阶矩阵的代数余子式的定义，余弦函数的性质，属于基础题．9．二项式（2x﹣）n展开式中的第5项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为64．【分析】T5==2n﹣4x n﹣6，令n﹣6=0，解得n．再利用展开式中各项的二项式系数之和为2n，即可得出．【解答】解：T5==2n﹣4x n﹣6，令n﹣6=0，解得n=6．∴展开式中各项的二项式系数之和为26=64．故答案为：64．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为64π．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC =V C﹣AOB===，故R=4，则球O的表面积为4πR2=64π，故答案为：64π．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．如图，A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，若AB∥OC（O为坐标原点），则直线AB的斜率为．【分析】由已知得C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），从而得到，即b=c，由此能求出直线AB的斜率．【解答】解：∵A，B为椭圆+=1（a＞b＞0）的两个顶点，过椭圆的右焦点F作x轴的垂线，与其交于点C，AB∥OC（O为坐标原点），∴C（c，），A（﹣a，0），B（0，b），∴，∴bc=b2，∴b=c，∴a2=b2+c2=2c2，∴a==，∴直线AB的斜率k==．故答案为：．【点评】本题考查直线方程的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．12．若经过抛物线y2=4x焦点的直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则直线l的方程为y=±．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出l的点斜式方程，利用切线的性质列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），设直线l的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0，∵直线l与圆（x﹣4）2+y2=4相切，∴=2，解得k=±．∴直线l的方程为：y=±（x﹣1）．故答案为：y=±（x﹣1）．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题．13．假设某10张奖券中有一等奖1张奖品价值100元；有二等奖3张，每份奖品价值50元；其余6张没有奖．现从这10张奖券中任意抽取2张，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望Eξ的概率为．【分析】根据题意可得：ξ的所有可能值为：0，50，100，150，（元），再根据古典概型的概率公式分别求出其概率，进而列出ξ的分布列与其期望，即可求出获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望Eξ的概率．【解答】解：根据题意可得：ξ的所有可能值为：0，50，100，150，（元）．所以P（ξ=0）==，P（ξ=50）==，P（ξ=100）==，P（ξ=150）==，所以ξ的分布列为：ξ0 50 100 150P所以ξ的数学期望为：Eξ=0×+50×+100×+150×=50，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望Eξ的为1﹣=，故答案为：．【点评】本题考查古典概型、排列组合、离散型随机变量的分布列和期望，及利用概率知识解决问题的能力．14．已知对任意的x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），y∈[﹣1，1]，不等式x2+﹣2xy﹣﹣a≥0恒成立，则实数a的取值范围为．【分析】设y=cosθ，θ∈[0，π]．可得：xy+=cos（θ+φ），可得a≤﹣2，令t=，即可得出．【解答】解：设y=cosθ，θ∈[0，π]．∵xy+=xcosθ+|sinθ|=cos（θ+φ），∴a≤﹣2，令t=，∴，∴a≤t2﹣2t=（t﹣1）2﹣1，∴a≤8﹣4．∴实数a的取值范围为．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数换元方法、三角函数的单调性、基本不等式的性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共4小题，每小题有且只有一个正确答案，考生应再答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分. 15．“a=3“是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】本题考查的知识点是充要条件的定义及直线平行的充要条件，我们可以先判断“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的真假，再判断“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”的真假，进而根据兖要条件的定义，得到结论．【解答】解：当“a=3”时，直线（a2﹣2a）x+y=0的方程可化为3x+y=0，此时“直线（a2﹣a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”即“a=3”⇒“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”为真命题；而当“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”时，a2﹣2a﹣3=0，即a=3或a=﹣1，此时“a=3”不一定成立，即“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”⇒“a=3”为假命题；故“a=3”是“直线（a2﹣2a）x+y=0和直线3x+y+1=0互相平行”的充分不必要条件故选：A．【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p ⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q 的关系16．已知抛物线C1：y2=4x的焦点F恰好是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的右焦点，且两条曲线C1与C2交点的连线过点F，则椭圆C2的长轴长等于（）A． +1 B．2 C．2+2 D．4【分析】由已知椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），，由此能求出椭圆C2的长轴长．【解答】解：∵抛物线C1：y2=4x的焦点F恰好是椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的右焦点，∴椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），∵两条曲线C1与C2交点的连线过点F（1，0），∴，c=1，又a2=b2+c2，∴a=，∴椭圆C2的长轴长2a=2．故选：C．【点评】本题考查椭圆的长轴长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线、椭圆的性质的合理运用．17．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若S△ABC=（其中S△ABC表示△ABC的面积），且（+）=0，则△ABC的形状是（）A．有一个角是30°的等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【分析】可作，从而可作出平行四边形ADFE，并且该四边形为菱形，且有，根据条件即可得出AF⊥BC，进而便可得出AB=AC，即b=c，这样即可求得，而根据条件可得，从而有，进一步即可得到a2=2c2=b2+c2，这样便可得出△ABC的形状．【解答】解：如图，在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AF⊥DE，且；∵；∴；∴AF⊥BC；又DE⊥AF；∴DE∥BC，且AD=AE；∴AB=AC，即b=c；∴延长AF交BC的中点于O，则：，b=c；∴；∴；∴4c2﹣a2=a2；∴a2=2c2=b2+c2；∴∠BAC=90°，且b=c；∴△ABC的形状为等腰直角三角形．故选：D．【点评】考查向量数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，菱形的对角线互相垂直，以及向量垂直的充要条件，等腰三角形的高线也是中线，以及三角形的面积公式，直角三角形边的关系．18．已知点列A n（a n，b n）（n∈N*）均为函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象上，点列B n（n，0）满足|A n B n|=|A n B n+1|，若数列{b n}中任意连续三项能构成三角形的三边，则a的取值范围为（）A．（0，）∪（，+∞）B．（，1）∪（1，）C．（0，）∪（，+∞）D．（，1）∪（1，）【分析】根据题意，得出a n、b n的解析式，讨论a＞1和0＜a＜1时，满足的条件，从而求出a的取值范围．【解答】解：由题意得，点B n（n，0），A n（a n，b n）满足|A n B n|=|A n B n+1|，由中点坐标公式，可得B n B n+1的中点为（n+，0），即a n=n+，b n=；当a＞1时，以b n，b n，b n+1为边长能构成一个三角形，﹣1+b n+1＞b n，只需b n﹣1b n＜b n＜b n+1，﹣1即+＞，即有1+a2＜a，解得1＜a＜；同理，0＜a＜1时，解得＜a＜1；综上，a的取值范围是1＜a＜或＜a＜1，故选：B．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，也考查了数列递推公式的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．三、解答题（本大题共5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤19．在锐角△ABC中，sinA=sin2B+sin（+B）sin（﹣B）．（1）求角A的值；（2）若=12，求△ABC的面积．【分析】（1）根据两角和差的正弦公式便可以得出=，从而可由得出，这样即可得到A=；（2）可由及便可得出的值，这样根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，====；又A为锐角；∴；（2）；∴；∴=．【点评】考查两角和差的正弦公式，sin2x+cos2x=1，已知三角函数值求角，以及向量数量积的计算公式，三角形的面积公式：．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=AP=2，BC=1．（1）求点A到平面PCD的距离；（2）若点Q为线段BP的中点，求直线CQ与平面ADQ所成角的大小．【分析】（1）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的法向量，计AP与平面PCD所成的角的正弦值，即可得出A到平面PCD的距离；（2）证明BP⊥平面ADQ，则为平面ADQ的一个法向量，计算|cos＜＞|即为直线CQ与平面ADQ所成角的正弦值．【解答】解：（1）以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（0，0，0），P（0，0，2），C（2，1，0），D（0，2，0）．∴=（0，0，2），=（﹣2，1，0），=（0，2，﹣2）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，∴，令z=1得=（，1，1）．∴=2，cos＜＞==．设AP与平面PCD所成角为θ，则sinθ=．∴A到平面PCD的距离为|AP|sinθ=2×=．（2）∵PA=AB，Q是PB的中点，∴AQ⊥PB，又AD⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB，又AQ⊂平面ADQ，AD⊂平面ADQ，AQ∩AD=A，∴PB⊥平面ADQ，∴=（﹣2，0，2）为平面ADQ的一个法向量．又Q（1，0，1），C（2，1，0），∴=（﹣1，﹣1，1）．∴=4，cos＜＞==．∴直线CQ与平面ADQ所成角为arcsin．【点评】本题考查了空间向量的应用，空间距离与空间角的计算，多采用向量法来解决问题，属于中档题．21．已知函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，其中a为实常数．（1）求a的值，并判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（1）根据f（﹣2）=1，构造方程，可得a的值，结合奇偶性的宝义，可判定函数f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，构造函数求出最值，可得答案．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log（）满足f（﹣2）=1，∴log（）=1，∴=，解得：a=﹣1，∴f（x）=log（）的定义域（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）关于原点对称；又∵f（﹣x）=log（）=log（）=﹣log（）=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数；（2）若不等式f（x）＞（）x+t在x∈[2，3]上恒成立，则t＜log（）﹣（）x在x∈[2，3]上恒成立，设g（x）=log（）﹣（）x，则g（x）在[2，3]上是增函数．∴g（x）＞t对x∈[2，3]恒成立，∴t＜g（2）=﹣．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，单调性的证明以及不等式恒成立问题，构造函数，利用参数分离法是解决函数恒成立问题的基本方法．22．已知直线y=2x是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，点A（1，0），M（m，n）（n≠0）都在双曲线C上，直线AM与y轴相交于点P，设坐标原点为O．（1）求双曲线C的方程，并求出点P的坐标（用m，n表示）；（2）设点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点T，使得TP⊥TQ？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若过点D（0，2）的直线l与双曲线C交于R，S两点，且|+|=||，试求直线l的方程．【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，可得b=2a，由题意可得a=1，b=2，可得双曲线的方程，求出直线AM的方程，可令x=0，求得P的坐标；（2）求得对称点N的坐标，直线AN方程，令x=0，可得N的坐标，假设存在T，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合M在双曲线上，化简整理，即可得到定点T；（3）设出直线l的方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量OR，OS的数量积为0，化简整理，解方程可得k的值，检验判别式大于0成立，进而得到直线l的方程．【解答】解：（1）双曲线C：﹣=1的渐近线为y=±x，由题意可得=2，a=1，可得b=2，即有双曲线的方程为x2﹣=1，又AM的方程为y=（x﹣1），令x=0，可得P（0，）；（2）点M关于y轴的对称点为N（﹣m，n），直线AN的方程为y=（x﹣1），令x=0，可得Q（0，），假设x轴存在点T（t，0），使得TP⊥TQ．即有k TP k TQ=﹣1，即为=﹣1，可得t2=，由（m，n）满足双曲线的方程，可得m2﹣=1，即有=4，可得t2=4，解得t=±2，故存在点T（±2，0），使得TP⊥TQ；（3）可设过点D（0，2）的直线l：y=kx+2，代入双曲线的方程可得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8=0，即有△=16k2+32（4﹣k2）＞0，即k2＜8，设R（x1，y1），S（x2，y2），可得x1+x2=，x1x2=﹣，由|+|=||=|﹣|，两边平方可得=0，即有x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，即为（1+k2）（﹣）+2k（）+4=0，化简可得k2=2，检验判别式大于0成立，即有k=±，则所求直线的方程为y=±x+2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查对称思想的运用，以及两直线垂直的条件，联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．23．设数列{a n}的前n项和为S n，且（S n﹣1）2=a n S n（n∈N*）．（1）求出S1，S2，S3的值，并求出S n及数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n+1（a n+a n+1）（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n；（3）设c n=（n+1）a n（n∈N*），在数列{c n}中取出m（m∈N*且m≥3）项，按照原来的顺序排列成一列，构成等比数列{d n}，若对任意的数列{d n}，均有d1+d2+…+d n≤M，试求M 的最小值．及（S n﹣1）2=a n S n整理可知S n=，通过计算出【分析】（1）利用a n=S n﹣S n﹣1前三项的值，利用归纳推理猜想S n=，进而利用数学归纳法证明即可；（2）通过（1）裂项可知b n=（﹣1）n+1（﹣），进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可；（3）通过（1）可知c n=，进而问题转化为求首项为1、公比为的等比数列的前n项和．，【解答】解：（1）∵a n=S n﹣S n﹣1）S n，即S n=，∴（S n﹣1）2=a n S n=（S n﹣S n﹣1又∵（S1﹣1）2=S12，即S1=，∴S2==，S3==，…猜想：S n=．下面用数学归纳法来证明：①当n=1时，命题成立；②假设当n=k（k≥1）时，有S k=，则S k+1==，即当n=k+1时，命题也成立；由①②可知S n=．=﹣=（n≥2），∴a n=S n﹣S n﹣1又∵a1=S1=满足上式，∴数列{a n}的通项公式a n=；（2）由（1）可知，b n=（﹣1）n+1（a n+a n+1）=（﹣1）n+1（﹣），特别地，当n为奇数时，n+1为偶数，此时b n+b n+1=﹣﹣+，①若n为偶数，则T n=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b n+b n）﹣1=（1﹣﹣+）+（﹣﹣+）+…+（﹣﹣+）=1﹣﹣+=﹣；②当n为奇数且n＞1时，T n=T n+b n，﹣1故T n=﹣+﹣=+，又∵T1=b1=满足上式，∴当n为奇数时，T n=+；由①②可知：T n=；（3）由（1）可知a n=，∴c n=（n+1）a n=（n∈N*），由题意可知需等比数列{d n}的首项及公比均达到最大，显然首项为1、公比为，∴1+++…+==2（1﹣），∵（1+++…+）= [2（1﹣）]=2，∴M的最小值为2．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2020年上海市虹口区高中数学高考二模试卷含详解
上海市虹口区2020届高三二模数学试卷2020.5一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1.函数()3cos21f x x =+的最小值为.2.函数()f x =的定义域为.3.设全集UR =，若{}23A x x =-≥，则U C A =.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为.5.已知函数()g x 的图像与函数()2()log 31x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g =.6.设复数cos sin i ziαα=+（i为虚数单位），若z =，则tan 2α=.7.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为.8.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若8,30b c A ︒===，则sin C =.9.已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅ 的最大值为.10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212MF MF MF MF +=-，则椭圆C 的长轴长为.11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2,PA AB BC CA PB =====，点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为.12.已知函数51,1()8,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为.二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分。
13.已知抛物线24y x =上的点M 到它焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（）A.2B.4C.5D.614.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：cm ）为（）A.32B.36C.40D.4815.已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（）14141010()2,()2,(),4(),63333A B C D ⎛⎤⎡⎫⎡⎫⎛⎤⎪⎪⎥⎢⎢⎥⎝⎦⎣⎭⎣⎭⎝⎦16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,m n N ∈，若存在正整数,(1)i j i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为（）A.16B.12C.8D.6三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤。
2020届上海市虹口区高三学生学习能力诊断测试(二模)数学试题
绝密★启用前虹口区2019学年度第二学期学生学习能力诊断测试高三数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分：第7-12题，每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.1.函数()3cos21f x x =+的最小值为 .2.函数()f x =的定义域为 . 3.设全集U R =，若{}23A x x =-≥，则U C A = .4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为 .5.已知函数()g x 的图像与函数()2()log 31x f x =-的图像关于直线y x =对称，则(3)g = .6.设复数cos sin i z i αα=+（i为虚数单位），若z =tan2α= . 7.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 .8.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若8,30b c A ︒===，则sin C = .9.已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅u u u r u u u r 的最大值为 .10.已知12,F F是椭圆222:1(3x y C a a +=>的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，则椭圆C 的长轴长为 .11.已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2,PA AB BC CA PB =====点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为 .12.已知函数51,1()8,11x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩ ，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分。
上海市虹口区2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =I A ．{}10x x x ><或 B ．{}12x x << C ．{|2}x x > D ．{}1x x >【答案】C 【解析】 【分析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B =I {|2}x x >. 【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A B =I {|2}x x >，故选C. 【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.2．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．3．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值.【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数， 所以m 的最小值为1， 故选：B. 【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.4．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y x ⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果. 【详解】{}()10,1A x x =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D . 【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题. 5．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.6．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种 B ．240种 C ．480种 D ．600种【答案】B 【解析】 【分析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】将周一至周五分为4组，每组至少1天，共有：2115323310C C C A =种分组方法； 将四大名著安排到4组中，每组1种名著，共有：4424A =种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：1024240⨯=种 本题正确选项：B 【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.7．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =u u u r u u u r ，E 为BD 的中点，则CE =u u u r（ ）.A ．7388BA BC -u u u r u u u rB ．3788BA BC -u u u r u u u r C ．3788BA BC +u u u r u u u rD ．7388BA BC +u uu r u u u r【答案】B 【解析】 【分析】由13AD DC =u u u r u u u r ，可得34CD CA =u u u r u u u r ，1()2CE CB CD =+u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA =+u u ur u u u r ，再将CA BA BC =-u u u r u u u r u u u r 代入即可. 【详解】因为13AD DC =u u u r u u u r ，所以34CD CA =u u u r u u u r ，故1()2CE CB CD =+=u u u r u u u r u u u r 13()24CB CA +=u u ur u u u r133()244BC BA BC -+-=u u ur u u u r u u u r 3788BA BC -u u u r u u u r . 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.8．等腰直角三角形ABE 的斜边AB 为正四面体ABCD 侧棱，直角边AE 绕斜边AB 旋转，则在旋转的过程中，有下列说法：（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；⊥；（2）存在某个位置，使得AE BDθ≥∠；（3）设二面角D AB E--的平面角为θ，则DAE（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆.其中，正确说法的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】【详解】解：对于（1），当CD⊥平面ABE，且E在AB的右上方时，E到平面BCD的距离最大，当CD⊥平面ABE，且E在AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，∴四面体E﹣BCD的体积有最大值和最小值，故（1）正确；对于（2），连接DE，若存在某个位置，使得AE⊥BD，又AE⊥BE，则AE⊥平面BDE，可得AE⊥DE，进一步可得AE＝DE，此时E﹣ABD为正三棱锥，故（2）正确；对于（3），取AB中点O，连接DO，EO，则∠DOE为二面角D﹣AB﹣E的平面角，为θ，直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，θ∈[0，π），∠DAE∈[，π），所以θ≥∠DAE不成立．（3）不正确；对于（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，P到BC的距离为：d P﹣BC，因为＜1，所以点P的轨迹为椭圆．（4）正确．故选：C．点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用. 9．把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ） A ．(,0)3πB ．(,0)4πC ．(,0)12πD ．(0,0)【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：把函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得1sin()26y x π=+的图象；再将图象向右平移3π个单位，可得11sin[()]sin 2362y x x ππ=-+=的图象，那么所得图象的一个对称中心为(0,0)，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.10．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案． 【详解】 如图，取BC 中点G ，连接AG ，DG ，则AG BC ⊥，DG BC ⊥，分别取ABC V 与DBC V 的外心E ，F ，分别过E ，F 作平面ABC 与平面DBC 的垂线，相交于O ， 则O 为四面体A BCD -的球心，由AB AC DB DC BC 2=====，得正方形OEGF 36OG =， ∴四面体A BCD -的外接球的半径222265R OG BG ()133=+=+= ∴球O 的表面积为2520π4π33⨯=． 故选A ． 【点睛】本题考查多面体外接球表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．11．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 12．如图，在ABC V 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=u u u v u u u v u u u v u u u v ，且12AC AD ⋅=u u u v u u u v，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以将已知式子中的向量用AD AB AC u u u r u u u r u u u r，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】由BD xAB yAC =+u u u v u u u v r r u u u v ，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即412y =，所以13y=，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海虹口高中二模数学试卷
故 单调递增，所以
因此，当不等式
上恒成立时，
19．(本题满分 14分)本题共 2小题，每小题 7分.
解：（1）过点 作
交
则
的中点,从而
记横向矩形为 由条件，可得
如图所示.
…… 3分 …… 14分
又由“H”型图形的特征，得 解得
于是
亦即
2
…… 7分
（2）由（1）可得
所以数列 1,5,9,13,17存在“关联数列”,且其“关联数列”为 11，10，9，8，7.……4分
（2）因为数列 存在“关联数列” 所以
且
……6分
进而
从而 （3）① 因为
……10分
当
有
即当
存在“关联数列”:2049，1.
因此 的最小值为 2.
② 一方面，由（2）知：
于是
……12分
所以 另一方面，由数列
由于 所以
……6分
因
故当
……8分
此时
所以当
取最小值时，圆 D的方程为
（3）设
则
令
……10分
直线 AP的方程为 ……12分
同理，可得 因点 A,M 在在双曲线 C上，故
……14分 于是
3
因此
……16分
21.(本题满分 18分)本题共 3小题，第 1小题 4分，第 2小题 6分，第 3小题 8分. 解：（1）因为
于是
……8分
设面
的一个法向量为
则
取
设 故
所成的角为 则 所成角的大小为
1
……11分 …… 14分
18．（本题满分 14分）本题共 2小题，每小题 7分．
解：（1） 因当
2020年上海市高三数学二模分类汇编：解析几何(16区全)
3（2020闵行二模）. 若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 3（2020松江二模）. 已知动点P 到定点(1,0)的距离等于它到定直线:1l x =-的距离，则点P 的轨迹方程为4（2020黄浦二模）. 若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为4（2020宝山二模）. 已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的实轴与虚轴长度相等，则C的渐近线方程是4（2020奉贤二模）. 已知P 为双曲线22:1412x y Γ+=上位于第一象限内的点，1F 、2F 分别为Γ的两焦点，若12F PF ∠是直角，则点P 坐标为5（2020闵行二模）. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为5（2020青浦二模）. 双曲线22144x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离是6（2020金山二模）. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7（2020黄浦二模）. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线平行于直线:210l y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为8（2020徐汇二模）. 已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++=的法向量，则实数a 的值为8（2020浦东二模）. 已知双曲线的渐近线方程为y x =±，且右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则这个双曲线的方程是9（2020闵行二模）. 已知直线1:l y x =，斜率为q （01q <<）的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点0(0,)B a ，过0B 作x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 作y 轴的平行线，交2l 于点1B ， 再过1B 作x 轴的平行线交1l 于点2A ，⋅⋅⋅，这样依次得线 段01B A 、11A B 、12B A 、22A B 、⋅⋅⋅、1n n B A -、n n A B ， 记n x 为点n B 的横坐标，则lim n n x →∞=9. 一个水平放置的等轴双曲线型的拱桥桥洞如图所示，已知当 前拱桥的最高点离水面5米时，量得水面宽度30AB =米，则 当水面升高1米后，水面宽度为 米（精确到0.1米）10（2020虹口二模）. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（3a >点O 且倾斜角为60°的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u r ，则椭圆C 的长轴长为10（2020金山二模）. 若点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|22,11}B x y x y =-≤≤-≤≤，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是 11（2020青浦二模）. 已知正三角形ABC 的三个顶点均在抛物线2x y =上，其中一条边所2ABC 的三个顶点的横坐标之和为12（2020奉贤二模）. 在平面直角坐标系内有两点(,1)A m -，(2,1)B -，2m <，点A 在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，若2||||6AB AF +=，则m =12（2020普陀二模）. 设双曲线222:1x y aΓ-=（0a >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在Γ的右支上，向量是(1,)d a =u r 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则Γ的焦距为12（2020金山二模）. 设n ∈*N ，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，t ∈R ，1222[][][]333n n n na a a b =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m -+-的最小值为12（2020杨浦二模）. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为12（2020黄浦二模）. 点A 是曲线22y x =+（2y ≤）上的任意一点，(0,2)P -，(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ，则下列结论： （1）||||AP AQ -为定值2 （2）||||QB BC +为定值5；（3）||||||PA AB BC ++为定值52； 其中正确结论的序号是13（2020静安二模）. 方程222980x xy y -+=的曲线C 所满足的性质为（ ） ① 不经过第二、四象限；② 关于x 轴对称；③ 关于原点对称；④ 关于直线y x =对称； A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ①②13（2020普陀二模）. 对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件13（2020虹口二模）. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 613（2020松江二模）. 若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为（ ）A.B. C. D. 213（2020宝山二模）. 抛物线24y x =的准线方程是（ ）A. 2x =-B. 1x =-C. 18y =- D. 116y =-13（2020金山二模）. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:l a x b y c ++0=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14（2020崇明二模）. 若抛物线28y x =的焦点F 与双曲线2213x y n-=的一个焦点重合，则n 的值为（ ）A. 1-B. 1C. 2D. 1315（2020闵行二模）. 已知抛物线的方程为24y x =，过其焦点F 的直线交此抛物线于M 、N 两点，交y 轴于点E ，若1EM MF λ=uuu r uuu r ，2EN NF λ=uuu r uuu r，则12λλ+=（ ） A. 2- B. 12-C. 1D. 1- 15（2020杨浦二模）. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（ ）A. 逐渐变大B. 逐渐变小C. 先变大后变小D. 先变小后变大15（2020青浦二模）. 记椭圆221441x ny n +=+围成的区域（含边界）为n Ω（1,2,n =⋅⋅⋅），当点(,)x y 分别在1Ω，2Ω，⋅⋅⋅上时，x y +的最大值分别是1M ，2M ，⋅⋅⋅，则lim n n M →∞=（ ）A. 2B. 4C. 3D. 16（2020闵行二模）. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）A. {5}B. {1}-C. (0,1)D. (0,1){1}-U17（2020静安二模）. 已知抛物线2:4y x Γ=的焦点为F ，若△ABC 的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=uu r uu r uu u r r，则称该三角形为“核心三角形”.（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知△ABC 是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2.20（2020闵行二模）. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点(0,)P b （1b >），且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q . （1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值；（2）若3b =，且32PD PC =uu u r uu u r，求点Q 的横坐标；（3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？ 若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.20. 已知直线:l y kx m =+和椭圆22:142x y Γ+=相交于点),(11y x A ，),(22y x B .（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程； （2）点(2,1)C 在Γ上，若0m =，求△ABC 面积的最大值； （3）如果原点O 到直线l 的距离是233，证明：△AOB 为直角三角形.20（2020松江二模）. 如图，已知椭圆2222:1x y M a b+=（0a b >>）经过圆22:(1)4N x y ++=与轴的两个交点和与y 轴正半轴的交点.（1）求椭圆M 的方程；（2）若点P 为椭圆M 上的动点，点Q 为圆N 上的动点，求线段PQ 长的最大值； （3）若不平行于坐标轴的直线l 交椭圆M 于A 、B 两点，交圆N 于C 、D 两点，且满足AC DB =uuu r uu u r，求证：线段AB 的中点E 在定直线上.20（2020青浦二模）. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，其长轴长是短轴长的2倍，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，若0k ≠，证明：1211kk kk + 为定值，并求出这个定值；（3）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围.20（2020普陀二模）. 已知椭圆22:194x y Γ+=的左、右焦点分别1F 、2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与Γ交于另一点N ，过原点的直线l 与Γ交于P 、Q 两点.（1）求△2PQF 周长的最小值；（2）是否存在这样的直线l ，使得与直线MN 平行的弦的中点都在l 上？若存在，求出直 线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积1083613[,]13S ∈，求直线l 的斜率k的取值范围.20（2020嘉定二模）. 已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）过点(0,2)P ，且它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，直线l 过点(1,0)Q ，且与椭圆Γ相交于A 、B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 的一个方向向量为(1,2)d =u r，求△OAB 的面积（其中O 为坐标原点）；（3）试问：在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅uuu r uuu r为定值？若存在，求出点M 的坐标和定值，若不存在，请说明理由.20（2020黄浦二模）. 已知点A 、B 分别是椭圆2222 :1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为6，且点A 是圆222:(2)x y r Γ-+=（0r >）的圆心，动直线:l y kx =与椭圆交于P 、Q 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS OP λ=uu r uu u r（λ+∈R ），且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于G 、H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =， 求r 的取值范围.20（2020杨浦二模）. 已知双曲线222:1y H x b-=（0b >），经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M 、N 两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值；（2）若2b =，且M 、N 的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒；（3）设直线l 与y 轴交于点E ，EM MD λ=⋅uuu r uuu r ，EN ND μ=⋅uuu r uuu r，求证：λμ+为定值.20（2020徐汇二模）. 已知椭圆2222:1(0) x ya babΓ+=>>的长轴长为22，右顶点到左焦点的距离为21+，1F、2F分别为椭圆Γ的左、右两个焦点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知椭圆Γ的切线l（与椭圆Γ有唯一交点）的方程为y kx m=+，切线l与直线1x=和直线2x=分别交于点M、N，求证：22||||MFNF为定值，并求此定值；（3）设矩形ABCD的四条边所在直线都和椭圆Γ相切（即每条边所在直线与椭圆Γ有唯一交点），求矩形ABCD的面积S的取值范围.20（2020虹口二模）. 设双曲线2222:1x yCa b+=的左顶点为D，且以点D为圆心的圆222:(2)D x y r++=（0r>）与双曲线C分别相交于点A、B，如图所示.（1）求双曲线C的方程；（2）求DA DB⋅uu u r uu u r的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A、B的任意一点，且直线PA、PB分别与x轴相交于点M、N，求证：||||OM ON⋅为定值（其中O为坐标原点）.20（2020金山二模）. 已知动直线l与椭圆22:12yC x+=交于11(,)P x y、22(,)Q x y两不同点，且△OPQ的面积22OPQS=V，其中O为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ===V V V ？ 若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.20（2020奉贤二模）. 直线1:0L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍.（1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=uu u r uur ，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由.20（2020崇明二模）. 已知椭圆22:12x y Γ+=的右焦点为F ，直线x t =（(t ∈）与该椭圆交于点A 、B （点A 位于x 轴上方），x 轴上一点(2,0)C ，直线AF 与直线BC 交于点P .（1）当1t =-时，求线段AF 的长； （2）求证：点P 在椭圆Γ上；（3）求证：PAC S ≤V .20（2020浦东二模）. 在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别是椭圆222:1x y aΓ+=（0a >）的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且12||||AF AF +=. （1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，P 、Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF 、l 、2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.。
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
上海市虹口区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
上海市虹口区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为8，一条渐近线方程为y =，则C 为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．2211648x y -=D ．2214816x y -=【答案】A 【解析】 【分析】 由题意求得c 与ba的值，结合隐含条件列式求得a 2，b 2，则答案可求. 【详解】由题意，2c ＝8，则c ＝4，又ba=a 2+b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝12.∴双曲线C 的方程为221412x y -=.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题. 2．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得：()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 3．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i + B ．66i - C ．5i D ．13【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()22332656125i i i i i +-=+-=+.故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查计算能力，属于基础题.4．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．5D 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555aa a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得105c e a ==.故选D ． 5．若x ，y 满足约束条件103020x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）A ．92B ．322C ．13D ．13【答案】C 【解析】 【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值． 【详解】 解：22xy +表示可行域内的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020x y x +-=⎧⎨+=⎩解得32y x =⎧⎨=-⎩即()2,3A -点()2,3A -到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313max x y +=-+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题． 6．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=【答案】A 【解析】 【分析】由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果. 【详解】对于选项B, ()21x f x x -=为 奇函数可判断B 错误;对于选项C,当1x <-时, ()0x e xf x x-=<,可判断C 错误;对于选项D, ()22111=+x f x x x x+=,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D 错误; 故选:A. 【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.7．已知命题p ：,x R ∃∈使1sin 2x x <成立． 则p ⌝为（ ） A ．,x R ∀∈1sin 2x x ≥均成立 B ．,x R ∀∈1sin 2x x <均成立 C ．,x R ∃∈使1sin 2x x ≥成立D ．,x R ∃∈使1sin 2x x =成立【答案】A试题分析：原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R ． 考点：全称命题.8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3% 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案. 【详解】对A ，从图中数据变化看，PMI 值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI 值不低于50%的频率为41123=，故A 正确； 对B ，由图可以看出，PMI 值的平均值低于50%，故B 正确； 对C ，12个月的PMI 值的众数为49.4%，故C 正确，； 对D ，12个月的PMI 值的中位数为49.6%，故D 错误 故选：D. 【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.9．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =IA ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤【分析】先求出集合A 和它的补集，然后求得集合B 的解集，最后取它们的交集得出结果. 【详解】对于集合A ，()()210x x -+>，解得1x <-或2x >，故[]1,2R C A =-.对于集合B ，22log 2log 4x ≤=，解得04x <≤.故()(]0,2R C A B ⋂=.故选B. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查集合的补集和交集的运算.对于有两个根的一元二次不等式的解法是：先将二次项系数化为正数，且不等号的另一边化为0，然后通过因式分解，求得对应的一元二次方程的两个根，再利用“大于在两边，小于在中间”来求得一元二次不等式的解集.10．设数列{}()*n a n N ∈的各项均为正数，前n 项和为nS，212log 1log n n a a +=+，且34a =，则6S =（ ） A ．128 B ．65C ．64D ．63【答案】D 【解析】 【分析】根据212log 1log n n a a +=+，得到212log l g 2o n n a a +=，即12n n a a +=，由等比数列的定义知数列{}n a 是等比数列，然后再利用前n 项和公式求6S . 【详解】因为212log 1log n n a a +=+， 所以212log l g 2o n n a a +=， 所以12n n a a +=，所以数列{}n a 是等比数列， 又因为34a =， 所以312414a a q ===， ()()6616111263112a q S q-⨯-===--.本题主要考查等比数列的定义及等比数列的前n 项和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．12【答案】C 【解析】 【分析】 化简得到1322z i =-+，1322z i =--，再计算复数模得到答案.【详解】(1)12i z i +=+，故()()()()121121313111222i i i i z i i i i +++-+====-+++-，故1322z i =--，z 2=. 故选：C . 【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力. 12．若复数52z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．2i + B ．2i -C ．12i +D ．12i -【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算z ，由共轭复数的概念写出z . 【详解】55(2)10522(2)(2)5i i z i i i i ++====+--+Q , ∴2z i =-,故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020学年上海市虹口区高三年级二模考试数学试卷
2019-2020学年上海市虹口区高三年级二模考试数学试卷一. 填空题（本大题满分54分）本大题共12题，第1-6题，每空填对得4分；第7-12题，每空填对得5分1. 函数()3cos21f x x =+的最小值为 . 【答案】2-【解析】cos2x 最小值为1-，()3cos21f x x =+最小值为2-.2. 函数()f x =的定义域为 . 【答案】(3,1- 【解析】1030x x -≥⎧⎨+>⎩，所以(]3,1x ∈-1030x x -≤⎧⎨+<⎩，所以不存在舍掉。
综上，(]3,1x ∈-3. 设全集R U =，若{||2|3}A x x =-≥，则U A =ð . 【答案】()1,5-【解析】(][),15,A ∈-∞-⋃+∞，则()1,5U A ∈-ð.4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动， 则周六没有同学参加活动的概率为 . 【答案】18【解析】周六没人参加，则三位同学均选择周日参加。
11112228P =⨯⨯=. 5. 已知函数()g x 的图像与函数2()log (31)x f x =-的图像关于直线y x =对称， 则(3)g = . 【答案】2【解析】23log (31)x =- 解得：2x =6. 设复数cos isin iz αα=（i 为虚数单位），若||z =，则tan2α= .【答案】1【解析】)i cos i sin z αα=⨯-⨯()cos cos sin i z ααα=+-⨯||z ==22222cos cos sin 2sin cos ααααα=++- 212cos 2sin cos ααα=- 22cos 12sin cos 0ααα--=cos2sin20αα-=cos2sin2αα= tan21α=.7.若25(ax 的展开式中的常数项为52-，则实数a 的值为 【答案】12-【解析】()5510252155rrrr r rr T C axC ax---+==Q另5100,2r -=则4r =4551,22C a a ∴=-=-8. 设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若b =，8c =，30A =︒，则sin C =【解析】222cos 22b c a A bc +-==Q2=解得a =sin sin a cA C =Q8sin 2C =解得sin C =9. 已知点(3,2)A -，点P 满足线性约束条件201024x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，设O 为坐标原点，则OA OP ⋅uu r uu u r 的最大值为 【答案】16【解析】根据题意画出图，设(),P x y ，则()()3,2,32OA OP x y x y =-=-u u r u u u rg g ，另目标函数32z x y =-，联立方程组，当1y =时，6x =取最大值，max 36216z =⨯-=10. 已知1F 、2F 是椭圆222:13x y C a +=（a >的左、右焦点，过原点O 且倾斜角为60︒的直线与椭圆C 的一个交点为M ，若1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u r，则椭圆C 的长轴长为【答案】2【解析】依据题意画出大致图像：1212||||MF MF MF MF +=-uuu r uuu u r uuu r uuu u rQ ，即等价意思为1290F MF ︒∠=211tan3,22M F MF S b ∴===⨯y =则M ⎫，代入椭圆方程得： ()()22233133a a a +=--，化简可得：42630a a --=解得)2231a =+=22a ∴=11. 已知球O 是三棱锥P ABC -的外接球，2PA AB BC CA ====，PB =，点D 为BC的中点，且PD =O 的体积为【解析】依据题意，做出大致图形，如下图：AD =Q222,PD PA AD ∴=+同样222,PB PA AB =+ 故PA AD PB AB ⊥⎧⎨⊥⎩PA ∴⊥地面ABC过点,E H 作矩形OHAE ，其中E 为重心，AE OH ==而,OP OA R ==则112PH PA ==根据勾股定理，R ==则34=3V R π=球12. 已知函数|51|1()811x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪+⎩，若方程(())f f x a =恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围为 【答案】845a <<依据题意，作出大致图像，如下图：设(),f t t =若()f t a =，解两段函数的方程：1o 若1a >，则()1551,log 1,x a x a -==+288,11a x x a==-+； 则要确保5个解，即在1y =的下方有3个交点，在1y =的上方有2个交点，如下图：故需满足：()50log 11,04,a a <+<∴<<88114,4,5a a <-<∴<< 由此可得：14a <<2o 若01a <<，则()()()152538log 1,log 10,1,11x a x a x a=-=+∈=-> 则()()5log 1,f x a =-，此时无解；()()5log 1,f x a =+显然有3个交点，故()8811,4,45a a -∈∴<< 由此可知，这种情况下，无交集，故不符合； 综上，实数的取值范围为：845a << 二. 选择题（本大题共4题，满分20分）13. 已知抛物线24y x =上的点M 到它的焦点的距离为5，则点M 到y 轴的距离为（ ） 【A 】2 【B 】4 【C 】5 【D 】6 【答案】B【解析】抛物线24y x =的焦点坐标()1,0，抛物线上24y x =的一点M 到该抛物线的焦点F 的距离，则M 到准线的距离为5，则点M 到y 轴的距离为：4，故答案为：414. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）为（ ） 【A 】32 【B 】36 【C 】40 【D 】48【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为三棱锥，底面是直角三角形，PA ⊥底面ABC .则BC PC ⊥，该几何体的表面积()134543445322S =⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B 15. 已知函数1()sin()62f x x πω=++（0ω>）在区间(0,)2π上有且仅有两个零点，则实数ω的取值范围为（ ）【A 】14(2,]3 【B 】14[2,)3 【C 】 10[,4)3 【D 】 10(,6]3【答案】D【解析】依题意得，()10,sin 62f x x πω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，画出大致图像，如下图：若2B x π=，则11110sin ,,2622663πππππωωω⎛⎫⋅+=-⋅+== ⎪⎝⎭ 若2C x π=，则3,6266πππωπω⋅+=+=又因为(0,)2π上是左右两端的开区间，故1063ω<≤，则答案选：D 16. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,N m n ∈，若存在正整数i 、j （1i j <<），使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（ ）【A 】 16 【B 】12 【C 】 8 【D 】 6 【答案】C【解析】因为数列{}n a 是等比数列，所以()431121311q q q q q--++=⨯--，化简整理得：()()()2232221131,2,2q q q q q q q q ++++=⨯++==，则12n n a +=，又因为i ma 、mn 、j na 成等差数列，则11222,422i j i j mn m n mn m n --=⋅+⋅=⋅+⋅，则min22244i j i j mn m n +⎛⎫=+≥≥ ⎪⎝⎭，又因为1i j <<则另2,3i j ==，使得5284mn ≥=，故答案：选C 三. 解答题（本大题共5题，满分76分）yxzF PD CBAEHG17. 已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB ==2=，设E 、F 、G 分别为PC 、PC 、CD 的中点，H 为EG 的中点，如图. （1）求证：FH ∥平面PBD ；（2）求直线FH 与平面PBC 所成角的大小. 【答案】（1）略；（2）FH 与平面PBC 所成角的大小为15sin15arc 【解析】(1)因,,,,E F G PC BC CD 分别为的中点，故//,//.EF PB EG PD 从而//,//.EF PBD EG PBD 平面平面 …… 2分又,,,EF EG EFG EF EG E ⊂⋂=≠平面且故//.EFG PBD 平面平面 …… 4分 由,FH EFG ⊂≠平面得//.FH PBD 平面 …… 6分 （2）以A 为原点，直线,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系，如图所示. 则由已知条件，得相关点的坐标为(0,0,0),A(1,0,0),B (1,2,0),(0,2,0),(0,0,2),C D P11131(,1,1),(1,1,0),(,2,0),(,,).22222E F G H 于是111(,,).222FH =-u u u r ……8分设面PBC 的一个法向量为(,,),n x y z =r则(,,)(1,0,2)202,0.(,,)(0,2,0)20n PB x y z x z x z y n BC x y z y ⎧⋅=⋅-=-==⎧⎪⇔⎨⎨=⋅=⋅==⎩⎪⎩r u u u r r u u ur 取=1,(2,0,1).z n =r 得……11分 设FH PBC 与平面所成的角为,θ则1152sin cos ,.1352FH n FH n FH n θ-⋅=<>===⋅⋅u u u r r u u u r r u u ur r 故FH PBC 与平面所成角的大小为15sin .arc …… 14分18. 已知函数4()31x f x a =-+（a 为实常数）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，对任意的[1,5]x ∈，不等式()3x uf x ≥恒成立，求实数u 的最大值.【答案】（1）2a ≠时，函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数；2a =时，函数()f x 是奇函数；（2）max 3u =.【解析】（1） 因当2a ≠时， (1)1,(1)3,f a f a =--=-（第19题图）（第19题图）故(1)(1),(1)(1),f f f f -≠-≠-且于是此时函数()f x 既不是偶函数，也不是奇函数. …… 3分 当2a =时， 44()()2240,3131x x f x f x a a -+-=--=-=++即()();f x f x -=- 故此时函数()f x 是奇函数. …… 6分 （2）因()f x 是奇函数，故由（1）知2a =，从而4()2.31xf x =-+ 由不等式(),3x u f x ≥得4323,31x xx u ⋅≤⋅-+ …… 8分令[][]314,244(1,5),x t x +=∈∈因故4(1)22(1)2() 6.t u t t t t-≤--=+-由于函数[]2()2()64,244t t t ϕ=+-在单调递增，所以min ()(4)3;t ϕϕ== …… 12分因此，当不等式[]()1,53x uf x x ≥∈在上恒成立时， max 3.u = …… 14分 19.某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为R 的圆内做一个关于圆心对称的“H ”型图形，“H ”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖直的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍，设O 为圆心，2AOB α∠=，记“H ”型图形得面积为S 。