【教案】一般角的三角函数值(3)

28.1.4 一般角的三角函数值

一、教学目标

(一)知识与技能

使学生会查“正弦和余弦表”、“正切和余切表”，即由已知锐角求正弦、余弦、正切、余切值．使学生会根据一个锐角的正弦、余弦、正切、余切值，查出这个锐角的大小．

(二)过程与方法

逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

(三)情感态度与价值观

培养学生良好的学习习惯．

二、重、难点

重点：“正弦和余弦表” 、“正切和余切表”的查法．

难点：当角度在0°～90°间变化时，正弦值、余弦值、正切值、余切值随角度变化而变化的规律．

三、教学步骤

(一)明确目标

1．复习提问

1)30°、45°、60°的正弦值和余弦值、正切值和余切值各是多少？请学生口答．

2)任意锐角的正弦(余弦)与它的余角的余弦(正弦)值之间的关系怎样？一个锐角的正切(余切)与其余角的余切(正切)之间具有什么关系．

(二)整体感知

我们已经求出了30°、45°、60°这三个特殊角的正弦值和余弦值、正切值和

余切值，但在生产和科研中还常用到其他锐角的正弦值和余弦值、正切值和余切值，为了使用上的方便，我们把0°—90°间每隔1′的各个角所对应的正弦值和余弦值、正切值和余切值(一般是含有四位有效数字的近似值)，列成表格——

正弦和余弦表、正切和余切表．本节课我们来研究如何使用正弦和余弦表、正切和余切表．

(三)重点、难点的学习与目标完成过程

1．“正弦和余弦表”简介

学生已经会查平方表、立方表、平方根表、立方根表，对数学用表的结构与查法有所了解．但正弦和余弦表与其又有所区别，因此首先向学生介绍“正弦和余弦表”．

(1)“正弦和余弦表”的作用是：求锐角的正弦、余弦值，已知锐角的正弦、余弦值，求这个锐角．

2)表中角精确到1′，正弦、余弦值有四位有效数字．

2．请学生观察“正切和余切表”的结构，并用语言加以概括．

答：正切表在76°～90°无修正值，余切表在0°～14°无修正值．其余与正弦和余弦表类似，对于正切值，随角度的增大而增大，随角度的减小而减小，而余切值随角度的增大而减小，随角度的减小而增大．

3.凡表中所查得的值，都用等号，而非“≈”，根据查表所求得的值进行近似计算，结果四舍五入后，一般用约等号“≈”表示．

例1 查表求37°26′的正弦值．

学生在独自查表时，在正弦表顶端的横行里找不到26′，但26′在24′～30′间而靠近24′，比24′多2′，可引导学生注意修正值栏，这样学生可能直接得答案．教师这时可设问“为什么将查得的5加在0.6074的最后一个数位上，而不是0.607

4减去0.0005”．通过引导学生观察思考，得结论：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)．

解：37°24′=0.6074．

角度增2′值增0.0005

37°26′=0.6079．

在查表中，还应引导学生查得：

0°=0，90°=1．

根据正弦值随角度变化规律：当角度从0°增加到90°时，正弦值从0增加到1；当角度从90°减少到0°时，正弦值从1减到0．

可引导学生查得：

0°=1，90°=0．

根据余弦值随角度变化规律知：当角度从0°增加到90°时，余弦值从1减小到0，当角度从90°减小到0°时，余弦值从0增加到1．

例2 已知＝0.2974，求锐角A．

学生通过上节课已知锐角查其正弦值和余弦值的经验，完全能独立查得锐角A，但教师应请同学讲解查的过程：从正弦表中找出0.2974，由这个数所在行向左查得17°，由同一数所在列向上查得18′，即0.2974＝17°18′，以培养学生语言表达能力．

解：查表得17°18′＝0.2974，所以

锐角A＝17°18′．

例3 已知＝0.7857，求锐角A．

分析：学生在表中找不到0.7857，这时部分学生可能束手无策，但有上节课查表的经验，少数思维较活跃的学生可能会想出办法．这时教师最好让学生讨论，在探讨中寻求办法．这对解决本题会有好处，使学生印象更深，理解更透彻．

若条件许可，应在讨论后请一名学生讲解查表过程：在余弦表中查不到0.7 857．但能找到同它最接近的数0.7859，由这个数所在行向右查得38°，由同一个数向下查得12′，即0.7859＝38°12′．但＝0.7857，比0.7859小0.0002，这说明∠A比38°12′要大，由0.7859所在行向右查得修正值0.0002对应的角度是1′，所以∠A＝38°12′＋1′＝38°13′．

解：查表得38°12′＝0.7859，所以：

0.7859＝38°12′．

值减0.0002角度增1′

0.7857＝38°13′，

即锐角A＝38°13′．

例2 查表求下列正切值或余切值．

(1)53°49′；(2)14°32′．

学生有查“正弦和余弦表”的经验，又了解了“正切和余切表”的结构，完全可自行查表．在学生得出答案后，请一名学生讲解“我是怎样查表的”，教师板书：

解：(1)53°48′=1.3663

角度增1′值减0.0008．

53°49′=1.3671；

(2)14°30′=3.867

角度增2′值增0.009．

14°30′=3.858．

在讲解示范例题后，应请学生作一小结：查锐角的正切值类似于查正弦值，应“顺”着查，若使用修正值，则角度增加时，相应的正切值要增加，反之，角度减小时，相应的正切值也减小；查余切表与查余弦表类似，“倒”着查，在使用修正值时，角度增加，就相应地减去修正值，反之，角度减小，就相应地加上修正值．

(四)总结与扩展

1．请学生总结

本节课主要讨论了“正弦和余弦表”、“正切和余切表”的查法．了解正弦值，余弦值，正切值，余切值随角度的变化而变化的规律：当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，随着角度的减小而减小；当角度在0°～90°间变化时，余弦值、余弦值随着角度的增大而减小，随着角度的减小而增大．

2．“正弦和余弦表” 、“正切和余切表”的用处除了已知锐角查其正、余弦（切）值外，还可以已知正、余弦（切）值，求锐角，同学们可以试试看．

四、布置作业

特殊角的三角函数值

特殊角的三角函数值 (第3课时) 复习引入教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，?利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．探究新知（一）特殊值的三角函数学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结． 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：

教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2， 2，分子按角度增加分别为．对于正切，60?度的正切，即是下一个角的正切值．要求学生记住上述特殊角的三角函数值．教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．（二）特殊角三角函数的应用 1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 260°．（2）cos 45sin 45?? -tan45°．教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．解：（1）cos 260°+sin 260°=（12 ）2+2=1 （2）cos 45sin 45?? -tan45° 2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意：（1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，，，求∠A 的度数．（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB a ．

教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．解：（1）在课本图28．1-9（1）中， ∵sinA=3 6 BC AB = 2， ∴∠A=45°．（2）在课本图28．1-9（2）中， ∵tana=3 AO OB OB =3 ∴a=60°．教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则 sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．随堂练习学生做课本第80页练习第1、2题．课时总结 1、学生要牢记下表： 30 ° 45 ° 60 ° sinα1 2 2 2 3 2

第2讲：特殊角(30°,45°,60°)的三角函数值-教案

第2 讲
讲
特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值

概述
适用学科初中数学
适用年级
适用区域知识点教学目标
北师版区域
课时时长（分钟）
1.特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值 2.由特殊三角函数值求角 3.三角函数值计算 1.掌握特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值 2.掌握三角函数的计算
教学重点能熟练掌握三角函数的计算
初中三年级 120
教学难点能熟练掌握锐角三角函数的计算
【教学建议】本节的教学重点是让学生理解、记忆一些特殊角（30°，45°，60°）的三角函数值并能进行相关的
运算，能由三角函数值倒推一些特殊的角。在授课过程中，教师要注重易错点的点拨，在解题时，要帮助学生积累一些基本的直角三角形模型，为下一节学习解直角三角形打下一定的模型铺垫。
学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 特殊三角函数值的记忆。 2. 特殊三角函数值的混合运算。 3.实际问题中的三角函数值的运用。【知识导图】

教学过程
一、导入
【教学建议】有关特殊角的三角函数值是中考的必考内容，常见的考法有两种：一种是直接考特殊角三角函数值的相关运算；一种是在解直角三角形的综合题中，与非特殊角结合在一起考，这种题几乎是中考数学的必考题。在教学中，一要抓好学生的记忆关；二是要给学生储备典型的直角三角形模型（如：背靠背型和母子型等）。
二、知识讲解
知识点 1 特殊角的三角函数值
三角函数
30
45
1 sin a
2
2
2
60
记忆方法
3
一二三
2
cos a
3
2
1
三二一
2
2
2
tan a
3
1
3
示意图
3
三九二十七
正弦与余弦的分母都是 2,正切的分母是 3,,分子是根号对应的数.
注意：对于正弦值，分母都是 2，分子按角度增加分别为 1 ， 2 与 3 ．对于余弦值，分母都是 2，分子
按角度增加分别为 3 ， 2 与 1 ．对于正切，60 度的正切值为 3 ，当角度递减时，分别将上一个正切值
除以 3 ，即是下一个角的正切值．

高三数学说课稿之《任意角三角函数定义》

高三数学说课稿之《任意角三角函数定义》高三数学说课稿之《任意角三角函数定义》各科成绩的提高是同学们提高总体学习成绩的重要途径，大家一定要在平时的练习中不断积累，小编为大家整理了高三数学说课稿之《任意角的三角函数的定义》，希望同学们牢牢掌握，不断取得进步! 一、教材结构与内容简析本节内容在全书及章节的地位：三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的角的概念的推广的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。三角函数定义必然是学好全章内容的关键，如果学生掌握不好，将直接影响到后续内容的学习，由三角函数定义的基础性和应用的广泛性决定了本节教材的重点就是定义本身。数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试类比、数形结合等数学思想方法。二、教学重点、难点、关键教学重点：任意角的三角函数的定义，三角函数的符号规律。教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程。教学关键：如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( 确定，比值也随之确定)与依赖性(比值随着的变化而变化)。三、学情分析

《特殊角的三角函数值》教案

28．1锐角三角函数第3课时特殊角的三角函数 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点) 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点 ) 一、情境导入问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．二、合作探究探究点一：特殊角的三角函数值【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算计算： (1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； (2) sin30°－sin45° cos60°＋cos45° . 解析：将特殊角的三角函数值代入求解．解：(1)原式＝2× 1 2× 1 2－6× 2 2× 3 2＝ 1 2－ 3 2＝－1； (2)原式＝ 1 2－ 2 2 1 2＋ 2 2 ＝22 －3. 方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】已知三角函数值求角的取值范围若cosα＝ 2 3，则锐角α的大致范围是() A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝ 3 2，cos45°＝ 2 2，cos60°＝ 1 2，且 1 2＜ 2 3＜ 2 2，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α 的范围是45°＜α＜60°.故选C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．【类型三】根据三角函数值求角度若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是() A．20°B．30°C．40°D．50°

教案特殊角的三角函数值

28.1.3 特殊角的三角函数值一、教学目标 (一)知识与技能熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数， (二)过程与方法逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力． (三)情感态度与价值观渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点．二、重、难点重点：熟记特殊角的三角函数值．难点：熟练应用特殊角的三角函数值三、教学过程让每个学生画含30°、45°的直角三角形，分别求sin30°、sin45°、sin60°和cos30°、cos45°、cos60°．这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻．例1 求下列各式的值：为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题： (1)sin45°+cos45；(2)sin30°·cos60°；

在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，sin20°大概在什么范围内，cos50°呢？”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神．还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小．”为查正余弦表作准备．三角函数/0°/30°/45°/60°/90° 三角函30?45?60?90?数?0 1 1A sin32222 1 1A cos32222 tanA cotA 请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值．(如图6-11)

任意角的三角函数教案

1.2.1 任意角的三角函数教学目标 1．知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义． (2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值． (3)记住三角函数的定义域． 2．过程与方法 (1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力． (2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数． (3)通过对定义域介绍，提高学生分析、探究、解决问题的能力． 3．情感、态度与价值观 (1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式． (2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神．重点、难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)．教学难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义．授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 新知探究一、三角函数的定义：提出问题问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.

图1 如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =a b . 讨论结果: ①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b . 提出问题问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 图2 如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x y (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的. 二、例题讲解

高中说课稿范文高中数学《任意角的三角函数》说课稿模板_0185

2020 高中说课稿范文高中数学《任意角的三角函数》说课稿模板 _0185

EDUCATION WORD 高中说课稿范文高中数学《任意角的三角函数》说课稿模板_0185 前言语料：温馨提醒，教育，就是实现上述社会功能的最重要的一个独立出来的过程。其目的，就是把之前无数个人有价值的观察、体验、思考中的精华，以浓缩、系统化、易于理解记忆掌握的方式，传递给当下的无数个人，让个人从中获益，丰富自己的人生体验，也支撑整个社会的运作和发展。本文内容如下：【下载该文档后使用Word打开】各位同仁,各位专家: 我说课的课题是<<任意角的三角函数>>,内容取自苏教版高中实验教科书《数学》第四册第1.2节先对教材进行分析教学内容：任意角三角函数的定义、定义域，三角函数值的符号. 地位和作用:任意角的三角函数是本章教学内容的基本概念对三角内容的整体学习至关重要.同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备,通过这部分内容的学习，又可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。所以这个内容要认真探讨教材,精心设计过程.

教学重点：任意角三角函数的定义教学难点：正确理解三角函数可以看作以实数为自变量的函数、初中用边长比值来定义转变为坐标系下用坐标比值定义的观念的转换以及坐标定义的合理性的理解; 学情分析: 学生已经掌握的内容,学生学习能力 1.初中学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义，掌握了锐角三角函数的一些常见的知识和求法。 2.我们南山区经过多年的初中课改,学生已经具备较强的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。 3.在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强必须在老师一定的指导下才能进行针对对教材内容重难点的和学生实际情况的分析我们制定教学目标如下知识目标: (1)任意角三角函数的定义;三角函数的定义域;三角函数值的符号，能力目标： (1)理解并掌握任意角的三角函数的定义; (2)正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; (3)通过对定义域，三角函数值的符号的推导，提高学生分析探究解决问题的能力. 德育目标：

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背．那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法．首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系．对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点．在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义．二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆．三、口诀记忆法口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号，不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记．四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时，则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ．例1.tan30°的值等于（）

高中数学任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。教学重难点任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。教学过程问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1：解：例2：事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

《任意角的三角函数一》教案苏教版

数学：1.2.1《任意角的三角函数（一）》教案（苏教版必修4）第 3 课时：§1.2.1 任意角的三角函数（一）【三维目标】：一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义； 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；二、过程与方法 1.通过网络载体，利用几何画板的直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神； 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神； 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程，培养合情猜测的能力，从中感悟数学概念的严谨性与科学性。三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式； 2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中，体会函数思想，体会数形结合思想。【教学重点与难点】：重点：任意角三角函数的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）。难点：任意角的三角函数概念的建构过程【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式：启发、诱导发现教学. 【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题用与用坐标均可表示圆周上点，那么，这两种表示有什么内在的联系？确切地说， ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系？二、研探新知 1.三角函数的定义【提问】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在平面直角坐标系中，设的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是。当为锐角时，过作轴，垂足为，在中，,,

任意角的三角函数说课稿

任意角的三角函数说课稿各位老师你们好！今天我要说的课题是《任意角的三角函数》。一、说教材 1、地位和作用：本节课是人教版数学（必修）4第一章三角函数的第一节任意角的三角函数第一课时。它是本章教学内容的基本概念, 也是学好全章内容的关键，对三角内容的整体学习至关重要，同时它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备，也是今后高考的必考内容之一。根据本教材的结构和内容分析，结合学生的认知特点和心理特征，我制定了如下的教学目标： 2、教学目标：知识与技能方面：掌握任意角的三角函数的定义，会求角α的各三角函数值；理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式，最后要理解三角函数的两域。方法与过程上：体验三角函数概念的产生、发展过程，通过对三角函数值的符号，诱导公式（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力；领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的思想. 情感态度与价值观方面：培养学生通过现象看本质的唯物主义观，培养学生实事求是的科学态度. 本着高一新课程标准，在吃透教材基础上，我确定了以下教学重难点： 3、重点、难点：重点是正确理解任意角三角函数的定义及分别在各个象限的符号判断法，终边相同角的诱导公式（一）难点是把三角函数理解为以实数为自变量的函数，以及单位圆的应用。为了讲清教材的重难点，使学生能够达到既定的教学目标，在重点上有所掌握，难点上有所突破，我再从教法和学法上谈谈：二、说教、学方法一方面，我们都知道数学是集抽象与实践为一体的重要学科，因此在教学过程中，不仅要使学生“知其然”还要使学生“知其所以然”。考虑到学生的现状，我主要采取“温故知新，逐步拓展”的形式让学生真正参与到教学，在学习中，得到体验。通过复习锐角三角函数的定义结合前面角的概念的推广提出问题：如何修正三角函数的定义进一步扩展所学内容，发展新知识，从而激起学生探求新知的欲望，调动学生参与学习的积极性。教学中运用多媒体工具提高直观性增强趣味性，并注意用新课程理念处理传统教材，使学生在学习活动自主探索、动手实践、合作交流，教师发挥引导者、合作者的作用，引导学生主动参与、揭示本质、经历过程、收获成果。根据本节课内容以及学生认知特点和我自己的教学风格，主要以“教师主导、学生主体”的原则，采用“启发、引导发现式”教学方法组织教学. 另一方面，人们常说：“现代的文盲不是不懂字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而，我在教学过程中特别重视学法的指导。让学生从机械的“学答”向“学问”转变，从“学会”向“会学”转变，成为真正的学习的主人。这节课在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取以下方法：分析归纳

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计会宁县第二中学数学教研组曹蕊一、教学内容分析本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。二、学生情况分析本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数，其研究范围是锐角；其研究方法是几何的，没有坐标系的参与；其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其正迁移。三、教学目标知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。四、教学重、难点分析：重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。难点：引导学生将任意角的三角函数的定义同化，帮助学生真正理解定义。五、教学方法与策略：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点，本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备：为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维．七、教学过程（一）教学情景 1．复习锐角三角函数的定义问题1：在初中，我们已经学过锐角三角函数．如图1（课件中）在直角△POM中，∠M是直角，那么根据锐角三角函数的定义，∠O的正弦、余弦和正切分别是什么？

任意角的三角函数公开课说课稿

《1.2.1任意角的三角函数》尊敬的各位评委、各位老师，大家好！今天我说课的容是《1.2.1任意角的三角函数》下面我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程设计这几个方面来进行我的说课。一、教材分析 1、教材的地位和作用本节课是人教版高中数学必修4中第一章第二节《1.2.1任意角的三角函数》。在学习本课之前，学生在必修1的学习中对函数有了一定的认识，而三角函数也是基本初等函数之一，它是描述周期现象的重要数学模型，从而本节是学生在锐角三角函数的基础上进行的扩展，是本章教学容的基本概念，是这一章最重要的一节课。本节课以函数思想为指导，以坐标系和单位圆为定义工具，以初中学过的锐角三角函数为认知的起点，来掌握三角函数新的定义。新的定义可以更好的反应三角函数的本质，使得三角函数反应的数形关系更加的直接，数形结合更加紧密。它是本章的基础，对三角函数的整体学习至关重要；同时它又是以后学习平面向量、解析几何等容的必要准备，通过这部分容的学习可以进一步的帮助学生理解函数这一基本概念。 2、学情分析 ①、我们的学生在初中学习的时候，是以直角三角形为背景去学习锐角三角函数，并没有从函数角度去认识锐角三角函数。

学生习惯了用直角三角形的比值去定义三角函数，对于用角终边上点的坐标来定义三角函数在认识上就存在着一定的障碍。 ②、我校的学生数学基础相对较差，多数同学对数学的学习没有兴趣和积极性。 ③、学生的学习能力、理解能力较差，学习习惯不好，所以必须在老师的指导下才能进行。二、教学目标根据新课标对本节课的教学要求，结合学生已有的认知能力和以上教材分析，我从知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个方面来设计本节课的三维目标。 1、知识与技能掌握任意角的三角函数的定义；会求角α的各三角函数值；理解并掌握三角函数在各象限的符号及终边相同角的诱导公式。 2、过程与方法体验三角函数概念的产生、发展过程，通过对三角函数值的符号，诱导公式（一）的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力；领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的思想。 3、情感态度与价值观通过概念生成的过程，让学生去感受数学的自然美与简洁美培养学生通过现象看本质的唯物主义观，培养学生实事的科学态度。三、教学重、难点 Ⅰ、教学重点：①、正确理解三角函数的定义；②、任意角三角函数在各个象限的符号；③、终边相同角的诱导公式（一） Ⅱ、教学难点：

高三数学复习说课比赛三角函数说课

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一三角函数一.考试说明对本专题的要求：全国卷在要求上四提高、三降低:在三角恒等变换、解三角形及简单应用两个知识点上要求会用；对诱导公式、两角和与差的三角函数公式，不仅会用还要会利用三角函数线、向量进行推导；正、余弦函数的图象和性质、函数y=Asin(ωx+?)的要求低于湖北卷，正切函数在区间-22 ππ（，）内只需理解单调性；其他无变化.

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一16小题三角函数的化简与求值命题规律：本专题是高考的必考内容，纵观近三年全国高考数学卷Ⅰ，有如下特点：（1）命题热点为图象和性质、三角函数的化简与求值、以及解三角形；（2）题型为3小题或1大题1小题;(3)分值为15分或17分. 三．专题知识体系构建的方法与总体构想：三角函数的知识是学生刚进高中时学习的,时间间隔较长，在学习其它模块时又不常用到三角函数的相关知识，学生遗忘程度较深.针对学生的学情和考纲的分析，我将本单元的复习计划确定为: 1.任意角、弧度制及任意角的三角函数；(3课时) 2.同角三角函数的基本关系式与诱导公式；(5课时) 3.三角函数的图象与性质；(8课时) 4.两角和与差的三角函数及简单的三角恒等变换；(6课时) 5.正、余弦定理及解三角形.(5课时) 四．重点知识强化、难点突破策略包括常见题型和解题方法： 1.题型一:三角函数的基础知识题. A. sin α＞0 B ． cos α＞0 C. sin2α＞0 D. cos2α＞0 例2：(2014课标全国Ⅰ，文7)在函数①y=cos 丨2x 丨，②y=丨cosx 丨，③y=cos （2x+）④y=tan （2x ﹣）中，最小正周期为π的所有函数为（） A ． ①②③ B ． ①③④ C ． ②④ D ． ①③ 方法点拨:利用求函数周期的方法:①根据定义;②利用公式. 2.题型二:三角函数的化简与求值例3.(2014年江苏高考)已知),2( ππα∈,55sin =α. (1)求sin()4 απ +的值; (2)求cos()26 5απ-的值. 方法点拨:根据题目所给的条件,用同角三角函数的关系,及两角和与差的三角函数公式. 例4.(2014年江西高考)已知函数)2cos()cos 2()(2θ++=x x a x f 为奇函数, 且0)4 (=π f ,其中).,0(,πθ∈∈R a 强化策略：引导学生回归教材，唤醒学生对基础知识的回忆,通过学生归纳总结、合作交流加深对基础知识的记忆.

【原创】三角函数求值教学设计

三角函数求值一、三维目标：（1）知识目标：能运用三角函数有关公式进行简单的恒等变换。（2）能力目标：对于遇到角、函数名及其整体结构的分析，提高公式选择的恰当性。（3）情感态度和价值观：角的变换体现出将未知化为已知的思想方法，这是解决三角中关于角的变换问题常用的数学方法之一。二、教学重点：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值．三、教学难点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用．角度范围的控制。四、教学过程： 1.讲授新课问题一（给角求值） 50sin80(13tan10) ++ ．解：原式 2sin 80132sin 50(cos10sin10)cos102cos5+ +=2sin 80 2sin 50cos(6010 ) cos10cos5 +-= 250cos50) 22cos5+= 2cos(5045)2cos5-== [点评] 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系。实现函数名与角度的统一。问题二（给值求值）已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cos 2θ的值

解：法一：由已知 21 tan ,3tan 1tan 1=?=-+θθθ sin2θ-2cos 2 θ=θθθθ222cos sin 2cos -sin2+=5 4tan 12tan 22 -=+-θθ 法二： sin2θ -2cos 2θ=sin2θ-cos2θ -1=-cos(θπ 22 +)-sin(θπ 22 +)-1 =5 41) 4(tan 1) 4tan(2)4(tan 1) 4( tan 1222-=-+++-+++--θπθπ θπθπ [点评]法一：弦化切；法二：角度的配凑问题三（给角求值）（1）已知A 、B 均为钝角且5SinA = ，10 SinB =。求A B +。解：cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-，2A B ππ<+<， 74 A B π∴+= [点评]选取恰当的函数名。（2）已知11tan()tan (0)2 7 αββαβπ-==-∈，，且，，，求2αβ-的值。解：tan 2()tan tan(2)tan[2()]1tan 2()tan αββ αβαββαββ -+-=-+= --?，又22tan()4tan 2()1tan ()3 αβαβαβ--===--，4137tan(2)141137 αβ- -= =+?，而tan()tan 1 tan tan[()]1tan()tan 3 αββααββαββ-+=-+===--?，(0)αβπ∈，，，所以 04π α<< ，所以13tan 202724 ππ ββππαβαβ= -<<-<-<-=-，所以，，所以。 [点评]注意角度范围控制。 2.课堂练习（1）11cos(2),sin(2)14αβαβ-=- -=已知

任意角的三角函数教案(第一课时)

任意角的三角函数教案（第一课时）一．教材分析三角函数是函数的一个基本组成部分，也是一个重要组成部分，在整个高中以至于大学都会经常用到三角函数的知识。初中已经学习过锐角的三角函数，教材第一节学习了任意角的表示方法，这些是学习任意角三角函数的基础。本节课的主要内容是：弦、余弦、正切的定义；正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号二．教学目标 1、理解任意角的三角函数的定义； 2、会求任意角的三角函数值； 3、体会类比，数形结合的思想。三.重点，难点教学重点：理解任意角的三角函数的定义。教学难点：从函数的角度理解三角函数。四，教学过程（一）新课引入（二）练习：sin30= cos30= tan30= 那么300度，30000度呢？我们已经学习了锐角三角函数，知道它是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限。在α的终边上任取一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,表示三角函数；

sin α=r b , cos α=r a , tan α=a b .取P ，使r=1,则sin α=b cos α=a tan α=a b ,引入单位圆的概念。（三）概念介绍设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ），那么，（1） y 叫做α的正弦，记作sin α,即sin α＝y ；（2） x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ；（3） x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=x y 。正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。（四）例题讲解例一求3 5π的正弦，余弦和正切值。小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。例二已知角α的终边经过p （－3，－4），求角α的正弦，余弦，正切值。小结：通过这道题的求解，让学生知道质押知道终边上一个点的左边就可以求出三角函数值，于是用角的终边上任意点坐标的比值来定义三角函数和用单位圆是等价的。引导学生思考这种“等价性”的原因，并让他们自己给出新的定义：角α的终边上一点P （a,b ），它与原点的距离r ＝22b a +>0,则（1） r b 叫做三角形的正弦，即sin α=r b ; （2） r a 叫做三角形的余弦，即cos α=r a ; （3） a b 叫做三角形的正切，即tan α=.a b

初中数学九年级《特殊角的三角函数》公开课教学设计

28.1锐角三角函数第三课时教学目标：知识与技能： 1．能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数． 2．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．过程与方法：知道30°，45°，60°角的三角函数值，并且进行运算．情感态度与价值观：让学生经历观察、操作等过程，知道特殊三角函数值，从事锐角三角函数基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识．重难点、关键： 1．重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式． 2．难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．教学过程：一、创设情景明确目标【引入】还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即 1 sin30 2 ?=， sin45 2 ?=。你还能推导出sin60?的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？回顾锐角三角函数，如图

二、合作探究达成目标探究点一：特殊角的三角函数值【探索】1.让学生画30°、45°、60°的直角三角形,分别求sin 30°、cos45°、 tan60° 归纳结果【活动二】巩固知识例3 求下列各式的值： 1．师生共同完成课本第66页例3：求下列各式的值．（1）cos 260°+sin 2 60°．（ 2）cos 45sin 45?? －tan45°．教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．小组讨论1:在例3中的两个式子中包含几种运算？运算顺序是怎样的？【反思小结】含特殊角三角函数值的计算中，一要注意运算顺序和法则；二要注意特殊角三角函数值的准确代入．【针对练一】 1.计算：（ 1）2 cos45°；（2）1-2sin30°cos30°. 一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．探究点二：由函数值求特殊角例4：教师解答题意：（1）如课本图28.1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90°，，求∠A 的度数．（2）如课本图28.1-9（2），已知AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，OB ，求a 的度数．

高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计

高中数学人教版必修4任意角的三角函数教学设计一、教学内容解析这是一节关于任意角的三角函数的概念课。三角函数是高中范围内即指数函数、对数函数和幂函数之后的最后学习的函数，是函数的一个下位概念，与指对数函数、幂函数属于同一抽象（概括）层次。它是一种重要的基本初等函数，是解决实际问题的重要工具，也是学习数学中其他知识内容的基础。在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值。在此基础上，随着角的概念的推广，引入弧度制，相应地将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，此时它与三角形已经没有什么关系了。任意角的三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系。认识它需要借助单位圆、角的终边以及两者的交点这些几何图形的直观帮助，这里体现了数形结合的思想，由锐角三角函数到坐标表示的锐角三角函数，再到单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数，直至得到任意角的三角函数的定义，体现了合情推理的思想方法。本节课将围绕任意角三角函数的概念展开，任意角三角函数的概念是本节课的重点，能够利用单位圆认识这个概念是解决教学重点的关键一、教学目标设置 1、借助终边上一点的坐标理解任意角三角函数的定义：（1）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示锐角三角

函数；（2）能利用直角坐标系中角的终边上一点的坐标表示任意角的三角函数； 2、借助单位圆理解任意角三角函数的定义：（3）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示锐角三角函数；（4）能利用直角坐标系中角的终边与单位圆交点的坐标表示任意角的三角函数； 3、知道三角函数是研究一个实数集（角的弧度数构成的集合）到另一个实数集（角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合）的对应关系，正弦、余弦和正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。 4、在借助单位圆认识任意角三角函数概念的过程中，体会数学结合思想，并利用这一思想解决有关定义应用的问题。三、学生学情分析 1、学生在利用终边上一点的坐标表示锐角三角函数时可能存在障碍，因为之前掌握的是用直角三角形的边长的比值来表示的，要克服这个困难，关键是引导学生联系之前新学的内容，怎样把角放在坐标系内，怎样做出三角形，帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有过边长的比值的联系。 2、学生在如何使终边上一点的坐标表示锐角三角函数的表达式变得更简洁的这个节点处，联想不到使用单位圆，因为以前没有接触

【教案】 一般角的三角函数值(3)