2016届《新步步高》高考数学大一轮总复习(北师大版理科)配套题库第2章第3讲函数的奇偶性

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2016届《新步步高》高考数学大一轮总复习(北师大版理科)配套题库第3章第3讲导数的综合应用

第3讲导数的综合应用一、选择题1．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m，则当高为________米时，容器的容积最大．解析由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x米，则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，解15x2－11x－4＝0，得x＝1，x＝－415(舍去)．答案 12．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为()．A．12 cm3B．72 cm3C．144 cm3D．160 cm3解析设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm，则x∈(0，5)．则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160 x，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或203(舍去)，∴y max＝6×12×2＝144 (cm3)．答案 C3．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2，2]恒成立，则m的取值范围是()．A．(－∞，7] B．(－∞，－20]C．(－∞，0] D．[－12，7]解析令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7，f(－2)＝0，f(2)＝－20.∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20，可知应选B.答案 B4．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x ＋1的解集为()．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}解析构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数．又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 答案 A5．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )>f (x )g ′(x )，且f (x )＝a xg (x )(a >0，且a ≠1)，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52.若数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f （n ）g （n ）的前n 项和大于62，则n 的最小值为 ( )．A ．8B ．7C ．6D ．9解析构造函数h (x )＝f （x ）g （x ）＝a x ，由已知条件可知h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2>0，则h (x )在R 上为增函数，得a >1，又a ＋a－1＝52，解得a ＝2或a ＝12(舍去)．所以f （n ）g （n ）＝2n ，其前n 项和S n ＝2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2，由2n ＋1－2>62，解得2n ＋1>26，∴n >5，故n 的最小值为6，选C. 答案 C6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，若f (x )在区间(－1，0)上单调递减，则a 2＋b 2的取值范围是 ( )． A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，94 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫95，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，95 解析由题意得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(x )≤0在x ∈(－1，0)上恒成立，即3x 2＋2ax ＋b ≤0在x ∈(－1，0)上恒成立，∴⎩⎨⎧2a －b －3≥0，b ≤0，∴a ，b 所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O 到直线2a －b －3＝0的距离d ＝35，∴a 2＋b 2≥d 2＝95，∴a 2＋b 2的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫95，＋∞. 答案 C 二、填空题7．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是________．解析令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2＜a ＜2时恰有三个不同的公共点．答案 (－2，2)8．若函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则实数a 的取值范围为________．解析 ∵f ′(x )＝1＋a cos x ，∴要使函数f (x )＝x ＋a sin x 在R 上递增，则1＋a cos x ≥0对任意实数x 都成立． ∵－1≤cos x ≤1，①当a >0时，－a ≤a cos x ≤a ，∴－a ≥－1，∴0<a ≤1； ②当a ＝0时适合；③当a <0时，a ≤a cos x ≤－a ， ∴a ≥－1，∴－1≤a <0. 综上，－1≤a ≤1. 答案 [－1，1]9．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．解析 (构造法)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x ＞0，即x ∈(0，1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x2－1x 3，则g ′(x )＝3（1－2x ）x 4，所以g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4，从而a ≥4. 当x ＜0，即x ∈[－1，0)时，同理a ≤3x 2－1x 3.g (x )在区间[－1，0)上单调递增，∴g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上可知a ＝4. 答案 410．将边长为1 m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝（梯形的周长）2梯形的面积，则s 的最小值是________．解析如图所示，设AD ＝x m(0＜x ＜1)，则DE ＝AD ＝x m ， ∴梯形的周长为x ＋2(1－x )＋1＝3－x (m)，又S △ADE ＝34x 2(m 2)，∴梯形的面积为34－34x 2(m 2)，∴s ＝433×x 2－6x ＋91－x 2(0＜x ＜1)，∴s ′＝－833×（3x －1）（x －3）（1－x 2）2，令s ′＝0，得x ＝13或3(舍去)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′＜0，s 递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′＞0，s 递增．故当x ＝13时，s 的最小值是3233.答案 3233 三、解答题11．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x (单位：元，0≤x ≤30)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x 的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解 (1)记一星期多卖商品kx 2件，若记商品在一个星期的获利为f (x )，则f (x )＝(30－x －9)(432＋kx 2)＝(21－x )(432＋kx 2)．又由条件可知24＝k ·22，解得k ＝6.所以f (x )＝－6x 3＋126x 2－432x ＋9 072，x ∈[0,30]． (2)根据(1)，可得f ′(x )＝－18x 2＋252x －432＝－18(x －2)(x －12).故，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大． 12．已知函数f (x )＝ln x －a x .(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求a 的值； (3)若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．思维启迪：(1)求导数f ′(x )→判断f ′(x )>0或f ′(x )<0→确定单调性． (2)根据单调性→求f (x )在[1，e]上的最小值→列方程求解． (3)f (x )<x 2→a >x ln x －x 3→求x ln x －x 3的最大值．解 (1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x ＋a x 2＝x ＋ax 2. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数． (2)由(1)可知，f ′(x )＝x ＋ax 2. ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32， ∴a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，∴a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0得x ＝－a ，当1<x <－a 时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(1，－a )上为减函数；当－a <x <e 时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(－a ，e)上为增函数， ∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32， ∴a ＝－ e.综上所述，a ＝－ e. (3)∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2. 又x >0，∴a >x ln x －x 3. 令g (x )＝x ln x －x 3， h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x . ∵x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数． ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数． g (x )<g (1)＝－1，∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．故a 的取值范围是[－1，＋∞)． 13．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎨⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴f (x )＝x 3－3x .(2)由(1)知f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， ∵曲线方程为y ＝x 3－3x ，∴点A (1，m )(m ≠－2)不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0. ∵f ′(x 0)＝3(x 20－1)，∴切线的斜率为3(x 20－1)＝x 30－3x 0－m x 0－1，整理得2x 30－3x 20＋m ＋3＝0.∵过点A (1，m )可作曲线的三条切线，∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根．设g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3，则g ′(x 0)＝6x 20－6x 0，由g ′(x 0)＝0，得x 0＝0或1.∴g (x 0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减．∴函数g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3的极值点为x 0＝0和1.∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根的充要条件是⎩⎨⎧g （0）>0，g （1）<0，解得－3<m <－2.故所求实数m 的取值范围是(－3，－2)． 14．已知函数f (x )＝a x ＋x 2，g (x )＝x ln a ，a >1.(1)求证函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪F （x ）－b ＋1b －3有四个零点，求b 的取值范围； (3)若对于任意的x 1，x 2∈[－1，1]时，都有|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立，求a 的取值范围．(1)证明 ∵F (x )＝f (x )－g (x )＝a x ＋x 2－x ln a ， ∴F ′(x )＝a x ·ln a ＋2x －ln a ＝(a x －1)ln a ＋2x . ∵a >1，x >0，∴a x －1>0，ln a >0，2x >0，∴当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )>0，即函数F (x )在区间(0，＋∞)上单调递增． (2)解由(1)知当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )<0，∴F (x )在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ∴F (x )取得最小值为F (0)＝1.由⎪⎪⎪⎪⎪⎪F （x ）－b ＋1b －3＝0，得F (x )＝b －1b ＋3或F (x )＝b －1b －3，∴要使函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪F （x ）－b ＋1b －3有四个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧b －1b ＋3>1，b －1b －3>1，即b －1b >4，即b 2－4b －1b>0，解得b >2＋5或2－5<b <0.故b 的取值范围是(2－5，0)∪(2＋5，＋∞)．(3)解 ∵任意x 1，x 2∈[－1，1]，由(1)知F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， ∴F (x )min ＝F (0)＝1.从而再来比较F (－1)与F (1)的大小即可． F (－1)＝1a ＋1＋ln a ，F (1)＝a ＋1－ln a ， ∴F (1)－F (－1)＝a －1a －2ln a . 令H (x )＝x －1x －2ln x (x >0)，则H ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝（x －1）2x 2>0，∴H (x )在(0，＋∞)上单调递增． ∵a >1，∴H (a )>H (1)＝0.∴F (1)>F (－1)． ∴|F (x 2)－F (x 1)|的最大值为|F (1)－F (0)|＝a －ln a ， ∴要使|F (x 2)－F (x 1)|≤e 2－2恒成立，只需a －ln a ≤e 2－2即可．令h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a >0， ∴h (a )在(1，＋∞)上单调递增．∵h (e 2)＝e 2－2，∴只需h (a )≤h (e 2)，即1<a ≤e 2.故a的取值范围是(1，e2].。

【新步步高】高考数学北师大版(理)一轮复习第3章导数及其应用高考专题突破一高考中的导.doc

高考专题突破一高考中的导数应用问题■Ｉ考点自测快速解答自查自纠1.(2015-课标全国II)设函数(x)是奇函数./(x)(xWR)的导函数，./(一1)=0,当x>0时，xf (x) —沧)<0,贝ij使得.心)>0成立的x的取值范围是()A.(—I —1)U(O,1)B.(-1,O)U(1, +oo)C.(—8, -1)U(-1,O)D.(O,1)U(1, +8)答案Afix' 解析因为,/(x)(xeR)为奇函数，/(—1) = 0,所以/(—1) = 0.当xHO时，令规力=丫, 则g(x)为偶函数，且g(l)=g(—1)=0.则当x>0时，丈(力=庠尊'=护(￥金)vo,故g(x) 在(0, +°°)上为减函数，在(一8, 0)上为增函数.所以在(0, +°°)上，当0<x<l时，g(x)> g(l)=Oo号>oo/(x)>0；在(一8, 0)上，当x<-l时，g(x)<g(—l)=0o￥<0o/(x)>0.?A综上，使得/(x)>0成立的x的取值范围是(一8, -1)U(O,1),选A.2.若函数^x)=kx~\wc在区间(1, +呵上单调递增，则￡的取值范围是()A.(—8, —2]B.( —8, — 1]C.[2, +8)D.[l, +8)答案D 解析由于.广(x)=?—￡心)=也一lnx在区间(1, +8)上单调递增of(x)=R—￡三0在(1, + oo)上恒成立.由于&丄,而0<丄<1,所以k2\.X X即k的取值范围为[1, +-).3.函数,/(x)=3x2 + lnx-Zr的极值点的个数是()A.O B」 C.2 D.无数个答案A解析函数定义域为(0, +-),_ . , 1 6x2—2x+l且./ (x)=6x+~— 2= - ,由于x>0, 中/ = 一20<0,所以g(x)>0恒成立，故f (x)>0恒成立，即/(X)在定义域上单调递增，无极值点.4.(2015-课标全国I )已知函数/(x)=a0+x+l的图像在点(1, ./⑴)处的切线过点(2,7),则a答案1解析 / (X)=3?X2+1, / (l)=l+3a, ./(l)=a+2.(1, XI))处的切线方程为j-(a+2)=(l+3a)(x-l).将(2,7)代入切线方程，得7-(a+2)=l+3a,解得a=l.2 °25. ____________________ 设函数y(x)=e "Ji，g(x)=亍，对任意兀1，疋丘(0, +°°),不等式赵护w誓吟恒成立，则正数k的取值范围是.答案［1, +°)解析因为对任意X］,兀2丘(0, +°), 不等式嚳W倍恒成立，所以缶三沢迦k k /(X2)min因为g(x)=亍，所以g‘ w=e2_x(l—x).当0<x<l 时，g‘ (x)>0；当x>l 时，g‘ (x)<0,所以g(x)在(0,1］上单调递增，在［1, +8)上单调递减.所以当x=l时，g(x)取到最大值，即g(x)max=g(l)=e.X/(x)=e2x+丄N2c(x>0).X当且仅当e2x=^即兀三时取等号，故./(x)min=2e.Ji V所以如皿皿=2=丄应有一^-3丄力以您)斷2e 2' “驾+1 一2'又￡>0,所以kM\.题型分类对接高考深度剖析题型一利用导数研究函数性质例1 (2015-课标全国II )己知函数./(Q = hu+d(l-r).⑴讨论/(X)的单调性；(2)当有最大值，且最大值大于2a —2时，求a的取值范围. 解(1)/?的定义域为(0, +-), f (x)=g—a?即心X2+2Xx+1(兀+1)2—x+1若aWO,则产(x)>0,所以/(x)在(0, +8)上单调递增.若a>0,则当炸(0, 时，/⑴>0；当用(￡　+oo)时，f (x)<0.所以/⑴在(0, 上单调递增，在+?>)上单调递减.(2)由(1)知，当G WO时，./(X)在(0, +8)无最大值；当Q>0时，.几￥)在x=+取得最大值，最大值为./(毎=1I￡+Q(1—￡)=—lno+a—1.因此层>2a~2等价于\na+a-i<0.令g(a)=lM + a—1,则g(Q)在(0, +°°)上单调递增，g(l)=0.于是，当0GV1 时，g(a)<0；当时，g(a)>0.因此，G的取值范围是(0,1).思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值.已知.兀对的单调性，可转化为不等式f (x)N0或.厂(x)W0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析.跟踪训练1已知Q GR,函数f[x)=(—x2+ax)c x (xR, c为自然对数的底数).(1)当。

2016届《新步步高》一轮复习数学理科(浙江专用)高考专题突破高考中函数图象与性质的应用问题

高考专题突破高考中函数图象与性质的应用问题考点自测1．已知a ＝(12)，b ＝2，c ＝(12)，则下列关系式中正确的是( )A ．c <a <bB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c答案 B解析把b 化简为b ＝(12)，而函数y ＝(12)x 在R 上为减函数，43>23>13，所以(12)<(12)<(12)，即b <a <c .2．函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为( ) A.13 B.23 C ．1 D ．2 答案 B解析令f (x )＝0，解得x ＝1；令f (x )＝1，解得x ＝13或3.因为函数f (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．故b －a 的最小值为1－13＝23.3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)答案 D解析当x ≤1时，由21－x ≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．4．已知y ＝f (x )的图象如图，则y ＝f (1－x )的图象为下列四图中的( )答案 A解析将y ＝f (1－x )变形为y ＝f [－(x －1)]①作y ＝f (－x )图象，将y ＝f (x )关于y 轴对称即可； ②将f (－x )的图象沿x 轴正方向平移1个单位，得y ＝f [－(x －1)]＝f (1－x )的图象．5．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，4x ，x ≤0.若函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是______．答案 (0,1]解析函数y ＝f (x )－k 有两个零点，即函数y ＝f (x )与y ＝k 有两个交点，作出函数y ＝f (x )的大致图象如图，可知当0<k ≤1时满足，即实数k 的取值范围是(0,1]．题型一函数性质及应用例1 已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的实数a ∈R 有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由； (2)解关于x 的不等式f (2－xx)<2.解 (1)函数是R 上的减函数．理由如下： ∵a ∈R 有f (－a )＋f (a )＝0恒成立． ∴函数f (x )是奇函数．又f (－3)＝2，∴f (3)＝－f (－3)＝－2， ∵－3<3，而f (－3)>f (3)且f (x )在R 上单调．所以函数f (x )是R 上的减函数． (2)∵f (2－x x)<2，又f (－3)＝2，∴f (2－xx )<f (－3)，又由(1)知函数f (x )在R 上单调递减， ∴2－xx>－3，整理得：x ＋1x >0，解得x >0或x <－1.所以原不等式的解集为{x |x >0或x <－1}．思维升华解决和函数有关的不等式的问题，如果已知函数的单调性，可化为f (x 1)<f (x 2)的形式．“脱去”f 符号后得到x 1，x 2的大小，解题时可结合函数的奇偶性灵活变换． (1)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ，则f (log 210)＝________. (2)设函数f (x )在(0,2)上是增函数，函数f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是________．答案 (1)58 (2)f (72)<f (1)<f (52)解析 (1)由f (x ＋1)＝－f (x )，知函数f (x )的周期T ＝2，∴f (log 210)＝f (log 210－4)＝f (log 258)＝＝58.(2)因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称．所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫32，f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12.又因为f (x )在(0,2)上是增函数，且12<1<32.所以f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫32，即f ⎝⎛⎭⎫72<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫52. 题型二函数图象及应用例2 对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，求x 1x 2x 3的取值范围．解由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝1， ∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x <0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)．∴1－34<x 1<0，∴1－316<x 1x 2x 3<0. 思维升华函数图象的应用步骤：已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．答案 (10,12)解析画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上可知110<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.题型三函数的值域与不等式恒成立问题例3 定义在R 上的奇函数f (x )，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，对于任意的θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，均有f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0，试求实数m 的取值范围．解因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (x )在(－∞，0]上也是增函数，所以f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0， ∵f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0， ∴f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )，于是cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0. 得m >cos 2θ－2cos θ－2，设h (θ)＝cos 2θ－2cos θ－2，则h (θ)＝4－⎣⎡⎦⎤(2－cos θ)＋22－cos θ≤4－22，即h (θ)max ＝4－22，只须m >4－2 2. 故实数m 的取值范围是(4－22，＋∞)．思维升华对于恒成立问题，若能转化为a >f (x ) (或a <f (x ))恒成立，则a 必须大于f (x )的最大值(或小于f (x )的最小值)．因此恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求解．若不能分离参数，可以将参数看成常数直接求解．已知函数f (x )＝2x ＋k ·2－x ，k ∈R .(1)若函数f (x )为奇函数，求实数k 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)都有f (x )>2－x 成立，求实数k 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝2x ＋k ·2－x 是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即2－x ＋k ·2x ＝－(2x ＋k ·2－x )，∴(k ＋1)(2x ＋2－x )＝0对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－1.(2)∵x ∈[0，＋∞)，均有f (x )>2－x ，即2x ＋k ·2－x >2－x 成立，∴1－k <22x 对x ≥0恒成立，∴1－k <(22x )min . ∵y ＝22x 在[0，＋∞)上单调递增， ∴(22x )min ＝1，∴k >0.∴实数k 的取值范围是(0，＋∞).(时间：70分钟)1．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4.(1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (－π)与f ⎝⎛⎭⎫－22的大小．解 (1)方法一 f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4＝1＋(x ＋2)－2，其图象可由幂函数y ＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，如图，所以该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数．方法二 f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4＝1＋(x ＋2)－2，定义域为{x |x ≠－2}．设x 1<x 2，x 1，x 2∈{x |x ≠－2}，则f (x 2)－f (x 1)＝[1＋(x 2＋2)－2]－[1＋(x 1＋2)－2]＝1(x 2＋2)2－1(x 1＋2)2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋4)(x 2＋2)2(x 1＋2)2，当x 1，x 2∈(－∞，－2)时，f (x 2)－f (x 1)>0，y ＝f (x )在(－∞，－2)上是增函数，即增区间为(－∞，－2)；当x 1，x 2∈(－2，＋∞)时，f (x 2)－f (x 1)<0，y ＝f (x )在(－2，＋∞)上是减函数，即减区间为(－2，＋∞)． (2)∵图象关于直线x ＝－2对称，又∵－2－(－π)＝π－2<－22－(－2)＝2－22， ∴f (－π)>f ⎝⎛⎭⎫－22. 2．设函数f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解 (1)由题设得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(a －b )＝1，log 2(a 2－b 2)＝log 212，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2. (2)因为f (x )＝log 2(4x －2x )，由定义域4x －2x >0，得x >0.又[1,2](0，＋∞)，令t ＝2x,1≤x ≤2，则2≤t ≤4. 由于f (x )＝φ(t )＝log 2(t 2－t )＝log 2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫t －122－14， φ(t )在[2,4]上为增函数，即f (x )在[1,2]上为增函数，故f (x )的最大值为f (2)＝φ(4)＝log 212＝2＋log 23. 3．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3，a ∈R .(1)若函数f (x )在(－∞，＋∞)上至少有一个零点，求a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[a ，a ＋1]上的最大值为3，求a 的值．解 (1)依题意，函数y ＝f (x )在R 上至少有一个零点，即方程f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3＝0至少有一个实数根．所以Δ＝16－4(a ＋3)≥0，解得a ≤1. (2)函数y ＝f (x )＝x 2－4x ＋a ＋3图象的对称轴方程是x ＝2.①当a ＋12≤2，即a ≤32时，y max ＝f (a )＝a 2－3a ＋3＝3.解得a ＝0或a ＝3.又a ≤32，所以a ＝0.②当a ＋12>2，即a >32时，y max ＝f (a ＋1)＝a 2－a ＝3，解得a ＝1±132.又a >32，所以a ＝1＋132.综上，a ＝0或a ＝1＋132.4．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则 y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)·x ]＋2ab .依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210.①当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；②当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a <140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大，当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．5．已知函数f (x )＝2x －12|x |.(1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)当x ≤0时，f (x )＝2x －12－x ＝0，方程f (x )＝2无解；当x >0时，方程f (x )＝2可化为2x －12x ＝2，即(2x )2－2×2x －1＝0，由求根公式得2x ＝2±222＝1±2，又∵2x >1,1－2<1，∴2x ＝1＋2，得x ＝log 2(1＋2)． (2)在t ∈[1,2]时，原不等式可化为 2t (22t －122t )＋m (2t－12t )≥0，即2t (2t －12t )(2t ＋12t )＋m (2t －12t )≥0，又∵2t －12t >0，∴2t (2t ＋12t )＋m ≥0，即22t ＋1＋m ≥0，此不等式左边的最小值为22＋1＋m ＝5＋m ，故由5＋m ≥0，得m ≥－5.综上所述，m 的取值范围为[－5，＋∞)．6．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝kf (x ＋2)，其中常数k 为负数，且f (x )在区间[0,2]上有表达式f (x )＝x (x －2)． (1)求f (－1)，f (2.5)的值；(2)写出f (x )在[－3,3]上的表达式，并讨论函数f (x )在[－3,3]上的单调性； (3)求出f (x )在[－3,3]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的值．解 (1)f (－1)＝kf (－1＋2)＝kf (1)＝k ×1×(1－2)＝－k . ∵f (0.5)＝kf (2.5)，∴f (2.5)＝1k f (0.5)＝1k ⎝⎛⎭⎫－34＝－34k. (2)∵f (x )＝x (x －2)，x ∈[0,2]，设－2≤x ≤0，则0≤x ＋2<2， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k (x ＋2)(x ＋2－2)＝kx (x ＋2)，设－3≤x <－2，则－1≤x ＋2<0， ∴f (x )＝kf (x ＋2)＝k 2(x ＋2)(x ＋4)．设2<x ≤3，则0<x －2≤1. 又∵f (x －2)＝kf (x )，∴f (x )＝1k f (x －2)＝1k(x －2)(x －4)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k 2(x ＋2)(x ＋4)，－3≤x <－2，kx (x ＋2)，－2≤x <0，x (x －2)， 0≤x ≤2，1k (x －2)(x －4)， 2<x ≤3.∵k <0，∴由二次函数知识得f (x )在[－3，－2)上是增函数，在[－2，－1]上是增函数，在[－1,0)上是减函数，在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数，在(2,3]上是增函数． (3)由函数f (x )在[－3,3]上的单调性可知，f (x )在x ＝－3或x ＝1处取得最小值f (－3)＝－k 2或f (1)＝－1，而在x ＝－1或x ＝3处取得最大值f (－1)＝－k 或f (3)＝－1k.故有：①k <－1时，f (x )在x ＝－3处取得最小值f (－3)＝－k 2，在x ＝－1处取得最大值f (－1)＝－k .②k ＝－1时，f (x )在x ＝－3与x ＝1处取得最小值f (－3)＝f (1)＝－1，在x ＝－1或x ＝3处取得最大值f (－1)＝f (3)＝1.③－1<k <0时，f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝－1，在x ＝3处取得最大值f (3)＝－1k .。

新步步高高考数学北师大理一轮复习第章推理与证明算法复数 3 数学归纳法课件

a2k＋1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0，解得：ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1(an>0). 即当n＝k＋1时，通项公式也成立.
由①和②可知，对所有 n∈N＋，an＝ 2n＋1－ 2n－1都成立.
解析答案
命题点3 存在性问题的证明
例 5 (2014·重庆)设 a1＝1，an＋1＝ a2n－2an＋2＋b(n∈N＋). (1)若 b＝1，求 a2，a3 及数列{an}的通项公式；
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法( D ) A.过程全部正确 B.n＝1验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法.
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
的最小值是 8.
解析答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
3.数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算
a2，a3，a4后，猜想an的表达式是( B )
A.3n－2
B.n2
C.3n－1
D.4n－3
解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2，故应选B.
解析答案
求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋). 证明 (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝2，故等式成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，那么当n＝k＋1时，左边＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k＋1) ＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ＝2k·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)·2 ＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)，所以当n＝k＋1时等式也成立. 由(1)(2)可知，对所有n∈N＋等式成立.

(完整版)2016版《步步高》高考数学大二轮总复习

本文档为《步步高》高考数学大一轮总复习的函数与导数部分，涵盖了高考真题体验、热点分类突破等关键内容。在高考真题体验部分，通过详细的解析和答案，展示了如何解答关于函数图象与性质的题目，如偶函数的判断、函数图象的识别以及函数性质的综合应用。此外，还提供了考情考向分析，帮助考生了解高考对函数知识的考查重点和方向。热点分类突破部分则针对函数的单调性、奇偶性周期性等核心性质进行了深入剖析，通过例题和解析，强化了考生对这些性质的理解和应用能力。整体来看，本文档为高三学生提供了宝贵的数学复习资料，特别是函数与导数部分的精讲和答案解析，有助于考生系统提升数学成绩。

【北师大版】高三数学步步高(理)第三编导数及其应用

第三编导数及其应用 §3.1 变化率与导数、导数的计算基础自测1.在曲线y =x 2+1的图像上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx ，2+Δy ），则xy∆∆为（） A .21+∆+∆xx B .21-∆-∆xx C .2+∆xD .xx ∆-∆+12 答案 C2.已知f (x )=sin x (cos x +1)，则)(x f '等于（） A .cos2x -cos xB .cos2x -sinxC .cos2x +cos xD .cos 2x +cosx答案C3.若函数y =f (x )在R 上可导且满足不等式x )(x f '＞-f (x )恒成立，且常数a ,b 满足a ＞b ,则下列不等式一定成立的是（）A .af (b )＞bf (a) B .af (a )＞bf (b)C .af (a )＜bf (b )D .af (b )＜bf (a)答案B4.（2008·辽宁理，6）设P 为曲线C ：y =x 2+2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π，则点P 横坐标的取值范围为（）A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1B .［-1，0］C .［0，1］D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21答案A5.(2008·全国Ⅱ理，14)设曲线y =e ax 在点（0，1）处的切线与直线x +2y +1=0垂直，则a= .答案2例1 求函数y =12+x 在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解 ∵Δy=11)(11)(11)(22020202020+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x.11)(2,11)()(220200202020+++∆+∆+=∆∆∴+++∆+∆+∆=x x x xx x y x x x x x x例2 求下列各函数的导数：（1）;sin 25x xx x y ++=（2）);3)(2)(1(+++=x x x y（3）;4cos 212sin 2⎪⎭⎫⎝⎛--=x x y （4）.1111xx y ++-=解 (1)∵,sin sin 2332521x x x x x x x x y ++=++=- ∴'y .cos sin 2323)sin ()()(232252323x x x x x x x x x x -----+-+-='+'+'= （2）方法一 y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴'y =3x 2+12x+11.方法二 'y =[]'++)2)(1(x x (x+3)+（x+1）（x+2）'+)3(x=[)2(）1（+'+x x +（x+1）'+)2(x ］（x+3）+（x+1）（x+2）=（x+2+x+1）（x+3）+（x+1）（x+2）=（2x+3）（x+3）+（x+1）（x+2）=3x2+12x+11.（3）∵y=,sin 212cos 2sin x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴.cos 21)(sin 21sin 21x x x y ='='⎪⎭⎫ ⎝⎛='（4）xx x x x xxy -=+--++=++-=12)1)(1(111111 ， ∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'--='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=' 例3 求下列函数的导数：（1）y =4）3（11x -;(2)y =sin 2(2x +3π); (3)y =x21x +.解（1）设u=1-3x ,y=u -4.则'y x ='y u ·'u x =-4u -5·（-3）=5）31（12x -.(2)设y=u 2,u =sin v ,v=2x+3π, 则'yx ='y u ·'u v ·'v x =2u ·cos v ·2=4sin （2x+3π）·cos （2x+3π）=2sin （4x+32π）. (3)'y =(x 21x +)′='x ·21x ++x ·（21x +)′=21x ++22221211xx xx ++=+.例4 （12分）已知曲线y =.34313+x （1）求曲线在x =2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.解（1）∵'y =x 2,∴在点P （2，4）处的切线的斜率k='y |x=2=4. 2分∴曲线在点P （2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 4分（2）设曲线y=34313+x 与过点P （2，4）的切线相切于点⎪⎭⎫⎝⎛+3431,300x x A ，则切线的斜率k='y |0x x ==20x . 6分 ∴切线方程为),(343102030x x x x y -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-即.34323020+-⋅=x x x y 8分∵点P （2，4）在切线上，∴4=,34322302+-x x 即,044,0432020302030=+-+∴=+-x x x x x ∴,0)1)(1(4)1(00020=-+-+x x x x∴(x 0+1)(x 0-2)2=0,解得x 0=-1或x 0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 12分1.求y =x 在x =x0处的导数.解 )())((lim lim lim00000000000x x x x x x x x x x x x x x x yx x x +∆+∆+∆+-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆.211lim00x x x x x =+∆+=→∆2.求y =tan x 的导数.解 'y .cos 1cos sin cos cos )(cos sin cos )(sin cos sin 22222x x xx x x x x x x x =+='-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3.设函数f (x )=cos(ϕ+x 3)(0＜ϕ＜π) .若f (x )+ )(x f '是奇函数，则ϕ= . 答案6π4．若直线y =kx 与曲线y =x 3-3x 2+2x 相切，则k = . 答案 2或41-一、选择题1.若,2)(0='x f 则()kx f k x f k 2)(lim000--→等于( )A .-1B .-2C .1D .21答案 A2.（2008·全国Ⅰ理，7）设曲线y =11-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a 等于（）A .2 B .21C .21-D .-2答案D3.若点P 在曲线y =x 3-3x 2+(3-3)x +43上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（） A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,0π B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,322,0C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ,32D .⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,22,0πππ答案 B4.函数f (x )、g (x )在区间［a ，b ］上满足)(x f '·g (x )＞f (x )·)(x g '且g (x )＞0，则对任意x ∈（a ,b ) 都有（）A .f (x ）·g (x )＞f (a )·g (b )B .f (x )·g (x )＞f (b )·g (b )C .f (x )·g (a )＞f (a )·g (x )D .f (x )·g (b )＞f (b )·g (x )答案 C5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间（1，2）上的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），|f （x 2）-f （x 1）|＜|x 2-x 1|恒成立”的只有（） A .xx f 1)(= B .f (x )=|x | C .f (x )=2xD .f (x )=x2答案 A6.已知曲线S :y =3x -x 3及点P （2，2），则过点P 可向S 引切线，其切线条数为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 答案 D 二、填空题 7.曲线y =x1和y =x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 . 答案43 8.若函数f (x )的导函数为)(x f '=-x (x +1),则函数g (x )=f (log a x )(0＜a ＜1)的单调递减区间是 .答案 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 1,1三、解答题9. 求下列函数在x =x0处的导数.（1）f (x )=cos x ·sin 2x +cos 3x ,x 0=3π;（2）f (x )=;2,1e 1e 0=++-x xxx x （3）.1,ln )(0223=+-=x xxx x x x f解（1） ()[],sin )(cos cos sin cos )(22x x x x x x f -='=+=''∴233-=⎪⎭⎫⎝⎛'πf .（2）∵,)1(e )2(2)1()1(e 2)1()e 2(1e 2)(22x x x x x x x f xx x x --=-'---'='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='∴)2(f '=0. （3）∵,1123)(ln )()(2523x x x x xx f +--='+'-'='--∴.23)1(-='f10.求曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离.解设曲线上过点P （x 0,y 0）的切线平行于直线2x -y +3=0，即斜率是2，则.2122|122|)12(121|0000=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'-⋅-='===x x x x y x x x x x x解得x 0=1,所以y 0=0,即点P （1，0），点P 到直线2x -y +3=0的距离为5)1(2|302|22=-++-，∴曲线y =ln(2x -1)上的点到直线2x -y +3=0的最短距离是5. 11.（2008·海南、宁夏，21）设函数bx ax x f ++=1)( (a ,b ∈Z )，曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为y =3.（1）求)(x f 的解析式；（2）证明：曲线y =f (x )上任一点的切线与直线x =1和直线y=x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解 2)(1)(b x a x f +-='，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=++,0)2(1,32122b a b a 解得⎩⎨⎧-==,1,1b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==.38,49b a因为a ,b ∈Z ，故.11)(-+=x x x f ．（2）证明在曲线上任取一点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+11,000x x x ．由200)1(11)(--='x x f 知，过此点的切线方程为)()1(11110200020x x x x x x y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+--．令x=1得1100-+=x x y ，切线与直线x=1的交点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11,100x x ．令y=x 得120-=x y ，切线与直线y=x 的交点为)12,12(00--x x ．直线x=1与直线y=x 的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为22212211121112100000=--=----+x x x x x ．所以，所围三角形的面积为定值2.12. 偶函数f （x ）=ax 4+bx 3+cx 2+dx +e 的图像过点P （0，1），且在x =1处的切线方程为y =x -2，求y =f （x ）的解析式.解 ∵f （x ）的图像过点P （0，1），∴e=1. ①又∵f （x ）为偶函数，∴f （-x ）=f （x ）. 故ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=ax 4-bx 3+cx 2-dx+e.∴b=0，d=0. ②∴f(x)=ax4+cx 2+1.∵函数f （x ）在x=1处的切线方程为y=x-2，∴可得切点为（1，-1）. ∴a+c+1=-1.③ ∵)1('f =(4ax 3+2cx)|x=1=4a+2c，∴4a+2c=1.④由③④得a=25，c=29-.∴函数y=f （x ）的解析式为.12925)(24+-=x x x f§3.2 导数的应用基础自测1.函数y =f (x )的图像过原点且它的导函数g =)(x f '的图像是如图所示的一条直线，则y =f (x )图像的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案A2.已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x ＞0时，)(x f '＞0,)(x g '＞0，则x ＜0时（）A .)(x f '＞0, )(x g '＞0B .)(x f '＞0, )(x g '＜0C .)(x f '＜0, )(x g '＞0D . )(x f '＜0, )(x g '＜0答案 B3.（2008·广东理，7）设∈a R ，若函数y =e ax +3x ，∈x R 有大于零的极值点，则（）A ．a ＞-3B ．a ＜-3C ．a ＞-31 D ．a ＜-31 答案B4.函数y =3x 2-2ln x 的单调增区间为，单调减区间为 . 答案 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞33,0,335.（2008·江苏，14）f (x )=ax 3-3x +1对于x ∈［-1,1］总有f (x )≥0成立，则a = . 答案4例1 已知f (x )=e x -ax-1. （1）求f (x )的单调增区间；（2）若f (x ）在定义域R 内单调递增，求a的取值范围；（3）是否存在a ,使f (x )在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由. 解 )(x f '=e x -a.（1）若a ≤0，)(x f '=e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a>0,e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna.∴f(x)的单调递增区间为(lna,+∞). （2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴)(x f '≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立. ∴a ≤（e x ）min ，又∵e x >0，∴a ≤0.（3）方法一由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立.∵e x 在（-∞，0］上为增函数.∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立.∴a ≤1，∴a=1.方法二由题意知，x=0为f(x)的极小值点.∴)0('f =0,即e 0-a=0,∴a=1.例2 已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,曲线y =f (x ）在点x =1处的切线为l :3x -y +1=0，若x =32时，y =f (x ）有极值.（1）求a ,b ,c 的值；（2）求y =f (x ）在［-3，1］上的最大值和最小值. 解（1）由f(x)=x 3+ax 2+bx+c,得)(x f '=3x 2+2ax+b,当x=1时，切线l 的斜率为3，可得2a+b=0 ① 当x=32时，y=f(x)有极值，则⎪⎭⎫⎝⎛'32f =0,可得4a+3b+4=0 ②由①②解得a=2,b=-4.由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.（2）由（1）可得f(x)=x 3+2x 2-4x+5,∴)(x f '=3x 2+4x-4, 令)(x f '=0,得x=-2,x=32.∴y=f （x ）在［-3，1］上的最大值为13，最小值为.2795例3 （12分）已知函数f (x )=x 2e -ax(a ＞0),求函数在［1，2］上的最大值.解 ∵f （x ）=x 2e -ax （a ＞0）,∴)(x f '=2xe -ax +x 2·（-a)e -ax =e -ax (-ax 2+2x). 1分令)(x f '＞0,即e -ax (-ax 2+2x)＞0,得0＜x ＜a2.∴f(x)在（-∞,0),⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 上是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,0上是增函数.①当0＜a2＜1,即a ＞2时,f(x ）在（1，2）上是减函数,∴f （x ）max =f （1）=e -a . 6分②当1≤a2≤2,即1≤a ≤2时， f(x)在⎪⎭⎫⎝⎛a 2,1上是增函数，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,2a 上是减函数，∴f(x)max =f ⎪⎭⎫⎝⎛a 2=4a -2e -2. 9分③当a2＞2时，即0＜a ＜1时，f(x)在（1，2）上是增函数，∴f （x ）max =f （2）=4e -2a .综上所述，当0＜a ＜1时，f(x)的最大值为4e -2a , 当1≤a ≤2时，f(x)的最大值为4a -2e -2,当a ＞2时，f(x)的最大值为e -a . 12分例4 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤x ≤11）时，一年的销售量为(12-x )2万件. （1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q （a ）. 解（1）分公司一年的利润L （万元）与售价x 的函数关系式为：L=(x-3-a)(12-x)2,x ∈［9,11］. (2))(x L '=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L ′=0得x=6+32a 或x=12（不合题意，舍去）. ∵3≤a ≤5,∴8≤6+32a ≤328. 在x=6+32a 两侧L ′的值由正变负. 所以①当8≤6+32a ＜9即3≤a ＜29时，L max =L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).②当9≤6+32a ≤328，即29≤a ≤5时， L max =L(6+32a)=(6+32a-3-a)［12-(6+32a)］2=4(3-31a)3.所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-<≤-=.529,3134,293),6(9)(3a a a a a Q答若3≤a ＜29，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q （a ）=9(6-a )（万元）；若29≤a ≤5，则当每件售价为(6+32a )元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )=33134⎪⎭⎫ ⎝⎛-a (万元).1．已知函数f (x )=x 3-ax -1.（1）若f (x )在实数集R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ,使f (x )在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）证明：f (x )=x 3-ax -1的图像不可能总在直线y =a 的上方.（1）解由已知)(x f '=3x 2-a,∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数，∴)(x f '=3x 2-a ≥0在（-∞,+∞）上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.∵3x 2≥0,∴只需a ≤0,又a=0时，)(x f '=3x 2≥0,故f(x)=x 3-1在R 上是增函数，则a ≤0.（2）解由)(x f '=3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立，得a ≥3x 2,x ∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x 2<3,∴只需a ≥3.当a=3时，)(x f '=3(x 2-1), 在x ∈(-1,1)上，)(x f '<0,即f(x)在（-1，1）上为减函数，∴a ≥3. 故存在实数a ≥3,使f(x)在（-1，1）上单调递减.（3）证明 ∵f(-1)=a-2<a,∴f(x)的图像不可能总在直线y=a 的上方. 2.求函数y =x 4-2x 2+5在区间［-2,2］上的最大值与最小值.解先求导数,得'y =4x 3-4x,令'y =0,即4x 3-4x=0.解得x 1=-1,x 2=0,x 3=1.3.（2008·山东理，21）已知函数f (x )=nx ）1（1-+a ln(x -1),其中n ∈N +*a 为常数. (1)当n =2时,求函数f (x )的极值;(2)当a =1时,证明:对任意的正整数n ,当x ≥2时,有f (x )≤x -1.(1)解由已知得函数f(x)的定义域为{x|x>1}, 当n=2时,f(x)=2）1（1-x +aln(x-1),所以)(x f '=32)1()1(2x x a ---.①当a>0时,由)(x f '=0,得 x1=1+a 2>1,x 2=1-a2<1,此时)(x f '=321)1())((x x x x x a ----.当x ∈(1,x 1)时,)(x f '<0,f(x)单调递减; 当x ∈(x 1,+∞)时,)(x f '>0,f(x)单调递增. ②当a ≤0时,)(x f '<0恒成立,所以f(x)无极值. 综上所述,n=2时,当a>0时,f(x)在x=1+a2处取得极小值, 极小值为f （1+a2）=2a （1+ln a 2）.当a ≤0时,f(x)无极值.(2)证明方法一因为a=1,所以f(x)=nx ）1（1-+ln(x-1).当n 为偶数时,令g(x)=x-1-nx ）1（1--ln(x-1),则)(x g '=1+11)1(1---+x x n n =0)1(121>-+--+n x nx x (x ≥2).所以,当x ∈［2,+∞)时,g(x)单调递增,又g(2)=0,因此,g(x)=x-1-nx )1(1--ln(x-1)≥g(2)=0恒成立,所以f(x)≤x-1成立.当n 为奇数时,要证f(x)≤x-1,由于nx )1(1-<0,所以只需证ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则)(x h '=1-1211--=-x x x ≥0 (x ≥2),所以,当x ∈［2,+∞)时,h(x)=x-1-ln(x-1)单调递增,又h(2)=1>0,所以当x ≥2时,恒有h(x)>0,即ln(x-1)<x-1命题成立.综上所述,结论成立.方法二当a=1时,f(x)=nx ）1（1-+ln(x-1).当x ≥2时,对任意的正整数n,恒有nx ）1（1-≤1,故只需证明1+ln(x-1)≤x-1. 令h(x)=x-1-（1+ln(x-1)） =x-2-ln(x-1),x ∈［2,+∞).则)(x h '=1-11-x =,12--x x当x ≥2时,)(x h '≥0,故h(x)在［2,+∞)上单调递增, 因此,当x ≥2时,h(x)≥h(2)=0, 即1+ln(x-1)≤x-1成立.故当x ≥2时,有nx ）1（1-+ln(x-1)≤x-1.即f(x)≤x-1.4.某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )=3 700x +45x 2-10x 3（单位：万元），成本函数为C (x )=460x +5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )=f (x +1)-f (x ).（1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；（提示：利润=产值-成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？解（1）P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3+45x 2+3 240x-5 000(x ∈N +，且1≤x ≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2+60x+3 275 (x ∈N +,且1≤x ≤19). （2）)(x P '=-30x 2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴)(x P '=0时,x=12，∴当0<x<12时，)(x P '>0,当x>12时，)(x P '<0,∴x=12时，P(x)有最大值.即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大. （3）MP(x)=-30x 2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305. 所以，当x ≥1时，MP(x)单调递减，所以单调减区间为［1，19］，且x ∈N +.MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.一、选择题1.(2009·崇文模拟)已知f （x ）的定义域为R ，f （x ）的导函数)(x f '的图像如图所示，则（）A .f (x )在x =1处取得极小值 B.f (x )在x =1处取得极大值 C . f (x )是R 上的增函数D . f (x )是（-∞，1）上的减函数，（1，+∞）上的增函数答案C2.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数)(x f '在(a ,b )内的图像如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b ) 内有极小值点（）A .1个B .2个C .3个D .4个答案A3.函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g (x )=xx f )(在区间（1，+∞）上一定（）A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数答案 D4.用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊接成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.12答案B5.已知f (x )=2x 3-6x 2+a (a 是常数）在［-2，2］上有最大值3，那么在［-2，2］上f (x ）的最小值是（）A .-5 B .-11 C .-29 D .-37答案D6.已知函数f (x )=21x 4-2x 3+3m ,x ∈R ,若f (x )+9≥0恒成立,则实数m 的取值范围是（）A .m ≥23 B .m ＞23C .m ≤23D .m ＜23答案A二、填空题7.已知函数f (x )=x 3-12x +8在区间［-3，3］上的最大值与最小值分别为M ，m ，则M -m= . 答案328.（2008·淮北模拟）已知函数f (x )的导数)(x f ' =a (x +1)·(x -a ),若f (x )在x =a 处取到极大值，则a 的取值范围是 . 答案（-1，0）三、解答题9.设a ＞0,函数f (x )=12++x b ax ,b 为常数.（1）证明：函数f (x )的极大值点和极小值点各有一个；（2）若函数f (x ）的极大值为1，极小值为-1，试求a 的值. （1）证明 )(x f '=,)1(2222++--x a bx ax ,令)(x f '=0,得ax 2+2bx-a=0(*)∵Δ=4b 2+4a 2>0,∴方程（*)有两个不相等的实根，记为x 1,x 2(x 1<x 2),则)(x f '=2221)1())((+---x x x x x a ,（2）解由（1）得⎪⎩⎪⎨⎧+=+--=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-=++=②1①1,11)(11)(2222112222111x b ax x b ax x b ax x f x bax x f 即两式相加，得a(x 1+x 2)+2b=2122x x -. ∵x 1+x 2=-ab2,∴2122x x -=0,即(x 2+x 1)(x 2-x 1)=0,又x 1<x 2,∴x 1+x 2=0,从而b=0,∴a （x 2-1）=0，得x 1=-1,x 2=1,由②得a=2.10.设函数f （x ）=x 3-3ax 2+3bx 的图像与直线12x +y -1=0相切于点（1，-11）. （1）求a ，b 的值；（2）讨论函数f （x ）的单调性.解（1）求导得)(x f '=3x 2-6ax+3b.由于f （x ）的图像与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），所以f （1）=-11，)1('f =-12，即⎩⎨⎧-=+--=+-,12363,11331b a b a 解得a=1，b=-3.（2）由a=1，b=-3得)(x f '=3x 2-6ax+3b=3(x 2-2x-3)=3(x+1)(x-3).由)(x f '>0,解得x<-1或x>3;又令)(x f '<0,解得-1<x<3.所以当x ∈(-∞,-1)和(3,+∞）时,f(x)是增函数;当x ∈(-1,3)时,f(x)是减函数. 11.已知函数f (x )=x 3-ax 2-3x .（1）若f (x )在区间［1，+∞）上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）若x =-31是f (x )的极值点，求f （x ）在［1，a ］上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b ，使得函数g （x ）=bx 的图像与函数f （x ）的图像恰有3个交点，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由.解（1）)(x f '=3x 2-2ax-3，∵f(x)在［1，+∞）上是增函数,∴)(x f '在［1，+∞）上恒有)(x f '≥0，即3x 2-2ax-3≥0在［1，+∞）上恒成立.则必有3a≤1且)1('f =-2a ≥0,∴a ≤0.(2）依题意，)31(-'f =0，即31+32a-3=0，∴a=4,∴f(x)=x 3-4x 2-3x ，令)(x f '=3x 2-8x-3=0，得x 1=-31，)(x f '（3）函数g(x)=bx 的图像与函数f(x)的图像恰有3个交点，即方程x 3-4x 2-3x=bx 恰有3个不等实根∴x 3-4x 2-3x-bx=0，∴x=0是其中一个根，∴方程x 2-4x-3-b=0有两个非零不等实根，∴.37,030)3(416-≠->∴⎩⎨⎧≠-->++=∆b b b b 且∴存在符合条件的实数b ，b 的范围为b>-7且b ≠-3. 12. (2008·安徽理，20)设函数f （x ）=xx ln 1（x ＞0且x ≠1）. （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）已知2x 1＞x a 对任意x ∈（0，1）成立，求实数a 的取值范围.解（1）)(x f '=-xx x 22ln 1ln +，若)(x f '=0,则x =e 1. 列表如下：所以f (x )的单调增区间为（0,e1），单调减区间为（e1,1）和（1，+∞）.（2）在2x 1＞x a 两边取对数，得x1ln2＞a ln x . 由于x ∈(0,1)，所以xx a ln 12ln >.①由（1）的结果知，当x ∈(0,1)时，f (x )≤f （e1）=-e. 为使①式对所有x ∈(0,1)成立，当且仅当2ln a＞-e, 即a ＞-eln2.§3.3 定积分的概念与微积分基本定理基础自测 1.∞→n lim ))1(sin 2sin (sin 1nn n n n πππ-+++ 写成定积分的形式，可记为（） A .x x d sin 0π⎰ B .x x d sin 10⎰ C .π1x x d sin 0π⎰ D . π0⎰x xx d sin 答案C2.（2009·济宁模拟）下列值等于1的积分是（）A .x x d10⎰ B .x x d )1(10+⎰ C .x d 2110⎰ D .xd 110⎰答案D3.由曲线y =e x ,x =0,y =2所围成的曲边梯形的面积为（）A .y y d ln21⎰ B.y x d e 2e 0⎰ C .y y d ln 2ln 1⎰ D .x x d )e 2(21-⎰答案A4.已知f (x )为偶函数且,8d )(60=⎰x x f 则x x f d )(66-⎰等于（） A .0 B .4 C .8 D .16答案D5.已知-1≤a ≤1，f (a )=)2(2210x a ax -⎰，求f （a ）的值域.解 f (a )=923221322|232d )2(22102232210+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎰a a a x a x a x x a ax∵-1≤a ≤1，∴-92)(67≤≤a f ,故f(a)的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-92,67.例1 计算下列定积分（1）20⎰x (x +1)d x ;(2) 21⎰(e 2x +x1)d x ; (3) π0⎰sin 2x d x .解（1）∵x （x +1）=x 2+x 且(31x 3)′=x 2,(21x 2)′=x , ∴20⎰x (x +1)d x =20⎰(x 2+x )d x=20⎰x 2d x +20⎰x d x =31x 3|20+21x 2|20 =(31×23-0)+(21×22-0)=314. (2)∵(ln x )′=x1,(e 2x )′=e 2x ·(2x )′=2e 2x , 得e 2x =(21e 2x)′ 所以21⎰（e 2x +x 1)d x =21⎰e 2x d x +21⎰x 1d x =21e 2x |21+ln x |21 =21e 4-21e 2+ln2-ln1=21e 4-21e 2+ln2. (3)由(sin2x )′=cos2x ·(2x )′=2cos2x ,得 cos2x =（21sin2x ）′, 所以π0⎰sin 2x d x =π0⎰（21-21cos2x ）d x =π0⎰21d x -21π0⎰cos2x d x =21x |π0-21（21sin2x ）|π0 =（2π-0）-21（21sin2π -21sin0）=2π. 例2 (2009·顺德模拟)计算下列定积分（1）π20⎰|sin x |d x ;(2)20⎰|x 2-1|d x .解（1）∵（-cos x ）′=sin x ，∴π20⎰|sin x |d x =π0⎰|sin x |d x +ππ2⎰|sin x |d x =π0⎰sin x d x -ππ2⎰sin x d x =-cos x |π0+cos x |ππ2=-（cos π-cos0）+（cos2π-cos π）=4.（2）∵0≤x ≤2，于是|x 2-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<-)10(1)21(122x x x x∴20⎰|x 2-1|d x =10⎰(1-x 2)d x +21⎰(x 2-1)d x=⎪⎭⎫ ⎝⎛-331x x |10+（31x 3-x ）|21=（1-31）+（31×23-2）-（31-1）=2. 例3 求函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2(2]2,1(]1,0[23x x x x x x 在区间［0，3］上的积分. 解由积分性质知30⎰f (x )d x =10⎰f (x )d x +21⎰f (x )d x +32⎰f (x )d x =10⎰x 3d x +21⎰x 2d x +32⎰2x d x=44x |10+31x 3|21+2ln 2x |32=41+38-31+2ln 8-2ln 4 =2ln 4+1231. 例4 （12分）求定积分32-⎰2616x x -+d x .解设y =2616x x -+, 即(x -3)2+y 2=25 (y ≥0). 4分 ∵32-⎰2616x x -+d x 表示以5为半径的圆的四分之一面积，∴32-⎰2616x x -+d x =π425.12分1. 求0π-⎰(cos x +e x )d x .解 0π-⎰(cos x +e x )d x =0π-⎰cos x d x +0π-⎰e x d x=sin x |0π-+e x |0π-=1-πe 1.2.求40⎰（|x -1|+|x -3|）d x .解设y =|x -1|+|x -3|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-)3(42)31(2)1(42x x x x x ∴40⎰(|x -1|+|x -3|)d x=10⎰(-2x +4)d x +31⎰2d x +43⎰(2x -4)d x =(-x 2+4x )|10+2x |31+(x 2-4x )|43=-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤+--)32()2()21()10()1(211x x xx x x 求30⎰f (x )d x .解 30⎰f (x )d x =10⎰2(x +1)-1 d x +21⎰x d x +32⎰(2)x -1d x=2ln(x +1)|10+323x |21+ 321|)2(2ln 1-x=2ln2+32(22-1)+ )22(2ln 1-. 4.10⎰（2)1(1--x -x ）d x = .答案42-π一、选择题1.与定积分π3⎰x cos 1-d x 相等的是（）A .x x d 2sin 230π⎰ B .x x d |2sin |230π⎰ C .||d 2sin 230x xπ⎰ D .以上结论都不对答案B2.若y =f (x )与y =g (x )是［a ,b ］上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x =a ,x =b 所围成的平面区域的面积为（）A .()x x g x f b ad )()(-⎰ B .x x f x g b a d ))()(-⎰ C .x x g x f b a d |)()(-⎰ D .||d ))()(x x g x f b a-⎰答案C3.定积分x x x d )33(210+⎰等于（）A .343ln 4- B .23ln 4+ C .-343ln 4- D .- 23ln 4+ 答案B4.设函数f （x ）=⎩⎨⎧≤<-≤≤+,21,3,10,12x x x x 则x x f d )(20⎰等于（）A .31B .617 C .6 D .17答案B5.下列定积分值为0的是（）A .x x x d sin22-⎰ B .x x x d cos 222-⎰C.x x x d )(4222+⎰-D.x x x d )5(25322+⎰- 答案D6.根据x x d sin 20π⎰推断，直线x =0，x =2π，y =0和正弦曲线y =sin x 所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为（） A .面积为0B .曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C .曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D .曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积答案D二、填空题7.若10⎰f (x )d x =1, 20⎰f (x )d x =-1,则21⎰f (x )d x = .答案 -2 8.定积分10⎰21x x +d x 的值是 .答案21ln2 三、解答题 9.求下列定积分的值 (1) 30⎰29x -d x ;(2)已知f (x )=⎩⎨⎧<<≤≤-)10(1)01(2x x x ，求11-⎰f (x )d x 的值. 解（1）30⎰29x -d x 表示以y =29x -与x =0,x =3所围成图形的面积，而y =29x -与x =0,x =3围成的图形为圆x 2+y 2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为49π.（2）∵f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤-10112x x x∴11-⎰f (x )d x =01-⎰x 2d x +10⎰1d x=31x 3|01-+x |10=31+1=34. 10.已知f （x ）=ax 2+bx +c ，且f （-1）=2，)0('f =0，10⎰f （x ）d x =-2，求a 、b 、c 的值. 解由f （-1）=2，得a -b +c =2， ①又)(x f '=2ax +b , 由)0('f =0得b =0,②10⎰f (x )d x =10⎰(ax 2+bx +c )d x=(31ax 3+2b x 2+cx )|10 =31a +21b +c . 即31a +21b +c =-2，③由①②③得：a =6,b =0,c =-4.11.已知f (a )= 10⎰(2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值.解 10⎰(2ax 2-a 2x )d x =(32ax 3-21a 2x 2)|10=32a -21a 2即f (a )= 32a -21a 2=-21（a 2-34a +94）+92 =-21（a -32）2+92. 所以当a =32时，f (a )有最大值92. 12.(2009·青岛模拟)对于函数f (x )=bx 3+ax 2-3x .（1）若f (x )在x =1和x =3处取得极值，且f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t -23cos 2t +3,试求实数t 的取值范围；（2）若f (x ）为实数集R 上的单调函数，且b ≥-1,设点P 的坐标为（a ,b )，试求出点P 的轨迹所围成的图形的面积S .解（1）由f (x )=bx 3+ax 2-3x ,则)(x f '=3bx 2+2ax -3,∵f （x ）在x =1和x =3处取得极值， ∴x =1和x =3是)(x f '=0的两个根且b ≠0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯-=+b ba 33313231⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==312b a . ∴)(x f '=-x 2+4x -3.∵f (x )的图像上每一点的切线的斜率不超过2sin t cos t -23cos 2t +3,∴)(x f '≤2sin t cos t -23cos 2t +3对x ∈R 恒成立，而)(x f '=-(x -2)2+1,其最大值为1.故2sin t cos t -23cos 2t +3≥1⇒2sin(2t -3π)≥1⇒2k π+6π≤2t -3π≤2k π+65π,k ∈Z ⇒k π+4π≤t ≤k π+127π,k ∈Z . （2）当b =0时，由f (x )在R 上单调，知a =0. 当b ≠0时，由f (x )在R 上单调⇔)(x f '≥0恒成立，或者)(x f '≤0恒成立.∵)(x f '=3bx 2+2ax -3,∴Δ=4a 2+36b ≤0可得b ≤-91a 2. 从而知满足条件的点P （a ,b )在直角坐标平面aOb 上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b =-91a 2与直线b =-1所围成的封闭图形，其面积为S =33-⎰(1-91a 2)d a =4.§3.4 定积分的简单应用基础自测 1.将由y =cos x ,x =0,x =π,y =0所围图形的面积写成定积分形式为（）A .x x d cos 0π⎰B .x x x x d cos d cos 220πππ⎰+⎰ C .x x d cos 20π⎰ D .x x d |cos |20π⎰答案B2.一物体沿直线以v =3t +2 (t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为（）A .46 mB .46.5 mC .87 mD .47 m答案B3.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为（） A .5 J B .10 J C .20 JD.40 J答案B4.曲线y =cos x （0≤x ≤23π）与坐标轴所围成的面积是（）A .2 B .3 C .25D .4答案B5.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为ρ(x )=x 3（取细棒的一端为原点，所在直线为x 轴），棒长为1，则棒的质量M 为（） A .1 B .21C.31D .41 答案D例1 求抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积.解由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==x y xy 422解出抛物线和直线的交点为（2，2）及(8,-4).方法一选x 作为积分变量，由图可看出S =A 1+A 2 在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y =x 2, 下半支方程为y =-x 2，所以S 1A =20⎰［x 2-(-x 2)］d x =2220⎰x21d x=22·32x 23|20=316， S 2A =82⎰［4-x -(-x 2)］d x=(4x -21x 2+322x 23)|82=338, 于是：S =316+338=18. 方法二选y 作积分变量，将曲线方程写为x =22y 及x =4-y .S =24-⎰[（4-y ）-22y ]d y =(4y -22y -63y )|24-=30-12=18.例2 （14分）如图所示，直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值.解抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标x 1=0,x 2=1,所以抛物线与x 轴所围图形的面积S =10⎰（x -x 2）d x =(3232x x -)|10 =21-31=61. 4分抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为 x 1′=0,x 2′=1-k ,6分所以2S =k -⎰10（x -x 2-kx ）d x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32132x x k |k -10 =61(1-k )3， 10分又知S =61，所以(1-k )3=21，于是k =1-321=1-243. 12分例3 一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程.解由速度—时间曲线易知，v （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈]60,40[905.1)40,10[30)10,0[3t t t t t由变速直线运动的路程公式可得s =100⎰3t d t +4010⎰30d t +6040⎰(-1.5t +90)d t=23t 2|100+30t |4010+（-43t 2+90t ）|6040 =1 350 (m).答此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.1.求抛物线y 2=x 与直线x -2y -3=0所围成的平面图形的面积S .解方法一由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0322y x xy 得抛物线与直线的交点为P （1，-1），Q （9，3）（如图）.∴S =10⎰［x -(-x )］d x +91⎰(x -23-x )d x =210⎰x d x +91⎰(x -2x +23)d x =343x |10+（32x 23-42x +x 23）|91=34+328=332. 方法二若选取积分变量为y ，则两个函数分别为x =y 2,x =2y +3.由方法一知上限为3，下限为-1. ∴S =31-⎰(2y +3-y 2）d y =（y 2+3y -31y 3)|31-=(9+9-9)-(1-3+31)=332.2.如图所示,阴影部分的面积是（） A .32B .9-32C .332D .335 答案 C3.一物体按规律x =bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x =0运动到x =a 时，阻力做的功. 解物体的速度v =)(t x '=(bt 3)′=3bt 2,媒质阻力f 阻=kv 2=k ·(3bt 2)2=9kb 2t 4.(其中k 为比例常数，k ＞0)当x =0时，t =0，当x =a 时，t =t 1=31⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ,∴阻力做的功是：W 阻=a0⎰f 阻d x =201kv t ⎰·v d t=10t k ⎰v 3d t =10t k ⎰（3bt 2）3d t =727kb 371t =727k 327b a =727ka 232ab .一、选择题1. 如图，阴影部分面积为 ( )A.c a ⎰[]xx g x f d )()(-B.[][]x x g x f x x f x gbcc ad )()(d )()(-⎰+-⎰C.c a ⎰[]x x g x fd )()(-+b c ⎰[]x x f x g d )()(-D.b c⎰[]x x f x g d )()(- 答案B2.（2008·广州模拟）设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈],2,1(,2],1,0[,2x x x x 则20⎰f （x ）d x 等于 ( )A.43 B.54 C.65D.不存在答案C3.设f (x )=x0⎰sin t d t ,则f （f （2π））等于（） A.-1 B.1 C.-cos1 D.1-cos1答案D4.一物体在力F （x ）=⎩⎨⎧>+≤≤)2(43)20(10x x x (单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =4（单位：m)处，则力F （x ）作的功为（）A.44B.46C.48D.50答案B5.一物体在变力F (x )=5-x 2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F (x )成30°方向作直线运动,则由x =1运动到x =2时F (x )作的功为（）A.3J B .332 J C.334 J D.23 J答案C6. 函数F (x )=x0⎰t (t -4)d t 在［-1,5］上（）A.有最大值0,无最小值B.有最大值0和最小值-332 C.有最小值-332,无最大值 D.既无最大值也无最小值答案B二、填空题7.汽车以v =3t +2 (单位：m/s ）作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是 m. 答案 6.58.若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x =5, 10⎰xf (x )d x =617,那么函数f (x )的解析式是 . 答案 f (x )=4x +3 三、解答题9.证明：把质量为m （单位：kg ）的物体从地球的表面升高h (单位：m)处所做的功W =G ·,)(h k k Mmh+其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径.证明根据万有引力定律：知道对于两个距离为r,质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力为f （r ）=G ·221r m m ，其中G 为引力常数.则当质量为m 的物体距地面高度为x(0≤x ≤h)时，地心对它的引力f （x ）=G ·.)(2x k Mm+故该物体从地面升到h 高处所做的功为W =h 0⎰f （x ）d x =h 0⎰G ·2)(x k Mm+·d x=GMm h 0⎰2)(1x k +d （k +x ）=GMm ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x k 1|h 0=.)(·)11(h k k MmhG k h k GMm +=++-10.设函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在点x =1处有极值-2.（1）求常数a ,b 的值；（2）求曲线y =f (x )与x 轴所围成的图形的面积.解（1）由题意知)(x f '=3x 2+2ax+b, f(1)=-2且)1('f =0,即,02321⎩⎨⎧=++-=++b a b a 解得a=0,b=-3, 即f(x)=x 3-3x.(2)作出曲线y=x 3-3x 的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3-3x=0得曲线y=x 3-3x 与x 轴的交点坐标是(-3,0),(0,0)和(3,0)，而y=x 3-3x 是R 上的奇函数，函数图像关于原点中心对称.所以(-3,0)的阴影面积与(0,3)的阴影面积相等. 所以所求图形的面积为S =230⎰［0-(x 3-3x )］d x =-2（41x 4-23x 2）|30=29. 11.如图所示，抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的两交点为A 、B ，点P 在抛物线上从A 向B 运动. （1）求使△PAB 的面积最大的P 点的坐标(a ,b );（2）证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x =a 分为面积相等的两部分. （1）解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 342，得x 1=1,x 2=-4.∴抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的交点为 A （1，3），B （-4，-12）， ∴P 点的横坐标a ∈(-4,1). 点P （a ,b )到直线y =3x 的距离为d =22313+-b a ,∵P 点在抛物线上，∴b =4-a 2，ad '=101·(4-3a -a 2)′=101 (-2a -3)=0,∴a =-23，即当a =-23时，d 最大，这时b =4-49=47, ∴P 点的坐标为（-23,47）时，△PAB 的面积最大. （2）证明设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S , 位于x =-23右侧的面积为S 1. S =14-⎰（4-x 2-3x )d x =6125, S 1=123-⎰（4-x 2-3x )d x =12125, ∴S =2S 1,即直线x =-23平分抛物线与线段AB 围成的图形的面积. 12.在区间［0，1］上给定曲线y =x 2，试在此区间内确定点t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小.解 S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y =x 2与x 轴、直线x =t 所围成的面积，即S 1=t ·t 2-t 0⎰x 2d x =32t 3. S 2的面积等于曲线y =x 2与x 轴、x =t ,x =1围成的面积减去矩形面积，矩形边长分别为t 2，（1-t ），即 S 2=1t ⎰x 2d x -t 2(1-t )=32t 3-t 2+31. 所以阴影部分的面积S 为 S =S 1+S 2=34t 3-t 2+31（0≤t ≤1）. ∵)(t S '=4t 2-2t =4t (t -21)=0时，得t =0，t =21. 当t =21时，S 最小，∴最小值为S (21)=41. 单元检测三一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.（2007·海南、宁夏文，10）曲线y =e x 在点（2，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A .49e2B .2e2C .e2D .2e 2答案D2.（2008·福建文，11）如果函数y =f (x )的图像如图所示，那么导函数y =)(x f '的图像可能是( )。

【步步高】(全国通用)2016版高考数学考前三个月复习冲刺第二篇第1讲三角函数问题理

[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.要求考生具有一定的创新意识和创新能力.解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力.[答题模板解读] 针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化.万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分.第1讲三角函数问题题型一与三角函数图象、性质有关的问题例1 (12分)已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值. 规范解答解 (1)由已知得f (x )＝cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34 ＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34[2分] ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34＝14sin 2x －34cos 2x [4分]＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[6分] 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.[7分] (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上是增函数.[10分] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14.[11分] 所以，函数f (x )在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.[12分] 评分细则第(1)问得分点1.无化简过程，直接得到f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，扣5分. 2.化简结果错误，但中间某一步正确，给2分.第(2)问得分点1.只求出f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝14得出最大值为14，最小值为－14，得1分. 2.若单调性出错，只得1分.3.单调性正确，但计算错误，扣2分.4.若求出2x －π3的范围，再求函数的最值，同样得分.第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式；第二步：由y ＝sin x ，y ＝cos x 的性质，将ωx ＋φ看做一个整体，求T 、A 、ω、φ等参量，求函数单调区间、值域及角的范围；第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果计算是否有误.跟踪训练1 已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值；(2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间.题型二三角变换与解三角形的综合问题例2 (12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知a ＝3，cos A ＝63， B ＝A ＋π2.(1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积.规范解答解 (1)由题意知：sin A ＝1－cos 2A ＝33，[1分]sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π2＝sin A cos π2＋cos A sin π2＝cos A ＝63，[3分]由正弦定理得：a sin A ＝bsin B⇒b ＝a ·sin Bsin A ＝3 2.[5分](2)由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝63⇒c 2－43c ＋9＝0⇒c 1＝3，c 2＝33，[8分]又因为B ＝A ＋π2为钝角，所以b >c ，即c ＝3，[10分]所以S △ABC ＝12ac sin B ＝322.[12分]评分细则第(1)问得分点1.没求sin A 而直接求出sin B 的值，不扣分.2.写出正弦定理，但b 计算错误，得1分.第(2)问得分点1.写出余弦定理，但c 计算错误，得1分.2.求出c 的两个值，但没舍去，扣2分.3.面积公式正确，但计算错误，只给1分.4.若求出sin C ，利用S ＝12ab sin C 计算，同样得分.第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后定转化方向；第二步：定工具，即根据条件确定合理运算思路，如用正弦、余弦定理，三角形面积公式等，实现边角转化；第三步：计算，求结果；第四步：回顾反思，在实施边角互化时，注意转化的方向，注意角的范围及特定条件的限制等.跟踪训练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状.答案精析第二篇看细则，用模板，解题再规范第1讲三角函数问题跟踪训练1 解 (1)f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，所以2x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6 (k ∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π6，k ∈Z .当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝1－14＝34.当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12[1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6]＋1＋12sin 2x＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32是增函数．故函数h (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12 (k ∈Z )．跟踪训练2 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。

《步步高学案导学设计》高中数学北师大版选修23【配套备课资源】第一章 3.(二)

(4)C83＝C72＋C73.
研一研·问题探究、课堂更高效
§3(二)
问题 3 由问题 1、2 你能得出组合数的性质吗？如何证明？答组合数具备以下两个性质：
①Cmn ＝Cnn－m；②Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
本课
证明如下：
时栏目开
①∵Cnn－m＝n－m！[nn！－n－m]！＝m！nn！－m！，
解 (1)所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3
关件的组合数，
所以共有 C3100＝1001× ×929××398＝161 700(种)抽法．
(2)从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有 C21种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有 C298种，
研一研·问题探究、课堂更高效
§3(二)
探究点二有限制条件的组合问题
例 2 在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100
件产品中任意抽出 3 件．
(1)有多少种不同的抽法？
本课
(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？
时栏
(3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
目开
目
开关
∴Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
研一研·问题探究、课堂更高效
§3(二)
例 1 计算下列各式的值．
(1)C9969＋C9979；(2)Cnn＋1·Cnn－2；(3)C43＋C53＋C63＋…＋C310；
(4)A32＋A24＋A25＋…＋A2100.
解 (1)C9969＋C9979＝C399＋C299
＝(C3101－1)×2＝2×1013××120×0×1 99－1＝333 298.

高考数学(理)自由复习步步高系列02(原卷版).docx

高中数学学习材料唐玲出品【热点知识再梳理——胸有成竹】考点一导数的几何意义 [1]导数的概念与计算1.设函数在1x =处存在导数，则()()011lim 3x f x f x ∆→+∆-=∆( )A .()'1fB ()3'1fC .()1'13f D .()'3f2.函数1()2(1)f x xf x '=+-，则()'1f =_____________.[2]切线问题(已知切点)3.曲线sin 1sin cos 2xy x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（）A .12-B .12C .22-D .224.若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a = ．[3]切线问题(切点未知)5.曲线3ln 2y x x =++在点0P 处的切线方程为410x y --=，则点0P 的坐标是( )A .(0,1)B .(1,1)-C .(1,3)D .(1,0)6.过点A (0,16)作曲线()33f x x x =-的切线，则此切线的方程为_______.考点二利用导数研究单调性[4]求单调区间(不含参数)7.设()()256f x a x lnx -=+，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．[5]求单调区间(含参数) [8]求极值或者最值(含参数)8.已知函数()3113f x x ax =-+ (1)当1x =时,()f x 取得极值,求a 的值. (2)求()f x 在[]0,1上的最小值.[6]已知单调区间求参数范围9.已知函数()322131,3f x x mx m x m R =+-+∈ (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若f (x )在区间(－2,3)上是减函数，求m 的取值范围．[7]求极值或者最值(不含参数) [9]已知极值或者最值求参数范围10.已知函数()23ln f x ax x x=--,其中a 为常数. (1)当函数()f x 的图像在点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线的斜率为1时,求()f x 在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值; (2)若函数()f x 在区间()0,+∞上既有极大值又有极小值,求a 的取值范围.11.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是( )[9]已知极值或者最值求参数 [10]恒成立问题(分离参数)12.设函数()322338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =处取得极值,(1)求,a b 的值; (2)若对于任意的[]0,3x ∈都有()2f x c <成立,求c 的取值范围.[10]恒成立问题(分离参数) [11]恒成立问题(数形结合)13.已知函数()()ln 10f x a x a =+>(1)当0x >时,求证()111f x a x ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭;(2)在区间()1,e 上()f x x >恒成立,求实数a 的取值范围.[13]零点问题14.已知函数a ax x ax x f ---+=232131)((),0x R a ∈> .(1)求函数)(x f 的单调区间;(2)若函数)(x f 在区间()2,0-内恰有两个零点，求a 的取值范围;[14]存在性问题16.已知函数()()324f x x ax x R =-+-∈,()'f x 是()f x 的导函数.(1)当2a =时,对任意的[][]1,1,1,1m n ∈-∈-,求()()'f m f n +的最小值;(2)若存在()00,x ∈+∞,使()00f x >,求a 的取值范围.【综合模拟练兵——保持手感】1.已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为___________.2.若函数()()bf x x b R x =+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间单调递增的是() A ．(2,0)- B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(,2)-∞-3.已知21()ln(1),()(,)2f x xg x ax bx a b R =+=+∈．（Ⅰ）若2()(1)()bh x f x g x ==--且存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若0,1a b ==,求证：当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立；（Ⅲ）设0,0x y >>，证明：ln ln ()ln2x y x x y y x y ++>+.4.已知函数2901x f x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）求证：12482(1)(1)(1)(1)233558(21)(21)n n n e -++++<⨯⨯⨯++（其中n N *∈,e 是自然数对数的底数）7.已知函数2()(0)f x x ax a =-≠，()ln g x x =，()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ，(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l ，并且1l 与2l 平行.（1）求(2)f 的值；（2）已知实数t ∈R ，求[]ln ,1,u x x x e =∈的取值范围及函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值；（3）令()()'()F x g x g x =+，给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<，对于两个大于1的正数βα,，存在实数m 满足：21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立，求实数m 的取值范围.。

【步步高】高考数学总复习第三章 3.1导数的概念及运算强化训练理北师大版

§3.1导数的概念及运算1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率Δy Δx＝f(x1)－f(x0)x1－x0＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0f(x1)－f(x0)x1－x0＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．函数f(x)的导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0 f(x＋Δx)－f(x)Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式5． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数函数y ＝f (φ(x ))称为函数y ＝f (u )和u ＝φ(x )的复合函数，其导数为y x ′＝[f (φ(x ))]′＝f ′(u )φ′(x )．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同．( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数y ＝x 3的导数是y ′＝3x 2.( × )2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.答案 2解析设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2.3．已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是( )A ．－1B ．±1C ．1D ．±3答案 B解析由y ＝x 3知y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2. 又切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直， ∴3a 2·(－13)＝－1，∴即a 2＝1，a ＝±1，故选B.4．如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )答案 D解析由y ＝f ′(x )的图像知y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C. 又由图像知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D. 5．曲线y ＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为________．答案 13解析 y ′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k ＝－2，∴切线方程为y ＝－2x ＋2，该直线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形如图所示，其中直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点为A (23，23)，所以三角形的面积S ＝12×1×23＝13.题型一利用定义求函数的导数例1 利用导数的定义求函数f (x )＝x 3在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线与曲线f (x )＝x 3的交点．思维启迪掌握导数的定义，理解导数的几何意义是解决本题的关键．解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0＝lim x →x 0 x 3－x 30x －x 0＝lim x →x 0(x 2＋xx 0＋x 20)＝3x 20. 曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为y －x 30＝3x 20·(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 3，y ＝3x 20x －2x 30，得(x －x 0)2(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0.若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 30)，(－2x 0，－8x 30)；若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．思维升华求函数f (x )的导数步骤： (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； (2)计算平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1；(3)计算导数f ′(x )＝lim Δx →ΔyΔx.(1)函数y ＝x ＋1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx＝________；该函数在x ＝1处的导数是________．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内可导，且x 0∈(a ，b )，则lim h →f (x 0＋h )－f (x 0－h )h的值为( )A ．f ′(x 0)B ．2f ′(x 0)C ．－2f ′(x 0)D ．0答案 (1)1－1x (x ＋Δx ) 0 (2)B解析 (1)∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －x －1x＝Δx ＋1x ＋Δx －1x＝Δx ＋－Δxx (x ＋Δx ).∴Δy Δx ＝1－1x (x ＋Δx ).y ′|x ＝1＝lim Δx →0 Δy Δx ＝0. (2)lim h →f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝2×lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝2f ′(x 0)．题型二导数的运算例2 求下列函数的导数：(1)y ＝e x ·ln x ； (2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫2x ＋π3； (4)y ＝ln(2x ＋5)．思维启迪求函数的导数，首先要搞清函数的结构；若式子能化简，可先化简再求导．解 (1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x＝e x (ln x ＋1x)．(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(3)y ＝sin 2(2x ＋π3)＝12－12cos(4x ＋23π) 故设y ＝12－12cos u ，u ＝4x ＋23π，则y x ′＝y u ′·u x ′＝12sin u ·4＝2sin u ＝2sin(4x ＋23π)．(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，因此y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. 思维升华 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．求下列函数的导数．(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x4)；(3)y ＝ln(x 2＋1)．解 (1)方法一 ∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3) ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.方法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2＋12x ＋11.(2)∵y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，∴y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝ln(x 2＋1)′＝1x 2＋1·(x 2＋1)′＝2xx 2＋1.题型三导数的几何意义例3 已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．思维启迪由导数的几何意义先求斜率，再求方程，注意点是否在曲线上，是否为切点．解 (1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(－2)＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设切点坐标为(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点(x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或x 0＝1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 思维升华导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．(1)曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________．答案 2x －y ＝0解析 ∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝1＋cos x ，当x ＝0时，y ′＝1＋cos 0＝2，故曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是y －0＝2(x －0)，2x －y ＝0.(2)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (0,16)且与曲线y ＝f (x )相切的切线方程为y ＝ax ＋16，则实数a 的值是 ( )A ．－3B ．3C ．6D ．9答案 D解析先设切点为M (x 0，y 0)，则切点在曲线上，即y 0＝x 30－3x 0，①求导数得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－3，又切线l 过A 、M 两点，所以k ＝y 0－16x 0，则3x 20－3＝y 0－16x 0，②联立①、②可解得x 0＝－2，y 0＝－2，从而实数a 的值为a ＝k ＝－2－16－2＝9.一审条件挖隐含典例：(12分)设函数y ＝x 2－2x ＋2的图像为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图像为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直． (1)求a ，b 之间的关系； (2)求ab 的最大值．C 1与C 2有交点↓(可设C 1与C 2的交点为(x 0，y 0)) 过交点的两切线互相垂直 ↓(切线垂直隐含着斜率间的关系) 两切线的斜率互为负倒数 ↓(导数的几何意义) 利用导数求两切线的斜率： k 1＝2x 0－2，k 2＝－2x 0＋a ↓(等价转换)(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1①↓(交点(x 0，y 0)适合解析式)⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ，即2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0 ②↓(注意隐含条件方程①②同解) a ＋b ＝52↓(消元)ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516 当a ＝54时，ab 最大且最大值为2516.规范解答解 (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2， [1分] 对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，[2分]设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直． ∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0 ①又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b ⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0②由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.[6分](2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝⎛⎭⎫52－a ＝－⎝⎛⎭⎫a －542＋2516. [9分] ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[12分]温馨提醒审题包括两方面内容：题目信息的挖掘、整合以及解题方法的选择；本题切入点是两条曲线有交点P (x 0，y 0)，交点处的切线互相垂直，通过审题路线可以清晰看到审题的思维过程.方法与技巧1． f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，而函数值f (x 0)是一个常量，其导数一定为0，即(f (x 0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．失误与防范1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．A 组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( )A ．e 2B ．eC.ln 22D ．ln 2答案 B解析由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 2．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ， ∵f ′(x )为奇函数且f ′(1)＝2， ∴f ′(－1)＝－2.3．已知函数f (x )＝12x 2＋4ln x ，若存在满足1≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[5，＋∞)B ．[4,5]C ．[4，133]D ．(－∞，4)答案 B解析 f ′(x )＝x ＋4x ，当1≤x 0≤3时，f ′(x 0)∈[4,5]，又k ＝f ′(x 0)＝m ，所以m ∈[4,5]．4．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴及直线x ＝1所围成的三角形的面积为( )A.112 B.16C.13D.12答案 B解析求导得y ′＝3x 2，所以y ′＝3x 2|x ＝1＝3，所以曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝3(x －1)，结合图像易知所围成的三角形是直角三角形，三个交点的坐标分别是(23，0)，(1,0)，(1,1)，于是三角形的面积为12×(1－23)×1＝16，故选B.5．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2 015(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x答案 A解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选A. 二、填空题6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝________.答案 6解析对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)．令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝6.7．已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________________．答案 x －y －2＝0解析根据导数的几何意义及图像可知，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝1，又过点P (2,0)，所以切线方程为x －y －2＝0.8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， x ＋1x －a ＝0，∴a ＝x ＋1x ≥2. 三、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝x n lg x ； (2)y ＝1x ＋2x 2＋1x 3；(3)y ＝sin x xn ；(4)y ＝log a sin x (a >0且a ≠1)．解 (1)y ′＝nx n －1lg x ＋x n ·1x ln 10＝x n －1(n lg x ＋1ln 10)． (2)y ′＝(1x )′＋(2x 2)′＋(1x 3)′＝(x －1)′＋(2x －2)′＋(x －3)′＝－x －2－4x －3－3x －4＝－1x 2－4x 3－3x4.(3)y ′＝(sin xx n )′＝x n (sin x )′－(x n )′sin x x 2n＝x n cos x －nx n －1sin xx 2n＝x cos x －n sin xx n ＋1. (4)令y ＝log a u ，u ＝sin x ，y ′＝1u log a e·cos x ＝1tan x ·log a e ＝log a e tan x .10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20. ∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.B 组专项能力提升 (时间：30分钟)1．在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 A解析依题意得，y ′＝3x 2－9，令0≤y ′<1得3≤x 2<103，显然满足该不等式的整数x 不存在，因此在函数y ＝x 3－9x 的图像上，满足在该点处的切线的倾斜角小于π4，且横、纵坐标都为整数的点的个数是0，选A.2．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图像的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的大致图像是 ( )答案 A解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b24＋c ，由f (x )的图像的顶点在第四象限得－b2>0，∴b <0.又f ′(x )＝2x ＋b ，斜率为正，纵截距为负，故选A.3． (2013·广州调研)已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________．答案278解析设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，① 所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．②将点(1,0)代入②式得，－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解之得，t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数得a ＝278.4．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为定值，且此定值为6.5．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1， ① y 1＝－x 21＋92x 1－4，②①代入②得x 21＋(k －92)x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝(k －92)2－16＝0得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，即2x 2＝9， ∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为(92，－4)．。

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第3讲函数的奇偶性一、选择题1．f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝f (x )，又当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x－1，则f (log 126)等于( )．A ．－5B ．－6C ．－56 D ．－12解析 f (log 126)＝－f (log 26)＝－f (log 26－2)． ∵log 26－2＝log 232∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝12，∴f (log 126)＝－12. 答案 D2．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋2＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6D ．f (cos 2)>f (sin 2)解析当x ∈[－1,1]时，x ＋4∈[3,5]，由f (x )＝f (x ＋2)＝f (x ＋4)＝2－|x ＋4－4|＝2－|x |，显然当x ∈[－1,0]时，f (x )为增函数；当x ∈[0,1]时，f (x )为减函数，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32>12，又f⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3. 答案 A4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x 在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x －1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x ≥0，x <0时2x －1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C5．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x－1，则f (－5.5)的值为( )A ．2B ．－1C ．－12 D ．1解析 f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D6．设函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数解析显然D (x )不单调，且D (x )的值域为{0,1}，因此选项A 、D 正确．若x 是无理数，－x ，x ＋1是无理数；若x 是有理数，－x ，x ＋1也是有理数．∴D (－x )＝D (x )，D (x ＋1)＝D (x )．则D (x )是偶函数，D (x )为周期函数，B 正确，C 错误．答案 C 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 08．f (x )＝2x ＋sin x 为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f (1－a )＋f (1－2a )<0的解集是 ________.解析 f (x )在(－1,1)上是增函数，且f (x )为奇函数．于是原不等式为f (1－a )<f (2a－1)等价于⎩⎨⎧－1<1－a <1，－1<2a －1<1，1－a <2a －1.解得23<a <1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，19．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)10．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析 ∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4， ∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－8 三、解答题11．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求实数m 的取值范围．解由偶函数性质知f (x )在[0,2]上单调递增，且f (1－m )＝f (|1－m |)，f (m )＝f (|m |)，因此f (1－m )<f (m )等价于⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，|1－m |<|m |.解得：12<m ≤2.因此实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.12．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2. (1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)证明令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，所以f (x )为奇函数．(2)解任取x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，所以f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)＜0，所以f (x )为减函数．而f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6. 所以f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6.13.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．解析(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.14．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝12x，求使f(x)＝－12在[0,2 014]上的所有x的个数．(1)证明∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当0≤x≤1时，f(x)＝12x，设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，∴f(－x)＝12(－x)＝－12x.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－12x，即f(x)＝12x.故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1<x <3，则－1<x －2<1， ∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x )是以4为周期的周期函数∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)， ∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12(x －2)，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1. ∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154. 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )， ∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.。