湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试数学(理)答案

永州市2020年高考第三次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．解析：2N {|}{|1110}x x x x x ==-><->或，M N I ＝3}|1{x x <<，选C. 2．解析：12(1255(12))(12)12z i i i i i ++--===-，在第四象限，选D. 3．解析：0.30.40.30.3>，即b c >，而0.30.30.44()()10.33a b ==>，即a b >， a b c ∴>>，选B.4．解析：由图表易知，选C.5．解析：“p q ∨”为真，则命题p,q 有可能一真一假，则“p q ∧”为假，故选项A 说法不正确；命题“0x ∀>，10x e x -->”的否定应该是“00x ∃>，0010x e x --≤”，故选项B 说法不正确；因命题“若1x ≥，则11x≤”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项C 说法正确；因21560x x x =-⇒--=，但256016x x x x --=⇒=-=或，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，选项D 说法不正确；选C.6．解析：sin cos sin cos 2sin cos B C C B C C -=Q ，sin()sin 2B C C ∴-=，2B C C ∴-=，3B C ∴=，32C π∴<且42B C C π+=>，86C ππ∴<<选A.7．解析：||1=a ，||1=b ，||+a b2333()()=()()||||=222+⋅-⋅+-+⋅=-+⋅≤++⋅-+a b b c a b b a b c a b c a b c 当且仅当+a b 与c 反向时取等号.选C.8．解析：先计算半片花瓣面积：22260=(3606R R ππ22=12(=(26阴ππ∴-S R R 故所求概率为2(2)2阴π=S R B. 9．解析：依题意作出()f x 的图象，()=+y f x a 的图象可以看成是()=y f x 的图象向左(a>0时)或向右(a<0时)平移|a|个单位而得.当a>0时，()=y f x 的图象至少向左平移6个单位(不含6个单位)才能满足()()f x a f x +>成立，当a<0时，()=y f x 的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足()()f x a f x +>成立(对任意的[1,2]x ∈-),故(2,0)(6,)∈-+∞U x ，选D.10．解析：不妨设P 在第二象项，FM m =，(0,)(0)H h h >，由3HN OH =-u u u r u u u r知(0,2)N h -，由AFM ∆~AON ∆，得2m c a h a -=（1），由BOH ∆ ~BFM ∆，得h a m c a=+（2） (1),(2)两式相乘得12c ac a-=+，即3c a =，离心率为3.选B. 11．解析：[]0,x π∈Q ，,333x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，令3z x πω=+，则,33z ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦由题意，1sin 2z =在,33ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上只能有两解5=6z π和136z π=1317636πππωπ∴≤+<，（*）因为在,33z ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上必有3sin sin 222ππ=－，故在(0,)π上存在12,x x 满足 ()()122f x f x -=；①成立；2z π=对应的x （显然在[]0,π上）一定是最大值点，因52z π=对应的x 值有可能在[]0,π上，故②结论错误；解（*）得11562ω≤<，所以④成立；当(0,)15x π∈时，,3153z πωππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，由于11562ω≤<，故,,315332z πωππππ⎡⎤⎡⎤∈+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时sin y z =是增函数，从而()f x 在(0,)15π上单调递增.综上，①③④成立，选B.12．解析：求导得21()(21)xx f x e x t x-'⎡⎤=-+⎣⎦有两个零点等价于函数()x 21x e x t ϕ-+（）=有一个不等于1的零点，分离参数得()21x e t h x x ==+，令()(0)21=>+xe h x x x221()(21)xx h x e x -'=+，()h x 在1(0,)2递减，在1(+)2，∞递增，显然在12x =取得最小值2，作()h x 的图像，并作y=t 的图象，注意到h(0)=1，(1)13=<eh ，（原定义域x>0,这里为方便讨论，考虑h(0)），当1≥t 时直线y=t 与()21=+xe h x x 只有一个交点即x （）ϕ只有一个零点（该零点值大于1）；当=t 时21()(21)x x f x e x t x -'⎡⎤=-+⎣⎦在12x =两侧附近同号，12x =不是极值点；当3=et 时函数()x 21x e x t ϕ-+（）=有两个不同零点(其中一个零点等于1)，但此时21()(21)xx f x e x t x-'⎡⎤=-+⎣⎦在1=x 两侧附近同号,使得1=x 不是极值点不合.选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．80- 14．24015．23 16．4[0,]513．解析：展开式通项5352552()()(2)rr rr rC x r C x x ---=-，依题意，5322-=-r ，得r =3，2x -的系数是335(2)80C -=-.14．解析：依题意，先选出一个重灾区（有14C 种选法），分配有两个医疗队，有25C 种分配法，另3个重灾区各分配一个医疗队，有33A 种分配法，所以不同的分配方案数共有123453240C C A =.15．解析：设准线l 与x 轴交于E. 易知F (1,0),由抛物线定义知|MN |=|MF |,由于=60NMF ∠o ,所以NMF ∆为等边三角形，三角形边长为||2||4NM FE ==，又OD 是FEN ∆的中位线，MD 就是该等边三角形的高，||23MD =16．解析：易证AB CD ^，又GE ∥CD ，GF ∥AB ∴GE GF ^，得5EF =.当四面体绕AB 旋转时，由GF ∥AB 即EF 绕GF 旋转，故EF 与直线l 所成角的范围为[90,90]GFE 鞍-?，直线EF 与直线l 夹角的余弦值的取值范围是4[0,]5三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）命题意图：第1问考查等差、等比数列基本量的运算求数列通项公式；第2问考查利用裂项相消法求数列前n 和.解：（1）2193a a a ⋅=Q 1分 1a d ∴= 2分 3336S a d =+=Q 3分 11a d ∴== 4分所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列，故综上*,n a n n =∈N 5分 （2）（裂项相消）：由上题可知()()241111412121nn n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭7分 所以11111111113355723212121n P n n n n =--++--+-+++---+L8分 1121n =-++， 9分 所以211201914120042n P n n +=<⇒>+，10分 故n 的最小值为505. 12分18．（本小题满分12分）命题意图：第1问考查线线平行与垂直的证明；第2问考查利用线线、线面垂直的判定，求二面角.解：（1）证明：取AC 中点为G ，连接GE 和GF ，因为//GF BC ，且12GF BC =，又因为//DE BC ，且12DE BC =，故//GF DE ，且GF DE =， 即四边形GFDE 为平行四边形，故//GE DF 2分CE AE =Q ， GE AC ∴⊥，又//GE DF ，则DF AC ⊥ 4分（2）Q 平面BCED ⊥平面ABC ，平面BCED I 平面ABC BC =,DB BC ⊥，DB ∴⊥平面ABC ，又AC ⊂Q 平面ABC ，DB ∴⊥AC ，又DF AC ⊥BD DF D =Q I ，BD ，DF ⊂平面ABD ∴AC ⊥平面ABD AC AB ∴⊥Q =2AB AC =，BC ∴=，DE取BC 中点O 连接OE 和OA ，四边形BCED 为直角梯形，则OE ∥DB ， DB ⊥Q 平面ABCOE ∴⊥平面ABC ，故OE BC ⊥，OE OA ⊥,Q AB AC =,OA BC ⊥所以可以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系 6分CE AE =Q 1OE ∴=则D ，(0,0,1)E，A，(0,C ，(AD =u u u r，(AE =u u u r，CA =u u u r，则CA =u u u r为平面ABD 的一个法向量， 8分设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则 00n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即00z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则z =0y =，则n =r， 10分 设二面角B AD E --为θ，则cos |cos ,|||||n CA n CA n CA θ⋅=<>==⨯r u u u rr u u u r u u r u u u r ， 故二面角B AD E --． 12分19．（本小题满分12分）命题意图：第1问考查求椭圆的标准方程；第2问考查直线与圆锥曲线位置关系.解：（1）如图，由题意知(1,0)F -，因而1c =，即221a b =+，又两曲线在第二象限内的交点(,)Q Q Q x y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，即42(1)Q Q x x +=-+，得23Q x =-，则283Q y =，代入到椭圆方程，得2248193a b+=2分由2222481931a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得224,3a b ==，所以所求椭圆的方程为22143x y +=． 5分（2）当直线AB 的斜率存在，且不为0时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+， 由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=， 6分设00(,)M x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834kx x k -+=+，212241234k x x k -⋅=+，由于OABM 为平行四边形，则OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，故20122012111228346(1)(1)(2)34k x x x k k y y y k x k x k x x k ⎧-=+=⎪⎪+⎨⎪=+=+++=++=⎪+⎩， 8分若点M 在椭圆C 上，则2200143x y +=，代入得422216121(34)k k k +=+，解得k 无解， 若点M 在抛物线D 上，则200:4D y x =-，代入得222223632(34)34k k k k=++解得k 无解10分 当直线斜率不存在时，易知存在点M (2,0)-在椭圆C 上故不存在直线l ，使点M 落在抛物线D 上，存在直线l ，使点M (2,0)-落在椭 圆C ．12分20．（本小题满分12分）命题意图：第1问考查频率分布直方图；第2问考查概率、分布列、数学期望.解：（1）X 在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）， [90，95), [95，100)因70100≤<X ，由55(1)≤<+n X n ，*∈n N ， 得14,15,16,17,18,19=n每个小区间对应的频率值分别是810914,15,16605115.,17,18,19320n n P Y k n n -⎧=⎪⎪==⎨⎪-=⎪-⎩，（1） 2分311191115(1)160606032+++-++=k ，解得350=k . 4分 故n 的取值是14，15，16，17，18，19，350=k 5分(2) (i)由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B 的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）， [90，95), [95，100)的概率分别是3111914112,,,606060606060，，，我们用符号i j A (或i j B )表示学生A(或B)在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j, 其中,,1,2,3（）≤=j i i j , 记W=“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”， 则P(W)=12122223222()+++P B B B A B A =12122223222()()()()()()+++P B P B P B P A P B P A =2111111010141105160601160111160711+⋅+⋅⋅+⋅⋅=分(ii) 学生A 最终获得一等奖的概率是211()=11P A ， 学生B 最终获得一等奖的概率是12121111()=2727119''++⋅=P B B ，1180(=0)=(1)(1)11999ξ--=P ， 9分 111118(=1)=(1)(1)11911999ξ-+-=P ， 10分 111(=2)=11999ξ⋅=P ， 11分ξ的分布列为8018120()012999999ξ=⋅+⋅+⋅=E 12分21．（本小题满分12分）命题意图：第1问考查不等式恒成立问题；第2问考查不等式放缩求参数取值范围.解：（1）令()()21ln(1)2x x mx x x ϕ=+-++ ，()ln(1)1x x m x ϕ'=+-+-，1()101x x ϕ''=->+ 1分()x ϕ'∴在[0,)+∞上单调递增，且(0)1m ϕ'=-，若1m ≥， ()x ϕ在[0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴≥=，即1m ≥满足条件 3分 若1m <，(0)10m ϕ=-<，()x ϕ存在单调递减区间0[0,]x ，又(0)0ϕ=Q所以存在0x 使得0()0x ϕ<与已知条件矛盾，所以1m ≥，m 的最小值为1 5分（2）由（1）知22x f x x ≤+（），如果22x x g x ≤+（），则必有()f x ≤()g x 成立． 令2()=)2x h x g x x -+（）(，则()=(1)cos (1cos )h x a x x x x a x --=--， 6分()(1cos )0h x x a x =--≥，则1cos 0a x --≥，1+cos a x ≥，2a ≥．若()0h x ≥，必有()f x ()g x ≤恒成立，故当2a ≥时，()()f x g x ≤恒成立 8分下面证明2a <时，()()f x g x ≤不恒成立． 令1()()(1)ln(1)f x f x x x x x ==++－－，1()ln(1)f x x '=+，当x ＞0时，1()ln(1)f x x '=+＞0， 1()f x 在区间［0,1］上单调递增，故1()f x ≥1(0)f ＝0，即1()=()0f x f x x -≥，故x ()f x ≤. 9分()()()g x f x g x x -≤-＝2(1)cos 2x a x x x -+-＝(1cos )2xx a x -+-，令()1cos 2xt x a x =-+-，1()sin 2t x x '=+＞0， 10分()t x 在[0,1]上单调递增，(0)20t a =-<，则一定存在区间(0,)m (其中01m <<)，当(0,)x m ∈时，()0t x <，则()()g x f x -≤x ()t x ＜0，故()()f x g x ≤不恒成立．综上所述：实数a 取值范围是[2,)+∞． 12分． 22．（本小题满分10分）命题意图：第1问考查曲线的普通方程化极坐标方程和解极坐标方程组；第2问考查三角函数的最值问题.解：（1）曲线C 的极方程：2cos ρθ= 2分联立2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得，(0,0)M ，(1,)3N π 5分 （2）易知1MN =，直线:l y =. 6分 设点(2cos ,sin )P αα，则点P 到直线l的距离d =∴`12PMN S MN d ∆=⋅⋅ tan ϕ=. 9分∴PMN ∆.10分 23.（本小题满分10分）命题意图：第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式；第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等.解：（1）当0x <时，|2|()x f x x >等价于22|1|2x x +->-，该不等式恒成立， 1分当01x <≤时，|2|()x f x x >等价于220x x ->，该不等式解集为φ， 2分当1x >时，|2|()x f x x>等价于2222x x +->，解得1x >， 3分综上，0x <或1x ， 所以不等式|2|()x f x x>的解集为(,0)1,)-∞-+∞U ． 5分 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=-+=12212212)(222x x x x x x x x x f ，，，易得)(x f 的最小值为1，即1==++M c b a 7分 因为a ，b ，+∈R c ，所以b ac b c a 222≥+，c ab c a b 222≥+，abca b c 222≥+， 所以⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+++++a bc b ac a bc c ab c ab bac a b c c a b b c a 222222 2222=++≥c b a ， 9分当且仅当31===c b a 时等号成立. 10分。