流体力学 第四章

等式右边第一项写成
d d d u (dx) + v (dy ) + w (dz ) ∫ dt dt dt u2 v2 w2 = ∫ d + d + d 2 2 2
等式右边第二项，由 欧拉运动微分方程：
du 1 p dt = f x ρ x dv 1 p = fy ρ y dt dw 1 p = fz ρ z dt
亥姆霍兹第一定理：在同一瞬间涡管各截面上 的涡通量都相同 由该定理得到：涡管（涡线）本身首尾相接， 形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）两端 可以终止于所研究流体的边壁上（固体壁面或 自由面）。
亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）：正压性 的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远 保持为由相同流体质点组成的涡管。
龙卷 台风
日常生活中把绕某一中心旋转的流动（不一定 圆周运动）称作涡旋，即看流体质点运动迹线 来判断运动是否有旋。从流体力学的观点看， 这样的判断是不对的。 例：均匀流，切变流，自由涡，受迫涡 在迹线为同心圆的恒定流动中,速度与半径成 反比的流动称作自由涡，速度与半径成正比的 流动称作受迫涡
流体的涡旋运动有严格的定义： 流体速度的旋度不等于零，称为有旋运动，又 称作涡旋运动。 ω≠0 本节讨论的是涡旋运动的基本概念。
§1 环流定理
速度环流：在流场中任取封闭曲线k，如图所 示。速度V 沿该封闭曲线的线积分称为速度沿 封闭曲线 l 的环量，简称速度环量，用Γ 表 示，即
Γ = ∫ V dl =
l
∫ v cos α dl
l
式中 V ——在封闭曲线上的速度矢量； α ——速度与该点上切线之间的夹角。
速度环量是个标量，但具有正负号。规定沿曲 线逆时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针 绕行的方向为负方向。 速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩 涡场。 Γ = ∫ V dl = ∫∫ × V dσ = ∫∫ n dσ
σ σ
dΓ 其微分形式为： ζ n = dσ
流体某点的涡度矢在某单位面元法向的分量就 是单位面积速度环流的极限值。
一.亥姆霍兹（Helmholtz）定理
ω = ×V
涡线:涡线为一条曲线，曲线上任意一点的切 线方向与该点的涡量方向重合，它是由同一时 刻不同流体质点所组成的。
dx
ωx
=
dy
ωy
=
dz
方程（1）可以写成
dΓ = dt
v2 v2 ∫ d ( 2 ) d Φ dP = ∫ d 2 Φ P = 0
这是因为，V、Φ、P都是x, y, z和t的单值连 续函数，沿封闭周线的积分等于零。 得出结论：对于理想的正压流体，在有势的质 量力作用下，沿任何封闭的流体线的环量永远 不会改变。又由斯托克斯定理知，在流场中已 有的旋涡将永远不会消失，即理想流体中，旋 涡不生不灭。
亥姆霍兹第三定理（涡管强度守恒定理）： 在有势的质量力作用下，正压理想流体中任何 涡管的强度不随时间而变化，永远保持定值。 在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡， 只是流体绕过物体或流体流经特变的边界时才 产生旋涡。这表明，旋涡既能在流体中产生也 会在流体中消失。粘性是旋涡产生和消失的根 本原因。
三、皮耶克尼斯环流定理
设流体无粘非正压，但质量力为有势力，则：
dΓ = dt
1 p p p ∫ ρ x dx + y dy + z dz 1 = ∫ dp = ∫ α dp
ρ
上式中引入比容：
α=
1
ρ
p=常数的面称为等压面，α=常数的面为等容 面。对于正压流体 p = p( ρ ) ，显然等压面和等 容面是重合的。但对于一般的非正压流体，等 压面和等容面将相交，作一系列彼此相差一个 单位的等压面，同时作一系列彼此相差一个单 位的等容面，这样整个流体空间被隔成一系列 有两个相邻的等压面和两个相邻的等容面构成 管子，通常称为等压、等容管。
ωz
涡管：某一瞬时，在漩涡场中任取一封闭曲线 c(不是涡线)，通过曲线上每一点作涡线，这些 涡线形成封闭的管形曲面。
涡通量：在流场中某一曲面A,其面积分：
J = ∫∫ ω dA
A
称通过曲面A的涡通量。 涡管强度：对于流场中某时刻的涡管，取涡管 的一个横截面A，称过曲面A的涡通量为该瞬 时涡管强度
ρ
dΓ = dt
∫
dV dl = ∫ F dl dt
∫ ρ p dl ν ∫ × ζ dl
（2） （3）
1
（1）
速度环流的变化，主要由于以下3项所引起： 非有势力的作用； 非有势力的作用 压力-密度项（流体的斜压性所引起的）； 粘性涡度扩散（与涡度的空间不均匀分布有关） 粘性涡度扩散
Байду номын сангаас §2 涡度方程
σ
皮耶克尼斯定理的应用：海陆风、信风、山谷风的简单解释
白天（夜间）
海洋
陆地
海风（陆风）
山谷风
四 环流的起源
对于粘性可压缩流体，N－S运动方程为：
dV 1 ν 2 = F p + ν V + V dt ρ 3
(
)
对粘性扩散项进行处理（矢量运算法则），将 其表示为：
2V = ( V ) × ( × V ) = D × ζ
dζ 1 = 2 ρ × p ζ ( V ) + (ζ )V + ν 2ζ dt ρ
影响涡度的个别变化的因素有： 1. 流体的非正压性（力管项） 2. 流体质点体积收缩或膨胀（散度项） 3. 速度沿涡线变化（扭曲项） 4. 粘性（粘性扩散项，使得涡旋可能产生、发 展、扩散、衰减）
第五章 小结
第五章 涡旋动力学基础
南京信息工程大学 陶丽
流体的涡旋运动大量存在于自然界中，如大气 中的气旋、反气旋、龙卷、台风等，大气中的 涡旋运动对天气系统的形成和发展有密切的关 系。 因此，针对流体的涡旋运动进行分析，介绍涡 旋运动的描述方法、认识涡旋运动的变化规律 及其物理原因是十分必要的。
气旋 反气旋
那么得到
1 p 1 p 1 p ∫ ( f x ρ x )dx + ( f y ρ y )dy + ( f z ρ z )dz 1 p p p = ∫ ( f x dx + f y dy + f z dz ) ( dx + dy + dz ) ρ x y z = ∫ (d Φ dP)
现计算如图所示单位等压等容ABCD的周线L 的线积分 ∫ α dp ，计算前规定从 p到α 的转动方向为环路积分正向
v0 V0+1
B
C
P0+1
P0 A D
∫ α dp = +1
因此环路线积分是：
+1 当积分环路正向时 正的单位管 ∫ α dp = 1 当积分环路负向时 负的单位管
在一般情况下，周线包围许多单位等压-等容 管时，将有：
二、开尔文定理
理想（无粘）正压流体在有势的质量力作用 下，速度环流不随时间变化，其证明如下： Γ = ∫ V dl = ∫ udx + vdy + wdz
dΓ d = ∫ udx + vdy + wdz dt dt d d d = ∫ [u (dx) + v (dy ) + w (dz )] dt dt dt du dv dw dz ) + ∫ ( dx + dy + dt dt dt
∫ α dp = N1 N 2 N1：周线l所包围正单位管的数目 N 2：周线l所包围负单位管的数目 这样： dΓ = N1 N 2 dt
皮耶克尼斯定理：无粘流体若质量力为有势 力，则沿任何封闭流线L的速度环量对时间的 导数等于穿过周线L的正的与负的等压-等容管 数目之差
1 dΓ 1 = ∫ p dl = ∫∫ × p dl ρ dt ρ σ 1 1 = ∫∫ × ( p ) + × p dσ ρ σ ρ = ∫∫ ( α × p ) dσ
开尔文定理 皮耶克尼斯定理及其应用 涡度变化的原因
将其代入运动方程，整理后可得到：
dV 1 4 = F p + ν D × ζ dt ρ 3
dV 1 4 = F p + ν D × ζ ρ dt 3
对上式沿闭合曲线积分，即可得到反映环流变 化的方程：
dV ∫ dt dl 1 4ν = ∫ F dl ∫ p dl ν ∫ × ζ dl + ∫ D dl ρ 3 1 4ν = ∫ F dl ∫ p dl ν ∫ ×ζ dl + ∫∫ (×D)dσ ρ 3 梯度取旋度为零 1 = ∫ F dl ∫ p dl ν ∫ × ζ dl dΓ = dt