北京市一零一中学2020届高三数学10月月考试题
北京海淀区北京一零一中学2020-2021学年高一10月月考数学试卷(解析版)
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1．定义法：直接判断“若 则 ”、“若 则 ” 真假．并注意和图示相结合，例如“ ⇒ ”为真，则 是 的充分条件．
2．等价法：利用 ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇒ 与非 ⇒非 ， ⇔ 与非 ⇔非 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
对于B，因为 ， ，所以 ，所以B错误，
对于C，因为 是数集， 是点集，所以 ，所以C错误，
对于D，因为 ， ，所以 ，所以D正确，
故选：D
5.已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 （）．
A. 2B. 1C. 0D.
【答案】D
【分析】由奇函数的性质可得 ，再由已知的解析式求出 可得答案
【详解】因为当 时， ，所以 ，
【答案】A
【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性求函数的值域即可
【详解】任取 ，且 ，则
，
当 ，且 时， ， ，所以 ，即 ，
当 ，且 时， ， ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上的值域为
故选：A
9.已知 ， ， ， 为实数，且 ，则“ ”是“ ”的（）
【分析】（1）利用补集的定义直接求解即可，
（2）由 ，可得 ，从而可求得 的值
【详解】（1）因为 为全集，集合 ，
所以 或 ，
（2）因为集合 ，集合 ， ，
所以 ，且 ，
解得
18.已知 ， ，且 ，求 的取值范围．
【答案】
【分析】首先分别对集合A和集合 求解，然后利用交运算即可求解.
【详解】由题意， ，
北京一零一中学2020届高三10月月考数学试题含答案
北京101中学2020届高三年级上学期10月月考数学试卷一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设集合A={－1，l ，2}，B={a +1，22-a }，若A I B={－1，2}，则a 的值为（ ）A. －2或－1B. 0或1C. －2或1D. 0或－22. 已知向量a =（1，－2），b =（m ，4），且a ∥b ，那么2a －b 等于（ ） A. （4，－8）B. （4，0）C. （0，4）D. （－4，8）3. 已知∈α（23,2ππ），且tan α=2，那么sin α=（ ）A. 36B. 33C.33-D.36-4. 在数列{na }中，若11=a ，321+=+n n a a （n ∈N*），则101a =（ ）A. 2100－3B. 2101－3C. 2102－lD. 2102－35. 若定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意1x ，2x ∈R 有)(21x x f +=)()(21x f x f ++1，则下列说法一定正确的是（ ）A. )(x f 为奇函数B. )(x f +l 为奇函数C. )(x f 为偶函数D. )(x f +1为偶函数6. 在△ABC 中，“cosA<cosB ”是“sinA>sinB ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设1x ，2x ，3x 均为实数，且)1(log )31(121+=x x ，23log )31(2x x =，32log )31(3x x =，则（ ）A. 1x <3x<2xB.3x <2x <1x C. 3x<1x <2x D. 2x <1x <3x8. 设函数)(x f =sin （5πω+x ）（ω>0），已知)(x f 在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①)(x f 在（0，2π）有且仅有3个极大值点； ②)(x f 在（0，2π）有且仅有2个极小值点；③)(x f 在（0，10π）单调递增；④ω的取值范围是[512，1029）。
北京市中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷含答案
北京35中2025届10月月考数学（答案在最后）2024.10本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}{}212,340,ZA x xB x x x x =-≤≤=--<∈，则A B = （）A.{}0,1B.{}11x x -≤<C.{}0,1,2 D.{}12x x -<≤【答案】C 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3B =，再计算交集得到答案.【详解】{}{}{}2340,Z 14,Z 0,1,2,3B x x x x x x x =--<∈=-<<∈=，{}12A x x =-≤≤，{}0,1,2A B = .故选：C.2.已知223,tan2,log 3a b c -===，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.b c a >>D.c a b>>【答案】D 【解析】【分析】确定19a =，0b <，1c >，得到答案.【详解】2139a -==，tan20b =<，22log 3log 21c >==，故c a b >>.故选：D.3.下列函数中既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递减的是A.3()f x x = B.()lg ||f x x = C.()f x x=- D.()cos f x x=【答案】C【解析】【分析】判断四个选项中的函数的奇偶性和在()0,1上的单调性，得到答案.【详解】选项A 中，()3f x x =，是奇函数，但在()0,1上单调递增，不满足要求；选项B 中，()lg f x x =，是偶函数，不满足要求，选项C 中，()f x x =-，是奇函数，在()0,1上单调递减，满足要求；选项D 中，()cos f x x =，是偶函数，不满足要求.故选：C.【点睛】本题考查判断函数的奇偶性和单调性，属于简单题.4.在621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项是（）A.20-B.15- C.15D.30【答案】C 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式可求常数项.【详解】621x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()623616611rrrr r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令360r -=，则2r =，故常数项为()2236115T C =-=，故选：C.【点睛】本题考查二项展开中的指定项，注意利用通项公式帮助计算，本题为基础题.5.已知函数||||()x x f x e e -=-，则函数()f x （）A.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增B.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递减C.是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增D.是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】A 【解析】【分析】由偶函数的定义判断函数()f x 的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数()f x 的单调性.【详解】∵||||()x x f x e e -=-∴||||||||()()x x x x f x e e e e f x -----=-=-=，∴函数||||()x x f x e e -=-为偶函数，当(0,)x ∈+∞时，1()=x x xxf x e e e e -=--，∵函数x y e =在(0,+∞)上单调递增，函数1x y e=在(0,+∞)上单调递减，∴()e e x x f x -=-在(0,+∞)上单调递增，即函数||||()x x f x e e -=-在(0,+∞)上单调递增.故选：A.6.阅读下段文字：“为无理数，若a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（）A.是有理数B.C.存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D.对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C 7.若点5π5πsin,cos 66M ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan2α=（）A.33 B.33-C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数定义得到tan α=.【详解】5π5πsin ,cos 66M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5πcos6tan 5πsin6α==，22tan 23tan21tan 13ααα-===--故选：C.8.已知函数()=ln af x x x+，则“0a <”是“函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 拆解为两个函数，画出两个函数的图像，观察可得.【详解】当0a <时，作出ln ,ay x y x==-的图像，可以看出0a <时，函数()f x 在区间()1,+∞上存在零点，反之也成立，故选C.【点睛】本题主要考查以函数零点为载体的充要条件，零点个数判断一般通过拆分函数，通过两个函数的交点个数来判断零点个数.9.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v （单位：/m s ），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q成正比.当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.当2m /s v =时，其耗氧量的单位数为（）A.1800 B.2700C.7290D.8100【答案】D 【解析】【分析】设3log 100Qv k =，利用当1v m /s =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900求出k 后可计算2m /s v =时鲑鱼耗氧量的单位数.【详解】设3log 100Q v k =，因为1v m /s =时，900Q =，故39001log 2100k k ==，所以12k =，故2m /s v =时，312log 2100Q =即8100Q =.故选：D.【点睛】本题考查对数函数模型在实际中的应用，解题时注意利用已知的公式来求解，本题为基础题.10.已知各项均为整数的数列{}n a 满足()*12121,2,3,n n n a a a a a n n --==>+≥∈N ，则下列结论中一定正确的是（）A.520a >B.10100a <C.151000a >D.202000a <【答案】C 【解析】【分析】依题意根据数列的递推公式可分别判断各选项，再利用各项均为整数即可判断只有C 选项一定正确.【详解】根据题意可知3123a a a >+=，又数列的各项均为整数，所以3a 最小可以取4，即34a ≥；同理可得4236a a a >+≥，所以4a 最小可以取7，即47a ≥；同理53411a a a >+≥，所以5a 最小可以取12，即512a ≥，即520a <可以成立，因此可得A 不一定正确；同理易得645619,20a a a a >+≥≥；756732,33a a a a >+≥≥；867853,54a a a a >+≥≥；978987,88a a a a >+≥≥；108910142,143a a a a >+≥≥，即10100a <不成立，B 错误；又1191011231,232a a a a >+≥≥；12101112375,376a a a a >+≥≥；131********,609a a a a >+≥≥；14121314985,986a a a a >+≥≥，151314151595,1596a a a a >+≥≥，即可得151000a >一定成立，即C 正确；显然若32000a =，则202000a <明显错误，即D 错误.故选：C第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数1ii+的虚部为________.【答案】－1【解析】【详解】试题分析：1ii 1i+=-+，所以其虚部为－1考点：复数的虚部12.函数()f x =的定义域为R ，请写出满足题意的一个实数a 的值______．【答案】1-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的定义域求解即可.【详解】因为()f x =R ，所以20x a -≥在R 上恒成立，即2a x ≤，由于20x ≥在R 上恒成立，故实数a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：1-（答案不唯一）.13.已知数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，{}n b 的通项公式为12n b n =-．记数列{}n n a b +的前n 项和为n S ，则4S =____；n S 的最小值为____．【答案】①.1-②.2-【解析】【分析】（1）由题可得1212n n n n a b c n -+==+-，根据等比数列及等差数列的求和公式可得n S ，利用数学归纳法可得3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，进而即得.【详解】由题可知1212n n n a b n -+=+-，所以()()()()()423441712112325271122S +-++-++-++-+-==--=，()()()()1212112112321221122n n n n n n n S n -+--+-++-+++-=-=---= ，令1212n n c n -=+-，则123450,1,1,1,7c c c c c ==-=-==，当4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，下面用数学归纳法证明当4n =时，1221n n ->-成立，假设n k =时，1221k k ->-成立，当1n k =+时，()()()122222121123211k k k k k k -=⋅>-=+-+->+-，即1n k =+时也成立，所以4n ≥时，0n c >，即1221n n ->-，所以3n ≤时，0n c <，4n ≥时，0n c >，由当3n =时，n S 有最小值，最小值为3322132S =--=-.故答案为：1-；2-.14.已知函数()e ,,x x x af x x x a⎧<=⎨-≥⎩，()f x 的零点为__________，若存在实数m 使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为__________.【答案】①.0②.11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用导函数判断函数单调性，利用求解极值的方法画出函数的大致图象，分析运算即可得出结果.【详解】令()e xg x x =，可得()()1e xg x x +'=，由()0g x '=可得1x =-，当(),1x ∞∈--时，()0g x '<，此时()g x 在(),1∞--上单调递减，当()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，此时()g x 在()1,∞-+上单调递增，因此()g x 在1x =-处取得极小值，也是最小值，即()()min 11eg x g =-=-，又()00g =，且0x <时，()10eg x -≤<，当0x >时，>0，令()h x x =-，其图象为过原点的一条直线，将()(),g x h x 的大致图象画在同一直角坐标系中如下图所示：当0a <时，如下图，在[),+∞a 上()()f x h x x ==-的零点为0，当0a =时，如下图，在[)0,∞+上()()f x h x x ==-的零点为0当0a >时，如下图，在(),a ∞-上()()e xf xg x x ==的零点为0，综上可知，()f x 的零点为0；当1a ≤-时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点，当11ea -<<时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有三个交点，当1ea ≥时，如下图所示，曲线()f x 与直线y m =至多有两个交点；综上可知，若使()f x m =有三个不同的解，则实数a 的取值范围为11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：0；11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭15.已知函数()()e 111xf x k x =----，给出下列四个结论：①当0k =时，()f x 恰有2个零点；②存在正数k ，使得()f x 恰有1个零点；③存在负数k ，使得()f x 恰有2个零点；④对任意()0,k f x <只有一个零点.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】把函数()f x 的零点个数问题，转化为函数e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，作出图象分类讨论可得结论.【详解】令()()e 1110xf x k x =----=，得()e 111xk x -=-+，函数()f x 的零点个数，即为方程()e 111xk x -=-+的根的个数，方程()e 111xk x -=-+根的个数，即为e 1xy =-与函数()11y k x =-+的交点个数，又函数()11y k x =-+是过定点(1,1)A 的直线，作出e 1xy =-的图象如图所示，当0k =直线()11y k x =-+与函数e 1xy =-有一个交点，故()()e 111xf x k x =----有一个零点，故①错误；当()11y k x =-+在第一象限与函数e 1xy =-相切时，函数()()e 111xf x k x =----有一个零点，故②正确；函数()11y k x =-+绕着A 顺时针从1y =转到1x =时，两图象只有一个交点，故0k <时，函数()()e 111xf x k x =----只有一个零点，故③错误，④正确.故答案为：②④.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点.点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-.（1）求cos2α的值；（2）求()sin βα-的值.【答案】（1）725-（2）5665.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义可得4sin 5α=，再由二倍角公式计算可得7cos225α=-；（2）利用同角三角函数之间的基本关系以及两角差的正弦公式计算可得结果.【小问1详解】由题可知，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于,A B 两点；点A 的纵坐标是45，点B 的横坐标是513-，所以45sin ,cos 513αβ==-.即可得27cos212sin 25αα=-=-.【小问2详解】由于22sin cos 1αα+=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23cos 1sin 5αα=-=，同理由于2π12,π,sin 1cos 213βββ⎛⎫∈=-= ⎪⎝⎭，所以()56sin sin cos cos sin 65βαβαβα-=-=.17.某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对,,A B C 三道题目的概率以及做对时获得相应的奖金如表所示.题目A B C做对的概率451214获得的奖金/元204080规则如下：按照,,A B C 的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题.[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]（1）求甲没有获得奖金的概率；（2）求甲最终获得的奖金X 的分布列及期望；（3）如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的奖金期望最大？（不需要具体计算过程，只需给出判断）【答案】（1）15（2）分布列见解析，40（元）（3）不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由见解析.【解析】【分析】（1）甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，从而求得对应的概率；（2）易知X 的可能取值为0，20，60，140，再根据题目的对错情况进行分析求解概率与分布列，求出期望值；（3）可以分别求出每种顺序的期望，然后比较得知.【小问1详解】甲没有获得奖金，则题目A 没有做对，设甲没有获得奖金为事件M ，则()41155P M =-=.【小问2详解】分别用,,A B C 表示做对题目,,A B C 的事件，则,,A B C 相互独立.由题意，X 的可能取值为0,20,60,140.41412(0)()1;(20)()155525P X P A P X P AB ⎛⎫===-====⨯-= ⎪⎝⎭;4134111(60)()1;(140)()52410524101P X P ABC P X P ABC ===⨯⨯-===⨯⎛⎫ ⎪⎝=⎭=⨯.所以甲最终获得的奖金X 的分布列为X02060140P 1525310110()12310206014040551010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【小问3详解】不同，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大，理由如下：由（2）知，按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望为40元，若按照,,A C B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,20,100,140.141(0)1;(250)1554435P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;41411(100)1;(140)5105421011142P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为110201001403613110550⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B A C 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,60,140.1114(0)1;(400)1212125P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;143141(60)1;(140)254102541011P X P X ==⨯⨯-===⨯⎛⨯ ⎝=⎫⎪⎭.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元；若按照,,B C A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,40,120,140.1111(0)1;(480)122432P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(120)1;(140)24024510141145P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为131040601403611110200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C A B 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,100,140.1314(0)1;(800)1414245P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1141(100)1;(140)10452104111452P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为1080100140284101311200⨯+⨯+⨯+⨯=元，若按照,,C B A 的顺序做题，则奖金X 的可能取值为0,80,120,140.1311(0)1;(880)144214P X P X ⎛⎫==-===⨯-= ⎪⎝⎭;1114(100)1;(140)40425101411425P X P X ==⨯⨯-=⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭==⨯=.故期望值为5311108010014026.401048⨯+⨯+⨯+⨯=元，显然按照,,A B C 的顺序获得奖金的期望最大.18.已知()2cos sin ,f x ax x x x a =++∈R .（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上为增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2y =（2）[)1,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程；（2）将()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数转化为sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()sin cos g x x x x =-并求导得出其单调性，求出最大值可得实数a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()2cos sin f x x x x =+，易知()2sin sin cos cos sin f x x x x x x x x'=-++=-可得()()00,02f f ='=，所以切线方程为2y =.【小问2详解】易知()sin cos f x a x x x=+'-由函数()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，可得′≥0在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即sin cos a x x x ≥-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，令()()ππsin cos ,sin ,,22g x x x x g x x x x ⎡⎤=-=∈-⎢⎣'⎥⎦法一：令()sin 0g x x x '==，得0x =，()(),g x g x '的变化情况如下：x π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭0π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x '+0+()g x所以()g x 为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.法二：当π02x -<<时，sin 0,sin 0x x x <>；当π02x ≤<时，sin 0,sin 0x x x ≥≥.综上，当ππ22x -<<时，()()0,g x g x '≥为ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的增函数，()g x 最大值为π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭.即a 的取值范围是[)1,+∞.19.现有一张长为40cm ，宽为30cm 的长方形铁皮ABCD ，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如图，在长方形ABCD 的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为cm x ，高为y cm ，体积为()3cm V .（1）求出x 与y 的关系式；（2）求该铁皮盒体积V 的最大值.【答案】（1）21200,0304x y x x-=<≤；（2）34000cm .【解析】【分析】（1）由题意得到244030x xy +=⨯，化简得到212004x y x -=，并由实际情境得到030x <≤；（2）表达出()()3112004V x x x =-，求导得到其单调性，进而得到最大值.【小问1详解】因为材料利用率为100%，所以244030x xy +=⨯，即212004x y x -=；因为长方形铁皮ABCD 长为40cm ，宽为30cm ，故030x <≤，综上，212004x y x-=，030x <≤；【小问2详解】铁皮盒体积()()222312*********x V x x y x x x x -==⋅=-，()()21120034V x x '=-，令()0V x '=，得20,x =()(),V x V x '的变化情况如下：x ()0,2020()20,30()V x +0-()V x '()V x 在()0,20上为增函数，在()20,30上为减函数，则当20x =时，()V x 取最大值，最大值为()3311200202040040cm ⨯⨯-=.20.已知函数1e ()x f x x-=.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求()f x 的单调区间；（3）当211x x >>时，判断21()()f x f x -与2122x x -的大小，并说明理由.【答案】（1）230x y +-=；（2）单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞；（3）212122()()f x x x f x -->，理由见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用导数求出函数()f x 的单调区间.（3）构造函数2()(),1g x f x x x=->，利用导数探讨函数单调性即可判断得解.【小问1详解】函数1e ()x f x x -=，求导得12(1)e ()xx f x x---='，则()12f '=-，而(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=.【小问2详解】函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且12(1)e ()x x f x x---='，当1x <-时，()0f x '>，当10x -<<或0x >时，()0f x '<，所以()f x 的单调递增区间为(,1)∞--，单调递减区间为(1,0)-和(0,)+∞.【小问3详解】当211x x >>时，212122()()f x x x f x -->，证明如下：令2()(),1g x f x x x =->，求导得12(1)e 2()x x g x x-'--+=，令1()(1)e 2,1x h x x x -=--+>，求导得1()e 0x h x x -='>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0h x h >=，即()0g x '>，函数()g x 在(1,)+∞上为增函数，当211x x >>时，21()()g x g x >，所以212122()()f x x x f x -->.21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈= ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m = 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>；（III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<< ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j i i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>> ，所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++- ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤.由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
2019-2020学年高三数学10月月考试题(I).doc
2019-2020学年高三数学10月月考试题(I)一、填空本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上1.满足{1}⊆ A ⊆{1，2，3}的集合A 的个数为 ▲ .2.已知复数)()1(i a i z -⋅+=（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ .3.已知3lg ,2lg ==b a ，则 5lg = ▲ .(用 a ，b 表示)4.函数)1ln()(+-=x x x f 的单调递减区间是 ▲ .5.命题“若实数a 满足a 2<4，则a≤2”是 ▲ 命题.（填“真”、“假”之一）6.设正项等比数列{a n }的公比为q ，且733=a S ,则q 的值为 ▲ . 7.把一个体积为27cm1的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块恰有两个面被涂有红漆的概率为▲ . 8.已知角a 的终边经过点P(x-6),且cosa=53-,则实数x 的值为 ▲ . 9.在平面直角坐标系中，己知A 、B 分别是椭圆13422=+y x 的左、右焦点，△ABC 的顶点C 在椭圆上，则CB A sin sin sin +的值是 ▲ . 10.已知函数||2)(x x f = ，记)5(log ),3(log 35.0f b f a ==，则a,b,c 的大小关系为 ▲ .(用“<”连接）11.曲线231x y =过点P （2，38）的切线方程为 ▲ . 12.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≤--=,1,2,1＞,1)(x x x x x f 则函数))((x f f 的值域为 ▲ .13.已知对于任意的),5()1,(+∞-∞∈ x ,都有a x a x +--)2(22>0 ，则实数a 的取值范围是 ▲ .14.已知定义在实数集R 上的偶函数)(x f 的最小值为3，且当0≥x 时，a e x f x +=3)(（a为常数）。
北京市101中学2020届高三数学第三次模拟考试试题
北京 101 中学 2020 届放学期高三年级三模考试数学试卷一、选择题共8 小题，在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。
1. 设会合 A { y | y 2 x , x R}, B { x | x 2 1 0}，则A B （）A. （ -1，1）B. （0，1）C. （-1 ，）D. （0，）2. 已知平面向量a， b 知足| a | 3, |b | 2 ，a与b的夹角为120°，若(a mb) a ，则实数 m的值为（）A. 1B. 3C. 2D. 323.在ABC中，°，， BC 2 3 ，则的面积为（）A=60 AC=4 ABCA. 43B. 4C. 2 3D. 2 24.秦九韶是我国南宋期间的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，到现在还是比较先进的算法。
以下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n， x 的值分别为3， 2，则输出v的值为（）A. 9B. 18 `C. 20D. 355．若某多面体的三视图( 单位： cm)以下图，则此多面体的体积是( )A.7cm 3 B.2c m 3 C.5 cm 3D.1c m 3 83626．设 a ，b ∈ R ，则“ a>b ”是“ a|a|>b|b| ”的 ( )A. 充足不用要条件B.必需不充足条件C. 充要条件D.既不充足又不用要条件7．有 5 本不一样的书，此中语文书 2 本，数学书 2 本，物理书 1 本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()A.1B.2C.3 D.455558．如图，已知线段 AB 上有一动点 D(D 异于 A ， B)，线段 CD ⊥AB ，且知足 2CD= AD ·BD（ 是大于 0 且不等于 1 的常数），则点 C 的运动轨迹为 ( )A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分二、填空题共 6 小题。
【数学】北京市101中学高三10月统练试卷(5)(理) (解析版)
北京市101中学高三10月数学（理）统练试卷（5）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若复数为纯虚数，则实数的值为（）A. 1B. 0C.D. -1【答案】D【解析】设，得到：+∴，且解得：故选：D2.已知为等差数列，为其前n项和，若，则（）A. 17B. 14C. 13D. 3【答案】A【解析】根据等差数列的前n项和公式求出公差d，再利用通项公式求。
设等差数列的公差为d，由等差数列前n项和公式知，，解得，，所以，故答案选A。
【点睛】本题考查等差数列的通式公式及前n项和公式，关键是掌握两个公式，准确进行基本量计算，属于基础题。
3.设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充要条件的定义进行判断即可。
由得，，所以是充分条件；由可得，所以是必要条件，故“”是“”的充要条件。
答案选C。
4.将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a的值可以为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为结果得到函数已知，可以逆向思考，反向得到函数的图像，确定相等关系。
【详解】由题意知，，其图像向左平移a个单位得到函数，而函数，所以有，取得。
答案选C。
5.某中学语文老师从《红楼梦》、《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的分配方法共有（）A. 6种B. 12种C. 18种D. 24种【答案】C【解析】可以分两步进行：（1）先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本，共有种选法；（2）将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学学，有种排法，根据乘法原理，即可得到答案。
（1）先从《平凡的世界》、《红岩》、《老人与海》三本书中选择2本，共有种选法；（2）将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学学，有种排法，根据乘法原理，不同的分配方法有种。
2024-2025学年北京市海淀区高三上学期10月月考数学试题及答案
数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ）A. 0B. 1- C. 0或1- D. 0或12. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n=- D. 2122n S n n =-3. 已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（ ）A. a b c << B. b a c <<C. a c b<< D. b c a<<4. 设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A.B. 1C.D. 25. 下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ）A. y =B. 21y x =C. lg y x =D. 332x xy --=6. 已知向量()3,4a = ，()1,0b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c = 则实数t =（ ）A. 6- B. 5- C. 5D. 67. 函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ）A. 若0a b +=，则()f x 为奇函数 B. 若π2a b +=，则()f x 为偶函数C. 若π2b a -=，则()f x 偶函数 D. 若πa b -=，则()f x 为奇函数8. 已知函数()0x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值为范围是（ ）A. (),1∞-- B. (],1-∞- C. (),2-∞- D. (],2-∞-9. 已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b满足2430b e b -⋅+=，则a b - 的最小值是A1-B.1+ C. 2D. 2-10.已知函数()f x k =+，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A. (1,)-+∞ B. (1,0]- C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.12. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．13. 若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是______14. 若函数()()cos sin 0f x A x x A =->最大值为2，则A =________，()f x 的一个对称中心为_______15. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有___________.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈③()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC V中，sin A B =，b =．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作.的为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．17. 已知n S 是等差数列{a n }的前n 项和，51120S a ==，数列{b n }是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设nn nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.18. 已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．19. 1.已知函数()21exax x f x +-=，0a ≥.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 最大整数值，并说明理由.21. 已知数列{a n }记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N （1）对于数列{a n }：1,2,3，列出集合T 的所有元素；（2）若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b 若的的b m ≤0202，求m 的最大值数学试题2024.10.06本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，则实数m =（ ）A. 0B. 1- C. 0或1- D. 0或1【答案】C 【解析】【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论213-=-m 和33m -=-两种情况，求解m 并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合{}21,3M m m =--，若3M -∈，3M -∈ ，213m ∴-=-或33m -=-，当213-=-m 时，1m =-，此时{}3,4M =--；当33m -=-时，0m =，此时{}3,1M =--；所以1m =-或0.故选：C2. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A. 25n a n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n=- D. 2122n S n n =-【答案】A 【解析】【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．3. 已知 1.50.31.50.3,log 0.3, 1.5a b c ===，则（ ）A. a b c << B. b a c <<C. a c b << D. b c a<<【答案】B 【解析】【分析】根据指对数的性质，分别求三个数的范围，再比较大小.【详解】由条件可知，()1.50.30,1a =∈， 1.5log 0.30b =<，0.31.51>，所以b a c <<.故选：B4. 设()()1i 21i z -=+，则z =（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】利用复数除法法则计算出()21i 2i 1iz +==-，求出模长.【详解】()()22221i 21i 12i i 2i 1i 1iz ++===++=--，故2z =.故选：D5. 下列函数中，既是偶函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ）A. y =B. 21y x =C lg y x= D. 332x xy --=【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数和指对函数的奇偶性和单调性，逐一检验选项，得出答案．【详解】选项A，y =(0,)+∞上的增函数，错误；.选项B ，21y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的减函数，错误；选项C ，lg y x =是偶函数，是区间(0,)+∞上的增函数，正确；选项D ，332x xy --=是奇函数，是区间(0,)+∞上的增函数，错误；故选：C6. 已知向量()3,4a = ，()1,0b = ，c a tb =+ ，若,,a c b c = 则实数t =（ ）A. 6-B. 5- C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】由向量坐标的运算求出向量c的坐标，再根据,,a c b c = ，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数t 的值．【详解】由()3,4a = ，()1,0b = ，则()3,4c a tb t =+=+，又,,a c b c = ，则cos ,cos ,a c b c =，则a c b c a c b c ⋅⋅=⋅⋅ ，即a b a bc c⋅⋅=，31t+=，解得5t =，故选：C.7. 函数()()()cos sin f x x a x b =+++，则（ ）A. 若0a b +=，则()f x 为奇函数 B. 若π2a b +=，则()f x 为偶函数C. 若π2b a -=，则()f x 为偶函数 D. 若πa b -=，则()f x 为奇函数【答案】B 【解析】【分析】根据选项中,a b 的关系，代入()f x 的解析式，对AD 用特值说明()f x 不是奇函数，对BC 用奇偶性的定义验证即可.【详解】()f x 的定义域为R ，对A ：若0a b +=，()()()cos sin f x x a x a =++-，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f a a =-=不恒成立，故()f x 不是奇函数；对B ：若π2a b +=，()()()()πcos sin cos cos 2f x x a x a x a x a ⎛⎫=+++-=++- ⎪⎝⎭，()()()()()cos cos cos cos ()f x x a x a x a x a f x -=-++--=-++=，故()f x 偶函数，B 正确；对C ：若π2b a -=，()()()πcos sin 2cos 2f x x a x a x a ⎛⎫=++++=+ ⎪⎝⎭，()()2cos ()f x x a f x -=-+≠，故()f x 不是偶函数，故C 错误；对D ：若πa b -=，()()()()()cos πsin cos sin f x x b x b x b x b =++++=-+++，若()f x 为奇函数，则()00f =，而()0cos sin 0f b b =-+=不恒成立，故()f x 不是奇函数；故选：B8. 已知函数()0x f x x <=≥⎪⎩，若对任意的1x ≤有()()20f x m f x ++>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. (),1∞-- B. (],1-∞- C. (),2-∞- D. (],2-∞-【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数的定义证明()f x 为奇函数，再判断函数的单调性，利用函数的性质化简不等式可得m 的取值范围.【详解】当0x <时，0x ->，()f x =()()f x f x -==-，当0x >时，0x -<，()f x =()()f x f x -==-，当0x =时，()00f =，所以对任意的R x ∈，()()f x f x -=-，函数()f x 为奇函数，又当0x >时，()f x =为单调递减函数，所以函数()f x 在(),-∞+∞上为单调递减函数，所以不等式()()20f x m f x ++>可化为()()2f x m f x +>-，为所以2x m x +<-，所以x m <-，由已知对任意的1x ≤有x m <-恒成立，所以1m <-，即1m <-，故m 的取值范围是(),1∞--.故选：A.9. 已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b满足2430b e b -⋅+= ，则a b - 的最小值是A.1B.1+ C. 2D. 2-【答案】A 【解析】【分析】先确定向量a、b所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.【详解】设()()(),,1,0,,a x y e b m n ===r r r，则由π,3a e =r r得πcos ,3a e e x y a ⋅=⋅=∴=r r r r ，由2430b e b -⋅+=r r r 得()2222430,21,m n m m n +-+=-+=因此，a b -r r 的最小值为圆心()2,0到直线y =11.选A.【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.10.已知函数()f x k =+，若存在区间[,]a b ，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[1,1]a b ++则实数k 的取值范围为（ ）A. (1,)-+∞ B. (1,0]- C. 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即得1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩方程20x x k --=的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．【详解】根据函数的单调性可知，()()11f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即可得到1010a kb k ⎧+--=⎪⎨+-=⎪⎩，20x x k --=两个不同非负实根，所以1400k k ∆=+>⎧⎪=-≥，解得104k -<≤．故选：D ．【点睛】关键点睛：利用函数的单调性以及一元二次方程的根与系数的关系是解决本题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知角α的终边与单位圆交于点1,2⎛⎫⎪⎝⎭y P ，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】由三角函数定义得到1cos 2α=，再由诱导公式求出答案.【详解】由三角函数定义得1cos 2α=，由诱导公式得1cos 2πsin 2αα⎛⎫= ⎪⎭=+⎝.故答案为：1212. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．【答案】63-【解析】【分析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和的公式求得6S 的值.【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.13. 若命题“对任意2R,20x ax x a ∈++≥为假命题的a 的取值范围是______【答案】1a <【解析】【分析】写出全称量词命题的否定，2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，分0a =，0a <和0a >三种情况，得到不等式，求出答案.【详解】由题意得2R,20x ax x a ∃∈++<为真命题，当0a =时，不等式为20x <，有解，满足要求，当0a ≠时，若0a <，此时220ax x a ++<必有解，满足要求，若0a >，则2440a ∆=->，解得01a <<，综上，a 的取值范围为1a <.故答案为：1a <14. 若函数()()cos sin 0f x A x x A =->的最大值为2，则A =________，()f x 的一个对称中心为_______【答案】 ①. ②. π,03⎛⎫⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】根据辅助角公式对函数()f x 进行化简，再根据最大值求出A ，最后利用余弦型函数求出对称中心.【详解】由()cos sin f x A x x x ϕ=-=+（），其中1tan A ϕ=，又函数()f x 的最大值为22=，又0A >，则A =，tan ϕ=，不妨取π6ϕ=，故()π2cos 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的对称中心满足πππ62x k +=+，k ∈Z ，解得ππ3x k =+，k ∈Z ，即()f x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，则()f x 的一个对称中心可为：π,03⎛⎫⎪⎝⎭，π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭（答案不唯一）15. 对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得()001x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有___________.①()2f x x =-+②()[]()sin 0,2πf x x x =∈③()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）④()()ln 1f x x =+（2）若函数()ln f x a x =具有性质P ，则实数a 的取值范围是___________.【答案】①. ①②④ ②. 0a ＞或a e ≤-．【解析】【分析】（1）令12x x -=，由0∆=，可判断；由sin x =1x 有解，可判断是否具有性质P ；令1+x x=1x ，此方程无解，由此可判断；由()1ln 1,x x y y =+=两图象在()1，-+∞有交点可判断；（2）问题转化为方程1ln x x a =有根，令()ln g x x x =，求导函数，分析导函数的符号，得所令函数的单调性及最值，由此可求得实数a 的取值范围．【详解】解：（1）在0x ≠时， ()1f x x =有解，即函数具有性质P ，令12x x-= ，即2210x -+-=，∵880∆=-=，故方程有一个非0实根，故()2f x x =-+ 具有性质P ；()()sin ]02[f x x x π=∈，的图象与1y x=有交点，故sin x =1x有解，故()()sin ]02[f x x x π=∈，具有性质P ；令1+x x =1x ，此方程无解，故()1f x x x=+，（x ∈(0,+∞)）不具有性质P ；令()1ln 1x x +=，则由()1ln 1,x x y y =+=两图象在()1，-+∞有交点，所以()1ln 1x x +=有根，所以()()ln 1f x x =+具有性质P ；综上所述，具有性质P 的函数有：①②④；（2）()ln f x a x =具有性质P ，显然0a ≠，方程1ln x x a =有根，令()ln g x x x =，则()'ln +1g x x =，令()'ln +10g x x ==，解得1=x e ，当11x e -<<时，()'0g x <，所以()g x 在11e ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，当1>x e 时，()'>0g x ，所以()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()1111ln g x g e e e e⎛⎫≥==- ⎪⎝⎭，所以()ln g x x x =的值域[1e -，+∞），∴11a e ≥-，解之可得：0a ＞或a e ≤-．故答案为：①②④；0a ＞或a e ≤-．【点睛】方法点评：解决本题的关键是审清题意，把方程的解转化为两个图象有交点，本题考查的是方程的根，新定义，函数的值域，是方程和函数的综合应用，难度比较大．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC V 中，sin A B =，b =．再从条件①，条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求角B 的大小；（2）求ABC V 的面积．条件①：4c =；条件②：222b a c -=；条件③：cos sin a B b A =．【答案】（1）选②或③，4B π=； （2）ABC V 的面积为1.【解析】【分析】（1）选①，利用三边关系可判断ABC V 不存在；选②：利用余弦定理可求得角B 的值；选③：利用正弦定理可求得tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）利用余弦定理可求得c 的值，再利用三角形的面积公式可求得ABC V 的面积．【小问1详解】解：因为sin A B =，b =，则2a ==.选①：因为4c =，则a b c +<，则ABC V 不存在；选②：因为222b a c -=，则222a c b +-=，由余弦定理可得222cos 2a c b B ac +-==，()0,B π∈ ，则4B π=；选③：cos sin a B b A = ，则sin cos sin sin A B A B =，A 、()0,B π∈，则sin 0A >，sin cos 0B B =>，故tan 1B =，从而4B π=.【小问2详解】解：因为4B π=，2a =，b =，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即220c -+=，解得c =，因此，11sin 2122ABC S ac B ==⨯=△.17. 已知n S 是等差数列{a n }的前n 项和，51120S a ==，数列{b n }是公比大于1的等比数列，且236b b =，4212b b -=.（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）设n n nS c b =，求使n c 取得最大值时n 的值.【答案】（1）22n a n =-，2n n b =（2）3或4【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项及前n 项和公式求出首项与公差，即可求出数列{a n }的通项公式，再求出数列{b n }的首项与公比，即可得{b n }的通项公式；（2）先求出{}n c 的通项，再利用作差法判断数列的单调性，根据单调性即可得出答案.【小问1详解】设等差数列{a n }的公差为d ，则511115452021020S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得10,2a d ==，所以22n a n =-，设等比数列{b n }的公比为()1q q >，则()2251131112b q b q b q b q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以2n n b =；【小问2详解】由（1）得()()2212n n n S n n -==-，则()12n n nn n n S c b -==，()()2111113222n n n n n n n n n n n c c ++++---=-=，当1,2n =时，11230,n n c c c c c +-><<，当3n =时，1340,n n c c c c +-==，当4n ≥时，1450,n n n c c c c c +->> ，所以当3n =或4时，n c 取得最大值.18. 已知函数π3()6sin(62cos f x x x =-+．（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间；（2）若函数()y f x a =-在π5π[,]1212x ∈存在零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）π，()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）[]0,3【解析】【分析】（1）化简函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）根据题意转化为方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，以π26x -为整体，结合正弦函数图象运算求解.【小问1详解】对于函数π313()6cos sin 6cos cos 6222f x x x x x x ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()231cos 231π3sin cos 3cos 2332cos 23sin 222226x f x x x x x x x x ⎫+⎛⎫=-+-⨯+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，令πππ2π22π,Z 262k x k k -+£-£+Î，则ππππ,Z 63k x k k -+££+Î，∴函数()f x 单调递增区间为()πππ,πZ 63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】令()0y f x a =-=，即π3sin 206x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，则方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，若π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin 2[0,1]6x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴013a ≤≤，得03a ≤≤故实数a 的取值范围是[]0,3．的19. 1.已知函数()21ex ax x f x +-=，0a ≥.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，求证：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点.【答案】（1）当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）证明过程见解析【解析】【分析】（1）求出导数，然后通过对a 分情况讨论，研究导数的符号研究函数的单调性；（2）结合第一问的结果，判断出函数在()0,1上的单调性，然后结合端点处的函数值的符合证明【小问1详解】()()()12e x ax xf x -+-'==，当0a =时，()()2e x x f x --'=，由()0f x '>得：2x <，由()0f x '<，得：2x >，故此时()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-当0a >时，令()()()120g x ax x =-+-=得：x =−1a <0或2x =由()0g x >得：12x a-<<，此时()0f x '>由()0g x <得：1x a <-或2x >，此时()0f x '<故此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭综上：当0a =时，()f x 的单调递减区间为()2,∞+，单调递增区间为(),2∞-；当0a >时，()f x 的单调递减区间为1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，()2,∞+，单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可知，当0a >时，()f x 的单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而()1,20,1a ⎛-⊂⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 在()0,1上单调递增，又()010f =-<，()10ea f =>所以()()010f f ⋅<，由零点存在性定理可得：：函数()f x 在区间()0,1上有且仅有一个零点20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对R x ∈恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由.【答案】（1）y x =-（2）()max sin12ef x =- （3）2-，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数在0x =处的导数，即切线斜率，求出(0)f ，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[1,1]-上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为sin e x x a x <-在R x ∈上恒成立.构造函数()sin e xx x x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】因为()e sin 2x f x x x =-，所以()()e sin cos 2x f x x x =+-'，则(0)1f '=-，又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.【小问2详解】令()()()esin cos 2x g x f x x x +'==-，则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，()()1e sin1cos120g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121e f -=->，所以()()max sin112ef x f =-=-.【小问3详解】满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e x f x x a +>恒成立等价于sin e xx a x <-恒成立.令()sin e x x x x ϕ=-，当0x ≤时，0e xx -≥，所以()1x ϕ>-恒成立.当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，()1ex x h x '-=，()h x '与()h x 的情况如下：所以()()min 11eh x h ==-，当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0，所以()h x 的值域为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以()ϕx 的最小值小于1-且大于2-.所以a 的最大整数值为2-.21. 已知数列{a n }记集合()(){}*1,,,1,,i i j T S i j S i j a a a i j i j +==+++≤<∈N（1）对于数列{a n }：1,2,3，列出集合T 的所有元素；（2）若2n a n =是否存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =？若存在，求出一组符合条件的,i j ；若不存在，说明理由；（3）若22n a n =-把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为12:,,,,.m B b b b 若2020m b ≤，求m 的最大值.【答案】（1）{}3,5,6T =；（2）不存在，理由见解析；（3）1001.【解析】【分析】（1）根据题目给出的集合T 的定义求解即可；（2）假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，则i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，进行分析即可得解；（3）由22n a n =-，根据题意给出的集合T 新定义可对()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案．【小问1详解】由题意可得123a a +=，1236a a a ++=，235a a +=，所以{}3,5,6T =.【小问2详解】假设存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =，则有()()()1102422121i i j a a a i i j j i i j +=+++=++++=-++ ，由于i j +与j i -奇偶性相同，所以i j +与1j i -+奇偶性不同，又因为3,12i j j i +≥-+≥，所以1024必有大于等于3的奇数因子，这与1024无1以外的奇数因子矛盾.故不存在*,i j ∈N ，使得(),1024S i j =成立.小问3详解】由题意得()()()()22221212j i j i j i j i -+--+=+--+，当2j =，1i =时，12b =，除2j =，1i =外22j i +-≥，12j i -+≥，【其中2j i +-与1j i -+一奇一偶，则n b 能拆成奇数与偶数之乘积，在正偶数中，只有2n 无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，又T 中的元素均为偶数，故{}**2,2,k T n n n k =∈≠∈N N ，故2至2024偶数中除去4，8，16，32，64，128，256，512，1024，2020910012m ∴=-=，故m 的最大值为1001．【点睛】关键点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及运算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
2019-2020学年北京市101中学高三(上)10月月考数学试卷
2019-2020学年北京市101中学高三（上）10月月考数学试卷试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设集合A={-1.1.2}.B={a+1.a2-2}.若A∩B={-1.2}.则a的值为（）A.-2或1B.0或1C.-2或-1D.0或-22.（单选题.3分）已知向量a⃗ =（1.-2）. b⃗⃗ =（m.4）.且a⃗ || b⃗⃗ .那么2 a⃗ - b⃗⃗等于（）A.（4.0）B.（0.4）C.（4.-8）D.（-4.8）3.（单选题.3分）已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .那么sinα=（）A. −√33B. −√63C. √63D. √334.（单选题.3分）在数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.则a101=（）A.2100-3B.2101-3C.2102-lD.2102-35.（单选题.3分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+1.则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数6.（单选题.3分）在△ABC 中.“cosA ＜cosB”是“sinA ＞sinB”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题.3分）设x 1.x 2.x 3均为实数.且 (13)x 1=log 2（x 1+1）. (13)x 2=log 3x 2. (13)x 3=log 2x 3.则（ ） A.x 1＜x 3＜x 2 B.x 3＜x 2＜x 1 C.x 3＜x 1＜x 2 D.x 3＜x 1＜x 28.（单选题.3分）设函数f （x ）=sin （ωx+ π5 ）（ω＞0）.已知f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：① f （x ）在（0.2π）有且仅有3个极大值点； ② f （x ）在（0.2π）有且仅有2个极小值点； ③ f （x ）在（0. π10 ）单调递增； ④ ω的取值范围是[ 125 . 2910 ）． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① ④ B. ② ③ C. ① ② ③ D. ① ③ ④9.（填空题.3分）已知复数z 满足z+ 3z =0.则|z|=___ ．10.（填空题.3分）已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12 cos2x.若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得的图象关于原点对称.则φ的最小值为___ ．11.（填空题.3分）不等式2n ＞n 2-1（n∈N*）不是恒成立的.请你只对该不等式中的数字作适当调整.使得不等式恒成立．请写出其中一个恒成立的不等式：___ ．12.（填空题.3分）纸张的规格是指纸张制成后.经过修整切边.裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准.规定以A 0.A 1.A 2.B 1.B 2.…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列.其中An （n∈N .n≤8）系列的幅面规格为：① A 0.A 1.A 2.….A 8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为 x ：y =1：√2 ；② 将A 0纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A 1规格.A 1纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A 2规格.….如此对开至A 8规格．现有A 0.A 1.A 2.….A 8纸各一张．若A 4纸的宽度为2dm.则A 0纸的面积为___ dm 2；这9张纸的面积之和等于___ dm 2．13.（填空题.3分）如图.A.B.P 是圆O 上的三点.OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q.若 OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = aOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则a+b 的取值范围是___ ．14.（填空题.3分）设f （x ）.g （x ）是定义在R 上的两个周期函数.f （x ）的周期为4.g （x ）的周期为2.且f （x ）是奇函数．当x∈（0.2]时.f （x ）= √1−(x −1)2 .g （x ）= {k (x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2，其中k ＞0．若在区间（0.9]上.关于x 的方程f （x ）=g （x ）有8个不同的实数根.则k 的取值范围是___ ．15.（问答题.0分）已知等差数列{a n }中.a 3=6.a 5+a 8=26． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设 b n =2a n +n .求数列{b n }的前n 项和S n ．16.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对应的边分别是a.b.c. asinB =√3bcosA ． （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若 a =√21 .b=5.求c 的值．17.（问答题.0分）已知函数 f (x )=cos2x √2sin(x+π4)+2sinx ．（Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及其单调增区间； （Ⅱ）当 x ∈[π2，2π3] 时.对任意t∈R .不等式mt 2-mt+2≥f （x ）恒成立.求实数m 的取值范围．18.（问答题.0分）已知函数f（x）=2x3-ax2+2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0＜a＜3时.记f（x）在区间[0.1]的最大值为M.最小值为m.求M-m的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x•（a+lnx）.其中a∈R．垂直.求a的值；（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x）．当a∈（0.ln2）时.证明：g（x）存在极小值点x0.且f（x0）＜0．20.（问答题.0分）若数列{a n}满足：对于任意的正整数n.a n∈N*.a n＜a n+1.且a2n=2a n.则称该数列为“跳级数列”．（1）若数列{a n}为“跳级数列”.且a4=4.求a3.a101的值；（2）若数列{a n}为“跳级数列”.则对于任意一个大于a1的质数p.在数列{a n}中总有一项是p的倍数；（3）若p为奇质数.则存在一个“跳级数列”{a n}.使得数列{a n}中每一项都不是p的倍数．2019-2020学年北京市101中学高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（单选题.3分）设集合A={-1.1.2}.B={a+1.a 2-2}.若A∩B={-1.2}.则a 的值为（ ） A.-2或1 B.0或1 C.-2或-1 D.0或-2【正确答案】：A【解析】：由交集定义得到 {a +1=−1a 2−2=2 或 {a +1=2a 2−2=−1 .由此能求出a 的值．【解答】：解：∵集合A={-1.1.2}.B={a+1.a 2-2}.A∩B={-1.2}. ∴ {a +1=−1a 2−2=2 或 {a +1=2a 2−2=−1 . 解得a=-2或a=1． 故选：A ．【点评】：本题考查a 的值的求法.是基础题.解题时要认真审题.注意交集定义的合理运用． 2.（单选题.3分）已知向量 a ⃗ =（1.-2）. b ⃗⃗ =（m.4）.且 a ⃗ || b ⃗⃗ .那么2 a ⃗ - b ⃗⃗ 等于（ ） A.（4.0） B.（0.4） C.（4.-8） D.（-4.8） 【正确答案】：C【解析】：向量是以坐标形式给出的.首先运用共线向量基本定理求出m.然后运用向量的数乘运算和向量的减法运算求解．【解答】：解：由向量 a ⃗ =（1.-2）. b ⃗⃗ =（m.4）.且 a ⃗ || b ⃗⃗ .所以.1×4-m×（-2）=0.所以m=-2． 则 b ⃗⃗=(−2，4) .所以 2a ⃗−b⃗⃗=2(1，−2)−(−2，4)=(4，−8) ．故选：C．【点评】：本题考查了向量共线的条件.已知向量a⃗=(x1，y1) .向量b⃗⃗=(x2，y2) .则a⃗∥b⃗⃗⇔x1y2-x2y1=0．3.（单选题.3分）已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .那么sinα=（）A. −√33B. −√63C. √63D. √33【正确答案】：B【解析】：直接利用三角函数的定义的应用求出结果．【解答】：解：已知α∈(π2，3π2) .且tanα=√2 .则：sinα=√2√3=−√63．故选：B．【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换.主要考查学生的运算能力和转换能力.属于基础题题型．4.（单选题.3分）在数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.则a101=（）A.2100-3B.2101-3C.2102-lD.2102-3【正确答案】：D【解析】：首先利用关系式的变换.构造新数列.进一步求出数列的通项公式.最后确定结果．【解答】：解：数列{a n}中.若a1=1.a n+1=2a n+3（n∈N*）.所以a n+1+3=2（a n+3）.即a n+1+3a n+3=2（常数）.所以数列{a n+3}是以a1+3=4为首项.2为公比的等比数列．所以a n+3=4×2n−1 .整理得a n=2n+1−3 .所以a101=2102−3．故选：D．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式.构造新数列.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．5.（单选题.3分）若定义在R上的函数f（x）满足：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f （x2）+1.则下列说法一定正确的是（）A.f（x）为奇函数B.f（x）为偶函数C.f（x）+1为奇函数D.f（x）+1为偶函数【正确答案】：C【解析】：对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1.考察四个选项.本题要研究函数的奇偶性.故对所给的x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可【解答】：解：∵对任意x1.x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1.∴令x1=x2=0.得f（0）=-1∴令x1=x.x2=-x.得f（0）=f（x）+f（-x）+1.∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1].∴f（x）+1为奇函数．故选：C．【点评】：本题考查函数的性质和应用.解题时要认真审题.仔细解答．6.（单选题.3分）在△ABC中.“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：在△ABC中.cosA＜cosB⇔A＞B⇔sinA＞sinB.得出答案．【解答】：解：在△ABC中.cosA＜cosB⇔A＞B⇔sinA＞sinB.故“cosA＜cosB”是“sinA＞sinB”的充要条件.故选：C．【点评】：本题考查四个条件的判断.并考查了解三角形问题.属于基础题．7.（单选题.3分）设x1.x2.x3均为实数.且(13)x1=log2（x1+1）. (13)x2=log3x2. (13)x3=log2x3.则（）A.x1＜x3＜x2B.x3＜x2＜x1C.x3＜x1＜x2D.x3＜x1＜x2【正确答案】：A【解析】：利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象.即可得出结论．【解答】：解：如图所示.由图象可知：x1＜x3＜x2．故选：A．【点评】：本题考查了指数函数与对数函数的图象与性质.属于基础题．8.（单选题.3分）设函数f（x）=sin（ωx+ π5）（ω＞0）.已知f（x）在[0.2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：① f（x）在（0.2π）有且仅有3个极大值点；② f（x）在（0.2π）有且仅有2个极小值点；③ f（x）在（0. π10）单调递增；④ ω的取值范围是[ 125 . 2910 ）． 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ① ④ B. ② ③ C. ① ② ③ D. ① ③ ④ 【正确答案】：D【解析】：依题意作出 f (x )=sin (ωx +π5) 的图象.可判断 ① 和 ② .根据f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点.可得5π≤2πω+ π5 ＜6π.解出ω.然后判断 ③ 是否正确即可得到答案．【解答】：解：依题意作出 f (x )=sin (ωx +π5) 的图象如图.其中 m ⩽2π＜n. 显然 ① 正确. ② 错误；当x∈[0.2π]时.ωx+ π5∈[ π5.2πω+ π5]. ∵f （x ）在[0.2π]有且仅有5个零点. ∴5π≤2πω+ π5 ＜6π. ∴ 125≤ω＜2910 .故 ④ 正确.因此由选项可知只需判断 ③ 是否正确即可得到答案. 下面判断 ③ 是否正确. 当x∈（0. π10 ）时.ωx+ π5 ∈[ π5 .(ω+2)π10]. 若f （x ）在（0. π10 ）单调递增. 则 (ω+2)π10＜π2.即ω＜3.∵125≤ω＜2910.故 ③ 正确． 故选：D ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质.关键是数形结合的应用.属中档题． 9.（填空题.3分）已知复数z 满足z+ 3z =0.则|z|=___ ．【正确答案】：[1] √3【解析】：设z=a+bi （a.b∈R ）.代入z 2=-3.由复数相等的条件列式求得a.b 的值得答案．【解答】：解：由z+ 3z=0. 得z 2=-3.设z=a+bi （a.b∈R ）.由z 2=-3.得（a+bi ）2=a 2-b 2+2abi=-3.即 {a 2−b 2=−32ab =0.解得： {a =0b =±√3 ． ∴ z =±√3i ． 则|z|= √3 ． 故答案为： √3 ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查了复数相等的条件以及复数模的求法.是基础题．10.（填空题.3分）已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12 cos2x.若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后所得的图象关于原点对称.则φ的最小值为___ ． 【正确答案】：[1] π12【解析】：由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式.再利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数图象的对称性.得出结论．【解答】：解：已知函数f （x ）= √3sinxcosx +12cos2x= √32sin2x+ 12cos2x=sin （2x+ π6）. 若将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后.可得y=sin （2x-2φ+ π6 ）的图象. 根据所得的图象关于原点对称.可得-2φ+ π6 =kπ.k∈Z . 则φ的最小值为 π12. 故答案为： π12 ．【点评】：本题主要考查三角恒等变换.函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.正弦函数的图象的对称性.属于中档题．11.（填空题.3分）不等式2n ＞n 2-1（n∈N*）不是恒成立的.请你只对该不等式中的数字作适当调整.使得不等式恒成立．请写出其中一个恒成立的不等式：___ ． 【正确答案】：[1]3n ＞n 2-1（答案不唯一）【解析】：设f（n）=a n-n2+1.令f（n）单调递增.且f（1）＞0即可找出a满足的条件得出答案．【解答】：解：不妨将不等式变为a n＞n2-1.令f（n）=a n-n2+1（n∈N*）.则f′（n）=a n lna-2n.显然当a＞e时.f′（n）＞e n-2n.再令g（n）=e n-2n（n∈N*）.则g′（n）=e n-2≥e-2＞0.∴g（n）单调递增.故g（n）≥g（1）=e-2＞0.即f′（n）＞0.∴f（n）单调递增.故f（n）≥f（1）=a＞0.∴当a＞e时.a n＞n2-1恒成立.故答案为：3n＞n2-1（答案不唯一）．【点评】：本题考查函数单调性与最值.导数与函数恒成立问题.属于中档题．12.（填空题.3分）纸张的规格是指纸张制成后.经过修整切边.裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准.规定以A0.A1.A2.B1.B2.…等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A系列和B系列.其中An（n∈N.n≤8）系列的幅面规格为：① A0.A1.A2.….A8所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为x：y=1：√2；② 将A0纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A1规格.A1纸张沿长度方向对开成两等分.便成为A2规格.….如此对开至A8规格．现有A0.A1.A2.….A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm.则A0纸的面积为___ dm2；这9张纸的面积之和等于___ dm2．【正确答案】：[1]64 √2 ; [2] 511√24【解析】：可设A i纸张的长度为y i.i=0.1.….8.由题意可得y4=2 √2 .再由等比数列的通项公式和面积公式.以及求和公式.即可得到所求值．【解答】：解：可设A i纸张的长度为y i.i=0.1.….8.由A4纸的宽度为2dm.且纸张的幅宽和长度的比例关系都为x：y=1：√2 .可得y4=2 √2 .由题意可得y0=2 √2•24=32 √2 .即有A0纸的面积为32 √2 ×2=64 √2 dm2；由A0.A1.A2.….A8纸9张纸的面积构成一个以64 √2为首项. 12为公比的等比数列.可得这9张纸的面积之和为64√2(1−129)1−2= 511√24dm2．故答案为：64 √2 . 511√24．【点评】：本题考查数列模型的应用题的解法.考查等比数列的通项公式和求和公式的运用.考查运算能力.属于基础题．13.（填空题.3分）如图.A.B.P 是圆O 上的三点.OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q.若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = aOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+bOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则a+b 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0.1）【解析】：设 OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .根据三点共线得出a+b= 1λ.从而得出答案．【解答】：解：设 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λOP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .则 OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λa OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λb OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵A .B.Q 三点共线.∴λa+λb=1. ∴a+b= 1λ .∵Q 在圆外.∴λ＞1.∴0＜ 1λ ＜1. 即0＜a+b ＜1． 故答案为：（0.1）．【点评】：本题考查了平面向量的基本定理.向量的共线定理.属于基础题．14.（填空题.3分）设f （x ）.g （x ）是定义在R 上的两个周期函数.f （x ）的周期为4.g （x ）的周期为2.且f （x ）是奇函数．当x∈（0.2]时.f （x ）= √1−(x −1)2 .g （x ）={k (x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2， 其中k ＞0．若在区间（0.9]上.关于x 的方程f （x ）=g （x ）有8个不同的实数根.则k 的取值范围是___ ． 【正确答案】：[1][ 13 . √24 ）【解析】：由已知函数解析式结合周期性作出图象.数形结合得答案．【解答】：解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图.由图可知.函数f（x）与g（x）=- 12（1＜x≤2.3＜x≤4.5＜x≤6.7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根.则f（x）= √1−(x−1)2 .x∈（0.2]与g（x）=k（x+2）.x∈（0.1]的图象有2个不同交点.由（1.0）到直线kx-y+2k=0的距离为1.√k2+1=1 .解得k= √24（k＞0）.∵两点（-2.0）.（1.1）连线的斜率k= 13.∴ 1 3≤k＜√24．即k的取值范围为[ 13 . √24）．故答案为：[ 13 . √24）．【点评】：本题考查函数零点的判定.考查分段函数的应用.体现了数形结合的解题思想方法.是中档题．15.（问答题.0分）已知等差数列{a n}中.a3=6.a5+a8=26．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=2a n+n .求数列{b n}的前n项和S n．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用已知条件求出数列的首项与公差.然后求解数列的通项公式．（Ⅱ）化简数列的通项公式.利用等差数列以及等比数列求和公式求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的首项为a 1.公差为d.则 {a 1+2d =6a 1+4d +a 1+7d =26解得 {a 1=2d =2．所以a n =a 1+（n-1）d=2n ． …（7分） （Ⅱ）由（I ）可得 b n =22n +n =4n +n . 所以 s n =4(1−4n )1−4+n (1+n )2=4n+1−43+n+n 22． …（13分）【点评】：本题考查数列的递推关系式以及数列求和方法的应用.考查计算能力． 16.（问答题.0分）在锐角△ABC 中.角A.B.C 所对应的边分别是a.b.c. asinB =√3bcosA ． （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若 a =√21 .b=5.求c 的值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由正弦定理.同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 tanA =√3 .结合范围 0＜A ＜π2 .可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理可得c 2-5c+4=0.解得c 的值．【解答】：（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC 中.由正弦定理 a sinA =bsinB .……（2分） 得asinB=bsinA ．又 asinB =√3bcosA .得 tanA =√3 ．……（4分） 由于 0＜A ＜π2 .所以 A =π3．……（6分） （Ⅱ） a =√21 .b=5. A =π3.在△ABC 中.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA.……（7分） 得 21=52+c 2−2•5•c •12 .即c 2-5c+4=0. 解得c=1.或c=4．……（11分） 当c=1时. cosB =2√21)222•1•√210 ．此时.△ABC为钝角三角形.舍去．经检验.c=4满足题意．……（13分）【点评】：本题主要考查了正弦定理.同角三角函数基本关系式.余弦定理在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和转化思想.属于基础题．17.（问答题.0分）已知函数f(x)=√2sin(x+π4)+2sinx．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其单调增区间；（Ⅱ）当x∈[π2，2π3]时.对任意t∈R.不等式mt2-mt+2≥f（x）恒成立.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（I）化简f（x）解析式.根据正弦函数的性质求出单调区间和周期；（II）求出f（x）的最大值.转化为二次函数恒成立问题解决．【解答】：解：（I）f(x)=√2sin(x+π4)2sinx =√2(√22sinx+√22cosx)+2sinx = (cos2x−sin2x)sinx+cosx+2sinx =sinx+cosx= √2sin(x+π4) .函数f（x）的定义域为{x|x≠−π4+kπ，k∈Z} .周期T=2π|ω|=2π1=2π .令−π2+2kπ≤x+π4＜2kπ .解得：−3π4+2kπ≤x＜−π4+2kπ .令2kπ＜x+π4≤π2+2kπ .解得：−π4+2kπ＜x≤π4+2kπ .所以f（x）的递增区间为[−3π4+2kπ，−π4+2kπ)，(−π4+2kπ，π4+2kπ](k∈Z)．（Ⅱ）∵ x∈[π2，2π3] .∴x+ π4∈[ 3π4. 11π12].∴当x=π2时.f（x）取得最大值1.所以mt2-mt+2≥1恒成立.即mt2-mt+1≥0恒成立.① 当m=0时.显然成立；② 当m≠0时.若对于t∈R.不等式mt2-mt+1≥0恒成立. 只需△=m2-4m≤0成立.且m＞0即可.解得：0＜m≤4.综上.m 的取值范围是0≤m≤4．【点评】：本题考查了三角恒等变换.正弦函数的性质.函数恒成立问题.属于中档题． 18.（问答题.0分）已知函数f （x ）=2x 3-ax 2+2． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）当0＜a ＜3时.记f （x ）在区间[0.1]的最大值为M.最小值为m.求M-m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出原函数的导函数.得到导函数的零点.对a 分类求解原函数的单调性； （2）当0＜a ＜3时.由（1）知.f （x ）在（0. a3 ）上单调递减.在（ a3 .1）上单调递增.求得f （x ）在区间[0.1]的最小值为 f (a3)=−a 327+2 .最大值为f （0）=2或f （1）=4-a ．得到M-m= {2−a +a 327，0＜a ＜2a 327，2≤a ＜3.分类求得函数值域.可得M-m 的取值范围．【解答】：解：（1）f′（x ）=6x 2-2ax=2x （3x-a ）. 令f′（x ）=0.得x=0或x= a 3 ．若a ＞0.则当x∈（-∞.0）∪（ a 3，+∞ ）时.f′（x ）＞0；当x∈（0. a 3）时.f′（x ）＜0． 故f （x ）在（-∞.0）.（ a3，+∞ ）上单调递增.在（0. a3 ）上单调递减； 若a=0.f （x ）在（-∞.+∞）上单调递增；若a ＜0.则当x∈（-∞. a3 ）∪（0.+∞）时.f′（x ）＞0；当x∈（ a3 .0）时.f′（x ）＜0． 故f （x ）在（-∞. a3 ）.（0.+∞）上单调递增.在（ a3 .0）上单调递减；（2）当0＜a ＜3时.由（1）知.f （x ）在（0. a 3）上单调递减.在（ a 3.1）上单调递增.∴f （x ）在区间[0.1]的最小值为 f (a3)=−a 327+2 .最大值为f （0）=2或f （1）=4-a ．于是.m= −a 327 +2.M= {4−a ，0＜a ＜22，2≤a ＜3．∴M -m= {2−a +a 327，0＜a ＜2a 327，2≤a ＜3 ．当0＜a＜2时.可知2-a+ a 327单调递减.∴M-m的取值范围是（827，2）；当2≤a＜3时. a 327单调递增.∴M-m的取值范围是[ 827.1）．综上.M-m的取值范围[ 827.2）．【点评】：本题主要考查导数的运算.运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查分类讨论的数学思想方法.属难题．19.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x•（a+lnx）.其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe垂直.求a的值；（Ⅱ）记f（x）的导函数为g（x）．当a∈（0.ln2）时.证明：g（x）存在极小值点x0.且f（x0）＜0．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数.利用曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=−xe垂直.列出方程即可求a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=e x•(a+1x +lnx) .求出导函数.构造函数设ℎ (x)=a+2x−1x2+lnx利用函数的导数判断导函数的单调性以及函数的符号.求解函数的极值.转化求解即可．【解答】：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f′(x)=e x•(a+lnx)+e x•1x =e x•(a+1x+lnx)．[（2分）]依题意.有 f'（1）=e•（a+1）=e.[（3分）] 解得a=0．[（4分）]（Ⅱ）由（Ⅰ）得g(x)=e x•(a+1x+lnx) .所以g′(x)=e x•(a+1x +lnx)+e x•(1x−1x2)=e x•(a+2x−1x2+lnx)．[（6分）]因为e x＞0.所以g'（x）与a+2x −1x2+lnx同号．设ℎ (x)=a+2x −1x2+lnx .[（7分）]则ℎ′(x)=x 2−2x+2x3=(x−1)2+1x3．所以对任意x∈（0.+∞）.有h'（x）＞0.故h（x）在（0.+∞）单调递增．[（8分）]因为a∈（0.ln2）.所以h（1）=a+1＞0. ℎ(12)=a+ln12＜0 .故存在x0∈(12，1) .使得h（x0）=0．[（10分）]g（x）与g'（x）在区间(12，1)上的情况如下：所以g（x）在区间(2， x0)上单调递减.在区间（x0.1）上单调递增．所以若a∈（0.ln2）.存在x0∈(12，1) .使得x0是g（x）的极小值点．[（11分）]令h（x0）=0.得a+lnx0=1−2x0x02.所以f(x0)=e x0•(a+lnx0)=e x0•1−2x0x02＜0．[（13分）]【点评】：本题考查函数的导数的应用.切线方程以及函数的极值的求法.函数的单调性的判断.考查转化思想以及构造法的应用.考查计算能力．20.（问答题.0分）若数列{a n}满足：对于任意的正整数n.a n∈N*.a n＜a n+1.且a2n=2a n.则称该数列为“跳级数列”．（1）若数列{a n}为“跳级数列”.且a4=4.求a3.a101的值；（2）若数列{a n}为“跳级数列”.则对于任意一个大于a1的质数p.在数列{a n}中总有一项是p的倍数；（3）若p为奇质数.则存在一个“跳级数列”{a n}.使得数列{a n}中每一项都不是p的倍数．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用定义性数列的应用求出数列的各项；（2）利用构造关系式的变换.假设法的应用求出结果；（3）利用定义性数列的应用求出结果．【解答】：解：（1）a4=2a2=4.a2=2.由于a2＜a3＜a4.所以a3=3.a54=2a32=4a15=8a8=16a4=64.a128=2a54=128.由题意可知：a54＜a55＜…＜a101＜a102＜…＜a127＜a128.且n∈N+.整理得a101=101．（2）数列为“跳级数列”.∀n∈N*.a n+1-a n为正整数.记s=min{a n+1-a n|n∈N*}.可知s∈N*.且p＞s≥a2-a1=a1．记m∈{n∈N*|s=a n+1-a n）.对于质数p.必存在k.使得2k＞p（k∈N*）．反复应用a2n=2a n.得a2k(m+1)−a2k m=2(a2(k−1)(m+1)−a2(k−1)m)=⋯=2k−1(a2(m+1)−a2m)=2k s另一方面.因为对于满足2k m≤n≤2k（m+1）-1的任意n.均有a n+1-a n≥s．所以对于所有2k m≤n≤2k（m+1）-1.都有a n+1-a n=s（利用迭加）．这表明.数列a2k m . a2k m+1 . a2k m+2 . a2k m+3 .…. a2k(m+1)是以s为公差的等差数列．假设对于整数对（i.j）（0≤i＜j≤p-1）.均有a2k m+j - a2k m+i是质数p的整数倍.即a2k m+j - a2k m+i =（j-i）s必为p的整数倍.0＜j-i＜p.且0＜s≤a2-a1=a1＜p同时成立.知这与p为质数矛盾．由此可知. a2k m . a2k m+1 . a2k m+2 . a2k m+3 .…. a2k m+p−1除以p所得余数互不相同．（构造一个p的完全剩余系）所以必有一个是p的倍数．（3）对于正整数n.设k n为非负整数.且满足2k n≤n＜2k n+1 .则：2k n≤2n＜2k n+1×2 .即2k n+1≤2n＜2k n+2．根据定义有2k2n≤2n＜2k2n+1 .由k n≤k n+1.且k2n=k n+1.令a n=np+ 2k n .则a2n=2np+ 2k2n =2np+ 2k n+1 = 2(np+2k n) =2a n.则显然{a n}为跳级数列.又p为奇质数.于是2k n不为p的倍数.因此a n也不为p的倍数．【点评】：本题考查的知识要点：构造关系式的变换.假设法的应用.定义性数列的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于中档题型．。
2019-2020学年高三数学10月月考试题.doc
2019-2020学年高三数学10月月考试题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试卷上作答无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.=0330cos （ ） A.23B. 23-C.21D.21-2.已知复数z 满足i zi +-=1，则z 在平面直角坐标系中对应的点是（ ） A.()1,1- B.()1,1- C.()1,1 D.()1,1--3.已知集合{}11|≤≤-=x x A ，{}02|2>-=x x x B ，则()=B C A U （ ） A.[-1，0] B.[1，2] C.[0，1] D.（-∞，1]∪[2，+∞） 4.已知向量()2,1=，()m ,4-=，若b a +2与a 垂直，则m =（ ） A.-3 B.3 C.-8 D.85.正项等比数列{}n a 中，23=a ，6464=⋅a a ，则2165a a a a ++的值是（ ）A.4B.8C.16D.646.已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的渐近线方程为x y 43±=，且其左焦点为（-5,0），则双曲线C 的方程为（ ）A ．116922=-y x B ．191622=-y x C ．14322=-y x D ．13422=-y x 7．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ） A ．34000cm 3B ．38000cm 3C ．32000cmD ．34000cm8.右图程序框图输出S 的值为（ ） A.2 B.6 C.14 D.309.将函数()()ϕ+=x x f 2sin 的图象向左平移8π个单位，所得到的函数是偶函数，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．43π B ．4πC ．0D ．4π-10.下列三个数：2323ln-=a ，ππ-=ln b ，33ln -=c ，大小顺序是（ ） A ．b c a << B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>11.若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A ，B 两个不同的点，且AB 的中点的横坐标为2，则=k （ ）A.-1B.2C.2或-1D.1±512.定义在R 上的奇函数()x f 和定义在{}0|≠x x 上的偶函数()x g 分别满足()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-=)1(1)10(12x x x x f x ，()()0log 2>=x x x g ，若存在实数a 使得()()b g a f =成立，则实数b 的取值范围是（ ）A ．[]2,2-B ．⎥⎦⎤⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-21,00,21 C ．(][)+∞-∞-,22, D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2,2121,2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ,则y x z -=的最小值是 ．14.若()51-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 ．15.已知四棱锥ABCD P -的顶点都在半径为2的球面上，底面ABCD 是正方形，且底面经过球心O ，E 是AB 的中点，⊥PE 底面ABCD ，则该四棱锥ABCD P -的体积于 ．16.在数列{}n a 中，已知7,221==a a ，2+n a 等于1+⋅n n a a ()+∈N n 的个位数，则=2015a ．三、解答题：解答时写出文字说明，证明过程和演算步骤． 17.（本题满分12分）已知向量()x x cos ,22sin 3+=，()x cos 2,1=，设函数()x f ⋅= （1）求()x f 的最小正周期；（2）在△ABC 中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，若3=a ，f （A ）=4，求△ABC 的面积的最大值．18.（本题满分12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，CD AB //，4,2===CD AD AB ,M 为CE 的中点．（1）求证：BM ∥平面ADEF ；（2）求平面BEC 与平面ADEF 所成锐二面角的余弦值.19.（本题满分12分）某公司对员工进行身体素质综合测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级，测试结果如下表：（单位：人）按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽到50人，其中成绩为优秀的有30人. （1）求a 的值；（2）若用分层抽样的方法，在合格的员工中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选3人，记X 为抽取女员工的人数，求X 的分布列及数学期望.20.（本题满分12分）已知椭圆L ：()012222>>=+b a b y a x 的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，点()2,2在L 上． （1）求L 的方程；（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与L 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．21.（本题满分12分）已知函数()R a xax x x f ∈+-=,21ln （1）当2=a 时，求曲线()x f y =在1=x 处的切线方程； （2）当1>x 时，()0<x f 恒成立，求a 的取值范围请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
北京市海淀区一零一中学2020届高三上学期期中考试数学试题 Word版含解析
北京101中学2020届高三年级上学期10月月考数学试卷一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.设集合2{1,1,2},{1,2}A B a a =-=+-，若{1,2}A B ?-，则a 的值为（ ）A. ﹣2或﹣1B. 0或1C. ﹣2或1D. 0或﹣2【答案】C 【解析】∵集合{}{}{}21,1,2,1,2,1,2A B a a A B =-=+-⋂=- ，∴2211122221a a a a 或+=-+=⎧⎧⎨⎨-=-=-⎩⎩，解得a=−2或a=1. 本题选择C 选项.2.已知向量(1,2),b (m,4)a -=，且a ∥b,那么2a-b= () A. （4，0） B. （0，4）C. （4，-8）D. （-4，8） 【答案】C 【解析】因为向量()()1,2,,4m =-=a b ，且a ∥b ,∴14(2),2,2(2,44)(4,8)m m m a b ⨯=-⨯∴=-∴-=---=-. 本题选择C 选项.3.已知3(,)22ππα∈，且tan α=sin α=A. -B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】直接利用同角三角函数基本关系求出结果．【详解】因为3(,)22ππα∈，sin tan cos ααα==>0，故3(,)2παπ∈即sin αα=，又22sin cos 1αα+=，解得：sin α=3-故选 ：B【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数基本关系,主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．4.在数列{}n a 中，若11a =，()123n n a a n N *+=+∈，则101a =（ ）A. 10023-B. 10123-C. 10221-D.10223-【答案】D 【解析】【分析】利用待定系数法可得知数列{}3n a +是等比数列，并确定该数列的首项和公比，可求出数列{}n a 的通项公式，即可得出101a 的值.【详解】123n n a a +=+Q ，()1323n n a a +∴+=+，1323n n a a ++∴=+，且134a +=，所以，数列{}3n a +是以4为首项，以2为公比的等比数列，113422n n n a -+∴+=⨯=，123n n a +∴=-，因此，10210123a =-.故选：D.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列项的值，解题时要熟悉待定系数法对数列递推公式的要求，考查运算求解能力，属于中等题.5.若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是 A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D.()1f x +为偶函数【答案】C 【解析】【详解】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-， 令x 1=x ，x 2=-x ，则()()()01f f x f x =+-+， 所以()()110f x f x ++-+=，即()()11f x f x ⎡⎤+=--+⎣⎦，()1f x +为奇函数，故选C. 6.在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.7.设1x 、2x 、3x 均为实数，()1211log 13xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<【答案】A 【解析】 【分析】在坐标系中作出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 1y x =+，3log y x =，2log y x =的图象，将1x 、2x 、3x 分别视为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()2log 1y x =+、3log y x =、2log y x =交点的横坐标，利用数形结合思想可得出这三个实数的大小关系.【详解】作函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2log 1y x =+，3log y x =，2log y x =的大致图象，如图所示，由三个等式可知，三个交点的横坐标从左向右依次为1x 、3x 、2x ，所以132x x x <<． 故选A ．【点睛】本题考查方程根的大小比较，利用数形结合思想转化为函数交点横坐标的大小关系是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8.设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A. ①④ B. ②③C. ①②③D. ①③④【答案】D 【解析】 【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案．【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点，∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，∴正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，∴不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ．【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题．二、填空题共6小题9.已知复数z 满足30z z+=，则||z =_____________∴【解析】分析：设(,)z a bi a b R =+∈，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得,a b 的值得答案．详解：由30z z+=，得23z =-， 设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-得222()23a bi a b abi +=-+=-，即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0,a b ==，所以z =，则z =．点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题，着重考查了考生的推理与运算能力．10.已知函数()1cos cos 22f x x x x =+，若将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得图象关于原点对称，则ϕ的最小值为_____.【答案】12π【解析】 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式将函数()y f x =的解析式化简为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，并求出平移后的函数解析式，利用所得函数图象过原点，求出ϕ的表达式，即可得出正数ϕ的最小值.【详解】()11cos cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭Q ， 将其图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度后所得的图象的函数解析式为()sin 226g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于函数()y g x =的图象关于原点对称，则()0sin 206g πϕ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()26k k Z πϕπ-=∈Q，()122k k Z ππϕ∴=-∈， 由于0ϕ>，当0k =时，ϕ取得最小值12π.的故答案为：12π.【点睛】本题考查利用三角函数的对称性求参数的最值，同时也考查了三角函数的图象变换，解题的关键就是要结合对称性得出参数的表达式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11.不等式()221n n n N*>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：__________. 【答案】331n n >- 【解析】 【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立.【详解】13311>-Q ，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-.下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=，当3x ≥时，()0f x '<. 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤. 所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-. 故答案为：331n n >-.【点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.12.纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准，规定以0A 、1A 、2A 、1B 、2B 、L 等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①0A 、1A 、2A 、L 、8A 所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y表示）的比例关系都为:x y =0A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为1A 规格，1A 纸张沿长度方向对开成两等分，便成为2A 规格，…，如此对开至8A 规格.现有0A 、1A 、2A 、L 、8A 纸各一张.若4A 纸的宽度为2dm ，则0A 纸的面积为________2dm ；这9张纸的面积之和等于________2dm .【答案】(1).(2).【解析】 【分析】可设()0,1,2,3,,8i A i =L 的纸张的长度为1i a +，则数列{}n a成以2为公比的等比数列，设i A 的纸张的面积1i S +，则数列{}n S 成以12为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求出数列{}n S 的首项，并利用等比数列的求和公式求出{}n S 的前9项之和.【详解】可设()0,1,2,3,,8Ai i =L 的纸张的长度为1i a +，面积为1i S +，Ai的宽度为12i a +，()1A i +的长度为21i i a ++=，所以，数列{}n a为公比的等比数列，由题意知4A纸的宽度为522a =，5a ∴=512142a a ∴===⎛⎫⎪⎝⎭所以，0A纸的面积为(22211S ===，又22n n S a =，222111122n n n n n na S a S a +++⎛⎫∴==== ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，数列{}n S是以12为公比的等比数列， 因此，这9张纸的面积之和等于921121412dm ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-.故答案为：4. 【点睛】本题考查数列应用题的解法，考查等比数列通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.13.如图，A 、B 、P 是圆O 上的三点，OP 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外一点Q ，若OP aOA bOB =+u u u v u u u r u u u v，则+a b 的取值范围是_________.【答案】()0,1【解析】 【分析】设OP kOQ =u u u r u u u r ，可得出()0,1OP k OQ=∈u u u r u u u r ，并设OQ OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，利用三点共线得出1λμ+=，从而可得出+a b 的取值范围.【详解】设OP kOQ =u u u r u u u r，可得出()0,1OP k OQ=∈u u u r u u u r ， 设OQ OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r，由于A 、B 、Q 三点共线，则1λμ+=，则()OP kOQ k OA OB k OA k OB aOA bOB λμλμ==+=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则a k λ=，b k μ=，()()0,1a b k k k k λμλμ∴+=+=+=∈.因此，+a b 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,1.【点睛】本题考查利用平面向量基底表示求参数和的取值范围，解题时要充分利用三点共线的结论来转化，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.【答案】1,34⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 【解析】 【分析】的分别考查函数()f x 和函数()g x 图像的性质，考查临界条件确定k 的取值范围即可.【详解】当(]0,2x ∈时，()f x =即()2211,0.x y y -+=≥又()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为4，如图，函数()f x 与()g x 的图象，要使()()f x g x =在(]0,9上有8个实根，只需二者图象有8个交点即可.当1g()2x =-时，函数()f x 与()g x 的图象有2个交点； 当g()(2)x k x =+时，()g x 的图象为恒过点()2,0-的直线，只需函数()f x 与()g x 的图象有6个交点.当()f x 与()g x 图象相切时，圆心()1,0到直线20kx y k -+=的距离为1，1=，得4k =，函数()f x 与()g x 的图象有3个交点；当g()(2)x k x =+过点1,1（）时，函数()f x 与()g x 的图象有6个交点，此时13k =，得13k =. 综上可知，满足()()f x g x =在(]0,9上有8个实根的k 的取值范围为134⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，.【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围.三、解答题共6小题。
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北京市一零一中学2020届高三数学10月月考试题一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 设集合A={－1，l ，2}，B={a +1，22-a }，若A I B={－1，2}，则a 的值为（ ） A. －2或－1B. 0或1C. －2或1D. 0或－22. 已知向量a =（1，－2），b =（m ，4），且a ∥b ，那么2a －b 等于（ ） A. （4，－8） B. （4，0） C. （0，4） D. （－4，8）3. 已知∈α（23,2ππ），且tan α=2，那么sin α=（ ） A .36B.33C. 33-D. 36-4. 在数列{n a }中，若11=a ，321+=+n n a a （n ∈N*），则101a =（ ）A. 2100－3B. 2101－3C. 2102－lD. 2102－35. 若定义在R 上的函数)(x f 满足：对任意1x ，2x ∈R 有)(21x x f +=)()(21x f x f ++1，则下列说法一定正确的是（ ）A. )(x f 为奇函数B. )(x f +l 为奇函数C. )(x f 为偶函数D. )(x f +1为偶函数6. 在△ABC 中，“cosA<cosB ”是“sinA>sinB ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 设1x ，2x ，3x 均为实数，且)1(log )31(121+=x x ，23log )31(2x x =，32log )31(3x x =，则（ ）A. 1x <3x <2xB. 3x <2x <1xC. 3x <1x <2xD. 2x <1x <3x8. 设函数)(x f =sin （5πω+x ）（ω>0），已知)(x f 在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①)(x f 在（0，2π）有且仅有3个极大值点；②)(x f 在（0，2π）有且仅有2个极小值点；③)(x f 在（0，10π）单调递增； ④ω的取值范围是[512，1029）。
其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④二、填空题共6小题。
9. 已知复数z 满足zz 3+=0，则||z =___________。
10. 已知函数x x x x f 2cos 21cos sin 3)(+=，若将其图象向右平移ϕ（ϕ>0）个单位长度后所得的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为________。
11. 不等式n2>2n －1（n ∈N *）不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立。
请写出其中一个恒成立的不等式：__________。
12. 纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸。
现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，…等标记来表示纸张的幅面规格。
复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，…，A8所有规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系都为2:1:=y x ；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格。
现有A0，A1，A2，…，A8纸各一张。
若A4纸的宽度为2 dm ，则A0纸的面积为________dm2；这9张纸的面积之和等于________dm2。
13. 如图，A，B，P是圆O上的三点，OP的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点Q，若OP=OBbOAa+，则ba+的取值范围是_________。
14. 设)(xf，)(xg是定义在R上的两个周期函数，)(xf的周期为4，)(xg的周期为2，且)(xf是奇函数。
当]2,0(∈x时，2)1(1)(--=xxf，⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<+=,21,21,10),2()(xxxkxg其中0>k。
若在区间]9,0(上，关于x的方程)()(xgxf=有8个不同的实数根，则k的取值范围是___________。
三、解答题共6小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. 已知等差数列{na}中，63=a，2685=+aa。
（1）求数列{na}的通项公式；（2）设nb n an+=2，求数列{nb}的前n项和S n。
16. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a sinB=3b cosA。
（1）求∠A的大小；（2）若a =21，b =5，求c 的值.17. 已知函数x x x x f sin 2)4sin(22cos )(++=π（1）求函数)(x f 的最小正周期及其单调递增区间；（2）当]32,2[ππ∈x 时，对任意∈t R ，不等式)(22x f mt mt ≥+-恒成立，求实数m 的取值范围。
18. 已知函数22)(23+-=ax x x f 。
（1）讨论)(x f 的单调性；（2）当0<a <3时，记)(x f 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围。
19. 已知函数)ln ()(x a e x f x+⋅=，其中∈a R 。
（1）若曲线)(x f y =在x =1处的切线与直线exy -=垂直，求a 的值； （2）记)(x f 的导函数为)(x g 。
当a ∈（0，ln 2）时，证明：)(x g 存在极小值点x 0，且)(0x f <0。
20. 若数列{n a }满足：对于任意的正整数n ，*N a n ∈，1+<n n a a ，且n n a a 22=，则称该数列为“跳级数列”。
（1）若数列{n a }为“跳级数列”，且a 4=4，求a 3，a 10l 的值；（2）若数列{n a }为“跳级数列”，则对于任意一个大于1a 的质数p ，在数列{n a }中总有一项是p 的倍数；（3）若p 为奇质数，则存在一个“跳级数列”{n a }，使得数列{n a }中每一项都不是p的倍数。
参考答案1. C2. A3. D4. D5. B6. C7. A8. D9. 3. 10. 12π. 11. 2n>n 2－c （c>1）；3n>n 3－1；4n>n 2－1（答案不唯一）.12. 642，42511。
根据题意A4的长宽分别是22，2；A3的长宽分别是4，22；A2的长宽分别是42，4；A1的长宽分别是8，22；A0的长宽分别是82，8；所以A0的面积为642；A0，A1，A2，…，A8纸张的面积是以首项为642，公比为21的等比数列，所以这9张纸的面积之和等于211])21(1[2649--=42511。
13. （0，1）。
14. )42,31[。
15. （1）设等差数列{n a }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧=+++=+,2674,62111d a d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,21d a所以n d n a a n 2)1(1=-+=。
（2）由（1）可得n n b nn n +=+=422，所以23442)1(41)41(421n n n n s n n n ++-=++--=+。
16. （1）在△ABC 中，由正弦定理BbA a sin sin =，得A b B a sin sin =。
又A b B a cos 3sin =，得3tan =A 。
由于0<A<2π，所以A=3π。
（2）21=a ，b =5，A=3π， 在△ABC 中，由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， 得21=215.2522⋅⋅-+c c ，即0452=+-c c ， 解得c =1，或c =4。
当c=1时，cos B=021125)21(1222<⋅⋅-+。
此时，△ABC 为钝角三角形，舍去。
经检验，c=4满足题意。
17. （1）由0)4sin(2≠+πx 得4ππ-≠k x ，∈k Z 。
因为)4sin(2sin cos sin 2cos sin sin cos sin 2cos sin 2cos )(22π+=+=++-=++=x x x x x x x x x x x x x f所以)(x f 的最小正周期T=2π。
因为函数x y sin =的单调递增区间为（2πk －2π，2k π+2π），∈k Z ， 又由22422πππππ+<+<-k x k ，∈k Z ，解得m k x k 42432ππππ+<<-，∈k Z 但x ≠k π－4π，k ∈Z ，所以函数)(x f 的单调递增区间为)42,432(ππππ--k k 和)42,42(ππππ+-k k ， k ∈Z 。
（2）由（1）得)(x f =)4sin(2π+x 。
因为]32,2[ππ∈x ，所以]1211,43[4πππ∈+x ， 所以)(x f 在]32,2[ππ上单调递减，所以1)2()(max ==πf x f 。
则题目等价于122≥+-mt mt 恒成立，即012≥+-mt mt 恒成立， 当m =0时，有1≥0恒成立；当m ≠0时，有m >0且△=042≤-m m ，得到m ∈（0，4]。
综上，m ∈[0，4]。
18. （1）)3(226)('2a x x ax x x f -=-=。
令0)('=x f ，得x =0或x =3a。
若a >0，则当x ∈（－∞，0）Y （3a ，+∞）时，0)('>x f ；当)3,0(ax ∈时，0)('<x f 。
故)(x f 在（－∞，0），（3a ，+∞）单调递增，在（0，3a）单调递减； 若a =0，)(x f 在（－∞，+∞）单调递增；若a <0，则当x ∈（－∞，3a ）Y （0，+∞）时，0)('>x f ；当x ∈（3a ，0）时，0)('<x f 。
故)(x f 在（－∞，3a ），（0，+∞）单调递增，在（3a ，0）单调递减。
（2）当0<a <3时，由（1）知，)(x f 在（0，3a ）单调递减，在（3a，1）单调递增，所以)(x f 在[0，1]的最小值为)3(af =2273+-a ，最大值为2)0(=f 或a f -=4)1(。
于是2273+-=a m ，⎩⎨⎧<≤<<-=.32,2,20,4a a a M 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<<+-=-.32,27,20,27233a a a a a m M当0<a <2时，可知2723a a +-单调递减，所以M －m 的取值范围是（278，2）。