06-第6讲函数极限的运算
《极限的运算》课件
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
函数极限的四则运算法则
函数极限的四则运算法则函数极限是数学中重要的概念之一，它在数学分析和微积分中有着广泛的应用。
四则运算法则指的是对函数进行加减乘除运算时，其极限的运算规则。
在本文中，我们将对四则运算法则进行详细的说明。
1.加法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的和的极限等于两个极限的和，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a)f(x) + lim(x→a) g(x)。
证明如下：假设lim(x→a) f(x) = L1，lim(x→a) g(x) = L2，我们需要证明lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L = L1 + L2根据极限的定义，我们可以找到两个足够小的正数ε1和ε2，使得当0<，x-a，<δ1时，有，f(x)-L1，<ε1，当0<，x-a，<δ2时，有，g(x)-L2，<ε2取δ = min{δ1, δ2}，则当 0 < ，x-a，< δ 时，有，f(x) - L1，< ε1 且，g(x) - L2，< ε2此时，我们可以将不等式，f(x)-L1，+，g(x)-L2，<ε1+ε2转化为不等式，f(x)+g(x)-(L1+L2)，<ε1+ε2根据极限的定义，当，f(x) + g(x) - (L1 + L2)，< ε1 + ε2 时，有，x - a，< δ，即证明了lim(x→a) [f(x) + g(x)] = L1 +L22.减法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的差的极限等于两个极限的差，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
证明方法与加法法则类似，略。
3.乘法法则：如果有两个函数 f(x) 和 g(x)，且它们的极限都存在，则它们的乘积的极限等于两个极限的乘积，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] =lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
极限的运算法则及计算方法
极限的运算法则及计算方法极限是微积分中的一个重要概念，用于研究函数在接近其中一点时的趋势。
在许多情况下，计算极限可以通过应用一些运算法则来简化。
本文将介绍极限的运算法则以及一些常用的计算方法。
一、极限的四则运算法则1. 乘法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) * g(x))的极限等于f(x)的极限乘以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) * g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)。
2. 除法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在且g(x)不等于0，则(f(x) / g(x))的极限等于f(x)的极限除以g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) / g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)。
3. 加法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) + g(x))的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)。
4. 减法法则：如果函数f(x)的极限存在，g(x)的极限存在，则(f(x) - g(x))的极限等于f(x)的极限减去g(x)的极限，即lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)。
二、极限的乘方法则1. 幂函数法则：对于任意正整数n，如果函数f(x)的极限存在，则(f(x)^n)的极限等于f(x)的极限的n次方，即lim(x→a) [f(x)^n] = [lim(x→a) f(x)]^n。
2. 平方根法则：如果函数f(x)的极限存在且大于等于0，则√[f(x)]的极限等于f(x)的极限的平方根，即lim(x→a) √[f(x)] =√[lim(x→a) f(x)]。
三、特殊函数的极限计算法则1. 三角函数：常见的三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)和正切函数tan(x)等。
极限的四则运算PPT教学课件
• 孔子并不像后来我国封建社会的统治者所吹捧、所神化的那 样，是什么不食人间烟火的“文宣王”“大成至圣先师”等 等，他也是一个有血有肉的现实社会中的人。
• 他赞美颜回安于贫困，又汲汲于追求富贵，甚至奔走于权贵 之门，国君召唤他，他等不及驾好车马，就赶快跑了去。
• 孔子对他的学生很严厉，批评起来不讲情面，他批评“宰予 昼寝”说：“朽木不可雕也，粪土之墙不可圬也”（《论 语·公冶长》）；而有时对他的学生也很亲切
方法——因式分解法(再转化为代入法)
[注]:函数在某一点的极限,考察的是函 数值的变化趋势,与函数在这一点是否有定 义,是否等于在这一点处的函数值无关.故 本例可约去公因式x-1.
例2：(1)求lim x 1 1
x 0
x
(2)求 lim x（ x 3 x
x 2）
——方法: 分子(分母)有理化法(与分子 分母同除x的最高次幂相结合)
x x 0
xx0
lim [f(x) g(x)] lim f(x) lim g(x) a b
x x 0
x x 0
x x 0
lim [f(x)• g(x)] lim f(x)• lim g(x) a • b
x x 0
x x 0
x x 0
lim
f(x)
lim f(x)
x x 0
a (b 0)
xx0 g(x) lim g(x) b
点评对“0 型” 或“ 0 ” 的极限，应通过 0 分 解 因 式 约 去 “ 零 因 子” 或 根 式 有 理 化
例3：（1）
求
lim
x
x
x2 2
x
1
1
（2）
求
lim
函数极限的运算
1 2 x 1 cos x 1 2 解 : lim lim x 0 x si n x x 0 x x 2
25
例17设
x 2x k lim 4， 求k的 值 。 x 3 x3
2
解:由题意可知，当x→3时，x2-2x+k和x-3是 同阶无穷小．
即 lim( x 2 2 x k ) 0
9
例8
3x 2 x 1 lim 2 x 2 x x 5
3
解 因为当x→∞时，类型为“
大与无穷小的关系，
”型未定式，
且分子中的x指数大于分母中x的指数．根据无穷
2 1 5 2 2 3 2x x 5 0 x x x lim 0 lim 3 x 2 5 x 3 x 2 x 5 3 3 2 3 x x 3x3 2 x 1 所 以 lim 2 x 2 x x 5
12
sin 3x 例 9 lim x 0 x
解:
sin3 x sin 3 x sin3 x 3 lim （ 3 ） 3 lxim lim 0 x 0 x 0 3x x 3x
tan x 例10 lim x 0 x 0 解 这个极限是“0 ”型未定式，且含有三角函 sin x 数tanx，要想用公式，就要化为 的形式． x tan x sin x 1 lim lim( ) 1 x 0 x 0 x x cos x
x 2
x2 所以 lim x2 x 2
5
例4
x3 lim 2 x 3 x 9
解 因为当x→3时，分母、分子的极限都为0，称 为“ 0
0
”型未定式．对于这种类型的极限，常
用消去“零因式”的方法．
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧函数极限是微积分中的重要概念，在解决实际问题和进行理论推导时经常需要用到。
在计算函数极限时，常常使用一些方法和技巧可以简化计算过程。
下面将介绍一些常用的函数极限计算方法和技巧。
一、代数运算法则1. 乘积运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B，则lim(x->a)[f(x)g(x)]=AB。
2. 商运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B且B≠0，则lim(x->a)[f(x)/g(x)]=A/B。
3. 加法运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B，则lim(x->a)[f(x)+g(x)]=A+B。
4. 减法运算法则：如果lim(x->a)f(x)=A，lim(x->a)g(x)=B，则lim(x->a)[f(x)-g(x)]=A-B。
以上的代数运算法则可以简化函数极限的计算过程，通过运用这些法则可以将一个复杂的函数极限问题转化为多个简单的函数极限问题。
二、夹逼准则夹逼准则也是常用的一种函数极限计算方法。
如果存在函数g(x)和h(x)，使得对于x 在a的某个去心邻域内，有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim(x->a)g(x)=lim(x->a)h(x)=L，则lim(x->a)f(x)=L。
夹逼准则利用了三个函数之间的大小关系，将复杂的函数极限问题转化为两个较为简单的函数极限问题。
三、分子有理化和分母有理化在计算函数极限时，有时候分子或分母不是有理式，而是含有根号、分数等形式。
这时可以利用分子有理化和分母有理化的方法将其化简为有理式，再进行运算。
当计算lim(x->0)(sinx/x)时，可以将其改写为lim(x->0)(sinx)/(x/x)的形式，然后再利用等式lim(x->0)(sinx)/x=1来计算极限。
函数的极限函数的极限定义和计算方法
函数的极限函数的极限定义和计算方法函数的极限：定义和计算方法函数的极限是微积分中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
它帮助我们理解函数在自变量逼近某一特定值时的表现，并可以用于求解各种问题。
本文将介绍函数的极限的定义和常见的计算方法。
一、函数的极限的定义对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一特定值a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数L，那么我们说函数f(x)在点x=a处的极限为L，记作：lim(x→a) f(x) = L这里，lim表示极限的意思，(x→a)表示x无限接近a，f(x)表示函数f在x处的函数值。
需要注意的是，函数的极限可能存在或者不存在。
如果一个函数的某个点存在极限，那么它的极限值是唯一的。
此外，函数的极限和函数在该点的取值无关，只与函数的定义域和自变量逼近的点有关。
二、函数的极限的计算方法对于常见的函数，可以使用下列计算方法求出函数的极限：1. 代入法：直接将自变量的值代入函数中，计算函数值。
这种方法适用于简单的函数，在函数式中出现除零或者无法计算函数值的情况下，不能直接使用。
2. 因子分解法：将函数式进行因子分解，化简为可能更易计算的形式。
通过因子的性质，可以将极限计算为各个因子的极限之积。
3. 主要部分法：将函数式中的主要部分提取出来，然后计算主要部分的极限。
主要部分是指影响极限值的部分，对于复杂函数，可以通过忽略高次项、无穷小量等方式找到主要部分。
4. 夹逼定理：对于难以计算的函数，可以通过夹逼定理来求解。
夹逼定理指出，如果函数g(x)无限接近L，函数h(x)无限接近L，且函数f(x)总是位于g(x)和h(x)之间，那么函数f(x)的极限也是L。
5. 分部求和法：对于一些敛散性序列或级数，可以通过分部求和将其转化为已知的序列或级数，从而求得极限。
三、示例：下面我们通过几个例子来说明函数的极限的计算方法。
例1：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 在x→2 时的极限。
《极限的运算》课件
极限具有一些基本的运算法则，可用于简化计算和分析。
极限的运算
基本极限运算法则
极限的加减法则、乘法法则和取反法则等基本 运算法则。
极限的代数运算法则
多项式的极限、有理式的极限以及指函数和 对数函数的极限。
极限的计算
1 初等函数极限的计算方法
分式函数的极限计算、幂函数的极限计算和三角函数的极限计算。
2 Taylor公式和L'Hospital法则
Taylor公式的定义和L'Hospital法则的应用等高级计算方法。
极限的应用
1
极限在微积分中的应用
导数和微分的概念、极值和拐点的判定等微积分中常用的应用场景。
2
极限在物理学中的应用
运动学中的极限、动力学中的极限等物理学中常见的应用领域。
3
极限在其他学科中的应用
金融学中的极限、计算机科学中的极限等其他学科中的具体应用案例。
《极限的运算》PPT课件
欢迎来到《极限的运算》PPT课件。本课程将深入探讨极限的定义、运算法 则、计算方法、应用领域等内容，帮助您更好地理解和应用极限概念。让我 们一起开始吧！
什么是极限
极限的定义和概念
极限是描述函数趋近于某一特定值的概念，常用于分析函数在某一点的趋势。
极限存在性的证明
通过严格的证明，确保函数在某一点的极限存在。
极限运算法则课件
减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
第六讲--两个重要极限无穷小的比较
第六讲 两个重要极限 无穷小量的比较一、回顾上一讲的内容1.极限的运算法则；2.极限准则.二、本节教学内容：1、无穷小的比较； 2. 两个重要极限；[教学目的与要求]1. 熟练掌握用两个重要极限求极限；2. 熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小.[教学重点与难点]无穷小比较阶的概念，两个重要极限的应用§1.6 极限存在准则、两个重要极限（下）一、0sin lim1x xx→= 利用准则Ⅰ可以证明下面的第一重要极限：1sin lim0=→xxx .证 先证1sin lim 0=+→xxx .由于+→0x ，不妨设02x π<<.作单位圆并设圆心角x AOB =∠则 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形∵ x BC OA S AOB sin 2121=⋅=∆， x x OA OA AB OA S AOD 212121=⋅⋅=⋂⋅=扇形， 11tan 22AOD S OA AD x ∆=⋅=，∴tgx x x 2121sin 21 ，即 sin tan x x x <<， 从而有 11sin cos x x x <<或sin cos 1xx x<<.∵ 22201cos 2sin 20(0)222x x x x x +⎛⎫<-=⋅=→→ ⎪⎝⎭，，∴ 1cos lim 0=+→x x ∴ 1sin lim 0=+→xxx 又 1sin lim sin lim 00=---=+-→→t t t x x x t x ∴ 1sin lim 0=→xxx .一般有公式： 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ （表面特性[]sin[]，本质特性“”0）例1 0tan limx x x →=1)cos 1sin (lim 0=⋅→xx x x .例2 0tan sin limx x x →=1)sin sin sin (lim 0=⋅→xxx x tg x .例3 =-→20cos 1lim x x x =→2202sin 2limx x x 2122sin lim 2120=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→x x x . （或者原式＝21)cos 11sin (lim 220=+⋅→x xx x ）. 例4 x x x xxnn n n n n =⋅=∞→∞→22sinlim 2sin2lim ，但 1sin lim ≠∞→xx x .二、1lim 1xx e x →+∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭令t x=1，可得另外一种形式 ()e x x x =+→101lim一般情况，e x h x h x h =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()()(11lim ，()e x x x =+→)(10)()(1lim ϕϕϕ.例1 x x x 21lim 0-→()xx x 1021lim -=→()22210)2(1lim ---→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=e x x x .例2 21)11()11(lim 11lim e e e xx x x x xx xx ==-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→. k xx e x k =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→1lim 例3 1)11()11(lim 11lim 1=⋅=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→+∞→e e xxx xx x xx .或者原式xx x x x --+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)11(lim 10)(lim ===-+∞→e e xxx .例4 已知4lim e c x c x xx =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→，则?=c . 左==c e 2右，所以2=c .§1.7 无穷小的比较三、无穷小的比较已知极限为0的函数为无穷小量，但它们趋于0的快慢程度往往不同，如,03lim 0=→x x ,0sin lim 0=→x x ,0lim 20=→x x但 ,03lim 20=→xx x ,313sin lim0=→x x x ∞=→203lim x xx故有必要比较一下它们的快慢，这里用阶的概念来表示. 1. 定义：设0lim =α，0lim =β 若 0lim=αβ，则称β是比α高阶无穷小，记)(0αβ=； 若 0lim≠=c αβ，则称β与α同阶；若 )0(0lim≠=k k αβ，则称β是α的k 阶无穷小； 若 1lim =αβ，则称β与α等价，记β～α.如：0→x 时，)3(02x x =， x sin 与x 3同阶， x sin ～x2. 等价无穷小在求极限中可作代换以简化计算 定理：若α～'α，β～'β，且''lim αβ存在，则=αβlim ''lim αβ . 证 =αβlim=⋅⋅αααβββ''''lim ''lim αβ .在使用中要注意：（1）要记准一些函数的等价无穷小；（2）代换时要么分子、分母一起换，要么只换分子或者分母，要么代换分子或分母中的部分因子，不可代换加式.0→x 时，x ～x sin ～tgx ～x arcsin ～)1ln(x +～1-x e ～)11(2-+x ，x cos 1-～221x 等.例1 )1ln(11lim 20x x x x +-++→x x x x 2lim 20+=→2121lim 0=+=→x x . 或者原式21)11(lim 22=++++=→x x x x x x . 例2 x x tgx x 30sin sin lim-→0lim 30=-=→xxx x （×）. 应该是 原式=-=→x x x x 20sin cos cos 1lim 21cos 21lim 220=→x x xx . 例3 当0→x 时,x x x tan ,sin ,都是无穷小, 因为1sin lim0=→x x x ,以及1cos 1sin lim tan lim 00==→→xx x x x x x ,所以, 当0→x 时, x ~x sin ~x tan .例4 当0→x 时,1ln )1ln(lim )1ln(lim100==+=+→→e x xx x x x ，1)1ln(lim )1(1lim 00=+=-==-→→u ue u x e u x x x 令.所以, 当0→x 时, x ~)1ln(x +~1-x e . 例5 设α为实数,容易验证,()ln 100(1)11lim lim x x x x e x x αα+→→+--==()()()ln 10ln 11lim .ln 1xx x e x xαααα+→+-=+所以, 当0→x 时, x x αα~1)1(-+.小结1、两个重要极限； 2. 无穷小的比较.作业作业: p24 习题 1.6: 1 (1),(3),(5)；2 (2),(4),(6). p26 习题 1.7: 3，4 (2),(4),(6)，5， 预习：第一章1.8，1.9。
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由 lim f (u ) a , 故 0, 0,
当 0 | u u0 | 时, | f (u ) a | .
当 0 | x x0 | 1 时, | u u0 | | ( x) u0 | .
当 0 | x x0 | 时, 0 | u u0 | ( ( x) u0 ) ,
7. 复合函数的极限计算
定理
, u 是函数 f (u ) 的“自变量” u0 是 u 在定义域内的值.
设 y f ( ( x)) 是由 y f (u ) 及 u ( x) 复合而成 .
ˆ ( x0 ) 内 ( x) u0 , 又有 若 lim ( x) u0 , 且在 U
2 1 1 1 1 x 1 x 1 1.
x
x
lim
x
有理化
例4 解
求
1 1 1 1 lim ( 2 ) n 3 15 35 4n 1
1 4n 2 1 1 1 1 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
5. lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n
6. 若在极限过程中 f ( x ) g ( x ) , 则 lim f ( x ) lim g ( x )
注： 法则 1、3 可推广至有限个函数的情形.
法则6 中 f ( x) g ( x) 换成 f ( x) g ( x) 其极限仍为 lim f ( x ) lim g ( x ) . 由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的 运算法则, 容易证明上述各公式.
求有理分式函数 x x0 的极限时,若分母不 等于零,则可直接代值计算.
例7 解
求 lim (2 x3 x 1) .
x
涉及到两个无穷大量的差
1 3 1 x lim lim 3 0 x 2 x x 1 x 1 1 2 2 3 x x lim (2 x 3 x 1)
有理化
lim( 2 x 2) 2x 2 2 x 2 . lim x 2 5 2 x 3 lim( 5 2 x 3) 3
x2
例3 解
求 lim
lim
x
x 1 ( x 2 x ) . ( ( ) )
x
x 1 ( x 2 x) lim lim x 1 ( x 2 x )( x 2 x ) x2 x 2 x 1 x2 x
u 0
所以,由复合函数求极限法则
lim esin x 1 .
x 0
这类复合函数的极限通常可写成
lim e
x 0 sin x
e
x 0
lim sin x
e0 1 .
例9 解
求 lim x cos x .
x
lim x
x
cos x
lim e
x
cos x ln x
n m
解
n(n 1) 2 n nx x x ( 1 ) 1 n (1 x) 1 2! lim lim x 0 x 0 x x
n(n 1) lim( n x x n 1 ) n x 0 2
第二问怎么做？
(1 x) 1 n 下面证明 lim . x 0 x m
请同学们课后看书中的证明
复合函数的极限
设 y f ( ( x)) 是由 y f (u ) 及 u ( x) 复合而成 .
由极限的概念可知 :
x x0
ˆ ( x0 , ) 时, lim ( x ) u0 , 即 0 , 0 , 当 x U
有 u U(u0 , ) .
2
法则求其极限. ( 通分 )
x 1 2 lim 2 . x 1 x x 1 3
例11
e x 1, x 0 , 问 b 取何值时, 若 f ( x) x b, x 0 lim f ( x) 存在, 并求其值.
x 0
解
x0
lim f ( x ) lim (e x 1) 2 ,
x m (a0 a1 x 1 am x m ) mn lim x G ( x) 原式 lim n 1 n x x (b b x bn x ) x 0 1
a0 mn lim x lim G ( x ) ， 由 x x b0
e
x
lim cos x ln x
e
ln
1
.
这是求幂指函数极限常用的方法:
lim f ( x) ( x ) exp{ lim ( x) ln f ( x) }. 即 lim f ( x) ( x ) lim e ( x ) ln f ( x ) elim ( x ) ln f ( x ) .
又 lim ( x) u0 , 故对上面的 0 , 1 0,
x x0
ˆ ( x0 , 2 ) 中 ( x) u0 , 取 min{1 , 2 }, 则 设在 U
从而, | f (u ) a | .
综上所述：
0, 0, 当 0 | x x0 | 时,
x x0
u u0
lim f (u ) a , 则 lim f ( ( x)) lim f (u ) a .
x x0 u证
由极限的定义, 即要证明： 0, 0, 使当 0 | x x0 | 时, 有 | f ( ( x)) a | | f (u ) a | .
x
利用无穷小量与无穷大量的关系 或者用下面的方法
1 1 lim (2 x x 1) lim x ( 2 2 3 ) x x x x
3
3
例8 解
求 lim esin x .
x 0
因为 x 0 时, u sin x 0 , 而
lim eu 1 ,
令 (1 x )
1 m
n m
变量代换
1 y， 则 y m 1 x 1，
n
m
(1 x ) (1 y ) , x (1 y ) 1，
当 x 0 时, y 0, 故
n m
n y 1 ( 1 ) n n y (1 x) m 1 (1 y ) n 1 lim lim lim m m y 0 (1 y ) 1 x 0 y 0 (1 y ) 1 m x y
0 , 1 , , nm n m， nm
即得所证.
例6 解
3x 3 2 x 2 x 1 求 lim . 2 x2 x 5x 3
3x 3 2 x 2 x 1 lim x2 x 2 5x 3
3 23 2 2 2 2 1 1 6 2 3 2 52 3
例2
5 2x 3 求 lim . x 2 2x 2
x2
解 由于 lim( 2 x 2) 0 , 故不能直接用公式计算 .
5 2x 3 ( 5 2 x 3)( 5 2 x 3)( 2 x 2) lim lim x 2 x 2 ( 5 2 x 3)( 2 x 2)( 2 x 2) 2x 2 (2 x 4)( 2 x 2) lim x 2 ( 5 2 x 3)( 2 x 4)
例13 解
确定常数 a, b 使下式成立 : lim (3 1 x 6 ax 2 b) 0.
x
因为
x
3
1 x 6 ax 2 b x 2 (3 x 6 1 a bx 2 ),
x
而 lim x 2 , 要 lim (3 1 x 6 ax 2 b) 0, 必须 lim (3 x 6 1 a bx 2 ) 0,
| f ( ( x)) a | | f (u ) a |
即 lim f ( ( x)) lim f (u ) a .
x x0 u u0
该定理可以推广到其它几种极限过程中去.
例1 解
(1 x)(1 2 x)(1 3 x) 1 求 lim . x 0 x
1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 15 35 4n 1 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
x0
x0
lim f ( x ) lim ( x b ) b ,
x0
由函数的极限与其左、右极限的关系, 得 b = 2 , lim f ( x) 2 .
x 0
例12
(1 x) n 1 , n N，并由此证明 求 lim x 0 x
(1 x) 1 n lim , 其中, n, mN. x 0 x m
2. lim k f ( x ) k lim f ( x )
( k为常数 )
3. lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x )
f ( x ) lim f ( x ) 4. lim g ( x ) lim g ( x ) ( lim g ( x ) 0 )
1 1 1 2 2n 1
部分分式法
故
1 1 1 1 1 1 1 lim ( 2 ) lim 1 . n 3 15 35 4 n 1 n 2 2 n 1 2