9.6_因式分解(3)--提公因式法、公式法的综合运用
因式分解-提公因式法、公式法的综合运用
• 将$a^2b^2 - 2ab + 1$视为$(ab)^2 2ab + 1^2$，即 $(ab - 1)^2$。
• 因此，原多项式可以 分解为$(ab - 1)^2$ 。
04
注意事项与易错点分析
提公因式法中的易错点
80%
未找全公因式
在提取公因式时，学生可能只关 注到部分项的公因式，而忽略了 其他项的公因式，导致提取不完 全。
因式分解-提公因式法、公式 法的综合运用
目
CONTENCT
录
• 引言 • 公式法 • 提公因式法与公式法的综合运用 • 注意事项与易错点分析 • 练习题与答案解析
01
引言
因式分解的概念
因式分解是把一个多项式分解成几个 整式的乘积的形式。
因式分解是中学数学中重要的恒等变 形之一，它被广泛地应用于初等数学 之中，在求根、化简根式、解一元二 次方程等方面都经常用到因式分解。
找出多项式的公因式。
第二步
提取公因式，将多项式化为两个多项式的积的形式。
提公因式法的应用举例
例1：分解因式 $6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3$。
$6x^3y + 9x^2y^2 - 3xy^3 = 3xy(2x^2 + 3xy - y^2)$
解：观察多项式各项，发现它们 的公共因子是 $x-y$，提取公因
100%
符号处理不当
在提取公因式时，需要注意各项 的符号。若符号处理不当，可能 导致结果错误。
80%
忽视数字系数
在提取公因式时，学生可能会忽 视数字系数的提取，只关注字母 部分，从而导致结果不准确。
公式法中的易错点
公式选择不当
针对不同的多项式，需要选择合 适的公式进行因式分解。若公式 选择不当，可能导致分解失败或
提公因式法、公式法的综合运用
提公因式法、公式法的综合运用学习目标1.进一步熟悉提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式；2.学生能根据不同题目的特点选择较合理的分解因式的方法；3. 知道因式分解的方法步骤：有公因式先提公因式，以及因式分解最终结果的要求：必须分解到多项式的每个因式不能再分解为止；4.通过综合运用提公因式法、运用公式法分解因式，使学生具有基本的因式分解能力.学习重点知道因式分解的步骤和因式分解的结果的要求，能综合运用提公因式法，运用公式法分解因式.自主学习一. 创设情境★比一比，看谁算得快①65.52－34.52②1012－2×101×1＋1③482＋48×24＋1225×552－5×452思考（1）在计算过程中，你用到了哪些因式分解的方法？（2）能用平方差公式、完全平方公式分解因式的多项式有什么特征？（3）计算中③和④能直接用公式吗？思考：（1）你解答上述问题时的根据是什么？（2）第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变形？★想一想：分解因式：①4a4－100 ②a4－2a2b2＋b4思考（1）在解答这两题的过程中，你用到了哪些公式？（2）你认为(2a2＋10)(2a2－10)和(a2－b2)2这两个结果是因式分解的最终结果吗？如果不是，你认为还可以怎样分解？（3)怎样避免出现上述分解不完全的情况呢？探究新知例1.把下列各式分解因式（1）18a2－50 （2）2x2y－8xy＋8y（3）a2(x－y)－b2(x－y)归纳：.例2.把下列多项式分解因式：（1）a4－16 （2）81x4－72x2y2＋16y4归纳：.例3.把下列多项式分解因式：（1）(x2＋2x)2－(2x＋4)2；（2）(a2＋b2)－4a2b2（2）(x2＋2x)2＋2(x2＋2x)＋1 回顾总结：课后延伸：1．辨析分解因式a4－8a2＋16a4－8a2＋16=(a2－4)2=(a＋2)2(a－2)2=(a2＋2a＋4)(a2－2a＋4)这种解法对吗？如果不对，指出错误原因2．多项式①16x5－x ②(x－1)2－4(x－1)＋4 ③(x＋1)4－4x(x＋1)2＋4x2④－4x2－1＋4x分解因式后，结果含有相同因式的是（）A．①②B．③④C．①④D．②③3．填空：请写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式法来分解因式，你编的三项式是，分解因式的结果是．4．把下列各式分解因式（1）3ax2－3ay4（2）－2xy－x2－y2（3）3ax2＋6axy＋3ay2（4）x4－81 （5）x4－2x2＋1 （6）(x2－2y)2－(1－2y)2（7）x4－8x2y2＋16y4 （8）80a2(a＋b)－45b2(a＋b) （9）(x2－2xy)＋2y2(x2－2xy)＋y4 5．已知x＋y=4 ,xy=2 , 求2x3y＋4x2y2＋2xy3的值.分解：(x＋y)2－4(x2－y2)＋4(x－y)2。
初中数学因式分解常见的6种方法和7种应用
因式分解的六种方法及其应用因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．方法一提公因式法题型1 公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1C．3y－4x＋1 D．3y－4x【解析】B2．分解因式：2mx－6my＝__________．【解析】2m(x－3y)3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．题型2公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．方法二公式法题型1直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.题型2 先提再套法6．把下列各式分解因式：(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.题型3 先局部再整体法7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.方法三 分组分解法9．把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．方法四 拆、添项法10．分解因式：x 4＋14. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12)． 方法五 整体法题型1 “提”整体11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．题型2 “当”整体12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.题型3“拆”整体13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．题型4“凑”整体14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．方法六换元法15．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【解析】(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.因式分解的7种应用因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．应用一用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.应用二用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.应用三用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．应用四用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．应用五用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.应用六 用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.应用七 用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法知识精要：一、因式分解的概念1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解因式分解多项式（和差形式） 整式的积（积的形式）整式乘法二、提取公因式法1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数．2、步骤：（1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式．3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积．（2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式．4、提取公因式法应注意的事项：（1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题．二、公式法1、平方差公式： 22()()a b a b a b -=+-2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：例1、下列从左到右的变形哪个是分解因式（ C ）A ．223(2)3x x x x +-=+-； B ．()()ma mb na nb m a b n a b +++=+++；C ．221236(6)x x x -+=-；D ．22()22m m n m mn -+=--．例2、多项式3222315520x y x y x y +-的最大公因式是（ C ）A ．5xy ；B ．225x y ；C ．25x y ；D ．235x y ． 例3、把多项式2(2)(2)m a m a -+-分解因式正确的是（ C ）A ．2(2)()a m m -+；B ．(2)(1)m a m -+；C ．(2)(1)m a m --；D ．2(2)()a m m -+． 例4、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ A ）A ．22a b -+；B ．22a b --；C ．22a b +；D ．33a b -．例5、若2(3)4x m x +-+是完全平方式，则实数m 的值是（ D ）A ．5-；B ．3；C ．7 ；D ．7或1-．例6、若二项式24x +加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（ C ）A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个．例7、无论x 、y 为任何实数，多项式22428x y x y +--+的值一定是（ A ）A ．正数；B ．负数；C ．零；D ．不确定．例8、下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ B ）A ．22m mn n -+；B ．2()4a b ab +-；C ．2124x x -+； D ．221x x +-． 例9、若3a b +=，则222426a ab b ++-的值为（ A ）A ．12；B ．6；C ．3；D ．0． 例10、已知221x y -=-，12x y +=，则x y -= ．（2-） 例11、已知3x y +=，则221122x xy y ++=__________.（92） 例12、已知2226100x y x y +-++=，则x y +=________.（2-）例13、因式分解：（第（1）-（6）用提取公因式法；第（7）-（22）用公式法）（1）-+-41222332m n m n mn ； （2） 3423424281535a b a b a b -+；解：原式222(261)mn mn m n =--+ 解：原式22222(2512)15a b ab b a =-+ （3）322x x x ()()---； （4）412132q p p ()()-+-；解：原式(2)(31)x x =-+ 解：原式22(1)(221)p q pq =--+（5）3122+++--+-m m m m ax acx abx x a ；（6）3225(2)(2)3(2)(2)n n x y x y ----- 解：原式23()m ax ax bx c x =--++ 解：原式2(2)(2)[5103(2)]n nx y x y =-----（7）2249x y -； （8）3282(1)a a a -+；解：原式(23)(23)x y x y =+- 解：原式2(31)(1)a a a =+-（9）44116a b -； （10）224()25()x y x y --+； 解：原式22(14)(12)(12)a b ab ab =++- 解：原式(73)(37)x y x y =-++ （11）42241128a b a b -； （12）2233(27)4x x --； 解：原式221(2)(2)8a b a b a b =+- 解：原式9(6)(6)4x x =+- （13）31()7()7x y x y ---； （14）222(4)16x x +-； 解：原式1()(7)(7)7x y x y x y =--+--解：原式22(2)(2)x x =+- （15）29124a a ++； （16）229312554a ab b -+； 解：原式2(32)a =+ 解：原式231()52a b =-（17）2244ab a b --； （18）2318248a a a -+；解：原式2(2)a b =-- 解：原式22(23)a a =-（19）42816x x -+； （20）(6)9a a ++；解：原式22(2)(2)x x =+- 解：原式2(3)a =+（21）2()10()25m n m n ++++；（22）2222()6()9()a b a b a b ++-+-；解：原式2(5)m n =++ 解：原式24(2)a b =-例14、已知12a b -=，18ab =，求22332a b ab a b -++的值． 解：∵12a b -=，18ab =， ∴2233221112()()8232a b ab a b ab a b -++=-=⨯=例15、应用简便方法计算。
初中中考数学因式分解的九种方法解析
初中中考数学因式分解的九种方法解析初中中考数学因式分解的九种方法解析把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
xx小编整理了初中中考数学因式分解的九种方法，希望能帮助到您。
一、运用公式法我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a^2-b^2=（a+b）（a-b）a^2+2ab+b^2=（a+b）^2a^2-2ab+b^2=（a-b）^2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
二、平方差公式1、式子：a^2-b^2=（a+b）（a-b）2、语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
三、因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
四、完全平方公式1、把乘法公式（a+b）^2=a^2+2ab+b^2 和（a-b）^2=a^2-2ab+b^2反过来，就可以得到：a^2+2ab+b^2=（a+b）^2 和 a^2-2ab+b^2=（a-b）^2，这两个公式叫完全平方公式。
这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a^2+2ab+b^2和a^2-2ab+b^2这样的式子叫完全平方式。
2、完全平方式的形式和特点：①项数：三项；②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同；③有一项是这两个数的积的两倍。
3、当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
4、完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
5、分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
五、分组分解法我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式。
因式分解(三)-- 提公因式法
讲练结合、探索交流
课型
新授课
教具
投影仪
教师活动
学生活动
情景设置：
学生阅读“读一读”后，完成练习
下列由左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解，因式分解用的是哪个公式？
⑴（x+2）（x-2）=x2- 4；
⑵x2- 4=（x+2）（x-2）；
⑶x2– 4 + 3x=（x+2）（x-2）+ 3x；
作业
第92页第2⑶⑷⑸、3题
板书设计
复习例5板演
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……例6……
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教学后记
例题5：把下列各式分解因式：
⑴6a3b–9a2b2c﹢⑵-2m3+8m2-12m
思路点拨：通过例5，教会学生如何找公因式，讲清要决定系数与字母，具体方法加以强调。在提出“一”号后,括到括号里的各项都要变号.
解：⑴6a3b–9a2b2c﹢
=3a2b·2a-3a2b·3bc
=3a2b（2a-3bc）
完成“想一想”，要放手让学生去做
课题
10.5乘法公式的再认识—因式分解
课时分配
因式分解（三）--提公因式法
教学目标
1、理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系
2、了解公因式的概念，掌握提公因式的方法
3、培养学生的观察、分析、判断及自学能力
重点
掌握公因式的概念，会使用提公因式法进行因式分解。
难点
1、正确找出公因式
2、正确用提公因式法把多项式进行因式分解
关键是确定多项式各项的公因式,然后,将多项式各项写成公因式与其相应的因式的积,最后再提公因式,把公因式写在括号外面,然后再确定括号里的因式,这个因式(括号里的)的项数与原多项式的项数相同,如果项数不一致就漏项了.
9.6 因式分解(3)--提公因式法、公式法的综合运用
4.把下列各式因式分解：
(1) 18a2-50 (2) 2x2y-8xy+8y (3) a2(x-y)+b2(y-x)
5.把下列各式分解因式:
(1) a4 -16
(2) 81x4-72x2y2+16y4 (3) (a2 + b2)2 – 4a2b2
(4) (x2-2x)2 +2(x2-2x)+1
(7) x4- 8x2y2+16y4
(8) 80a2(a+b)- 45b2(a+b)
9.利用图形面积因式分解： (1)a2+3ab+2b2 (2)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
思考题：
1.把下列各式分解因式 (1) (x-1)(x-3)+1(2) (2) a2-2ab+b2-c2
2. 232-1可以被10和20之间的某两个数 整除，求这两个数.
D.பைடு நூலகம்个
3.填空： (1)若x2-kx+16是完全平方式，则k= ±8 ; 1 2 2 x xy my 2 能用完全平方公式分 (2)若 9 3 解因式，则m= 1 ; 2+1中添加单项式 ±4a或4a4 (3)在多项式4a , 使它是完全平方式。(填一个即可) (4)已知a,b是△ABC的两边长，且满足 a2+b2-2ab=0，则△ABC的形状 是 等腰 三角形。
整体思想
7.已知，如图，4个圆的半径都为a，用 代数式表示其中阴影部分的面积，并 求当a=10,π取3.14时阴影部分的面积.
8.把下列各式分解因式:
(1) 3ax2 -3ay4
(3) 2ax2+4axy+2ay2 (5) (x2-2y)2- (1-2y)2
因式分解(提公因式、公式法)
精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：初一 课 时 数：3学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：授课类型 C 提取公因式法 C 公式法 C 能力提升授课日期时段教学内容1. 理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系；2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式；3. 掌握公式法分解因式.一、有关概念：1.把一个多项式化为几个整式的积德形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式.3.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法.4.提取的公因式应是各项系数最大的公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积.5.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法.提取公因式法教学目标知识点睛二、 提取公因式的步骤：“一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式；“二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式.题型一、因式分解概念：【例】下列变形是因式分解的是 ( )A ．()()2111x x x +-=-B ．221139342a a a ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭C ．()25656x x x x -+=-+D ．()()ax ay bx by a x y b x y +++=+++【巩固】判断下列各式哪些是多项式的因式分解？哪些不是？为什么？（1）2(3)(3)9x x x +-=- （2）42225(5)(5)m m m -=+-（3）232(3)2x x x x +-=+- （4）42242222()a a b b a b -+=-题型二、提公因式：【例】（1）2abc abd a b +- （2）155ax xy --（3）()()223x a b b a -+- （4）34256686a x a x ax -+ （5）32524491836a x a x a b -- （6）542563286a b a x ax -+（7）32524491836a x a x a x -- （8）543527321624a b a b a b -+ 例题精讲（9）()()x a b y b a -+- （10）1m m a a +-（11）()()a m n b n m --- （12）()()p x y q y x ---（13） 542646816a x a x ax -+【巩固】（1）155ax xy +； （2）155ax xy -； （3）155ax xy -+； （4）155ax xy --（5）32a a a ++； （6）1m m a a+- （7）34256686a x a x ax -+ （8）()()22x a b a b -+-【巩固】（1）23432243a b c a b c a b c +- （2）54352321624a b a b a b -+（3）876563273a a a a +-- （4）333324243234x y z x y z x y z x y z --+-（5）()()23a p q a q p --- （6）()()3226181p x p x --- （7）()()211a a a --- （8）()()()22a b a b a b -+--题型三、利用提公因式法简化计算过程：【例】计算1368987521136898745613689872681368987123⨯+⨯+⨯+⨯【巩固】利用因式分解方法计算：（1）72.56553656530.56521⨯-⨯-⨯+⨯ (2) 7.6×200.1+4.3×200.1-1.9×200.1(3) 1011-5×109题型四、在多项式恒等变形中的应用：【例】不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。
七年级数学下册《综合运用提公因式法和公式法进行因式分解》优秀教学案例
1.创设生活化的情境，引导学生从实际问题中发现并提出因式分解的需求。
2.采用小组合作、讨论交流等形式，激发学生的主动参与意识，培养合作能力。
3.提供典型例题，引导学生通过自主探究、总结规律，掌握因式分解的方法。
4.根据学生的个体差异，给予有针对性的指导，使学生在掌握知识的过程中，形成适合自己的学习方法。
3.精心设计课堂提问，引导学生主动思考、总结规律，提高课堂互动效果。
（三）小组合作
小组合作策略如下：
1.将学生分成若干小组，每组选出一个负责人，负责组织讨论和汇报成果。
2.设计具有合作性的学习任务，引导学生通过小组讨论、交流，共同完成因式分解的任务。
3.教师巡回指导，关注各小组的学习情况，及时提供帮助，促进小组内部的合作与交流。
在教学过程中，我们将结合教材中的典型例题，以生活化的情境引入，激发学生的学习兴趣。通过小组合作、讨论交流等形式，鼓励学生主动探索、发现规律，培养其逻辑思维和问题解决能力。此外，注重个体差异，针对不同学生的学习需求，提供有针对性的指导和帮助，使他们在掌握知识的同时，也能感受到数学学习的乐趣和成就感。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解的基本步骤和应用技巧。
2.能够综合运用提公因式法和公式法解决实际数学问题，提高因式分解的能力。
3.理解因式分解在简化多项式运算、解决方程等方面的实际意义和价值。
4.学会通过观察、分析、归纳等方法，发现数学规律，培养逻辑思维和抽象思维能力。
（二）过程与方法
3.鼓励学生提出自己在学习过程中遇到的困难和问题，共同探讨解决方法。
（五）作业小结
1.布置适量的作业，包括基础题和提高题，巩固所学知识。
因式分解方法：提公因式法与公式法
因式分解方法：提公因式法与公式法因式分解即和差化积，其最后结果要分解到不能再分为止。
而且可以肯定一个多项式要能分解因式，则结果唯一，因为：数域F 上的次数大于零的多项式f(x),如果不计零次因式的差异，那么f(x)可以唯一的分解为以下形式：f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次项的系数，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可约多项式，并且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。
（*）或叫做多项式f(x)的典型分解式。
证明：可参见《高代》P52-53初等数学中，把多项式的分解叫因式分解，其一般步骤为：一提二套三分组等要求为：要分到不能再分为止。
因式分解方法介绍1、提公因式法如果多项式各项都有公共因式，则可先考虑把公因式提出来，进行因式分解，注意要每项都必须有公因式。
例15x3+10x2+5x解析显然每项均含有公因式5x故可考虑提取公因式5x，接下来剩下x2+2x+1仍可继续分解。
解：原式=5x(x2+2x+1)=5x(x+1)22、公式法即多项式如果满足特殊公式的结构特征，即可采用套公式法，进行多项式的因式分解，故对于一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，数学竞赛中常出现的一些基本公式现整理归纳如下：a2-b2=(a+b)(a-b)a2±2ab+b2=(a±b)2a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n为奇数)说明由因式定理，即对一元多项式f(x)，若f(b)=0，则一定含有一次因式x-b。
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小结:
分解因式一般步骤是什么？ 分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式. 2.分解的结果一定是几个整式的 乘积的形式. 3.要分解到不能分解为止.
3.填空： (1)若x2-kx+16是完全平方式，则k= ±8 ; 1 2 2 2 x xy my (2)若 9 能用完全平方公式分 3 解因式，则m= 1 ; 4 2 ± 4a 或 4a (3)在多项式4a +1中添加单项式 , 使它是完全平方式。(填一个即可) (4)已知a,b是△ABC的两边长，且满足 a2+b2-2ab=0，则△ABC的形状 是 等腰 三角形。
归纳总结：
因式分解一般步骤: ①若多项式各项有公因式，则先提取公 因式； ②若多项式各项没有公因式，则根据多 项式特点，选用平方差公式或完全平方 公式。
注意事项：每一个多项式中的因式都是 分解到不能再分解为止
达标检测
把下列各式因式分解
(1) 3ax2 -3ay4
(2) 2ax2+4axy+2ay2
9.6 因式分解（三）
提公因式法、公式法的综合运用
复习回顾：
1、什么叫因式分解？ 把多项式分解成几个整式的乘积的形式 2.我们学过哪些因式分解的方法？ 提公因式法、公式法
a b a b a b
2 2 2
a b 2ab a b
2
2
因式分解
1x 2 y xy 2
解：(1)-2x4+32x2
=-2x2· x2-2x2· (-16) =-2x2(x2-16)
解：(2)3ax2-6axy+3ay2
=3a· x2-3a· 2xy+3a· y2 =3a(x2-2xy+y2) =3a(x-y)2
=-2x2(x+4)(x-4)
注意 ：必须分解到每个多项 式因式不能再分解为止
(3) 80a2(a+b)- 45b2(a+b)
1 3ax y 2 x y 2 2 2ax y 2 3 5a b16a 2 9b 2 5a b4a 3b4a 3b
答案
分组法因式分解
你能把下列各式分解因式吗？
1 2 2 9 x 16 1 2 3 y y 1 4
思考
1 2 x 4 32x 2 2 2 23ax 6axy 3ay
注意： 因式分解时，如各项中含 公因式，应先提公因式，然后再 用公式法因式分解
例3 把下列各式因式分解： (1)-2x4+32x2 (2)3ax2-6axy+3ay2
解：原式=(x2-y2)+(3x-3y)
解：原式=x2-2x+1-4y2 =(x-1)2-(2y)2
=(x+y)(x-y)+3(x-y)
=(x-y)(x+y+3)
=(x-1+2y)(x-1-2y
先拆项再组合
因式分解
(1)a2+3ab+2b2 (2)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
6.(1)已知2x+y=6,x-3y=1, 求14y(x-3y)2 –(3y-x)3的值。 (2)已知a+b=5,ab=3, 求a3b+2a2b2+ab3的值。
Hale Waihona Puke 能力提升（1） 50n 20n
x y 2nx y
2
（2） m
a 2b2 m2a b2
巩固训练
把下列各式因式分解： (1) 18a2-50 (2) 2x2y-8xy+8y (3) a2(x-y)+b2(y-x)
1 23a 53a 5 2 2 2 yx 2 y 3 x y a b a b
整体思想
思考题：
1.把下列各式分解因式 (1) (x-1)(x-3)+1(2) (2) a2-2ab+b2-c2
2. 232-1可以被10和20之间的某两个数 整除，求这两个数.
3.有一条20厘米长的镀金彩边剪成两段， 恰好可用来镶两张大小不同的正方形 壁画的边（不计接头处），已知两张 壁画的面积相差20平方厘米，问这条 彩边应剪成多长的两段？