2.3 几种特殊矩阵
各种矩阵的概念
各种矩阵的概念矩阵是现代数学的一个基本概念，广泛应用于线性代数、微积分、概率论、统计学等领域。
它是由若干行和列组成的一个矩形阵列。
在这篇文章中，我将介绍矩阵的基本概念和一些常见的矩阵类型。
一、基本概念1.1 元素：矩阵中每个所在行列交叉点上的数称为元素。
常用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。
1.2 阶数：矩阵的行数和列数称为矩阵的阶数。
如果一个矩阵有m行n列，记作m×n的矩阵，其中m和n分别表示矩阵的行数和列数。
1.3 主对角线：一个方阵从左上角到右下角的斜线称为主对角线。
1.4 零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
二、特殊类矩阵2.1 方阵：行数和列数相同的矩阵称为方阵。
它可以表示线性变换、线性方程组等。
2.2 对称矩阵：主对角线两侧的元素相等的方阵称为对称矩阵。
如果一个矩阵A 满足A_ij=A_ji，其中A_ij表示第i行第j列的元素，A_ji表示第j行第i列的元素，则称矩阵A为对称矩阵。
2.3 反对称矩阵：主对角线上的元素为零，且A_ij=-A_ji的方阵称为反对称矩阵。
2.4 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为零的方阵称为单位矩阵，用I表示。
例如，3×3的单位矩阵是[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]。
2.5 对角矩阵：主对角线以外的元素全部为零的方阵称为对角矩阵。
例如，一个对角矩阵可以表示特定向量的缩放因子。
2.6 上三角矩阵：主对角线以下的元素全部为零的方阵称为上三角矩阵。
例如，一个上三角矩阵的所有元素在主对角线和主对角线上方。
2.7 下三角矩阵：主对角线以上的元素全部为零的方阵称为下三角矩阵。
例如，一个下三角矩阵的所有元素在主对角线和主对角线下方。
三、矩阵运算3.1 矩阵的加法：相同阶数的两个矩阵相加，只需将对应位置上的元素相加。
3.2 矩阵的数乘：一个矩阵中的每个元素都乘以一个常数，结果仍然是一个矩阵。
常用的特殊矩阵
常用的特殊矩阵矩阵在数学和工程领域中具有重要的应用价值。
除了常规的矩阵外，还存在一些特殊的矩阵形式，它们具有独特的性质和应用。
本文将介绍一些常用的特殊矩阵，包括对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、单位矩阵、零矩阵和方阵。
1. 对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
主对角线上的元素可以是任意值。
对角矩阵在线性代数中有广泛的应用，例如求解线性方程组、矩阵的特征值等。
对角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
2. 上三角矩阵上三角矩阵是指除了主对角线及其以上的元素外，其余元素都为零的矩阵。
上三角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值。
上三角矩阵在计算机科学和数学中都有重要的应用，例如求解线性方程组、矩阵的LU分解等。
上三角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
3. 下三角矩阵下三角矩阵是指除了主对角线及其以下的元素外，其余元素都为零的矩阵。
下三角矩阵的主对角线上的元素可以是任意值。
下三角矩阵在计算机科学和数学中也有重要的应用，例如求解线性方程组、矩阵的LU分解等。
下三角矩阵具有良好的性质，例如可以进行快速的矩阵乘法运算。
4. 对称矩阵对称矩阵是指矩阵的转置等于自身的矩阵。
换句话说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。
对称矩阵在数学和物理学中有广泛的应用，例如求解线性方程组、特征值问题、二次型等。
对称矩阵具有很多重要的性质，例如所有的特征值都是实数，特征向量可以正交等。
5. 反对称矩阵反对称矩阵是指矩阵的转置的相反数等于自身的矩阵。
换句话说，反对称矩阵的元素关于主对角线对称且元素为相反数。
反对称矩阵在数学和物理学中也有广泛的应用，例如旋转、刚体运动等。
反对称矩阵的特征值具有特殊的性质，例如如果矩阵的维度是奇数，则至少存在一个特征值为零。
6. 单位矩阵单位矩阵是指主对角线上的元素都为1，其余元素都为零的矩阵。
单位矩阵在线性代数中有重要的作用，它在矩阵乘法中起到类似于数字1的作用。
自考《线性代数》(经管类)教学大纲
自考《线性代数》（经管类）教学大纲课程代码：04184 总学时：33学时一、课程的性质、目的、任务：《线性代数》是以变量的线性关系为主要研究对象的数学学科。
该课程介绍行列式，矩阵，线性方程组，二次型等有关的概念，理论及方法。
本课程不仅是许多后续相关学科的理论基础，同时也是科学技术和经济管理领域的重要数学工具。
内容的抽象性，逻辑的严密性是《线性代数》的基本特点，在教学过程中应特别注意对学生抽象思维，逻辑思维以及归纳推理能力的培养。
通过本课程的教学，要求学生对基本概念，基本理论和重要方法有正确的理解，并能比较熟练地掌握和应用。
通过本课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生处理问题的初步能力。
另外通过本课程的学习，为学生学习后续课程和进一步深造以及今后工作奠定必要的数学基础。
二、课程教学的基本要求：教学要求由低到高分三个层次，有关定义、定理、性质、特征概念的内容为“知道、了解、理解”；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”。
三、教学内容第一章行列式学时：4学时（讲课3学时）本章讲授要点：行列式的概念和基本性质、行列式的计算、行列式按行（列）展开定理、克莱默法则。
重点：行列式的计算、克莱默法则难点：行列式的计算、克莱默法则。
教学内容：§1.1 二阶、三阶行列式§1.2 n阶行列式§1.3 行列式的性质§1.4 行列式按行（列）展开§1.5克莱默法则教学基本要求：1．理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会用行列式的性质证明和计算有关问题。
2．熟练掌握通过三角化计算行列式的方法。
3．理解子式，余子式，代数余子式的定义，熟练掌握按某行（或某列）展开行列式，会应用展开定理计算和处理行列式。
4．了解“克莱默”法则的条件和结论，掌握判别齐次方程组有非零解的条件。
第二章矩阵学时：6学时（讲课4学时）本章讲授要点：矩阵的概念，几种特殊矩阵，矩阵的运算，矩阵可逆的充分必要条件，求逆矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩。
线性代数中的特殊矩阵分类
线性代数中的特殊矩阵分类线性代数是数学中一门重要的学科，其中矩阵是其中的一个核心概念。
矩阵作为一种数学工具在实际应用中有着非常广泛的应用。
由于矩阵具有一些重要的性质，因此矩阵可以根据这些性质进行分类，其中特殊矩阵是线性代数中常见的一个概念。
1. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它的转置矩阵与它本身相等，即A = A^T。
对称矩阵具有很多重要的性质，可以应用于广泛的领域。
例如，在椭圆偏微分方程中，对称矩阵的证明可以被用来证明谱定理；在统计学中，协方差矩阵是对称矩阵，用于描述变量之间的关系。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊的矩阵类型。
上三角矩阵的所有下方元素都为0，下三角矩阵的所有上方元素都为0。
上下三角矩阵继承了其自身的性质。
上三角矩阵通常在求解线性方程组时用到，因为它可以轻松找出未知数。
上三角形式可以通过高斯消元算法来实现，这样，矩阵可以在O（n ^ 3）时间内求解。
3. 稀疏矩阵稀疏矩阵是一种非常特殊的矩阵。
如果矩阵中有大量元素值为0，则称该矩阵稀疏。
稀疏矩阵经常出现在一些实际应用和大型数据集中。
例如，社交媒体网站会生成巨量的关系矩阵，并且相互之间共享数据是非常常见的。
但是，在这个关系矩阵中，大多数元素的值都为0，因为人们只能与一小部分人进行交互。
稀疏矩阵可以通过一些优化算法来处理。
例如，压缩稀疏行（CSR）格式就是一种处理稀疏矩阵的算法，该算法将稀疏矩阵压缩为一个矩阵。
这个格式可以使得矩阵的计算变得非常高效，并且存储空间也可以大大减少。
总之，矩阵作为线性代数的核心概念，在实际应用中有着广泛的应用。
特殊矩阵是其中非常重要的一个概念，这些特殊矩阵都具有一些独特的性质，在实际应用中有着非常广泛的应用。
对于一个数学学习者来说，对于这些矩阵的掌握是十分必要的。
2-3几种特殊的矩阵
a21 an1 a22 an 2 AT a2 n ann
n 1
所以 A A A ，又：
T
A aij Aij a 0 ，且 A A
*
n
，
j 1
j 1
信息系 刘康泽
故
A
n 1
A A
n2
1 A 1。
信息系 刘康泽
信息系 刘康泽
第2-3节 几种特殊的矩阵
信息系 刘康泽
一、对角矩阵
【定义】如果 n 阶矩阵 A (aij )nn 的非主对角线元素
aij 0 , (i , j 1, 2, , n, i j ) ，则称 A 为 n 阶对角阵。
常简记：
a11 a22 diag a , a , , a A 11 22 nn ann
则
2 0 A B 0 0
3 1 0 0
3 4 0 0
4 1 1 6 9 0 2 7 8 5 。 ， AB 0 0 1 4 0 2 0 0 0 1
信息系 刘康泽 四、对称阵与反对称阵 T A A， 【定义】如果 n 阶矩阵 A (aij )nn 满足
a11 b11 b11 a11 a22 b22 b22 a22 ann bnn bnn ann
a11b11 a22b22 ann bnn
或满足 aij a ji （i，j= 1,2,…,n）则称 A 为对称矩阵。
显然： （1）对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等； （2）两个对称矩阵的和（差）仍是对称矩阵； （3）数k与对称矩阵的乘积仍是对称矩阵。 【注】两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵。
特殊矩阵知识点总结归纳
特殊矩阵知识点总结归纳一、特殊矩阵的定义在线性代数中，矩阵是一个非常重要的概念，它是一个按照矩形排列的数的集合。
特殊矩阵是指具有特殊性质的矩阵，这些特性可以是对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、正交矩阵等。
1. 对角矩阵对角矩阵是一种形式特殊的矩阵，它的非对角元素都是零。
具体来说，一个n×n的矩阵A 是对角矩阵，当且仅当a_ij=0，i≠j。
对角矩阵的特点是计算简单，特殊类型的特殊矩阵可以大大简化计算过程。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵上三角矩阵和下三角矩阵也是特殊矩阵的一种。
上三角矩阵是指所有主对角线以下的元素都为零的矩阵，而下三角矩阵是指所有主对角线以上的元素都为零的矩阵。
这两种矩阵的特点是对称性很强，可以简化矩阵的运算过程。
3. 对称矩阵对称矩阵是一种特殊的矩阵，它满足a_ij=a_ji。
也就是说，对称矩阵的元素关于主对角线对称。
对称矩阵具有许多特殊的性质，比如它的特征值都是实数，对应不同的特征值的特征向量是正交的等。
4. 正交矩阵正交矩阵是指满足Q^T·Q=I的方阵Q，其中Q^T表示Q的转置矩阵，I表示单位矩阵。
正交矩阵的特点是它的列向量是正交的，也就是说，Q^T·Q=I意味着Q的列向量正交。
正交矩阵在旋转、变换等领域有着广泛的应用。
二、特殊矩阵的性质特殊矩阵具有许多特殊的性质，这些性质使得它们在科学计算、工程学和物理学等领域中有着广泛的应用。
1. 对角矩阵的性质对角矩阵的特点是它的非对角元素都是零，这使得它的计算非常简单。
对角矩阵的特征值就是它的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。
此外，对角矩阵具有可逆性，只要对角线上的元素不全为零，对角矩阵就是可逆的。
2. 上三角矩阵和下三角矩阵的性质上三角矩阵和下三角矩阵都具有可逆性，只有主对角线上的元素不为零，它们就是可逆的。
此外，上三角矩阵和下三角矩阵的特征值就是它们的对角线上的元素，而特征向量就是标准基的元素。
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其运用摘要分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。
对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。
有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，讨论了分块矩阵的初等变换，接着介绍了分块初等矩阵及其性质，最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用，包括在在行列式计算中的应用，在证明矩阵秩的问题中的应用，在矩阵求逆问题中的应用，在解线性方程组问题中的应用，在线性相关性及矩阵分解中的应用，在特征值问题中的应用，在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。
大量的例体现了矩阵分块法的基本思想，说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化，所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词矩阵分块矩阵初等变换应用Block Matrix and its ApplicationAbstract:Matrix is an important concept in high algebra，it's often used to deal with high order matrix and it's an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time，it makes the structure of the original matrix look simple and clear，so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.At the beginning，this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix，then，it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary block matrix and it's natures.At last，it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds，including the use in the calculation of determinant，the testify of the problem of the rank of matrix，the answer of the inverse of matrix，the answer of system of linear equations，the linear correlation and the dividing of matrix，the problem of the eigenvalue，the similar matrix and Contract matrix and so on.A lot of example shows the basic theory of block matrix，It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Key words: matrix block matrix elementary transformation application目录1前言 (1)2分块矩阵 (1)2.1分块矩阵的定义 (1)2.2分块矩阵的运算 (2)2.2.1加法 (2)2.2.2数乘 (2)2.2.3乘法 (2)2.2.4转置 (4)2.3两种特殊的分块矩阵 (4)2.3.1分块对角矩阵 (4)2.3.2分块上（下）三角形矩阵 (5)2.4两种常见的分块方法 (6)2.5分块矩阵的初等变换 (7)2.6分块初等矩阵及其性质 (7)3分块矩阵的应用 (8)3.1在行列式计算中的应用 (9)3.2在证明矩阵秩的问题中的应用 (17)3.3在逆矩阵问题中的应用 (25)3.3.1解线性方程组法 (26)3.3.2初等变换法 (27)3.3.3三角分解法 (29)3.4在解线性方程组问题中的应用 (30)3.4.1齐次线性方程组 (30)3.4.2非齐次线性方程组 (31)3.5在线性相关性及矩阵分解中的应用 (34)3.5.1关于矩阵列（行）向量的线性相关性 (34)3.5.2矩阵的分解 (34)3.6在特征值问题中的应用 (35)3.7分块矩阵在相似问题中的应用 (37)3.8分块矩阵在合同问题中的应用 (38)3.9分块矩阵在矩阵分解中的应用 (40)3.10分块矩阵的其他应用 (41)4结束语 (42)参考文献 (43)致谢 (44)1 前言矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。
线性代数-特殊矩阵
例3 设 A2 A, E 是单位矩阵，证明：
( A E )m E (2m1 1) A
其中, m是正整数. 证 A,E相乘可以交换，由二项式定理有：
( A E )m
0 1 2 m 1 m Cm Am Cm Am 1 Cm Am 2 Cm A Cm E
2.2
几种特殊的矩阵
• 对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵 • 上(下)三角形矩阵 • 对称矩阵和反对称矩阵 • 幂等矩阵，幂幺矩阵和幂零矩阵
一、对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵
1.对角矩阵 形如
a1 a2 的方阵称为对角矩阵． an nn
【注】 1o A ( aij )nn 为对角矩阵 aij=0(i≠j，i,j=1,2,…,n)
1 0 0 1 例2 设 A 0 0 0 , B 3 1 1 1 , 0 0 1 1
验证A,B都是幂等矩阵． 解
1 0 0 1 0 0 1 2 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 B 2 3 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 B 1 0 0 0 0 A 0 1 1 1 1 3 1 1 1 1
0 a22 an 2 0 0 的方阵称为下三角矩阵． ann
2.下三角形矩阵
【注】A为上三角阵
aij=0, i＞j ( i, j=1,2,…,n)； A为下三角阵 aij=0, i＜j ( i, j=1,2,…,n)．
三、对称矩阵和反对称矩阵
0 1 2 m 1 m Cm A Cm A Cm A Cm A Cm E
2.2几种特殊矩阵
例2
已知Ann 满足例3
b c a b a d 已知 A c d a d c b
d c ,求 A b a
四、对称与反对称矩阵
• 定义6. T 设矩阵 An , 若 A A, 则称 An 为对称矩阵, 即
若A, B为同阶上（下）三角矩阵， k R，l Z ，则A B，kA，AB， A 均为上（下）三角矩阵。
l
二、对角矩阵
定义2. 主对角线以外元素全为0的方阵称为 对角矩阵。
在 A (aij )nn 中, 若 aij 0 (i j ), 则称 An 为对角矩阵, 记
a11 0 0 a22 A diag(a11 , a22 ,, ann ) 0 0
三、单位矩阵
• 定义4. 主对角线上元素全为1，其他元素全 为0的方阵称为单位矩阵。
Em Amn Amn En ( EA AE ) 若A aE , 有AB aEB aB aBE BA
• 定义5. 若AB=BA，则称A、B是可交换的。
2 1 4 1 1 2 1 4 1 1 5 8 0 2 5 8 0 2 1 1 1 3 7 33 34 1 1 3 7 34
ka11 ka22 kA kann
a11l Al
a22 l
l ann
a11b11 a b 22 22 AB ann bnn
定义3. 若对角矩阵中主对角线上元素都相等， 则称之为数量矩阵。
性质. 对称、反对称矩阵的和、数乘仍为 对称、反对称矩阵。
例4
数据结构之特殊矩阵
数据结构之特殊矩阵特殊矩阵在数据结构中是一个重要的概念，它是一种具有特定性质的矩阵，可以帮助我们解决很多实际问题。
在本文中，我将介绍几种常见的特殊矩阵，并说明它们的结构和用途。
一、对称矩阵对称矩阵是指矩阵的第i行第j列元素等于第j行第i列元素的矩阵。
对称矩阵的主对角线上的元素对称于矩阵的副对角线上的元素。
对称矩阵在图论、物理学和金融学领域有广泛的应用。
例如，在图论中，对称矩阵常用于表示图的邻接矩阵。
二、上三角矩阵上三角矩阵是指矩阵的下三角部分全为0的矩阵。
上三角矩阵可以有效地节省内存空间，并且在矩阵乘法和矩阵求逆等运算中具有重要的作用。
在线性代数中，上三角矩阵常用于解线性方程组和计算特征值等问题。
三、下三角矩阵下三角矩阵是指矩阵的上三角部分全为0的矩阵。
和上三角矩阵一样，下三角矩阵也可以节省空间并且在矩阵运算中有重要的应用。
在数值分析中，下三角矩阵常用于求解线性方程组和计算矩阵的特征值。
四、稀疏矩阵稀疏矩阵是指矩阵中绝大部分元素为0的矩阵。
稀疏矩阵在图论、网络分析和机器学习等领域有广泛的应用。
由于稀疏矩阵的元素非常稀少，因此可以有效地压缩存储和加速计算过程。
在处理大规模数据时，稀疏矩阵的优势更加明显。
五、对角矩阵对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为0的矩阵。
对角矩阵在线性代数和微分方程等领域有广泛的应用。
由于对角矩阵的特殊结构，其乘法和逆运算非常简单，可以提高计算效率。
六、压缩矩阵压缩矩阵是一种用于存储稀疏矩阵的数据结构。
常见的压缩矩阵包括行压缩矩阵、列压缩矩阵和坐标压缩矩阵。
压缩矩阵可以提高稀疏矩阵的存储效率，并且可以支持基本的矩阵运算。
总结起来，特殊矩阵是指具有一定特性的矩阵，包括对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、稀疏矩阵、对角矩阵和压缩矩阵等。
这些特殊矩阵在不同的领域和问题中有广泛的应用，能够提高存储效率和计算效率，对于处理大规模数据和复杂计算任务具有重要的作用。
因此，了解和熟悉特殊矩阵的结构和特点对于数据结构的学习和实践非常重要。
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【例1】已知A是n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵, 证明:AB+BA是反对称矩阵. 证明: ∵
∴ A′ = A , B ′ = B ( AB + BA ) ′ = ( AB ) ′ + ( BA ) ′
= B′A′ + A′B′
证明:两三角矩阵积
a11 0 A= 0 a12 a1n b11 b12 a22 a2 n 0 b22 ,B = 0 ann 0 0 b1n b2 n bnn
令: C = AB 而: Cij = ∑ aik bkj
k =1 n
若: = 1, 2 n)
则称A为n阶对称矩阵.若n阶方阵B中的元素满足
bij = b ji (i, j = 1, 2 n)
则称B为n阶反对称矩阵. n阶对称矩阵
a11 a12 A = a13 a 1n a12 a 22 a 23 a2n a13 a 23 a 33 a3n a1n a2n a3n a nn
0 1 2 A2 = 1 0 1 2 1 0
对称矩阵
0 2 B1 = 2 0 ,
反对称矩阵
对称矩阵与反对称矩阵的性质:
(1)同阶对称矩阵(反对称矩阵)的和,差仍为 对称矩阵(反对称矩阵) (2)数与对称矩阵(反对称矩阵)的乘积仍为 对称矩阵(反对称矩阵) (3)两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵. 例如
= E 2 BB ′ = A
故 A为对称矩阵
�
§23 几种特殊的矩阵
一,对角矩阵
定义210 若n阶方阵A中的元素满足 定义
aij = 0 (i ≠ j , i , j = 1, 2, , n ),
则称A为对角矩阵.
a11 0 A= 0 0 0 a22 0 0 ann
即
对角矩阵
对角矩阵的性质:
1,同阶对角矩阵的和,差,积仍为对角矩阵 2,数t与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵 3,对角矩阵的转置仍为对角矩阵且与原矩阵相同
定义212 若n阶方阵 A = (a ij ) 中的元素满足 定义
a ij = 0, i > j ( i , j = 1, 2, , n )
三,三角矩阵
则称A为上三角矩阵.若n阶方阵 B = bij 中的元 素满足 bij = 0, i < j (i, j = 1, 2, , n) ,则称B为下 三角矩阵. 上三角矩阵
n阶反对称矩阵
0 b12 B = b13 b 1n b12 0 b23 b2 n b13 b23 0 b3 n b1n b2 n b3 n 0
例如
1 2 A1 = 2 0 ,
1 1 2 A2 = 1 0 1 2 1 3
二,数量矩阵
定义211 若对角矩阵A中的对角线元素满足 定义 aii = a (i = 1, 2, , n ), 则称A为数量矩阵.
即
0 0 a 0 a 0 A= 0 0 a
= aE
数量矩阵
性质:用数量矩阵左乘或右乘(如果可乘)一个 矩阵的结果,等于用一个数乘于该矩阵 即若 A = aE n为一数量矩阵, B为m×n矩阵 则: = BaE = aBE = aB BA
= ( B ) A + A( B )
= ( BA + AB )
= ( AB + BA )
故 AB+BA是反对称矩阵
【例】 设 A = E 2BB′ 其中E为n阶单位矩阵, B为 n×1列矩阵,证明A为对称矩阵 证明:
∵ A ′ = ( E 2 B B ′) ′ = E ′ ( 2 B B ′) ′ = E 2( B ′)′ B ′
Cij = ai1b1 j + + aii bij + + ain bnj = ( ai1b1 j + ai 2b2 j + + aij b jj ) + ( aij +1b j +1 j + + ain b ) = 0+0 = 0
四,对称矩阵与反对称矩阵
定义213 若n阶方阵A 中的元素满足 定义
a11 0 A= 0 a12 a 22 0 a1n a2n a nn
( )
下三角矩阵
b11 b 21 B = b n1 0 b 22 bn 2 0 0 b nn
三角矩阵的性质:
(1) 同阶上(下)三角矩阵的和,差,积仍为上(下)三 角矩阵. (2) 数与上(下)三角矩阵的乘积仍为上(下)三角矩阵. (3)上(下)三角矩阵的转置为下(上)三角矩阵