第8章立体几何专题4 垂直的证明常考题型专题练习——【含答案】

1垂直的证明【方法总结】1、证明线面垂直的方法：①利用线面垂直定义：如果一条直线垂直于平面内任一条直线，则这条直线垂直于该平面；②用线面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③用线面垂直性质：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也必垂直于这个平面．2、证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．3、证明面面垂直一般要先找到两个面的交线，然后再在两个面内找能与交线垂直的直线，最后通过证明线面垂直证明面面垂直。

【分类练习】考向一 线面垂直例1、在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，1AB BC ==，2DC =，点E 在PB 上求证：CA 平面PAD；【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】(1)过A作AF⊥DC于F,则CF=DF=AF,所以∠DAC=90°,即AC⊥DA，又PA⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，所以AC⊥PA，因为PA、AD⊂面PAD，且PA∩AD=A，所以AC⊥平面PAD.例2、如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.11（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；解析：（1）由已知得，11B C ⊥平面11ABB A ，BE ⊂平面11ABB A ，故11B C ⊥BE ．又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C ．例3、如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点C 1B 1A 1GFE DCBA求证：AC ⊥平面BEF ；1【解析】(1)在三棱柱111ABC A BC -中，∵1CC ⊥平面ABC ， ∴四边形11A ACC 为矩形．又E ，F 分别为AC ，11A C 的中点， ∴AC ⊥EF ． ∵AB BC =． ∴AC ⊥BE ， ∴AC ⊥平面BEF ．例4、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，12BC CD AD ==.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAB ；【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥PA .在直角梯形ABCD 中，12BC CD AD ==，由题意可得2AB BDBC==，所以222AD AB BD=+，所以BD AB⊥.因为PA AB A=，所以BD⊥平面PAB.【巩固练习】1、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D 是B1C1的中点．证明：A1D⊥平面A1BC；【答案】见解析【解析】证明：设E为BC的中点，连接A1E，AE.由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.11因为AB ＝AC ，所以AE ⊥BC.故AE ⊥平面A 1BC.连接DE ，由D ，E 分别为B 1C 1，BC 的中点，得DE ∥B 1B 且DE ＝B 1B，从而DE ∥A 1A 且DE ＝A 1A ，所以AA 1DE 为平行四边形．于是A 1D ∥AE. 因为AE ⊥平面A 1BC ，所以A 1D ⊥平面A 1BC.2．（2019·上海格致中学高三月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（1）证明：PA ∥平面EDB ； （2）证明：PB ⊥平面EFD .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）设AC 与BD 相交于O ，连接OE ，由于O 是AC 中点，E 是PC 中点，所以OE 是三角形PAC 的中位线，所以//PA OE ，而PA ⊂平面EDB ，OE ⊂平面EDB ，1所以PA ∥平面EDB.（2）由于PD ⊥底面ABCD ，所以PD BC ⊥，由于,BC CD PD CD D ⊥⋂=，所以BC ⊥平面PCD ，所以BC DE ⊥.由于DP DC =且E 是PC 中点，所以DE PC ⊥，而PC BC C ⋂=，所以DE ⊥平面PBC ，所以DE PB ⊥.依题意EF PB ⊥，DE EF E =，所以PB ⊥平面EFD .3．（2019·江苏高三月考）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，OP OC =，E 为PC 的中点，PA PD ⊥.（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：PA ⊥平面PCD 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】（1）连结OE .1因为四边形ABCD 是平行四边形，AC ，BD相交于点O ，所以O 为AC 的中点. 因为E 为PC 的中点，所以//OE PA .因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，所以//PA 平面BDE .（2）因为OP OC =，E 为PC 的中点，所以OE PC ⊥. 由（1）知，//OE PA ，所以PA PC ⊥.因为PA PD ⊥，PC ， PD ⊂平面PCD ，PC PD P ⋂=，所以PA ⊥平面PCD .考向二 面面垂直例1、如图，在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD 为矩形，且2AB =，1BC =，E ，F 分别是AB ，PC 的中点，PA DE ⊥.旗开得胜1(1)求证：//EF 平面PAD ； (2)求证：平面PAC ⊥平面PDE ． 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】证明：(1)取PD 中点G ，连AG ，FG ，F ，G 分别是PC ，PD 的中点//FG CD ∴，且12FG CD = 又E 为AB 中点//AE CD ∴，且12AE CD =//AE FG ∴，AE FG =四边形AEFG 为平行四边形//EF AG ∴，又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD //EF ∴平面PAD(2)设AC DE H =由AEHCDH ∆∆及E 为AB 中点旗开得胜1得12AH AE CH CD == 又2AB =，1BC =3AC ∴=，1333AH AC ==23AH AB AE AC ∴==又BAD ∠为公共角GAE BAC ∴∆∆90AHE ABC ∴∠=∠=︒即DE AC ⊥又DE PA ⊥，PAAC A =DE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PDE∴平面PAC ⊥平面PDE例2、如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD上异于C ，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；MD CBA【解析】(1)由题设知，平面CMD ⊥平面ABCD ，交线为CD ．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．例3、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=3π，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=AD，点M在线段EF上。

(1)求证：BC⊥平面ACFE；(2)若12EMMF=，求证：AM∥平面BDF.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】(1)在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=CD=CB=a，∠ABC=60°∴四边形ABCD是等腰梯形且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120°∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=90°∴AC⊥BC又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE.(2)在梯形ABCD中，设AC BD=N，连接FN，则CN：NA=1：211又∵EM ：MF =1：2，而EF=AC∴MF ∥AN ，且MF =AN ∴四边形ANFM 是平行四边形，∴AM ∥NF 又∵NF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ∴AM ∥平面BDF .【巩固练习】1．如图，四面体P ABC -中，13PAPB ，平面PAB ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，86AC BC ，，则PC_______.【答案】13【解析】取AB 的中点E ，连接,PE EC .1因为90,8ACBAC，6BC =，所以10AB =，所以5CE =.因为13PAPB ，E 是AB 的中点，所以,12PEAB PE .因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ， 所以PE ⊥平面ABC .因为CE ⊂平面ABC ，所以PE CE ⊥. 在Rt PEC ∆中，2213PCPE CE .2．如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．（1）求证：MN CD ⊥．（2）若PA AD =，求证：平面MND ⊥平面PDC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明：连接AC ．过点N 作NO AC ⊥于点O ，连接OM ．PA ⊥平面ABCD ，PA AC ∴⊥．又//PA NO ，NO ∴⊥平面ABCD ，且N 为PC 的中点，知O 为AC 中点，QM 为MN 在平面ABCD 内的射影，显然OMAB ⊥，MN AB ∴⊥．//AB CD ，MN CD ∴⊥1（2）连接,PM MC ,由PA AD BC ==，AM MB =，PA AM ⊥，MB BC ⊥，可知PM MC =．又N 为PC 的中点，MN PC ∴⊥．又MN DC ⊥，MN ∴⊥平面PCD ，∴平面MND ⊥平面PCD .3．（2019·北京高一期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ； （Ⅱ）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：PB PD =；（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ），使得BM ∥平面PAD ？说明理由． 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）不存在，理由详见解析. 【解析】（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥．因为AC PD ⊥，BD PD D =，,BD PD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ． （Ⅱ）证明：连接PO ．1由（Ⅰ）可知AC BD ⊥． 因为平面PAC ⊥平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAC ． 因为PO ⊂平面PAC ， 所以BD PO ⊥． 因为底面ABCD 是菱形， 所以BO DO =． 所以PB PD =．（Ⅲ）解：不存在，证明如下．假设存在点M （异于点C ），使得BM 平面PAD ． 因为菱形ABCD 中，BC AD ，且BC ⊄平面PAD ， 所以BC 平面PAD ．又因为BM ⊂平面PBC ，所以平面PBC 平面PAD ． 这显然矛盾！旗开得胜1从而，棱PC 上不存在点M ，使得BM ∥平面PAD考向三 线线垂直例1、如图，ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直，且2AB BC BD ===，0120ABC DBC ∠=∠=，E 、F 分别为AC 、DC 的中点．（Ⅰ）求证：EF BC ⊥ADCBFE【解析】（Ⅰ）∵,BC BD DF FC ==，且120CBD ∠=︒，∴ΔBCF 为RT 三角形，FC BF ⊥．同理，∵,BC BA AE EC ==，且120ABC ∠=︒，ΔBCE 为RT 三角形BE EC ⊥，∴ΔBCF ≅ΔBCE ，过E 作EO BC ⊥，垂足为O ，连接OF ， 可证出EOC FOC ∆≅∆，旗开得胜1所以2EOCFOC π∠=∠=，即FO BC ⊥．从而证出BC ⊥面EOF ，又EF ⊂面EOF ，所以EF BC ⊥．BCDAFEO例2、如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，1BAA ∠=60°．（Ⅰ）证明1AB A C ⊥； 【解析】（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ，∵AB =1AA ，1BAA ∠=060，∴1BAA ∆是正三角形，∴1A E ⊥AB ， ∵CA =CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ⋂=E ，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1A C ；1例3、如图，直三棱柱111C B A ABC -中，112ACBC AA ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1．（Ⅰ）证明：BC DC ⊥1；【解析】（Ⅰ）在Rt DAC ∆中，AD AC =，得：45ADC ︒∠=同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥【巩固练习】1、如图，在直棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，1AC CC =，D ，E 分别是棱AB ，AC 上的点，且//BC 平面1A DE .1（1）证明：DE 11B C ； （2）求证：11AC A B ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）因为//BC 平面1A DE ，BC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面1A DE DE =，所以//BC DE .又在直棱柱111ABC A B C -中，有11//BC B C ，所以11//B C DE .(2)连接1A C ，因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，所以1BC CC ⊥.又因为BC AC ⊥，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，1ACCC C =，所以BC ⊥平面11ACC A .又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥. 在直棱柱111ABC A B C -中，有四边形11AAC C 为平行四边形. 又因为1AC CC =，所以四边形11AAC C 为菱形，所以11AC A C ⊥. 又1BCAC C =,BC ⊂平面1A BC ,1AC ⊂平面1A BC ， 所以1AC ⊥平面1A BC ，又1A B ⊂平面1A BC ，所以11AC A B ⊥.2．（2019·四川双流中学高三月考（文））如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F （E 与A ，D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF AD ⊥.1（1）证明：//EF 平面ABC . （2）证明：AD AC ⊥【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，所以//EF AB . 又因为EF ⊄平面ABC ，AB平面ABC ，所以//EF 平面ABC .AD AC ⊥（2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥. 又AB AD ⊥，BCAB B =，AB 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以AD ⊥平面ABC ，又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.13、如图，在三棱锥A -BCD 中，点M ，N 分别在棱AC ，CD 上，且N 为CD 的中点。