坐标平面内图形的轴对称和平移(提高) 知识讲解

坐标平面内图形的轴对称和平移（提高）
【学习目标】
1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.
2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.
【要点梳理】
要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征
1.关于坐标轴对称的点的坐标特征
P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；
P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；
P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．
2.象限的角平分线上点坐标的特征
第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；
第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．
3.平行于坐标轴的直线上的点
平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；
平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.
要点二、用坐标表示平移
1.点的平移：
在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．
要点诠释：
（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；
（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；
（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加
上(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 要点诠释：
（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．
（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】
类型一、用坐标表示轴对称
1．在直角坐标系中，已知点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称， （1）试确定点A 、B 的坐标；
（2）如果点B 关于x 轴的对称的点是C ，求△ABC 的面积．
【思路点拨】（1）根据在平面直角坐标系中，关于y 轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，得出方程组求出a ，b 即可解答本题；
（2）根据点B 关于x 轴的对称的点是C ，得出C 点坐标，进而利用三角形面积公式求出即可．
【答案与解析】
解：（1）∵点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称，
∴2250
a b a
a b a -=-⎧⎨
++-=⎩，
解得：
1
3
a b =⎧⎨=⎩， ∴点A 、B 的坐标分别为：（4，1），（－4，1）；
（2）∵点B关于x轴的对称的点是C，∴C点坐标为：（－4，－1），
∴△ABC的面积为：1
2
×BC×AB＝
1
2
×2×8＝8．
【总结升华】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
举一反三：
【变式】小华看到了坐标系中点B关于X轴的对称点为C（－3，2），点A关于Y轴对称点为D（－3，4），若将A、B、C、D顺次连接，此图形的面积是多少？
【答案】
解：∵B关于x轴的对称点为C（－3，2），
∴B（－3，－2），
∵点A关于y轴对称点为D（－3，4），
∴A（3，4），
∴△ABD的面积为：1
2
×AD×DB＝
1
2
×6×6＝18．
2.已知点A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出a、b的值．（1）A、B两点关于y轴对称；
（2）A、B两点关于x轴对称；
（3）AB∥x轴；
（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．
【思路点拨】
（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数．
（2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数．
（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可．
（4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并解之，即可得出a，b．
【答案与解析】
解：（1）A、B两点关于y轴对称，
故有b＝3，a＝4；
（2）A、B两点关于x轴对称；
所以有a＝－4，b＝－3；
（3）AB∥x轴，
即b＝3，a为≠－4的任意实数．
（4）如图，
根据题意，a＋3＝0；
b－4＝0；
所以a＝－3，b＝4．
【总结升华】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．
类型二、用坐标表示平移
3.如图，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，已知△ABC中一点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）．
（1）已知A（﹣1，2），B（﹣4，5），C（﹣3，0），请写出A′、B′、C′的坐标；
（2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的；
（3）请直接写出△A′B′C′的面积为．
【思路点拨】（1）根据点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）可得A、B、C三点的坐标变化规律，进而可得答案；
（2）根据点的坐标的变化规律可得△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位；（3）把△A′B′C′放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．
【答案与解析】
解：（1）A′为（4，0）、B′为（1，3）C′为（2，﹣2）；
（2）△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位（或先向下平移2个单位，再向右平移5个单位）；
（3）△A′B′C′的面积为6．
【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
举一反三：
【变式】（大庆校级模拟）如图所示，△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，解答下列问题：
（1）若点M的坐标为（x、y），则它的对应点N的坐标为．
（2）若点P（a，2）与点Q（﹣3，b）关于x轴对称，求代数式
…的值．
【答案】
解：（1）由图象知点M和点N关于x轴对称，
∵点M的坐标为（x、y），
∴点N的坐标为（x，﹣y）；
（2）∵点P（a，2）与点Q（﹣3，b）关于x轴对称，
∴a=﹣3，b=﹣2，
∴…
=+++…+，
=﹣+﹣+…+，
=﹣，
=．
类型三、综合应用
4. 如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）
（1）直接写出C，D，E，F的坐标；
（2）如果台阶有10级，你能求得该台阶的长度和高度吗？
【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可；
（2）利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可．
【答案与解析】
解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，
∴2a+8=0，
解得：a=﹣4，
故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，
则P（﹣6，0）；
（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，
∴a﹣2=0，
解得：a=2，
故2a+8=2×2+8=12，
则P（0，12）；
（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，
∴a﹣2=1，
解得：a=3，
故2a+8=14，
则P（1，14）；
（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，
∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，
解得：a1=﹣10，a2=﹣2，
故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，
则P（﹣12，﹣12）；
故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，
则P（﹣4，4）．
综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．
【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质．。