曲面积分习题课2
曲面积分习题课(供参考)
第二十二章曲面积分习题课一 疑难问题与注意事项1.第一型曲面积分的计算方法：答 1）先把S 的方程代入，再利用SdS ⎰⎰为S 的表面积；例如,22⎰⎰+S yx dS其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分； 解22221122SSdS H dS RH x y R R Rππ===+⎰⎰⎰⎰. 2)利用公式（1）设有光滑曲面:(,),(,)S z z x y x y D =∈，(,,)f x y z 为S 上的连续函数，则(,,)(,,(,SDf x y z dS f x y z x y =⎰⎰⎰⎰．注 一投------将曲面S 向xOy 面投影得D ；二代------将(,)z z x y =代入到(,,)f x y z 中； 三变换------dS.（2）类似地，如果光滑曲面S 由方程(,),(,)x x y z y z D =∈，则(,,)d ((,),,d SDf x y z S f x y z y z y z =⎰⎰⎰⎰，其中D 表示曲面S 在yOz 面上的投影．（3）如果光滑曲面S 由方程(,),(,)y y x z x z D =∈，则(,,)d (,(,),d SDf x y z S f x y x z z x z =⎰⎰⎰⎰．其中D 表示曲面S 在xOz 面上的投影．3)利用对称性（1）若曲面∑关于xoy 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑位于xoy 上部的曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z z f x y z S f x y z S f x y z z ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（2）若曲面∑关于yoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0x ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z x f x y z S f x y z S f x y z x ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（3）若曲面∑关于xoz 坐标面对称，()z y x f ,,为∑上的连续函数，1∑为∑中0y ≥的那部分曲面，则()()()()10,,,,,d 2,,d ,,,f x y z y f x y z S f x y z S f x y z y ∑∑⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰为的奇函数,为的偶函数.（4）若积分曲面∑关于,,x y z 具有轮换对称性,则有[]1(,,)(,,)(,,)3f x y z f y z x f z x y ds ∑=++⎰⎰． 2.第二型曲面积分的方法：答 1）公式：（1）设R 是定义在光滑曲面上的连续函数， 以S 的上侧为正侧，则有注一投-----曲面:(,)S z z x y =向xOy 面投影得D ；二代----将(,)z z x y =代入到(,,)R x y z 中；三定向—看S 的法线方向与z 轴的夹角，若夹角为锐角，则为正，否则为负． （2）类似地，当P 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，（3）当Q 在光滑曲面 上连续时，有这里S 是以S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧． 2）若(,)z z x y =，则 3）高斯公式注 高斯公式(),VSP Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰的适用条件是：1）函数(,,)P x y z ，(,,)Q x y z ，(,,)R x y z 在V 上具有一阶连续的偏导数． 2）S 封闭，若S 不封闭需要补面，让它封闭，假如补面S *后封闭，则有 3）S 取外侧；如果S 取内侧，则S -取外侧，则有 3.各种积分间的联系τ格林公式 n二 1.计算第一型曲面积分()Sx y z dS ++⎰⎰，其中S 是上半球面2222x y z a ++=(0)a >，0z ≥．解 把:S z=xoy 面投影得222:D x y a +≤(()SDx y z dS x y ++=+⎰⎰⎰⎰3a π=．注(0Dx y +=⎰⎰，因为222:D x y a +≤关于,x y 轴对称，且(x y +2.计算曲面积分2Sz dS ⎰⎰，其中S 是球面2222xy z a ++=．解： ∵球面2222x y z a ++=关于x ,y ,z 具有对称性， ∴222SSSx dS y dS z dS ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ∴2Sz dS ⎰⎰=2221()3Sx y z dS ++⎰⎰ =22133S Sa a ds ds =⎰⎰⎰⎰22214.433a a a ππ==． 3．计算曲面积分⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面)(2122y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间部分的下侧．解 补平面2:1=∑z 的上侧，则1∑+∑为封闭曲面，在其上应用高斯公式：π82)11(=+-=⎰⎰⎰⎰⎰ΩxyD dxdy dxdydz ．4．计算第二型曲面积分Sxdydz ydzdx zdxdy -+⎰⎰，其中曲面S为椭球面2222221x y z a b c ++=的上半部分，其方向为下侧． 解：为求1SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰ (S 取下侧)，只须求2SI xdydz ydzdx zdxdy =-+⎰⎰(S 取上侧)，那么12I I =-．为求2I ，将S 与底面'S (其中'S 是S 在xoy 坐标面上的投影)组成的封闭曲面记为total S ，即'total S SS =，其中S 方向取上侧，'S 方向取下侧．设total S 围成的区域为()222222,,|1,0x y z V x y z z a b c ⎧⎫=++≤≥⎨⎬⎩⎭，由高斯公式：213Vabcdxdydz π==⎰⎰⎰． 又由于'0S xdydz ydzdx zdxdy -+=⎰⎰，那么223I abc π=，从而 123SabcI xdydz ydzdx zdxdy π=-+=-⎰⎰． 5．计算Sxdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰，其中S是上半球面z =解：曲面S 不封闭，补上曲面2221:0()S z x y a =+≤，取下侧6.⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧． 解333222()SVx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydz ++=++⎰⎰⎰⎰⎰2140123sin 5d d r dr ππϕθϕπ==⎰⎰⎰．7.求222222()()()CI y z dx z x dy x y dz =-+-+-⎰，其中C 是立方体{0,0,0,}x a y a z a ≤≤≤≤≤≤的表面与平面32x y z a ++=的交线，取向从z 轴正向看去是逆时针方向． 解：可见交线若分为六段积分的计算量很大，且C 也不便于表示为一个统一的参数式，因C 为闭曲线，且22P y z =-，22Q z x =-，22R x y =-连续可微，故考虑用斯托克斯公式，令∑为32x y z a ++=被C 所围的一块，取上侧，则C 的取向与∑的取侧相容，应用斯托克斯公式得23394()242a x y z dS dS a a ∑∑=-++==-⋅=-⎰⎰⎰⎰． 8.计算()d ()d ()d I z y x x z y x y z Γ=-+-+-⎰，其中221:2x y x y z ⎧+=Γ⎨-+=⎩，从z 轴正向看为顺时针方向（图10-23）．解 用斯托克斯公式取:2x y z ∑-+=以Γ为边界所围有限部分的下侧，它在xOy 面上的投影区域为22{(,)1}xy D x y x y =+≤，则d d d d d d y z z x x yI x y z z yx zx y∑∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰2d d 2d d 2xyD x y x y π∑==-=-⎰⎰⎰⎰．。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-曲面积分(圣才出品)
的上半部分并取外侧为正向；
其中 S 是球面
并取外侧
为正向。
解：（1）因
所以原积分 （2）由对称性知只需计算其中之一即可。 由于
因此原积分＝3 × 8＝24。 （3）由对称性知，
（4）作球坐标变换，令
则
故
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（5）由轮换对称知只计算
面所围的立方体表面并取外侧为正向； 其中 S 是以原点为中心，边长为 2 的立方体
表面并取外侧正向； 其中 S 是由平面 x＝y＝z＝0 和 x＋y＋z＝1 所围的四面
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体表面并取外侧为正向；
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其中 S 是球面
解：（1）因
从而
（2）面积 S 由两部分 组成，其中 面上的投影区域都是
由极坐标变换可得
它们在：xOy
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2．求均匀曲面 解：设质心坐标为
x≥0，y≥0，z≥0 的质心。 ，由对称性有：
其中 S 为所求曲面的面积， 而
解：
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由柱面坐标变换
z＝z，0≤0≤2π，0≤r≤h，r≤z≤h
（5）原曲线不封闭，故添加辅助曲面
有
2．应用高斯公式计算三重积分
≤1 与
所确定的空间区域。
解：
其中 V 是由 x≥0，y≥0，0≤z
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分： 其中 L 为 x＋y＋z＝1 与三坐标面的交线，
则
D 为 S 在 xOy 面投影
所以质心坐标为
高数A(2)习题课(11)曲面积分
R( x, y, z )dxdy
D xy
R( x, y, z ( x, y) ) dxdy
Dxy
如果取下侧, 则
R( x, y, z)dxdy
R( x, y, z( x, y))dxdy
如果为x=x(y, z), (y, z)Dyz, P(x,y,z)C(), 则
2
2
2
2 a cos
0
r [cos sin cos sin ]rdr
2
o x
y
1 2 (cos sin cos sin ) (2a cos ) 4 d 2 4
8 2a
4
2
0
4 2 64 8 2a 2a 4 cos d 5 3 15
分记作2, 1在xoy面上投影为 1 2 于是, 2 2 Dx y {( x, y ) | x y a } 2
h
1
o
a
I ( x 2 y 2 )d S ( x 2 y 2 )d S
1 2
2 2
Dx y
ay
2
( x y )d S 0 D ( x y )
x
Dxy
y
2
R2 u 2 v2 dudv Dyz 2 所以, 2 2 2 3 u v R ,0v 2 3 R 类似地,有 ydzdx R I c R2 2 R3 3 3
(a R2 ( y b)2 ( z c)2 )dydz
课件制作：肖萍 赵庆华 李丹衡
一、 二、
内容总结 作业选讲
曲面积分-习题课2共35页文档
解 设(X,Y,Z)为上任意,一 则点 得 出的方程为
xX yYzZ1 22 由点O到平面的距离公式,得
(x, y,z)
1 x2 y2 z2 44
设 S为椭球 x2面 y2z21的上半部 22
由z 1 x2 y2
22
一、教学要求
1. 了解两类曲面积分的概念及高斯 Gauss) 斯托克斯(Stokes)公式, 并会 、 计算两类曲面积分.
2.了解散度、旋度的概念及其计算 方法.
3. 会用曲面积分求一些几何量与物 理量.
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a f ( x ) d F x ( b ) F ( a )( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
D( Q x P y)dx d L Py dQ xd (沿 y L 的)正向
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
z
x
,
x
x2 y2
2 1
22
得
z
y
y 2 1 x2 y2
22
dS 1x z2 yz2dxdy 4 x2 y2 dxdy 2 1 x2 y2 22
所以
dS 4x2 y2 dxdy
z dS
S (x, y,z)
1 (4x2y2)dxdy
4 Dxy
2 1 x2 y2
22
(x, y,z)
(1 ) 若P,Q,R在闭曲面 所围成的空间 中域
第四章 曲线积分与曲面积分 习题课(二)
R ( x , y , z ) dxdy
0
( x , y ) D xy
R ( x , y , z ) dxdy
D xy
R ( x , y , z ( x , y )) dxdy
上正下负
-5-
习 题 课（二）
Q ( x , y , z ) dzdx 的计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
d
1
dz
0
2
d
0
1
( cos 1 ) d
2 2
9 4
- 16 -
习 题 课（二）
例5 计算曲面积分
为柱面 x 2 y 2 1
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
x dydz y dzdx z dxdy
2 2 2
其中
zox 面 ,
: y y ( x , z ),
Q ( x , y , z ) dzdx
0
( x , z ) D zx
R ( x , y , z ) dzdx
R ( x , y ( x , z ), z ) dzdx
D zx
右正左负
三 两类曲面积分的关系
1 2
D xy
2
（1）
( x y ) dS ,
2 2
其中 为由锥面 z
z
2
x y
2
2
与
1
2
o x
y
D xy
( x y ) 2 dxdy
2 2
(1
高中数学(人教版)曲面积分习题课课件
z x2 y2
其中Σ 为柱面 被锥 面 割下的 部分.
z
o
y
x
二 题型练习 (一) 对面积的曲面积分的计算
(二) 对坐标的曲面积分的计算
二 题型练习 (一) 对面积的曲面积分的计算
(二) 对坐标的曲面积分的计算
(二) 对坐标的曲面积分的计算 1．用高斯公式计算
2．添加曲面后用高斯公式计算 3．分项直接计算
1
1
Σ
2
2
1
Σ22源自2Σ22
Σ
Σ
(一) 对面积的曲面积分的计算 1．简化计算
2．Σ方程的选择与确定 3．Σ的投影的求法
(一) 对面积的曲面积分的计算 1．简化计算
2．Σ方程的选择与确定 3．Σ的投影的求法
例计 : x y z 2az. 3 算 y 注 确定Σ的方程需考虑 x z 结合所给条件 是否分片； 1 计算曲 例 简化计算． o 4 其中 1 y 是 面积分 1 x 与坐标面所围成的 由平面 Σ的方程需考虑 Σ的 注确定 z 四面体的表面 . x y z 1 ( x z )dS , 计 例 其中 1 1 投影面积非零． C ( , 0, ) 、 5 上以 Σ 为2 2 算 A(1,0,0) B o y 为顶点的球面 B (0,1,0)、 A 确定Σ的方程需考虑Σ x 注
n
0
i 1
i
i
i
i
n
0
i 1
i
i
i
i xy
曲面积分习题课
一 、内容小结
二 、题型练习
曲面积分习题课
高等数学第十一章习题课(二)曲面积分
z
B
o
dS
n C
y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3
(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面 问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与 的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中 为半球面
的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用 高斯公式有 原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D
x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy
( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]
用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S
0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I
1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y
曲面积分习题课
′x 2 + z ′y 2 dxdy = 1 + ( 2 x ) 2 + ( 2 y ) 2 dxdy dS = 1 + z 原式 = ∫∫ | xyz | dS = 4 ∫∫ xyz dS
= 4 ∫∫ xy ( x 2 + y 2 ) 1 + ( 2 x )2 + ( 2 y )2 dxdy
[ r 2 sin θ cos θ + r 2 (cos θ + sin θ )]rdr
=4
2 π 2a 4 2π (sin θ − 2
∫
cos 5 θ + cos 5 θ + sin θ cos 4 θ )dθ
y
64 = 2a 4 15
o
2a
x
或 ∫ ∫ ( xy + yz + zx )dS = 2 ∫ ∫ [ xy + ( x + y ) x 2 + y 2 ]dxdy
1. 若曲面Σ :
则
z = z( x, y)
′x 2 + z′y 2 dxdy; 1+ z
∫∫ f ( x , y , z )dS Σ = ∫∫ f [ x , y , z ( x , y )]
D xy
2. 若曲面 Σ： y = y( x, z)
则
∫∫
Σ
′ 2 + y′ 2dxdz f ( x , y , z )dS = ∫∫ f [ x, y( x, z),z] 1 + yx z
∫∫ Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy = ∫∫(Pcosα+Qcosβ+ Rcosγ)dS
Σ Σ
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2.二重积分与曲线积分的联系
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(沿L的正向)
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
(P x
Q y
R z
)dv
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(
y
z
)dydz ( z
)dzdx x
( x
)dxdy y
Pdx Qdy Rdz
2
2
例 计算
I [ f ( x, y, z) x]dydz [2 f ( x, y, z) y]dzdx
[ f ( x, y, z) z]dxdy, 其中 f ( x, y, z) 为连续函数,
为平面
x
y
z
1在第四卦限
部分的上侧．
z
解 利用向量的点积法
1
的法向量为n {zx ,zy ,1}
1)若曲面 : z z( x, y)
则 f ( x, y, z)dS f [ x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy; Dxy
2)若曲面 : y y( x, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x, y( x, z), z] 1 yx2 yz2dxdz;
Dxz
பைடு நூலகம்)若曲面 ： x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [ x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2dydz.
D yz
计算的关键是看所给曲面方程的形式！！！
曲面方程以哪两个变量为自变量，就向这两个 变量所确定的坐标平面投影，得到积分区域。
对坐标的曲面积分的计算法
22
(x, y, z)
1
x2 y2 z2
44
z 1 x2 y2 22
Dxy
:
x2 2
y2 2
1
例 求 x2dS,其中为柱面 x2 y2 a2, 0 z 6 解：由于 关于变量 x, y 轮换对称性
x2dS y2dS
x2dS 1 x2 y2 dS a2 dS 6 a3
zy
y, x2 y2
22
得
z
y
y 2 1 x2 y2
22
dS
1
z x
2
z y
2
dxdy
4 x2 y2 dxdy 2 1 x2 y2 22
所以
S
(
x
z ,
y,
z
dS )
1 4
(4
x2
y2
)dxdy
Dxy
1 2 dq 2 (4 r2 )rdr
40
0
3
2
dS 4 x2 y2 dxdy 2 1 x2 y2
I ( x y z)dxdy
1dxdy
Dxy
1. 2
y
1
D xy
x
-1 x y 1
例 计算 I ydydz xdzdx z2dxdy, 其中 为
锥面 z x2 y2 被平面 z 1, z 2 所截部分的外侧．
解 法一：利用向量点积法
zx
x, x2 y2
D
第十章 曲面积分
习题课 教学要求 场论初步 例题
一、教学要求
1. 了解两类曲面积分的概念及高斯 Gauss) 斯托克斯(Stokes)公式, 并会 、 计算两类曲面积分.
2.了解散度、旋度的概念及其计算 方法.
3. 会用曲面积分求一些几何量与物 理量.
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
f ( x)dx F (b) F (a) (F( x) f ( x)) a 牛顿--莱布尼茨公式
距
离,
求
S
(
z x,
y,
z
dS )
.
解 设( X ,Y , Z )为上任意一点, 则得出的方程为
xX yY zZ 1 22 由点O到平面的距离公式,得
(x, y, z)
1 x2 y2 z2 44
设S为椭球面 x2 y2 z2 1的上半部分 22
由z
x2 y2 1
22
z
x
,
x 2 1 x2 y2
Dxy
注意 的确定!
3.
向量的点积法n0
(zx , zy ,1) 1 zx2 zy2
,
dS
设曲面的方程为z f ( x, y)
1 zx2 zy2dxdy
规定的法向量为(zx , zy ,1)
I 若题P设dy中dz曲 面Qdz的dx侧与Rd(xdzyx , zy ,1)相同, 取,否则取 . (P,Q, R) (dydz,dzdx,dxdy) A n0 dS
(P,Q, R) ( zx , zy ,1)dxdy
将在xOy面投影
(P,Q, R) (zx ,zy ,1)dxdy
Dxy
例 设S为椭球面 x2 y2 z2 1的上半部分, 22
点P( x, y, z) S,Π为S在点P处的切平面, ( x, y, z)
为
点O(0,0,0)到平面Π的
{1,1,1},
1
oy
1
x
I [ f ( x, y, z) x]1 [2 f ( x, y, z) y](1)
[ f ( x, y, z) z]1 dxdy
I [ f ( x, y, z) x]dydz [2 f ( x, y, z) y]dzdx
[ f ( x, y, z) z]dxdy, 其中 f ( x, y, z) 为连续函数, 为平面 x y z 1在第四卦限部分的上侧．
解法有三种
1. 利用高斯公式
(1)若P,Q, R在闭曲面 所围成的空间域中
具有一阶连续偏导数,则
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(
P x
Q y
R z
)dv
其中取 外侧.
1. 利用高斯公式
(2) 若非闭而P,Q, R比较复杂, P,Q, R在 加面 后 ( 为闭)所构成的空间域中
具有一阶连续偏导数,则
斯托克斯公式
（三）场论初步
梯度
gradu
u
i
u
j
u
k
x y z
通量 散度
Pdydz Qdzdx Rdxdy
divA
P
Q
R
x y z
环流量 Pdx Qdy Rdz
旋度
rotA
(R
Q
)i
(P
R)
j
(Q
P
)k
y z z x x y
对面积的曲面积分的计算法
如果曲面方程为以下三种：
I
2. 通过投影化为二重积分
I P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
P( x( y, z), y, z)dydz Q( x, y(z, x),z)dzdx
D yz
Dzx
R( x, y, z( x, y))dxdy