Mathematics中数据处理插值拟合和编程基础
MATLAB软件中软件拟合与插值运算的方法
MATLAB软件中软件拟合与插值运算的方法内容目录
1MATLAB中软件拟合与插值运算的方法1
1.1拟合函数的选择1
1.1.1线性拟合1
1.1.2非线性拟合2
1.2拟合函数的求解2
1.2.1直接法2
1.2.2迭代法3
1.3MATLAB插值函数4
1.3.1样条插值函数4
1.3.2拉格朗日插值函数5
1.3.3指数插值函数5
结论6
近来，随着科学技术的进步，数据采集技术的发展，大量的实验数据和实验结果越来越多，如何合理地分析处理数据，描绘实际趋势，就变得十分重要，MATLAB中的软件拟合与插值是目前应用最多的数据处理技术之一、本文介绍了MATLAB中软件拟合与插值运算的方法及其具体实现。
1.1拟合函数的选择
1.1.1线性拟合
线性拟合是指拟合函数可以用一元线性方程描述，MATLAB中的拟合
函数有polyfit、polyval和 polyconf等。
其中，polyfit函数用来根据
输入的拟合数据拟出一元多项式，polyval函数用来求出拟合后的拟合值，polyconf函数用来计算拟合的参数的置信范围。
例如，用polyfit函数
拟合下面的数据，输入x = [1 2 3 4 5]和y = [4.3 7.3 11.1 14.1
18.4]，拟出的拟合函数为y = 4.1 + 2.3x，即拟合函数为y = 4.1 +
2.3x。
1.1.2非线性拟合。
数据插值、拟合方法的MATLAB实现
hours=0:1:23;
temps=[12 12 12 11 10 10 10 10 11 13 15 18 19 20 22 21 20 19 18 16 15 15 15 15]
n=6;
p=polyfit(hours,temps,n)
t=linspace(0,23,100);
z=polyval(p,t); %多项式求值
plot(hours,temps,'o',t,z,'k:',hours,temps,'b',’r’,'linewidth',1.5)
legend('原始数据','6阶曲线')
2.3用8阶多项式拟合的命令
hours=0:1:23;
temps=[12 12 12 11 10 10 10 10 11 13 15 18 19 20 22 21 20 19 18 16 15 15 15 15]
实验结果：
1.一元插值图像
图1.1一元插值图
经分析三次样条插值法效果最好，以三次样条插值法得出每个0.5小时的温度值：
时间
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
温度
12
11.9
12
12.0
12
11.6
11
10.4
10
9.9
10
10.0
时间
6
6.5
7
7.5
8
8.5
9
9.5
10
10.5
11
11.5
MATLAB数据拟合与插值PPT课件
% linear interpolation » zcubic=interp2(width, depth, temps, wi,d, ' cubic ') ;
% cubic interpolation »plot(wi, zlinear, ' - ' , wi, zcubic)
spline ') • t =9.6734，30.0427，31.1755，25.3820
一个最常用的样条插值是对数据平滑。也就是，给定一组 数据，使用样条插值在更细的间隔求值。例如， » h=1:0.1:12;
% estimate temperature every 1/10 hour » t=interp1(hours, temps, h, ' spline ') ; »plot(hours, temps, ' - ' , hours, temps, ' + ' , h, t)
p =-9.8108 20.1293 -0.0317 polyfit 的输出是一个多项式系数的行向量。其解是
y = －9.8108x^2 ＋20.1293x－0.0317 为了将曲线拟合解与数据点比较，让我们把二者都绘成图。
» xi=linspace(0, 1, 100); % x-axis data for plotting » z=polyval(p, xi); » plot(x, y, ' o ' , x, y, xi, z, ' : ' ) » xlabel(' x '), ylabel(' y=f(x) '), title(' Second Order Curve Fitting ')
插值、拟合与MATLAB编程
插值、拟合与MATLAB 编程相关知识在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y 间的函数关系()y f x =有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。
当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数()y x ϕ=，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数()y x ϕ=有很多方法。
根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。
（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
在MATLAB 中，无论是插值还是拟合，都有相应的函数来处理。
一、插 值1、一维插值：已知离散点上的数据集1122{(,),(,),,(,)}n n x y x y x y ，即已知在点集X=12{,,,}n x x x 上的函数值Y=12{,,,}n y y y ，构造一个解析函数（其图形为一曲线）通过这些点，并能够求出这些点之间的值，这一过程称为一维插值。
MATLAB 命令：yi=interp1(X, Y, xi, method)该命令用指定的算法找出一个一元函数()y f x =，然后以()f x 给出x 处的值。
xi 可以是一个标量，也可以是一个向量，是向量时，必须单调，method 可以下列方法之一：‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；‘spline’：三次样条函数插值；‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算； ‘cubic’：三次函数插值；对于[min{xi},max{xi}]外的值，MATLAB 使用外推的方法计算数值。
例1：已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量为：75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893，计算出1995年的产量，用三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线图形，同时将原始的数据画在同一图上。
1 数据插值、拟合在MATLAB中的应用
多项式优于一次多项 式拟合。曲线几乎穿 过各结点。若再想更 精确，可使用 N 次 多项式进行拟合。
图5 一次、二次、三次多项式拟合效果图
23
05
PART FIVE
课堂小结与课后作业
Class Closing and Homework
5 课堂小结与课后作业
(1) 课堂小结 总结一
了解数据插值、数据拟合的基本概念以及主要应
21
4 数据插值、拟合例题分析
(2) 最小二乘法的曲线拟合应用
从而可得出二次多项式拟合，可得下图4 ※显然二次多项 式拟合效果更好， 曲线几乎穿过各 结点。若再想更 精确，可使用三 次多项式，进行 拟合。
图4 二次多项式拟合效果图
22
4 数据插值、拟合例题分析
(2) 最小二乘法的曲线拟合应用
※显然拟合效果： 三次多项式优于二次
>> yi=interp1(x,y,xi,'cubic');plot(xi,yi,'y'); 一维插值(cubic)
>> xlabel('时刻'),ylabel('温度')
16
4 数据插值、拟合例题分析
(1) 一维插值的应用
从而可得出每一秒时的温度，并可画出不同的插值方法 描绘的温度曲线图。
(a)图表示最近插值法
时间 环境温度 时间 环境温度 时间 环境温度
0 2 4 6 8
12 9 12 15 23
10 12 14 16 18
30 36 35 31 27
20 22 24
20 16 13
推测在每一秒时的温度，并利用不同的插值方法描绘温度曲线。
15
matlab插值与拟合
matlab插值与拟合
在MATLAB中，插值和拟合都是通过函数来实现的。
插值是通过创建新的数据点来填充在已知数据点之间的空白。
MATLAB提供了几种不同的插值方法，例如分段线性插值、三次样条插值、立方插值等。
具体使用哪种插值方法取决于数据的特性和所需的精度。
插值函数的一般形式是`interp1(x, y, xi, 'method')`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`xi`是待插值点的横坐标向量，`method`是插值方法，例如最近邻点插值、线性插值、三次样条插值、立方插值等。
拟合是通过调整一个数学模型来使得该模型尽可能地接近给定的数据点。
在MATLAB中，可以使用`polyfit`函数进行多项式拟合。
该函数的一般形式是`p = polyfit(x, y, n)`，其中`x`和`y`是已知的数据点，`n`是多项式的阶数。
该函数返回一个向量`p`，表示多项式的系数。
可以使用`polyval`函数来评估这个多项式模型在给定数据点上的值。
需要注意的是，插值和拟合都是数学上的近似方法，它们只能尽可能地逼近真实的情况，而不能完全准确地描述数据的变化。
因此，选择合适的插值和拟合方法是非常重要的。
Matlab数据插值与拟合
分段线性插值方法在速度和误差之间取得 了比较好的均衡，其插值函数具有连续性， 但在已知数据点处的斜率一般不会改变， 因此不是光滑的。分段线性插值方法是 MATLAB一维插值默认的方法。 MATLAB一维插值默认的方法。
2.Spline（样条插值） 2.Spline（样条插值）
样条插值是用分段低次多项式去逼近函数。样条函 样条插值是用分段低次多项式去逼近函数。样条函 数可以给出光滑 的插值曲线，只要在插值区间端 点提供某些导数信息，样条插值可以适应不同光滑 需求。三次样条是使用最为广泛的样条插值，它在 需求。三次样条是使用最为广泛的样条插值，它在 每个子区间[x 每个子区间[xi,xi+1]上都是有二阶连续导数的三次多 项式，即
4.1.1 一元插值函数
MATLAB中的一元插值函数为interp1( )，它的功能是一维 MATLAB中的一元插值函数为interp1( )，它的功能是一维 数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间进行计算内 插值，它出一元函数f(x)在中间点的数值，其中函数f(x)由 插值，它出一元函数f(x)在中间点的数值，其中函数f(x)由 所给数据决定。 一元插值函数interp1( )的几种调用格式如表4 一元插值函数interp1( )的几种调用格式如表4-1所示。 表4-1 一维插值插值函数interp1的语法格式 一维插值插值函数interp1的语法格式
例4-1 用interp1对sin函数进行分段线性插值。 interp1对sin函数进行分段线性插值 函数进行分段线性插值。
解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令： 解：在MATLAB命令窗口中输入以下命令： >> x=0:2*pi; >> y=sin(x); >> xx=0:0.5:2*pi >> yy=interp1(x,y,xx); >> plot(x,y,'s',xx,yy) 注：例 注：例4-1中用默认的 (分段线性插值的linear) 分段线性插值的linear) 对已知的7 sin函数的 对已知的7个sin函数的 数据点进行插值，用 plot画出插值结果。从图中可以看出分段线性就是联结两个 plot画出插值结果。从图中可以看出分段线性就是联结两个 邻近的已知点的线性函数插值计算该区间内插值点上的函数 值。
MATLAB 插值与拟合
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method) %用指定的算法method计算二维插值：
这里method与前面的一维插值方法相同。
’linear’：双线性插值算法（缺省算法）； ’nearest’：最临近插值； ’spline’：三次样条插值； ’cubic’ or ‘pchip’：立方插值。
则有：y a0 a1t
即：将指数规律的方程转换 成一次多项式方程
算出 a0=2.9943,a1=-0.2347. 故k=0.2347, 由ln(d / v) a0 v 15.02
%先观察数据的大致规律 t=[0.250.5 1 1.5 2 3 4 6 c=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 3.01]; subplot(2,1,1),plot(t,c,'+'),xlabel('t'),ylabel('c') %不是简单的线性关系，则考虑是否为指数关系 pause y=log(c); subplot(2,1,2),plot(t,y,'+'),xlabel('t'),ylabel('logc') y=log(c); %对元数据求对数； a=polyfit(t,y,1); a1=a(1),a2=a(2) %得到两个参数a1和a2 d=300; k=-a1,v=d*exp(-a2);
问题7 给药问题
在快速静脉注射下，研究血药浓度的变化规律
观测的数据如下：t=0时注入300mg
T(h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
C(μg/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
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引例1:在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的 环境温度数据分别为(度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13. 推测中午 1点(即13点)时的温度。 解：
data={{0,12},{2,9},{4,9},{6,10},{8,18},{10,24},{1 2,28},{14,27},{16,25},{18,20},{20,18},{22,15},{24 ,13}} ListPlot[data] 选取不同的阶数n,构造插值多项式 Interpolation[data,InterpolationOrder—>n] 绘出一天24小时的温度曲线 依据散点图，推测插值多项式的阶数 分段插值 三次插值多项式较为通用
格式：If[逻辑表达式，表达式1，表达式2，表达式3] 意义：逻辑表达式的值为真，计算表达式1 为假，计算表达式2 非真非假，计算表达式3 格式：If[逻辑表达式，表达式1，表达式2] 意义：逻辑表达式的值为真，计算表达式1 为假，计算表达式2 格式：If[逻辑表达式，表达式1] 意义：逻辑表达式的值为真，计算表达式1
数据处理与程 2. 第7章 Mathematica的编程基础
问题的引入
引例1:在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度数据分 别为(度) 12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13.请推测中午1点 （即13点）时的温度。
格式：Fit[数据，拟合函数的基，变量] 功能：用数据data，按给定的变量和拟合函数的基构造拟合函数。 常用的几种格式： Fit[data,{1,x},x]
用数据data作线性拟合函数a+bx 做n次多项式拟合 拟合曲线为ea+bx
Fit[data,Table[x^i,{i,0,n}],x] Exp[Fit[Log[data],{1,x},x]]
引例2:对某一地区或国家,如何根据测绘部门测量的数据绘制一张该地区 的地图?
利用已给出的值,计算相关的值
根据一系列的点,绘制一条封闭的曲线 例3:在化学反应中,为研究某化合物的浓度随时间的变化规律,测得一 组数据如下,请给出变化规律,以此推测20,40分钟时的值.
t(分) y t(分) y 1 4 9 10 2 6.4 10 10.2 3 8 11 10.32 4 8.4 12 10.42 5 9.28 13 10.5 6 9.5 14 10.55 7 9.7 15 10.58 8 9.86 16 10.6
While 循环 格式: While[条件，循环体] For循环 For[初始值，条件，修正循环变量，循环体] 若循环体有多个表达式组成，中间用；号隔开. 重复应用函数的方法 Nest[f,expr,n] 对表达式expr作用f函数n次. NestList[f,expr,n] 从表达式expr开始,运用f函数0到n次, 并给出列表结果. FixedPoint[f,expr] 从表达式expr开始,运用f函数, 直到结果不变.
数据拟合的一般过程： 首先考察数据来源,确定有无经验公式,有则可直接根据经验公 式进行拟合; 若无经验公式,观察其散点图,分析与其形状大致相似的函数图 形(必要时可将函数分段).选择拟合函数的类型,特别是确定逼 近基函数; 确定拟合函数,画出拟合函数的图形; 将拟合函数的图形与数据点的图形比较,调整拟合函数. 插值与拟合 插值要求函数在每一个观测点处一定要满足yi=f(xi). 拟合主要考虑到观测数据受随机误差的影响,寻求整体误 差最小、较好反映观测数据的近似函数. 当最小二乘拟合中逼近基函数的个数等于所给的数据点的个数 时，所做的拟合即为插值。
例3:在化学反应中,为研究某化合物的浓度随时间的变化规律,测得 一组数据如下,请给出变化规律,以此推测20,40分钟时的值.
t(分) y t(分) y 1 4 9 10 2 6.4 10 10.2 3 8 11 10.32 4 8.4 12 10.42 5 9.28 13 10.5 6 9.5 14 10.55 7 9.7 15 10.58 8 9.86 16 10.6
与循环有关的语句
Return[expr]
退出函数中的所有过程和循环, 返回值expr.
Break[]
结束本层循环.
Continue[]
转向下一次循环
解：构造数据表： data={{1,4},{2,6.4},{3,8.0},{4,8.4},{5,9.28},{6,9.5}, {7,9.7},{8,9.86},{9,10},{10,10.2},{11,10.32},{12,10. 42},{13,10.5},{14,10.55},{15,10.58},{16,10.6}} 画出散点图，并分别作3次、4次、5次、6次多项式拟合，求出其 误差，比较、判断几次拟合较为合适。 选取其它基： , x , 3 x , 4 x 作拟合，并作比较。 1
程序设计
一、过程的基本构成
过程是用分号隔开的表达式序列,也称为复合表达式. 复合表达式的值是该表达式序列最后一个表达式的值. 全局变量与局部变量 局部变量的说明： Module[{局部变量表},表达式] Block[{局部变量表},表达式] 注： 变量表中只列变量名,可赋初值,变量间用逗号隔开. Module与Block函数中的表达式常常是复合表达式. Module与Block函数的函数值即为表达式的值. 例: wc[n_]:= Module[{i, f}, b = Table[x^i, {i, 1, n}]; f[x_] = Fit[data, b, x]; Sum[(data[[i, 2]] - f[data[[i, 1]]])^2, {i, 1, Length[data]}]]
设有一组实验观测数据(xi,yi),i=0,1,…n, 如何揭示自变量x与因变量y 之间的关系？ 寻找近似的函数关系表达式y=f(x) 常用的方法:插值与拟合
一、插值
给定n+1个插值点(xi,yi), i=0,1,2,…,n, 构造次数不超过n的多 项式p(x), 使p(xi)=yi, 则称p(x)为插值多项式。 构造插值对象的函数： Interpolation[data,InterpolationOrder—>n] 功能： 对数据data进行插值运算，并可设置插值多项式的次数n, 默认 值为3。 注: 生成一个InterpolatingFunction[插值范围，<>]目标，不显 示所构造的函数。 所得目标为近似函数 数据data的表示形式
{{x0,f0},{x1,f1},…,{xn,fn}} (平面点的坐标) {f1,…,fn} (点的纵坐标，第i个点的横坐标为i) {{x0,{f0,df0}},{x1,{f1,df1}},…,{xn,{fn,dfn}}} (点的函数 值及一阶导数值) {{x0,y0,z0},{x1,y1,z1},…,{xn,yn,zn}} (三维空间点列)
注：
二、拟合
根据一组二维数据，要求确定一个一元函数y=f(x)，使这些点与曲线 y=f(x)总体来说尽量接近，这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲 线拟合。 曲线拟合的目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有 效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。 拟合的原理：最小二乘法
三、循环控制结构
Do循环 格式: Do[循环体,{循环范围}] 格式1: Do[expr, {i,i0,i1,s}] 作用: 循环变量i从i0到i1,每次增加s,计算表达式 expr. 格式2: Do[expr, {i,i1}] 作用: 同上. 此时, i0=1, s=1. 格式3: Do[expr, {n}] 作用: 计算表达式expr n次.
Which与Switch语句
Which语句的结构
格式： Which[条件1，表达式1，…，条件n，表达式n] Which[条件1，表达式1，…条件n，表达式n, True，表达式]
Switch语句的一般形式
格式: Switch[expr，模式1，表达式1，模式2，表达式2，…] 作用: 将表达式expr的值与模式1,模式2,…依次比较,给出第一个与expr 匹配的模式i对应的表达式的值, 若无匹配的, 整个结构的值为Null.
m=i^3 ;Module[{i=b},i+m] m=i^3 ;Block[{i=b},i+m]
二、条件控制结构
逻辑表达式和逻辑运算符
关系运算符：= = != > >= 逻辑运算符： ！ && || 意义： 非 与 或 < <=
逻辑表达式的值
真、假、非真非假
If语句的结构