二阶常系数线性方程

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二阶常系数线性微分方程的通解公式

二阶常系数线性微分方程的通解公式，
近年来，随着网络技术的不断发展和人们日益增长的对网络技术的依赖，互联
网技术的优势日益凸显。

比如二阶常系数线性微分方程的通解公式，可以有效地解决多种网络问题。

二阶常系数线性微分方程的通解公式是数学里面的重要概念，它使计算机科学
家们能够把数学理论应用于网络方面的问题解决。

其通解公式简单来说就是一元二次方程的通解公式。

它的标准形式为：y=c11*e~(atanx)+c12*etanx。

式中c11、
c12都是常数，通过不定积分求解得出。

二阶常系数线性微分方程的通解公式具有重要的经济意义，尤其对于处理网络
问题具有重要的应用价值。

比如，在网络重构以及网络安全领域，二阶常系数线性微分方程的通解公式可以有效地解决网络数据的处理、存储以及传输问题；在通信领域，它可以有效地应用于高速网络的传输以及信息的自动处理；在可信计算领域，可以用来分布式计算、网络安全、网络备份以及网络重构等应用问题。

因此可见，二阶常系数线性微分方程的通解公式对于网络技术的发展有着至关
重要的意义，如果知道了这个公式的通解方法，那么就可以有条不紊地解决网络技术相关的复杂问题。

微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解

微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。

其中，二阶常系数线性微分方程是一类常见且重要的微分方程类型。

在本文中，我们将探讨如何求解二阶常系数线性微分方程以及特解的求解方法。

首先，我们来了解一下什么是二阶常系数线性微分方程。

二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = f(x)$$其中，$a$和$b$是常数，$f(x)$是关于自变量$x$的函数。

这个方程中的未知函数是$y(x)$，我们的目标是求解$y(x)$的表达式。

要求解二阶常系数线性微分方程，我们可以先求解其对应的齐次方程，再找到特解，最后将齐次方程的通解与特解相加得到原方程的通解。

齐次方程是指当等号右边的$f(x)$为零时的方程，即：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$齐次方程的解可以通过特征方程来求解。

特征方程是将齐次方程中的导数项全部移到左边，并将未知函数$y(x)$表示为指数函数$e^{rx}$的形式得到的方程。

假设$y(x) = e^{rx}$，代入齐次方程中得到：$$r^2e^{rx} + are^{rx} + be^{rx} = 0将$e^{rx}$提取出来得到：$$e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$$由指数函数的性质可知，$e^{rx}$不可能为零，所以我们得到一个关于$r$的二次方程：$$r^2 + ar + b = 0$$解这个二次方程可以得到两个不同的解$r_1$和$r_2$。

这两个解可以是实数或复数。

根据这两个解，我们可以得到齐次方程的通解：$$y_h(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$是常数。

接下来，我们需要找到二阶常系数线性微分方程的特解。

特解是指使得原方程成立的一个特定解。

二阶常系数线性微分方程的解法

1
二阶常系数齐次线性方程解的性质回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,

二阶常系数线性微分方程

第八章 8.4讲第四节二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx e q pr r因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数.特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根.2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根.221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以 02,01121=+=++p r q pr r 从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y e y )(2)(1,βαβα-+==利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为 )sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得t e t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4)而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法)()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5)以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为xm k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . =-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得 x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。

二阶常系数线性齐次微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程，又称二阶次线性常系统，是数学分析和积分变换中重要的问题，在系统控制、信号处理和信号检测中也得到广泛应用。

一. 二阶常系数线性齐次微分方程的概念1、定义：二阶常系数线性齐次微分方程是指有形式U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，其中，p和q为常数，U是未知函数。

2、求解：若对未知函数U，有形如U′′ + pU′ + qU = 0的二阶常系数齐次线性微分方程，则求解之所有实根解形式有：U（t）＝C1eλ1t＋C2eλ2t，其中，C1，C2为常数，λ1，λ2为方程的根，则得到方程：λ2＋pλ＋q＝0。

二. 二阶常系数线性齐次微分方程的特点1、齐次：二阶常系数线性齐次微分方程是等号右边完全为零的一次方程的特殊形式，其解实际上也就是方程的根，二阶齐次方程的解可以通过求根公式求出。

2、常系数：二阶常系数线性齐次微分方程所有项都是常系数，不会改变，所以可以用公式进行解法简化，使用求根公式求出二阶常系数线性齐次微分方程的实根解，比一般的常系数线性非齐次微分方程的解法要简单得多；3、线性：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数和其倒数的次数有明确的关系，所以它是线性的；4、微分：二阶常系数线性齐次微分方程里面的未知函数不仅要满足一次微分方程，而且要满足特定的二次微分方程；三. 二阶常系数线性齐次微分方程的应用1、系统控制：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来描述内外环回路的联系，可以用来优化被控系统的输出；2、信号处理：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来对信号进行插值、滤波、离散傅里叶变换等处理；3、信号检测：二阶常系数线性齐次微分方程可以用来检测周期性变化或者噪声等不平凡现象，从而处理信号。

四. 二阶常系数线性齐次微分方程的扩展1、非齐次：不论是一阶常系数线性非齐次微分方程还是二阶非齐次微分方程，都可以通过常系数变换将其转化为齐次方程；2、常数变量：在适当的条件下，可以将二阶常系数线性齐次微分方程中的未知函数转化成一、二阶常数变量方程组；3、转化：二阶常系数线性齐次微分方程可以用Laplace变换、线性变换和积分变换等转化手段将其转化为容易求解的形式；4、衍生：可以从二阶常系数线性齐次微分方程发展出求解波。

二阶常系数齐次线性方程

其中c1 , c2由初始条件定出。
而当t → +∞时，x → 0，这说明物体的运动按负指数函数规律迅速衰减，不发生振动，且随时间的增大而趋于平衡位置。解： )当 δ = ω 时， r1 = r2 = δ 为两个相等实根，故方程有解： (2
x = ( c1 + c2t ) e δt , 由初始条件 c1 = x0 , c2 = δ x0 故所求特解为： x = x0 (1 + δ t ) e
由于n次代数方程有n个根，而每个根对应着通解中的一项，且每一项各含一个任意常数。将上表中各对应项相加，就得到微分方程(1)的通解。
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n阶常系数齐次线性方程举例
求y
( 4)
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例7-24
4 y′′′ + 10 y′′ 12 y′ + 5 y = 0的通解。
4 3 2
解：①因为特征方程：r 4r + 10r 12r + 5 = 0 有根：r1 = r2 = 1, r3, 4 = 1 ± 2i ②且r1 = r2 (c1 + c2 x)e x ③相加得通解： y = (c1 + c2 x)e x + (c3 cos 2 x + c4 sin 2 x)e x = e (c1 + c2 x + c3 cos 2 x + c4 sin 2 x)
x
(两项 — —二重根)
r3, 4 e x (c3 cos 2 x + c4 sin 2 x) (两项)
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2. 解法特征方程(2)的根
单实根r k重实根r 一对单共轭复根 r1, 2 = α ± iβ 一对k重共轭复根 r1, 2 = α ± iβ

. 二阶常系数线性微分方程

§7.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程的一般形式为)(x f qy y p y =+'+''．这里p 、q 是常数，)(x f 是x 的已知函数．当()f x 恒等于零时，称为二阶常系数齐次线性微分方程，否则称为二阶常系数非齐次线性微分方程．1．二阶常系数齐次线性微分方程定理1 设)(1x y y =与)(2x y y =为二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y(1)的相互独立的两个特解(即)()(12x y x y 不恒等于常数)，则2211y C y C y +=为方程(1)的通解，这里1C 与2C 为任意常数．证按假设)(1x y 与)(2x y 为方程(1)的解，所以有下式成立0111=+'+''qy y p y ，0222=+'+''qy y p y ．又 2211y C y C y +=， 2211y C y C y '+'='， 2211y C y C y ''+''=''．代入(1)式左端，得()()()221122112211y C y C q y C y C p y C y C qy y p y ++'+'+''+''=+'+'' 0)()(22221111=+'+''++'+''=qy y p y C qy y p y C ．即2211y C y C y +=为方程(1)的解．在)()(12x y x y 不恒等于常数的条件下，2211y C y C y +=中含有两个相互独立的任意常数1C 和2C ，所以2211y C y C y +=是方程(1)的通解．由此定理可知，求方程(1)的通解问题，归结为求(1)的两个相互独立的特解．为了寻找这两个特解，注意到当r 为常数时，指数函数rx y e =和它的各阶导数只相差一个常数因子，因此不妨用rx y e =来尝试．设rx y e =为方程(1)的解，则rx r y e ='，rx r y e 2=''，代入方程(1)得.0)(2=++rx e q pr r由于0e ≠rx ，所以有.02=++q pr r (2) 只要r 满足(2)式，函数rx y e =就是微分方程(1)的解．我们把代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程，特征方程的根称为特征根．由于特征方程是一元二次方程，故其特征根有三种不同的情况，相应地可得到微分方程(1)的三种不同形式的通解．(ⅰ) 当042>-q p 时，特征方程(8-23)有两个不相等的实根1r 和2r ，此时可得方程(1)的两个特解：x r y 1e 1=， x r y 2e 2=，且≠=-x r r y y )(1212e /常数，故x r x r C C y 21e e 21+=是方程(1)的通解．(ⅱ) 当042=-q p 时，特征方程(8-23)有两个相等的实根21r r =，此时得微分方程(1)的一个特解x r y 1e 1=．为求(1)的通解，还需求出与x r 1e 相互独立的另一解2y ．不妨设)(/12x u y y =，则)(e 12x u y x r =， )(e 121u r u y x r +'='， )2(21121u r u r u e y x r +'+''=''．将22,y y '及2y ''代入方程(1)，得 0])()2[(e 12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u x r ．将上式约去x r 1e 并合并同类项，得0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u ．由于1r 是特征方程(2)的二重根，因此，0121=++q pr r ，且021=+p r ，于是得0=''u ．不妨取x u =，由此得到微分方程(1)的另一个特解x r x y 1e 2=，且≠=x y y 12/常数，从而得到微分方程(1)的通解为x r x r x C C y 11e e 21+=，即)(e 211x C C y x r +=．(ⅲ) 当042<-q p 时，特征方程(2)有一对共轭复根βαi r +=1，βαi r -=2．于是得到微分方程(1)的两个特解x i y )(1e βα+=，x i y )(2e βα-=．但它们是复数形式，为应用方便，利用欧拉公式θθθsin cos e i i +=将1y 和2y 改写成)sin (cos e 1x i x y x ββα+=，)sin (cos e 2x i x y x ββα-=．于是得到两个新的实函数x y y y x βαcos e )(21211=+=， x y y iy x βαsin e )(21212=-=．可以验证它们仍是(1)的解，且≠=x y y βtan /12常数，故微分方程(1)的通解为)sin cos (e 21x C x C y x ββα+=．综上所述，求微分方程(1)通解的步骤可归纳如下：第一步写出微分方程(1)的特征方程02=++q pr r ，求出特征根；第二步根据特征根的不同形式，按照下表写出微分方程(1)的通解：表1特征方程02=++q pr r 的根21,r r 微分方程0'''=++qy py y 的通解两个不等实根21r r ≠ x r x r C C y 21e e 21+=两个相等实根21r r = x r x C C y 1e )(21+=一对共轭复根βαi r ±=2,1 )s i n c o s (e 21x C x C y x ββα+=例 1 求微分方程043=-'+''y y y 的通解．解所给微分方程的特征方程为0432=-+r r ．特征根为121, 4.r r ==- 于是，所求微分方程的通解为x x C C y 421e e -+=．例 2 求微分方程044=+'-''y y y 的满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解．解所给微分方程的特征方程为0442=+-r r ．特征根221==r r ．故所求微分方程的通解为)(e 212x C C y x +=．求导得x x C x C C y 22212e )(e 2++='．将初始条件1|0==x y 及1|0='=x y 代入以上两式求得.1,121-==C C 故所求特解为)1(e 2x y x -=．例 3 设函数)(x f 可导，且满足⎰⎰-++=xx t t f x t t tf x x f 00d )(d )(21)(．试求函数)(x f .解由上述方程知(0)1f =．方程两边对x 求导得⎰-='xt t f x f 0d )(2)(．由此可得(0)2f '=．上式两边再对x 求导得)()(x f x f -=''．这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为,012=+r特征根.,21i r i r =-= 于是，所求微分方程的通解为12()cos sin .f x C x C x =+由此得.cos sin )(21x C x C x f +-='由(0)1f =，(0)2f '=得.2,121==C C 所以.sin 2cos )(x x x f +=本节介绍的求二阶常系数齐次线性微分方程通解的原理和方法，也可以用于求解更高阶的常系数齐次线性方程．例 4 求四阶微分方程08)4(='+y y 的通解．解所给微分方程的特征方程为084=+r r ，即,0)42)(2(2=+-+r r r r 其特征根为.31,2,04,321i r r r ±=-= 于是得方程的通解).3sin 3cos (e e 43221x C x C C C y x x +++=-2．二阶常系数非齐次线性微分方程从第二节的讨论知，一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与非齐次线性方程的一个特解之和．而二阶常系数非齐次线性微分方程具有相类似的性质．定理2 设()y y x **=是二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''(3)的一个特解，而Y 为对应于方程(3)的齐次线性微分方程的通解，则y Y y *=+为方程(3)的通解．由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求：错误！未找到引用源。

二阶常系数线性齐次微分方程

二阶常系数线性齐次微分方程在微积分中，二阶常系数线性齐次微分方程是一个非常重要的概念。

它在数学和物理学领域中广泛应用，并且具有丰富的解法和性质。

本文将介绍二阶常系数线性齐次微分方程的基本定义、解法和一些应用。

一、定义二阶常系数线性齐次微分方程是指形如以下形式的微分方程：\[ay''+by'+cy=0\]其中$a$、$b$、$c$为常数，$y$是自变量$x$的函数。

二、特征方程和特解为了求解上述微分方程，首先需要求解其对应的特征方程。

将$y=e^{rx}$代入微分方程可以得到特征方程：\[ar^2+br+c=0\]解特征方程可以得到两个互不相同（或相同）的根$r_1$和$r_2$。

根据这些根的不同情况，可以得到微分方程的通解。

情况一：$r_1$和$r_2$为实数且不相等。

此时通解为：\[y=c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}\]其中$c_1$和$c_2$为任意常数。

情况二：$r_1$和$r_2$为实数且相等。

此时通解为：\[y=(c_1+c_2x)e^{r_1x}\]其中$c_1$和$c_2$为任意常数。

情况三：$r_1$和$r_2$为共轭复数。

此时通解为：\[y=e^{ax}(c_1\cos bx+c_2\sin bx)\]其中$a$和$b$为实数，$c_1$和$c_2$为任意常数。

三、应用举例二阶常系数线性齐次微分方程在物理学和工程学中有广泛应用。

以下是几个简单的应用举例。

1. 振动方程振动系统通常可以用二阶常系数线性齐次微分方程来描述。

例如自由振动的弹簧质量系统的运动方程可以表示为：\[m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}+kx=0\]其中$m$为质量，$k$为弹性常数，$x$为位移。

2. 电路方程电路中的某些电路元件，如电感、电容和电阻，遵循二阶常系数线性齐次微分方程。

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即 y1u (2 y1 P( x) y1 )u 0, 令v u,
则有 y1v (2 y1 P( x) y1 )v 0,
y1v (2 y1 P( x) y1 )v 0 v的一阶方程
降阶法
解得 v 1 e , P( x)dx
y2 1
1).函数的线性相关性
定义：设 y1 , y2 , , yn为定义在区间I 内的n个
函数．如果存在n个不全为零的常数，使得当 x
在该区间内有恒等式成立
k1 y1 k2 y2 kn yn 0，
那么称这 n 个函数在区间I 内线性相关．否
则称线性无关
例如当x (, )时， e x，ex , e2x线性无关
cx1c(1x(
x) )
e
e
x
c

2
(
xc2 ( x
x) 0 ) x
1
解得
c1( x) 1 c2 ( x) xex
c1( x) x C1， c2( x) xex ex C2 原方程的通解为 y C1x C2e x x2 x 1.
设非齐次方程通解为 y c1( x) y1 c2( x) y2
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
设 c1( x) y1 c2 ( x) y2 0
(4)
y c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x) y1 c2( x) y2
积分可得
c1( x) C1
y2 f ( x) dx, w( x)
c2( x) C2
y1 f ( x) dx, w( x)
非齐次方程通解为
y C1 y1 C2 y2 y1
y2 f ( x) dx w( x)

y2
y1 f ( x) dx. w( x)
例求方程 y x y 1 y x 1的通解. 1 x 1 x
u
1
e
P(
x )dx
dx
y2 1
y2 y1
1
e
P(
x )dx
dx,
y2 1
齐次方程通解为
刘维尔公式
y C1 y1 C2 y1
1 y12
e

P
(
x
)dx
dx
.
2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法
设对应齐次方程通解为 y C1 y1 C2 y2 (3)
(5)
(4),(5)联立方程组
cc11
( (
x x
) )
y1 y1

c2( x) c2( x)
y2 y2

0 f
(x)
系数行列式 w( x) y1 y2 0, y1 y2

c1( x)

y2 f w(
(x) x)
,
c2 ( x)
y1 f ( x) , w( x)
例如 y y 0, y1 cos x, y2 sin x,
且 y2 tan x 常数, y1
y C1 cos x C2 sin x.
2.二阶非齐次线性方程的解的结构
1)通解的构成
定理 3 设 y*是二阶非齐次线性方程
y P( x) y Q( x) y f ( x) (2)
f2(x)
的特解,
那么
y* 1

y* 2
就是
y P(x)y Q(x)y f1(x) f2(x) 的特解.
(二) 降阶法与常数变易法 1.齐次线性方程求线性无关特解------降阶法
设y1是方程(1)的一个非零特解，
令 y2 u( x) y1
代入(1)式, 得
y1u (2 y1 P( x) y1 )u ( y1 P( x) y1 Q( x) y1 )u 0,
1，cos2 x, sin2 x 线性相关
特别地，若在 I 上有 y1( x) 常数，则函数 y1 ( x)与
y2 ( x)
y2 ( x)在 I 上线性无关.
2)二阶齐次线性方程的通解
定理 2：如果 y1 ( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
无关的特解, 那么 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解.
将 y, y, y 代入方程(2), 得
c1( x) y1 c2 ( x) y2 c1( x)( y1 P( x) y1 Q( x) y1) c2( x)( y2 P( x) y2 Q( x) y2 ) f ( x)
c1( x) y1 c2 ( x) y2 f ( x)
的一个特解 , Y 是与 (2) 对应的齐次方程 (1) 的通解 , 那么 y Y y*是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.
2) 特解的叠加原理
定理 4
y1*与
y* 2
分别是方程
y P( x) y Q( x) y f1( x)，
y P(x) y Q(x) y
(3) 若1 P( x) Q( x) 0, 特解 y ex .
(三）齐次线性方程
• 1.定义 y py qy f ( x) 齐次线性方程
• 2. 解法
1、由对结果的猜想得：
r
2
yerx .
prq0
解 1 x 1 0, 1 x 1 x
对应齐方一特解为 y1 e x , 由刘维尔公式
y2 e x
1
e

x 1 x
dx
dx

x,
e2x
对应齐方通解为 Y C1x C2e x .
设原方程的通解为 y c1( x)x c2 ( x)e x , c1( x)，c2 ( x) 应满足方程组
小结
主要内容线性方程解的结构；
线性相关与线性无关；
降阶法与常数变易法；
补充内容
y P( x) y Q( x) y 0
可观察出一个特解
(1) 若P( x) xQ( x) 0,, 特解 y e x;