惠州市华杯赛初二测试题(含答案)-
初二华杯赛试题及答案
初二华杯赛试题及答案一、选择题（每题6分，共30分）1. 已知一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，那么这个三角形的周长是多少？A. 16B. 21C. 26D. 31答案：B2. 一个数的平方等于36，这个数是多少？A. 6B. -6C. 6或-6D. 以上都不是答案：C3. 如果一个圆的直径为10，那么这个圆的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B4. 已知一个二次方程ax²+bx+c=0的两个根为2和-3，那么a+b+c的值是多少？A. 1B. -1C. 5D. -5答案：B5. 一个正整数n，如果n+4和n-2都是完全平方数，那么n的最小值是多少？A. 6B. 8C. 10D. 12答案：A二、填空题（每题8分，共40分）6. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，那么这个三角形的斜边长是多少？答案：57. 一个数列的前三项为1，2，4，从第四项开始，每一项都是前三项的和，那么这个数列的第五项是多少？答案：78. 一个多项式P(x)=x³-6x²+11x-6，那么P(2)的值是多少？答案：29. 一个等差数列的前三项为2，5，8，那么这个数列的第10项是多少？答案：2310. 一个等比数列的前三项为2，6，18，那么这个数列的第5项是多少？答案：54三、解答题（每题15分，共30分）11. 已知一个二次方程x²-5x+6=0，求出这个方程的两个根，并验证这两个根的和与积是否符合二次方程的根与系数的关系。
答案：首先，我们可以通过因式分解法解这个二次方程：x²-5x+6 = (x-2)(x-3) = 0所以，这个方程的两个根为x₁=2和x₂=3。
接下来，我们验证这两个根的和与积是否符合二次方程的根与系数的关系：根的和：x₁+x₂=2+3=5，与二次方程的系数b=-5相等；根的积：x₁x₂=2×3=6，与二次方程的系数c=6相等。
第23届华杯赛【初二组】初赛参考答案
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（初二组）一、选择题1. 计算：121272)3(332-+---的值是（ ）. A.27+- B.21+- C.223-- D.1-【答案】B【解析】2112383+-=+++-=原式故答案选B. 2. 右图中，ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点，延长AD 至E 使得10=AE ，如果︒=∠60BCE ，那么BD 的长是（ ）.A.3310B.35C.335 D.5 【答案】C【解析】在ABD ∆和ECD ∆中，)(AAS ECD ABD CD BD EDC ADB ECD ABD ∆≅∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠则5==DE AD ，则33535==BD ，故答案选C.3. 关于y x 、的方程)20181(21024≤≤=+b b y x 有整数解，则b 有（ ）个不同的取值.A.218B.219C.330D.336【答案】D【解析】x 24和y 210都是6的倍数，则b 的取值一定是6的倍数，33662018=÷，则b 一共有336种不同的取值.4. 设m 是自然数，42+=m a ，4)1(2++=m b ，那么a 与b 的最大公约数的最大值是（ ）.A.5B.7C.17D.19【答案】C【解析】12)4(41222+=+-+++=-m m m m a b ，a 与b 的最大公约数为12+m ，若212=+m ，则2=m ，8=a ，13=b ，显然不符合；若712=+m ，则3=m ，13=a ，20=b ，显然不符合；若1712=+m ，则8=m ，68=a ，85=b ，最大公约数为17，符合条件； 若1912=+m ，则9=m ，85=a ，104=b ，显然不符合；则a 与b 的最大公约数的最大值是17，故答案选C.5. 在平行四边形ABCD 中，AB AD 2=，M 是AD 的中点，AB CE ⊥与E ，若︒=∠150DME ，则=∠CEM （ ）.A.︒30B.︒40C.︒50D.︒60【答案】B【解析】连接MC ，则DC DM =，过AB MN //，则N 为BC 的中点，且CE MN ⊥，则MN 为CE 的垂直平分线，则MC ME =，设x MCE MEC =∠=∠，则x MEA -︒=∠90，则x A +︒=∠60，则x D -︒=∠120，有因为CD CE ⊥，x DCM DMC -︒=∠=∠90，则︒=-︒+-︒180120)90(2x x ，解得︒=40x ，则︒=∠40CEM .6. 一辆电动汽车充满电后，按照从甲地开到乙地，再返回到甲地的行车路线行驶，如果该车去程开空调，返程不开，那么该车正好在电量用完时回到甲地，如果该车全程不开空调，那么该车跑完全程时还剩下40%的电量，如果该车全程开空调，那么从乙地返回甲地时，在距离甲地36千米处电量耗尽，则甲乙两地相距（ ）千米.A.63B.120C.210D.270【答案】A【解析】解：设甲乙两地距离为S 千米，开空调每千米耗电x ，不开空调每千米耗电y ，总电量为1；根据三种情况，可以得到：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==+③1)36(②%602①1S x xS yS yS xS ②①可以得到x y 73=，代入①式得到Sx 107=，代入③中，得到63=S ， 故答案选A.二、填空题7. 已知b a 、是有理数，x 是无理数，如果201722017842018220186322⨯-+-⨯+--x bx bx x ax ax 是有理数，则______=ba . 【答案】60518072- 【解析】222220171620182017420183201712)20174)(20174()20174)(20183(2017420183)2(2017)2(4)2(2018)2(3-⨯+⨯-⨯-=-+--=+-=-+----=x b bx ax abx bx bx bx ax bx ax x x bx x x ax 原式结果是有理数，则04201832017=⨯-⨯-bx ax ，化简得60518072-=b a 8. 已知201821,,,x x x ⋅⋅⋅的每个数的值都等于1-或1，若4201821=+⋅⋅⋅++x x x ，则201820174321x x x x x x -+⋅⋅⋅+-+-的最大值是______.【答案】2014【解析】由于201821,,,x x x ⋅⋅⋅这2018个数里面有1011个1,1007个1-，可以保证4201821=+⋅⋅⋅++x x x ， 则201820174321x x x x x x -+⋅⋅⋅+-+-的最大值为20140010072=++⨯.9. 设p 是小于1000的质数，且n m p =+12，其中m n 、都是大于1的自然数，则p 的值是______.【答案】13【解析】当13=p ，3==n m 时，满足273123==+p ，则13=p .10. 用[]a 表示不大于a 的最大整数，例如[]32.3=，[]44.3-=-，[]12=，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-+⋅⋅⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-1092018103109210310911031090103等于______.【答案】17511【解析】175112511325612963762561360=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯=原式。
(完整word版)年华杯赛初二试题(A)卷解析word版
总分第十八届华罗庚金杯少年邀请赛初赛试题A （初二组）（时间2013年3月23日10：00～11：00）一、选择题（每题10分，满分60分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
） 1．计算：()1-2127--2-3332+=( ). A ．-1B ．-1+2C ．-3-2D ．-7+2解析：原式=3-8-（-3）+（12+）= 1-2,选B 。
2． 如果关于x, y 的方程组 3x+4y=m+n-4的解满足0y x =+, 那么mn 的值等于（ ）. x-2y= 3m-2n+3 A.0B.1C.2D.3解析：根据根式的意义，可知道x=y=0，可将有关x, y 的方程组转化为m ，n 的方程，解得m=1，n=3，mn 的值等于3，选D 。
3． 如图, 在直角坐标系Oxy 中, A, B 分别是x 轴和y 轴上的点, 四边形OACB 是矩形, 别与AC, BC 交OA=7, OB=4. 已知反比例函数y=xk（k>0）在第一象限的图象分于F, E. 当△ECF 的面积等于732时, k 的值等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14解析：根据题意，F, E 在反比例函数y=x k 图象上， E 点坐标（4k ，4），E 点坐标（7，7k ），所以EC=7-4k ,CF=4-7k, S △ECF=732=(7-4k )(4-7k)÷2 化简的k 2-56k+528=0，配方得（k-28）2=256，所以k-28=16，k=12。
答案为C 。
4．如图, 正方形ABCD 中, M, N 是边AB 上的点, E, F 是边CD 上的点, 连接AF, BE, CM,DN 交成四边形PQRS. 若AM = NB = CF = DE = 1, MN = 4. 则四边形PQRS 的面积等于（ ）.A ．53B ．54 C ．1 D ．56 解析：由对称性,易知PS=SR=RQ=QP ，四边形PQRS 是菱形，不是正方形。
18~22届华杯赛初二组初赛试题及参考答案
A. a b c
B. 2b a c
C. 3b a c
19.【第 22 届华杯赛初赛卷第 2 题】
D. 3b a c
已知实数 a、b 满足 a2 b2 1和ab 2a b 2 0 ，则 3 a 2b 的值等于 ______ .
A. 2 2
B.1 3
C. 2 2
D. 2
7
A.8
B.10
C.12
D.14
2.【第 18 届华杯赛初赛 B 卷第 2 题】
以 O(0,0), B(40,20),C(60,0) 为顶点的三角形的三边上，整点（横坐标和纵坐标都是整
数的点）的个数是 ______ .
A.81
B.90
C.100
D.103
3.【第 19 届华杯赛初赛卷第 7 题】
4
2
13.【第 20 届华杯赛初赛卷第 2 题】
已知实数 a、b、c 满足{a b} {b c} {c a} 1 ，其中的{x}定义为 x [x] ，[x] 表 3
示不大于 x 的最大整数，那么{a b c}有 ______ 种可能的取值.
A.1
B.2
C.3
D.4
14.【第 20 届华杯赛初赛卷第 5 题】
满足式子 x 5 y 2 10 的整数对 (x, y) 有 ______ 对.
A.40
B.42
C.43
D.45
12.【第 19 届华杯赛初赛卷第 6 题】
关于 x 的方程 x2 2 m x 有 3 个互不相同的解，则 m 的最大值是 ______ .
A. 9
B. 3
C. 9
D. 7
2
4
9.【第 18 届华杯赛初赛 B 卷第 9 题】
初二华杯赛练习题
初二华杯赛练习题参赛选手必读一、比赛时间和地点初二华杯赛将于2022年5月15日在学校体育馆举行，比赛将于上午8点正式开始，请选手务必提前到场，做好准备。
二、比赛内容和要求1. 单项赛事初二华杯赛将包括以下单项赛事：100米短跑、400米长跑、跳远、铅球投掷和接力赛。
选手可以根据自己的特长选择报名参加相应项目。
2. 比赛规则（1）100米短跑- 选手需在指定的起跑线上就位，并在发令枪声响起后开始比赛。
- 比赛过程中，选手需全力冲刺，尽量减少摔倒和失速情况的发生。
- 到达终点后，选手需等待工作人员测定成绩，或记录使用电子计时设备。
（2）400米长跑- 选手需在指定的起跑线上就位，并在发令枪声响起后开始比赛。
- 比赛过程中，选手需要合理控制速度，并在比赛结束前完成全部圈数。
- 到达终点后，选手需等待工作人员测定成绩，或记录使用电子计时设备。
（3）跳远- 选手需站立在起跳线上，并在发令枪声响起后开始比赛。
- 比赛过程中，选手需要全力跳远，跳跃时应保持身体姿势平衡稳定。
- 在跳远过程结束后，选手需等待裁判员判定成绩，并进行记录。
（4）铅球投掷- 选手需站立在投掷区域内，并在发令枪声响起后开始比赛。
- 比赛过程中，选手需将铅球投掷出指定区域，并尽量达到最远的投掷距离。
- 最终成绩将由裁判员进行测定和记录。
（5）接力赛- 接力赛分为4人接力和8人接力两个项目，选手需按照规定次序进行接力。
- 在接力过程中，选手需要快速将接力棒传递给下一个接力队员，并保持队列正确的次序。
- 到达终点后，选手需等待工作人员测定成绩，或记录使用电子计时设备。
三、比赛装备要求1. 服装- 选手需穿着符合规定的运动服装参赛，运动服装应具备舒适、透气的特性。
- 在比赛过程中，选手不得穿着长裤、牛仔裤等非运动装备。
2. 鞋类- 选手应穿着专业的运动鞋参赛，在短跑和长跑项目中需选择合适的跑鞋。
- 不得穿着凉鞋、拖鞋、高跟鞋等不符合比赛要求的鞋类。
华杯赛初二试题及答案
华杯赛初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 圆的面积公式为S=πr^2B. 圆的面积公式为S=2πrC. 圆的周长公式为C=πdD. 圆的周长公式为C=2πr答案：A2. 如果一个数的平方等于其本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或1答案：D3. 以下哪个选项是二次方程的一般形式？A. ax^2 + bx + c = 0B. ax^2 + bx + cC. ax^2 + bx = cD. ax^2 = bx + c答案：A4. 一个三角形的内角和是多少度？A. 90度B. 180度C. 360度D. 720度答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么它的体积是______cm³。
答案：242. 一个数的相反数是-5，那么这个数是_____。
答案：53. 如果一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，那么第三边长x满足的不等式是_____。
答案：1<x<74. 一个数的绝对值是4，那么这个数可以是_____或_____。
答案：4或-4三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个等腰三角形的两条腰长为5cm，底边长为6cm，求这个三角形的面积。
答案：首先，我们需要确定这个三角形的高。
由于这是一个等腰三角形，我们可以将底边平分，得到两个直角三角形，每个直角三角形的两条直角边分别为3cm（底边的一半）和高h。
根据勾股定理，我们有：(3cm)^2 + h^2 = (5cm)^29 + h^2 = 25h^2 = 16h = 4cm现在我们可以计算三角形的面积：面积 = (底边长 * 高) / 2 = (6cm * 4cm) / 2 = 12cm²2. 一个数列的前三项为1, 2, 4，且从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求这个数列的第10项。
答案：这个数列的规律是每一项都是前三项的和。
华赛杯初二试题及答案
华赛杯初二试题及答案一、选择题1. 下列哪项是华赛杯初二试题的特点？A. 题目难度适中B. 题目涉及多个学科C. 题目全部为选择题D. 题目全部为填空题答案：A2. 华赛杯初二试题的评分标准是什么？A. 每题1分B. 每题2分C. 每题3分D. 每题4分答案：B3. 华赛杯初二试题的考试时间是多久？A. 60分钟B. 90分钟C. 120分钟D. 150分钟答案：C4. 华赛杯初二试题的考试形式是什么？A. 闭卷考试B. 开卷考试C. 口头测试D. 实验操作答案：A5. 华赛杯初二试题的命题范围主要包括哪些学科？A. 语文、数学、英语B. 数学、物理、化学C. 历史、地理、生物D. 语文、数学、英语、物理、化学答案：D二、填空题6. 华赛杯初二试题的命题团队由_______、_______和_______三部分组成。
答案：命题专家、学科教师、教育学者7. 华赛杯初二试题的命题原则是_______、_______和_______。
答案：科学性、公平性、创新性8. 华赛杯初二试题的评分方式是_______，确保评分的客观性和公正性。
答案：机器阅卷9. 华赛杯初二试题的考试目的是_______和_______。
答案：检验学习效果、选拔优秀学生10. 华赛杯初二试题的考试结果将作为_______和_______的重要依据。
答案：学生评价、学校选拔三、简答题11. 请简述华赛杯初二试题在教学中的作用。
答案：华赛杯初二试题在教学中的作用主要体现在检验学生的学习成果，激发学生的学习兴趣，促进教师教学方法的改进，以及选拔具有学术潜力的学生。
12. 请简述华赛杯初二试题在学生学习过程中的重要性。
答案：华赛杯初二试题在学生学习过程中的重要性体现在帮助学生巩固和深化课堂所学知识，培养学生的解题技巧和应试能力，以及提高学生的自信心和学习动力。
13. 请简述华赛杯初二试题的命题流程。
答案：华赛杯初二试题的命题流程包括确定命题范围、组织命题团队、制定命题计划、进行试题编写、进行试题审核和修订、以及最终的试题发布。
历届华杯赛初二试题及答案
历届华杯赛初二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 如果一个数的平方等于该数本身，那么这个数可能是：A. -1B. 1C. 2D. 0答案：B, D3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A4. 一个数列的前三项为2, 4, 6，如果这是一个等差数列，那么第四项是：A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B二、填空题（每空5分，共30分）1. 一个数的立方根是2，这个数是________。
答案：82. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是________平方厘米。
答案：78.53. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，两腰相等，如果它的周长是18厘米，那么腰长是________厘米。
答案：64. 一个数的绝对值是5，这个数可以是________或________。
答案：5 或 -5三、解答题（每题25分，共50分）1. 解方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]答案：首先，我们可以通过因式分解来解这个方程：\[ (x - 2)(x - 3) = 0 \]因此，\( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
2. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。
答案：根据三角形的三边关系，如果对于任意三角形的两边a和b，它们的和大于第三边c（即a + b > c），那么这个三角形是存在的。
这是因为，如果a + b ≤ c，那么a和b的延长线将会相交于c的延长线上，而不是形成一个封闭的三角形。
因此，这个条件保证了三角形的存在性。
结束语以上是历届华杯赛初二试题及答案的示例。
这些题目旨在考察学生的数学基础知识和解题技巧。
希望这些示例能够帮助学生更好地准备华杯赛，提高他们的数学能力。
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惠州市华杯赛测试题二（初二）
1．圆上的100个点将该圆周等分为100段等弧. 随意将其中的一些点染成红点，要保证至少有4个红点是一个正方形的4个顶点.那么最少要染红个点。
解:至少要染红76个点.
如图所示：圆的一对直径AC，BD互相垂直时，则ABCD恰
是一个正方形. 反过来，如果圆上的四点A、B、C、D恰是一个
正方形ABCD的4个顶点，则对角线AC，BD恰是该圆的一对
互相垂直的直径. 圆上的100个点将该圆等分为100段等弧.恰有
25对互相垂直的直径，由互相垂直的直径的4个端点恰可构成25
个不同的正方形. 最不利的情形是：每对互相垂直的直径的4个
端点中染红3个点，则总计在圆的100个等分点中染红了75个点，
其中任意的4个红点都不是一个正方形的4个顶点.
这时，我们只要再染一个红点，即染76个红点，而76 =3×25+1，就必定会出现一个正方形的4个顶点都是红点. 因此，要保证至少有一个正方形的4个顶点为红点，至少要将这100个等分点中的76个点染成红点.
2．只有一个数码是6，且能被3整除的五位数共有_______个.
解:如果将6去掉，得到的4位数一定是3的倍数。
3的倍数中最大的4位数是9999，最小的4位数是1002，.
≥
≥
≥k
k一共3000个。
这3000个数中，至
9999≥
334
3
3333
1002
,
少有一位数是6的有1200个（个位数是6的有300个；十位是6的有300个，同样百位是6的有300个，千位是6的有300个）。
至少有两位数是6的有180个（个个位十位同时是6有30个；个位百位同时是6有30个；个位千位同时是6有30个；十位百位同时是6有30个；十位千位同时是6有30个；百位千位同时是6有30个）。
至少有三位数是6的有12个。
四位数都是6的有1个。
因此，4 为数中能被3整除，且不含数码6的数有
+
3000=
-
1200
-
+
(
个）。
180
1969
1
12
每一个这样的数有5个位置安插数码6，可以得到9845个数。
答。
9845个。
3.20)1(x (1+x)20除以1-x 2的余式.为_________________.
解:设(1+x)20除以1-x 2所得的商为Q(x), 余式为px+q, 则由带余除法恒等式得
(1+x)20=(1-x 2)Q(x)+px+q
令 x=1, -1分别代入上式, 得
220=p+q, 0=-p+q
解之得 p=q=219, ∴ 所求余式为219(x+1).
4．用大小相同的正六边形瓷砖按如图4所示的方式来铺
设广场，中间的正六边形瓷砖记为A ，定义为第一组，
在它的周围铺上六块同样大小的正六边形瓷砖，定义
为第二组，在第二组的外围用同样大小的正六边形瓷
砖来铺满，定义为第三组，…，按这种方式铺下去，
用现有的2005块瓷砖最多能完整地铺满_______组，
此时还剩余__________块瓷砖。
解：26；54 5. 甲、乙两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘
的条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪1万元，每年加工龄工资200元，B 公司，半年薪5000元，每半年加工龄工资50元，从经济收入的角度考虑的话，选择哪家公司有利一些？
解： 分别列出第一年、第二、……、第n 年的实际收入：
第一年：
A 公司：10000(元) （A 一年发一次薪；
B 半年发一次薪）
B 公司：5000+5050=10050(元)
第二年：
A 公司：10200(元)
B 公司：5100+5150=10250(元)
……
一般地，第n 年
A 公司：10000+(n-1)•200(元)
B 公司：[5000+(n-1)•100]+[5000+(n -1)•100+50]=10050+(n -1)•200
也就是说，在B 公司工作，永远比A 公司工作的年收入多50元，所以选择B 公司有利一些.
6. 已知ax +by =7, ax 2+by 2=49, ax 3+by 3=133, ax 4+by 4=406, 试求: 1995(x +y )+6xy -217(a +b )的值.
分析 ax 2+by 2可用ax +by , x +y , a +b , xy 的关系式表示出来, 类似地, ax 3+by 3可用ax 2+by 2, ax +by , x +y , xy 的关系式表示出来, ax 4+by 4可用ax 3+by 3, ax 2+by 2, x +y , xy 的关系式表
示出来, 再将已知条件代入, 即可求得x +y , xy , a +b 的值, 于是可以求出所要求的值.
解．. 因为 (ax +by )(x +y )=(ax 2+by 2)+xy (a +b )
(ax 2+by 2)(x +y )=(ax 3+by 3)+xy (ax +by )
(ax 3+by 3)(x +y )=(ax 4+by 4)+xy (ax 2+by 2)
所以 7(x +y )=49+xy (a +b ) (1)
49(x +y )=133+7xy (2)
133(x +y )=406+49xy (3)
由(2)、(3)解得 x +y =2.5, xy =-1.5
代入(1)得 a +b =21
∴ 1995(x +y )+6xy -2
17(a +b ) =1995×2.5+6×(-1.5)-2
1721⨯ =4987.5-9-178.5=4800.
7．每天早上，李刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步。
他们每天相向而行，并且准时在途中相遇。
有一天，李刚提早出门，因此比平时早7分钟与张大爷相遇。
已知李刚步行速度是70米 / 分，张大爷步行速度是40米 / 分。
问那一天李刚比平时早出门多少分钟？
解。
设平常相遇的时刻为0，那么这一天相遇的时刻是-7，设李刚平日在-t 时刻出门，大爷在-T 时刻出门。
则李、张二家的路程是
,4070))(0(40))(0(70T t T t L +=--+--=
设这一天李刚在-x 时刻出门，比平日早x-t 分钟。
因此，
),7(40)7(70))(7())(7(70-+-=---+---=T x T x L
比较以上两个式子，
.
11,770)(70,
40702804049070=-=-+=-+-t x t x T t T x
即李刚提前11分钟出门。
答:李刚提前11分钟出门。
8．n 个球放在3p+1个箱子中（可以放0个），无论怎样放都有4个箱子的球数一样多，若n 的最大值与n 的最小值的比为97
99，求n 的最大值。
解:当12
)1(3-+->p p p n 时，拿出3p 个箱子，每3个一组，p 个组，分别放入0，1，2，……,p-1个球，以共有
2)1(3-p p 个球，余下12)1(3->--p p p n 个球，全部放入最后一个箱子中。
这样就没有4个箱子有同样的球数。
当12
)1(3-+-=p p p n 时，都有4个箱子中的球数相同。
所以，12)1(3-+-=
p p p n 是最大值。
要使得n 最小，就得用3p 个箱子，每3个一组，p 个组，分别放入0，1，2，……,p-1个球，以共有2)1(3-p p 个球，余下一个箱子放0个球，一共2
)1(3-p p ，所以，n 的最小值是2
)1(3-p p 。
我们得到， 3(1)11512(1)2211,100.3(1)1503(1)32
p p p p p p p p p p
-+--==+=+=-- ∴3100(1001)100114949.2
n ⨯-=+-=的最大值。