梅森素数：千年不休的探寻之旅
稀奇素数探奇
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稀奇素数探奇
作者：马长冰马朝翰
来源：《福建中学数学》2009年第10期
(一)
素数作为最古老的也是最经典的数学课题,即使发展到今天这样的数字时代,仍然吸引着广大的数学爱好者.
一方面,发挥电子计算机的优势,探寻梅森大素数.马林·梅森(Marin Mersenne,1588–1648)是17世纪法国著名的数学家,也是当时欧洲科学界的一位中心人物.2007 年秋季,美国加州大学洛
杉矶分校(UCLA)的计算机专家埃德森·史密斯利用数学系所有的计算机参加了一个名为“因特
网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目.他在计算机发现了超大的素数.9 月16 日,GIMPS 网站正式向外界公布史密斯的发现,这是人类迄今为止发现的第46 个也是最大的梅森素数: 243112609-1,它有12978189位数,如果用普通字号将这个巨数连续写下来,这个梅森素数的长度可超过50 公里!这让国际数学界乃至科技界为之欣喜不已.当然,歌德巴赫猜想和孪生素数猜想也是数学家追梦的最高境界.。
令人着迷的梅森素数
令人着迷的梅森素数作者：邵红能来源：《百科知识》2017年第10期2016年1月7日，美国数学家库珀发现第49个梅森素数274207281-1，即2的74207281次方减1。
这个超大素数有22338618位，是目前已知的最大素数。
如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65千米！梅森素数是一种特殊的素数，它是数论研究的一项重要内容，也是当今科学研究的热点与难点之一。
所谓梅森数，是指形如2p-1的一类数，其中指数p是素数，常记为Mp 。
如果梅森数是素数，就称为梅森素数。
用因式分解法可以证明，若2n-1是素数，则指数n也是素数;反之，当n是素数时，2n-1却未必是素数。
前几个较小的梅森数大都是素数，然而梅森数越大，梅森素数也就越难出现。
是否存在无穷多个梅森素数是数论中未解决的著名难题之一，300多年来，人类仅发现49个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。
梅森素数的神秘诞生1588年9月8日，数学家梅森出生在法国奥泽的一个工人家庭，16岁时进入耶稣会办的学校学习，1609年从巴黎的索邦神学院毕业后任神职人员，1619年到拉农西亚德女修道院教授神学和哲学。
梅森有很高的科学素养，其研究涉及声学、光学、力学、航海学和数学等多个学科，并有“声学之父”的美誉。
他是17世纪欧洲科学界一位独特的、极具魅力的人物，他学识广博、才华横溢，是当时法国许多科学家的密友。
当时，大多数科学家喜欢以相互通信的方式交流科学思想，许多数学家都乐于将研究成果寄给梅森，然后凭借他热情诚挚的性格和丰富的社交圈，研究成果会在科学界广泛传播开来。
梅森起到了科学交流的桥梁作用，被誉为“有定期数学杂志之前的数学的交换站”。
由于梅森学识渊博、才华横溢、为人热情以及最早系统而深入地研究2p-1型的数，为了纪念他，1897年在瑞士苏黎世举行的首届国际数学家大会（ICM）就将2p-1型的数称为梅森数，并以Mp记之（其中M为梅森姓氏的首字母）;如果Mp为素数，则称之为梅森素数。
数学珍宝梅森素数
数学珍宝梅森素数 ——迄今人类仅发现47个已知最大的梅森素数法国数学家马林_梅森数学珍宝梅森素数众所周知，素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7、11等等。
2300年前，古希腊数学家欧几里得就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2p-1”的形式，这里的指数p也是一个素数。
这种特殊形式的素数具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家(包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代等)和无数的业余数学爱好者对它进行探究。
17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是其中成果较为卓著的一位，因此后人将形如“2p-1”的正整数，其中指数p是素数，称为梅森数(Mersenne number)。
梅森数常记为Mp。
若Mp是素数，则称为梅森素数(Mersenne prime)。
p＝2，3，5，7时，Mp都是素数，但M11＝2047＝23×89不是素数。
已发现的最大梅森素数是p＝43,112,609的情形，此时 Mp 是一个12,978,189位数。
如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过50公里！是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。
迄今为止，人类仅发现47个梅森素数。
由于这种素数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。
梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
一、概念也许会有人感到奇怪：素数不就是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数吗？古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个，既然有无穷个，那么就应该有一个素数数列的公式，为了寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血(参见百度百科“素数分布”)。
在数学和计算机科学高度发达的今天，为什么发现一个已知的最大素数竟如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成了科学上的大事？！是的，魅力无穷的梅森素数具有许多特异的性质和现象，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它仍然有许多未解之谜，等待着人们去探索。
人类迄今发现的最大素数，最纯粹的梅森素数
如果有人问，人类到目前为止研究进展最缓慢的领域是什么？别的学科，见仁见智。但要是数学上的话，毫无疑问是对于素数的研究。古老而又漫长，有无数人前赴后继去研究，然而，成果却真心是不多。
上古大神——欧几里得
公元前300年，欧几里得最早研究了形如2N-1的素数，发现了这个性质：
若2N-1是素数，则2N-1×(2N-1)是一个完全数。
这个性质用等比数列的求和公式很容易验证，也就是说只要找到新的梅森素数，新的完全数也就诞生了。后来人们又发现了一个性质：
若2N-1是素数，则N必定为素数。
我中学时代也曾经琢磨过这个问题，其实这个问题用因式分解就可以证明：
这个命题的逆命题却不一定成立，事实上，假如逆命题也成立的话，那么素数的秘密恐怕在几百年前就基本上揭露殆尽了。但是当N等于某一些素数的时候，2N-1却真的可以是素数。
到目前为止，已经有60万人加入了这个几乎等同于公益性质的项目了，在数百万台个人计算机的加ห้องสมุดไป่ตู้之下，这个项目目前的算力可以达到2300万亿次每秒，这个算力跟最厉害的超级计算机基本持平，但是成本却几乎为零。人们从这个项目里一共发现了16个梅森素数，当然也就发现16个新的完全数了。
值得一提的是在2017年12月26日，美国人佩斯（不是中国佩斯）发现了第50个梅森素数，这个数大概有2300多万位，可以用277232917-1来表示，这是当时已知最大的素数（2018年12月7日发现了第51个梅森数M(82589933)）。
其次这种需要大量计算的事件中，为了达到最终结果，算力是一方面，另外一方面更加重要的是算法的革新。如果算法复杂度很低，那么你就可以用很有限的算力，就可以获得极高的成果。举个最动听的例子，2001年，一个叫魏德涅夫斯基的德国人通过分布式计算的方法，在世界上动用几万台计算机来一起寻找黎曼猜想的非平凡零点，截止到2004年末，得到了大约1万亿个非平凡零点。然而几乎在同时，两个法国年轻人宣布，用自己的几台个人计算机，用时1年，居然发现了10万亿个非平凡零点，人们直呼不可思议。后来人们才了解，他们用了更加高明的计算公式，这个公式的执行效率远比魏德涅夫斯基采用黎曼-西格尔公式高的多，所以就产生了如此戏剧性的事件。几台个人电脑居然PK掉了几万台计算机，甚至还高出了1个数量级！至此，魏德涅夫斯基用计算机找寻海量黎曼猜想非平凡零点的项目才停止下来。毫无疑问，算法有效性提高的意义要远远高于计算力的提高。
稀世珍奇的梅森素数
稀世珍奇的梅森素数作者：石永进成启明来源：《青少年科技博览（中学版）》2010年第01期2009年4月，挪威计算机专家斯特林德莫通过参加一个名为“因特网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目，发现了第47个梅森素数，该素数为242643801-1，即“2的42 643 801次方减1”。
它有12 837 064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50千米!专家们认为，这一重大发现是数学研究和计算技术中最重要的成果之一。
梅森素数的由来素数也叫质数，是只能被1和自身整除的数，如2，3，5，7等。
公元前三百多年，古希腊数学家欧几里德用反证法证明了素数有无穷多个，并提出，了少量素数可写成2p-1(其中指数P为素数)的形式。
此后许多数学家，包括数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯等都研究过这种特殊形式的素数，而17世纪的法国著名数学家梅森是其中成果最为卓著的一位。
由于梅森学识渊博，才华横溢，并是法兰西科学院的奠基人，为了纪念他，数学界就把2p-1型的数称为“梅森数”，并以M。
记之；如果M。
为素数，则称之为“梅森素数”。
两千三百多年来，人们呕心沥血，寻寻觅觅，仅发现了47个梅森素数。
由于这种素数稀世珍奇，因此被人们誉为“数学珍宝”。
梅森素数历来是数学研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
艰辛的探究历程“看似平凡最崎岖，成如容易确艰辛”(王安石诗)。
梅森素数的研究不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。
1772年，有“数学英雄”美誉的欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了M31(即231-1=2147483647)是一个素数。
它具有10位数字，堪称当时世界上已知的最大素数。
欧拉的毅力和技巧都令人赞叹不已，难怪法国大数学家拉普拉斯向他的学生们说：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”梅森素数的探究不仅极富挑战性，而且对研究者来说有一种巨大的荣誉感。
梅森与梅森素数
数.
伟大的瑞士 数 学家 欧拉 已 经证 明了 所有 的 偶
寻找梅森素数（科技大观）
寻找梅森素数（科技大观）梅森素数是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。
目前，世界上有180多个国家和地区近27万人，参加一个名为“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，并动用超过70万台计算机联网来寻找梅森素数。
因此，仅从人力、物力方面来说，梅森素数已足够火爆。
素数是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数。
在弄清楚梅森素数为何如此火爆之前，首先了解一下它的由来。
2300年前，古希腊数学家欧几里德就已证明素数有无穷多个，并提出一些素数可写成“2P-1”（其中指数P也是素数）的形式。
这种特殊形式的素数，具有独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家（包括数学大师费马、笛卡尔、哥德巴赫等）和无数业余数学爱好者对它进行探究。
其中17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林·梅森是其中成果较为卓著的一位，因此数学界将“2P-1”型的素数称为“梅森素数”。
迄今为止，人们仅发现47个梅森素数。
由于这种素数稀奇而迷人，故被人们称为“数海明珠”。
梅森素数貌似简单，但当指数P值较大时，其探究难度就会很大。
在“手算笔录”的年代，人们仅找到12个梅森素数。
而计算机的诞生和网格技术的出现，加速了梅森素数探究的进程。
1996年初，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和业余数学爱好者免费使用。
它就是举世闻名的GIMPS项目。
为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，总部设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年设立了专项奖金悬赏梅森素数发现者。
不过，绝大多数人参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。
2008年8月23日，参与GIMPS项目的美国计算机专家埃德森·史密斯发现了迄今已知的最大梅森素数——243112609-1，该数也是目前已知的最大素数，它有12978189位，如果用普通字号将它打印下来，其长度可超过50公里！该成就被《时代》周刊评为“2008年度50项最佳发明”之一。
寻觅梅森素数的漫长曲折历程
●数学史话
《数学教师》1997 年第 8 期
失明的伟人欧拉用心算研究梅森素数了. 有 一天, 他兴奋地告诉瑞士数学家丹尼尔 (B. D an iel, 1700—1782) 说:“我已经严格证明了 231- 1 确是一个素数”. 这一成果宛如“东方 的微光, 林中的响箭”, 为后来者带来希望. 欧 拉成功的喜讯, 同时也暗示人们, 在茫茫一片 无限多的素数海洋之中, 要寻觅最大的素数, 靠手工笔算纸写去推演计算, 并不是最好的 途径. 难以突破, 难以找到“素数之最”, 只有 另谋他法, 另辟蹊径.
又是一个世纪过去了, 1876 年, 法国数 学家洛克斯 (L ockes) 等人先后寻到了一个推 证梅森素数的公式, 把它同一些机械的计算 机结合起来, 他们陆续验证出: M 61,M 89,M 107 和M 127都是素数, 而且还发现了梅森老先生 漏掉了的M 61, M 89 和 M 107 三个素数. 到此人 们一共花去 232 年的时间才知道 14 个梅森 素数, 即:
M 2,M 3,M 5,M 7,M 13,M 17,M 19,M 31, M 61,M 67,M 89,M 107,M 127和M 257. 其中M 127= 107, 141, 183, 460, 469, 231, 731, 687, 303, 715, 884, 105, 727, 有 39 位之多. 自从发现漏掉梅森素数以后, 人们对梅 森猜想的纯洁性动摇了. 又有人不嫌麻烦地 靠笔算纸录, 并利用了机械台式计算机对上 述 14 个梅森素数的真伪再次进行验算. 27 年以后的 1903 年 10 月, 在美国纽约 市一次数学学术会上, 美国数学家科尔 (kol2 er) 做了一次不讲话的学术报告. 他走上讲 台, 一言不发, 在黑板上先算出M 67= 267- 1, 接着他又算出 193, 707, 721×761, 838, 257, 287, 两个结果相同. 他没有说一句话回到自 己的坐位上, 会场顿时响起暴风雨般的祝贺 掌声. 因为, 他证明了M 67 是一个合数. 而否 定梅森的猜想, 更重要的是, 解放了数学家的 思想, 掀起了研究梅森素数的热潮, 消除了困 扰人们二百多年的疑团. 当人们问科尔:“你 用了多少时间? ”他轻轻地说:“三年内的全部 星期天”. ·38·
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还记得年少时的梦吗？还记得你小学时背诵的素数表吗？那时候它还叫做质数表“2、3、5、7……”如今你是否已经真正理解了老师说过的话：这些只能被1和本身整除的数，具有着无穷的魅力。
还记得你中学时计算的2的整数幂吗？计算机时代，作为二进制的体现，它们正大行其道。
“2、4、8、16、32、64、128、256……”十多年来，电脑内存的容量正是经历了这些熟悉的数字，直到现在的2048M（2G）以及更多。
现在，让我们从这些2的整数幂中挑出以素数为指数的，再把它减1，试试看会发现什么？22－1＝3、23－1＝7、25－1＝31、27－1＝127……嗯，你的心是不是激动起来了？一个伟大的发现似乎就在眼前……别急别急，你的发现很妙，只是有些儿惋惜……你已经迟到了二千年。
在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《几何原本》的欧几里得在证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2P－1的形式，其中指数P也是素数。
很容易想到，刚才你所发现的22－1、23－1、25－1、27－1正是其中排列最前的4个！当P＝11、13、17、19、23……的时候，2P－1还是素数吗？到底有多少这种2P－1型的素数呢？在计算能力低下的公元前，这个关于素数的探寻之旅就已经吸引了无数的人。
人们唯独对素数如此着迷不是没有理由的，它有着许多简单而又美丽的猜想，有的已经成为定理，而有的则至今还没有答案。
例如著名的哥德巴赫猜想，让人们苦苦追索：是否任何一个大于6的素数，都可以表示为两个奇素数的和？再比如孪生素数问题所提出的：象5和7、41和43这样相差2的素数，到底有多少对呢？在数学史上起个大早的古希腊人还有许多关于素数的发现，完美数就是其中之一。
毕达哥拉斯学派指出，如果一个数的所有因数（包括1但不包括它本身）的和正好等于它本身，则这个数就叫做完美数。
很容易找到，6＝1＋2＋3是第一个完美数，28＝1＋2＋4＋7＋14则是第二个完美数。
他们认为，上帝用6天创造了世界，因此6是最理想和完美的数字，而和6具有相同性质的数都堪称完美数。
欧几里得在《几何原本》中证明了如果2P－1是一个素数，那么2P－1（2P－1）一定是一个完美数（你会发现，当P分别等于2、3时，它就对应着前两个完美数6、28）。
再后来，欧拉进一步证明，每一个偶完美数也必定是欧几里得所给出的形式。
（不要问我奇完美数呢？就连它是否存在，本身也是无数个关于素数的难题中至今未解的一个。
）很容易看到，找到了2P－1形式的素数，也就发现了新的完美数。
形如2P－1的素数还长期占据了人们寻找到的最大素数的光荣榜（仅在1989年后被39158×2216193－1夺走三年），因为判断这样一个数是素数的方法比判断一个差不多大小的其他类型数是素数的方法要简单得多。
对2P－1型素数的搜寻之旅就这样出发了，先后投入这个漫漫长途的就有数学大师费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵……这一个个闪光的名字正如暗夜前行的火炬手，照亮了人类通往未知的道路。
历史的天空闪烁几颗星让我们将坐上时间机器，回到过去，重新浏览这来路风光吧。
1456年，又一个没有留下姓名的人发现了第5个2P－1型的素数：213－1。
若是你就降生在十四世纪，或许这次发现的光荣将归属于你。
只是，你更有可能犯下和这个时代的人们一样的错误，以为对于所有的素数P，2P－1都是素数。
要知道，这个错误是一百年之后，直到1536年，才由雷吉乌斯(Hudalricus Regius)打破的。
他指出，211-1＝2047＝23×89，不是素数。
不过你的莽撞完全可以得到谅解，在黑暗中寻找的数学家正如年轻人一样，犯下的错误连上帝都会原谅。
第一个对这种类型的素数进行整理的皮特罗卡塔尔迪(Pietro Cataldi)在他在1603年宣布的结果中就言之凿凿地说：对于p=17，19，23，29，31和37，2P－1是素数。
只可惜，37年后，他的六个结果就被推翻了两个，费尔马使用著名的小费尔马（不是那个更著名的大费尔马定理）证明了卡塔尔迪关于P＝23和37的结论是错误的。
不知道下面的事实会不会让你联想到“屋漏偏逢连夜雨”呢？大约一百年后，1738年，欧拉证明了卡塔尔迪的结果中P＝29也是错误的。
幸好，欧拉又证明了P＝31的结论是对的。
虽然，卡塔尔迪的六个结果“阵亡”了一半，但考虑到他是用手工计算取得结论的，而费尔马和欧拉则是使用了在他们那时最先进的数学知识，避免了许多复杂的计算和因此可能造成的错误，因此我们仍然要对卡塔尔迪致敬。
他也由此光荣地占据了第六个和第七个的发现者之位，在他之前的，都是无名氏。
卡塔尔迪的成功，说明了整理和预测是正确道路。
继他之后，集研究成果大成的，是17世纪法国著名的数学家和修道士马林梅森（Marin Mersenne,1588-1648）。
梅森热心于宗教，但更喜爱数学；他是一个交往广泛、热情诚挚的人，更是一座“科学信息交换站”。
为什么呢？那时候，学术刊物、国际会议甚至科研机构都还没有诞生。
“及时雨”般的梅森是欧洲众多科学家之间联系的桥梁，大家把研究成果寄给他，然后再由他转告给更多的人。
费马、笛卡尔等数学家每周在他家聚会，讨论问题，就这样慢慢形成的”梅森学院”，后来有了一个更响亮的名字——法兰西科学院。
1644年，梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于P＝2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257时，2P－1是素数；而对于P等于其他所有小于257的数时，2P－1是合数。
这里前7个数（即2，3，5，7，13，17和19）是在前人的工作已经证实的部分。
而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。
不过，人们对他的断言深信不疑，连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。
梅森的工作极大地激发了人们研究2P－1型素数的热情，成为素数研究的一个转折点和里程碑。
为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”，并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2P－1。
如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2P－1型素数）。
对梅森素数的验证，需要进行艰巨的计算，即使是”猜测”部分中最小的M31=231－1=2147483647，也是一个10位数。
而梅森自己则承认：“一个人，使用一般的验证方法，要检验一个15位或20位的数字是否为素数，即使终生的时间也是不够的。
”年迈力衰的他四年之后就去世了，最终并没有任何一个梅森素数的发现权归属于他，但考虑到他已经享有了“冠名权”，就把荣誉分给那些在漫漫长途上跋涉的发现者们吧！那些手扛肩挑的年代手算笔录的时代，每前进一步，都显得格外艰难。
1772年，在卡塔尔迪提出近200年之后，瑞士数学家欧拉证明了M31确实是一个素数，这是人们找到的第8个梅森素数，它共有10位数，堪称当时世界上已知的最大素数，欧拉也因此成为第二个在发现者名单上留名的人。
让人惊叹的是，这是在他双目失明的情况下，靠心算完成的。
这种超人般的毅力与技巧让欧拉获得了“数学英雄”的美誉。
法国大数学家拉普拉斯（place）说的话，或许可以代表我们的心声：“读读欧拉，他是我们每一个人的老师。
”100年后，法国数学家鲁卡斯提出了一个用来判别Mp是否是素数的重要定理——鲁卡斯定理，这为梅森素数的研究提供了有力的工具。
1883年，数学家波佛辛（Pervushin）利用鲁卡斯定理证明了M61也是素数–这是梅森漏掉了的。
梅森还漏掉另外两个素数：M89和M107，它们分别在1911年与1914年被数学家鲍尔斯（Powers）发现。
还记得梅森预测的四个素数吗？其中M31已经为欧拉证明，M127则在鲁卡斯提出定理时顺带证明，虽然中间漏掉了3个，但至少还有另外两个：M67和M257是不是素数呢……M67的证明又是一个精彩的故事。
1903年，数学家柯尔在美国数学学会的大会上作了一个报告。
他先是专注地在黑板上算出267－1，接着又算出193707721×761838257287，两个算式结果完全相同！换句话说，他成功地把267－1分解为两个素数相乘的形式，从而证明了M67是个合数。
报告中，他一言未发，却赢得了现场听众的起立鼓掌，更成了数学史上的佳话。
阅读这段历史，我们懂得了什么叫做“事实胜于雄辩”。
记者好奇地问他是怎样得到这么精彩的发现的，柯尔回答“三年里的全部星期天”。
他后来当选为美国数学协会的会长，去世后，该协会专门设立了“柯尔奖”，用于奖励作出杰出贡献的数学家。
1922年，数学家克莱契克验证了M257并不是素数，而是合数（但他没有给出这一合数的因子，直到20世纪80年代人们才知道它有3个素因子）。
于是乎，梅森的四个猜测获得了两正确、三遗漏和两错误的成绩，但这无损于他的光荣。
在千年的探寻之旅中，伟大如欧拉也会犯错误，他在1750年宣布说找到了梅森的“遗漏”：M41和M47也是素数，但最终上M41和M47都不是素数。
直到1947年，对于p<=257的梅森素数Mp的正确结果才被确定，也就是当p=2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107和127时，Mp是素数。
现在这个表已经被反复验证，一定不会有错误了。
我们看到，在手工计算的时代，人们一共找到了12个梅森素数。
计算机！计算机！1930年，美国数学家雷默改进了鲁卡斯的工作，给出了一个新的测试方法，即鲁卡斯－雷默方法。
很快地，计算机时代到来了，这一方法发挥了重要的作用。
1952年，数学家鲁滨逊（Robinson）等人将鲁卡斯－雷默方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在短短几小时之内，就发现了第13个、第14个，并在当年总共找到了5个梅森素数：M521、M607、M1279、M2203和M2281。
其后，M3217在1957年被黎塞尔（Riesel）证明是素数；M4253和M4423在1961年被赫维兹（Hurwitz）证明是素数。
1963年，美国数学家吉里斯（Gillies）证明M9689和M9941是素数，这已经是第21和22个梅森素数。
1963年9月6日晚上8点，当吉里斯通过大型计算机找到第23个梅森素数M11213时，美国广播公司（ABC）中断了正常的节目播放，第一时间发布了这一重要消息，发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生更是激动地把所有从系里发出的信件都敲上了“211213－1是个素数”的邮戳。
1971年3月4日晚，美国哥伦比亚广播公司（CBS）中断了正常节目播放，发布了布萊恩特塔克曼（Bryant Tuckerman）使用IBM360-91型计算机找到新的梅森素数M19937的消息。