高中数学一轮复习课题.抛物线导学案
抛物线课件-2025届高三数学一轮复习
A. 2
B. 3
[解析]
2
C. 4
2
D. 8
由题意，知抛物线的焦点坐标为( ，0)，椭圆的焦点坐标为(±
2
所以 ＝ 2 ，解得 p ＝8，故选D.
D )
2 ，0)，
5. 已知抛物线 y 2＝2 px ( p ＞0)的焦点为 F ，点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，则
｜MF｜＝(
A. 2
2
即 p ＝2，所以A选项正确.
＝ − 3（ − 1),
对于B，不妨设 M ( x 1， y 1)， N ( x 2， y 2)， x 1＜ x 2，联立方程得 2
= 4，
1
消去 y 并整理得3 x 2－10 x ＋3＝0，解得 x 1＝ ， x 2＝3.由抛物线的定义得，｜ MN｜＝
x 1＋ x 2＋ p ＝
B )
B. 3
C. 4
D. 5
[解析] 因为点 M (2，2 2 )为抛物线上一点，所以将点 M 的坐标代入抛物线的方程
y 2＝2 px ( p ＞0)，可得 p ＝2，所以抛物线的方程为 y 2＝4 x ，可得其准线方程为 x ＝
－1.根据抛物线的定义，得｜ MF ｜＝2－(－1)＝3.故选B.
三、知识点例题讲解及方法技巧总结
1
S △ AOB ＝ ×｜ AB ｜× ×
2
2
由(2)的推导过程可得，
sin
1
｜｜
2
＋
＝ 2 ，
1−cos
1+cos
si
1
2
α＝ × 2 × ×
2
si
2
＋
高考数学一轮复习第八章解析几何第七讲抛物线学案含解析新人教版
第七讲 抛物线知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 抛物线的定义 抛物线需要满足以下三个条件： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离__相等__； (3)定点F 与定直线l 的关系为__点F ∉l __． 知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程y 2＝2px (p ＞0)y 2＝－2px (p ＞0)x 2＝2py (p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F __⎝⎛⎭⎫p 2，0__F __⎝⎛⎭⎫－p2，0__ F __⎝⎛⎭⎫0，p2__ F __⎝⎛⎭⎫0，－p2__ 离心率 e ＝__1__准线方程 __x ＝－p2____x ＝p2____y ＝－p2____y ＝p 2__范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中P (x 0，y 0))|PF |＝ __x 0＋p 2__|PF |＝ __－x 0＋p2__|PF |＝ __y 0＋p 2__|PF |＝ __－y 0＋p2__归纳拓展抛物线焦点弦的处理规律直线AB 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图．(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24． (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥2x 1x 2＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p ． (3)1|AF |＋1|BF |＝2p． (4)弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)．(5)以AB 为直径的圆与准线相切．(6)焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°． (7)A 、O 、D 三点共线；B 、O 、C 三点共线．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4．( × )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．( × ) (4)AB 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的过焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ．( √ )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a ＞0)的通径长为2a ．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 69例4)(2021·甘肃张掖诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( B )A ．9B ．8C ．7D ．6[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8．3．(2021·河南郑州名校调研)抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B )A ．－1716B ．－1516C ．716D ．1516[解析] 由抛物线的方程y ＝－4x 2，可得标准方程为x 2＝－14y ，则焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎫0，－116，准线方程为y ＝116，设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义可得－y 0＋116＝1，解得y 0＝－1516．故选B ．题组三 走向高考4．(2019·课标全国Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p＝( D )A ．2B ．3C ．4D ．8[解析] ∵抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0， ∴3p －p ＝p 24，∴p ＝8．故选D ．5．(2020·新课标Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝( C )A ．2B ．3C ．6D ．9[解析] A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，故有：9＋p2＝12⇒p ＝6；故选C ．考点突破·互动探究考点一 抛物线的定义及应用——多维探究 角度1 轨迹问题例1 (1)动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(D)A．直线B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析]设动圆的圆心为C，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r，所以动圆到直线x＝2距离为r＋1，即动圆圆心到定点(－2,0)和定直线x＝2的距离相等，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为D．角度2到焦点与到定点距离之和最小问题(2)①(2021·河北保定七校联考)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，C为圆(x ＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则|MF|＋|MC|的最小值为(B)A．2 B．3C．4 D．5②(2021·山西运城联考)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，O为原点，点P是抛物线C 的准线上的一动点，点A在抛物线C上，且|AF|＝4，则|P A|＋|PO|的最小值为(B) A．4 2 B．213C．313 D．4 6[解析]①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1，C为圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1的圆心，所以C的坐标为(－1,2)，过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求|MF|＋|MC|的最小值，就转化为求|ME|＋|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|＋|MC|有最小值，最小值为|CE|＝2－(－1)＝3，故选B．②由抛物线的定义知|AF|＝y A＋p2＝y A＋2＝4，∴y A＝2，代入x2＝8y，得x A＝±4，不妨取A(4,2)，又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0，－4)，∴|P A|＋|PO|＝|P A|＋|PO′|≥|AO′|＝(－4－2)2＋(0－4)2＝213，当且仅当A、P、O′共线时取等号，故选B．[引申]本例(2)①中，(ⅰ)|MC |－|MF |的最大值为__2__；最小值为__－2__；(ⅱ)若N 为⊙C 上任一点，则|MF |＋|MN |的最小值为__2__．角度3 到准线与到定点距离之和最小问题(3)已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( A )A ．41B ．7C ．6D ．9[解析] 由题意得圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝4，圆心C 的坐标为(－3，－4)．由抛物线定义知，当d ＋|PC |最小时为圆心与抛物线焦点间的距离，即d ＋|PC |＝(－3－2)2＋(－4)2＝41．角度4 到两定直线的距离之和最小问题(4)(2021·北京人大附中测试)点P 在曲线y 2＝4x 上，过P 分别作直线x ＝－1及y ＝x ＋3的垂线，垂足分别为G ，H ，则|PG |＋|PH |的最小值为( B )A ．322B ．2 2C ．322＋1D ．2＋2[解析] 由题可知x ＝－1是抛物线的准线，焦点F (1,0)，由抛物线的性质可知|PG |＝|PF |，∴|PG |＋|PH |＝|PF |＋|PH |≤|FH |＝|1－0＋3|2＝22，当且仅当H 、P 、F 三点共线时取等号，∴|PG |＋|PH |的最小值为22．故选B ．名师点拨利用抛物线的定义可解决的常见问题(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．(3)看到准线想焦点，看到焦点想准线，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． 〔变式训练1〕(1)(角度1)到定点A (0,2)的距离比到定直线l ：y ＝－1大1的动点P 的轨迹方程为__x 2＝8y __．(2)(角度1)(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，点A (4,3)，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△P AF 周长取最小值时，线段PF 的长为( B )A ．1B ．134C ．5D ．214(3)(角度2)(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22，0)及抛物线y ＝x 24上一动点P (x ，y )，则y ＋|PQ |的最小值是__2__．(4)(角度3)(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( C )A ．3716B ．115C ．2D ．74[解析] (1)由题意知P 到A 的距离等于其到直线y ＝－2的距离，故P 的轨迹是以A 为焦点，直线y ＝－2为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝8y ．(2)求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |，因此，|P A |＋|PF |的最小值，即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，此时P ⎝⎛⎭⎫94，3，且|PF |＝94＋1＝134，故选B ．(3)抛物线y ＝x 24即x 2＝4y ，其焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y ＝－1．因为点Q 的坐标为(22，0)，所以|FQ |＝(22)2＋12＝3．过点P 作准线的垂线PH ，交x 轴于点D ，如图所示．结合抛物线的定义，有y ＋|PQ |＝|PD |＋|PQ |＝|PH |＋|PQ |－1＝|PF |＋|PQ |－1≥|FQ |－1＝3－1＝2，即y ＋|PQ |的最小值是2．(4)直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于PF ，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选C ．考点二 抛物线的标准方程——自主练透例2 (1)过点P (－3,2)的抛物线的标准方程为__y 2＝－43x 或x 2＝92y __．(2)焦点在直线x －2y －4＝0上的抛物线的标准方程为__y 2＝16x 或x 2＝－8y __，准线方程为__x ＝－4或y ＝2__．(3)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线依次交抛物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线的方程为( B )A ．y 2＝32xB ．y 2＝3xC ．y 2＝92xD ．y 2＝9x[解析] (1)设所求抛物线的方程为y 2＝－2px (p ＞0)或x 2＝2py (p ＞0)． ∵过点(－3,2)，∴4＝－2p ·(－3)或9＝2p ·2． ∴p ＝23或p ＝94．∴所求抛物线的标准方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y ．(2)令x ＝0，得y ＝－2，令y ＝0，得x ＝4． ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程为y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝2，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y ．∴所求的抛物线的标准方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y ， 对应的准线方程分别是x ＝－4，y ＝2．(3)如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设|BF |＝a ，则由已知得|BC |＝2a ，由定义得|BD |＝a ，故∠BCD ＝30°． 在直角三角形ACE 中，∵|AE |＝|AF |＝3，|AC |＝3＋3a ，2|AE |＝|AC |， ∴3＋3a ＝6，从而得a ＝1．∵BD ∥FG ，∴|BD ||FG |＝|BC ||FC |，即1p ＝23，求得p ＝32，因此抛物线的方程为y 2＝3x ．名师点拨求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，若焦点位置确定，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．一般焦点在x 轴上的抛物线的方程可设为y 2＝ax (a ≠0)；焦点在y 轴上的抛物线的方程可设为x 2＝ay (a ≠0)．〔变式训练2〕(1)(2021·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ，若|AF |＝1，则抛物线C 的方程为( A )A ．y 2＝43xB ．y 2＝2xC ．y 2＝3xD ．y 2＝4x(2)(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点P (m ，－3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为( D )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y[解析] (1)由题意知x A ＝p ，又|AF |＝x A ＋p 2＝3p 2＝1，∴p ＝23，∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ，故选A ．(2)由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上，故设其方程为x 2＝－2py (p ＞0)，所以3＋p2＝5，即p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ，故选D ．考点三,抛物线的几何性质——师生共研例3 (1)(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( C )A ．4B ．9C ．10D ．18(2)(理)(2021·四川眉山模拟)点F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点(点A 在第一象限)，过A 、B 分别作抛物线C 的准线的垂线段，垂足分别为M 、N ，若|MF |＝4，|NF |＝3，则直线AB 的斜率为( D )A ．1B ．724C ．2D ．247(文)(2021·四川师大附中期中)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为抛物线上的两点，A ，B 的中点到抛物线准线的距离为5，△ABO 的重心为F ，则p ＝( D )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2．由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10．故选C ．(2)(理)由抛物线定义知|AM |＝|AF |，|BN |＝|BF |， ∴∠AFM ＋∠BFM ＝360°－∠MAF －∠NBF2＝90°，∴∠MFN ＝90°， 又|MF |＝4，|NF |＝3， ∴|MN |＝5，∴p ＝|KF |＝|MF |·|NF ||MN |＝125， 又∠AFM ＝∠AMF ＝∠MFK ，∴k AB ＝tan(180°－2∠MFK )＝－2tan ∠MFK 1－tan 2∠MFK ＝－831－⎝⎛⎭⎫432＝247．故选D ．(文)x 1＋x 22＋p 2＝5，x 1＋x 2＋03＝p 2，∴10－p ＝3p2，所以p ＝4．故选D ．名师点拨在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．〔变式训练3〕(1)(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (1,0)，过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＝4|BF |，则|AB |＝__254__． (2)(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( C )A ．627B ．1827C ．427D ．227[解析] (1)∵p2＝1，∴p ＝2，不妨设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0， ∴y 1y 2＝－4，又|AF |＝4|BF |，∴y 1＝－4y 2， ∴y 2＝－1，从而x 2＝14，∴|BF |＝1＋14＝54，∴|AB |＝5|BF |＝254． (2)设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ， 可知其焦点F 的坐标为(1,0)， 故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8，故P 点坐标为(8,42)， 所以k PF ＝0－421－8＝427．故选C ．考点四,直线与抛物线的综合问题——师生共研例4 (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 212－y 24＝1的一个焦点重合，直线y ＝x －4与抛物线交于A ，B 两点，则|AB |等于( B )A ．28B ．32C ．20D ．40(2)(2021·陕西师大附中期中)已知抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 恰好以P (1,1)为中点，则弦AB 所在直线的方程是( B )A ．y ＝x －1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－x ＋2D ．y ＝－2x ＋3(3)(2021·湖南五市十校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，直线y ＝x －1与C 相交所得的长为8．①求p 的值；②过原点O 的直线l 与抛物线C 交于M 点，与直线x ＝－1交于H 点，过点H 作y 轴的垂线交抛物线C 于N 点，求证：直线MN 过定点．[解析] (1)双曲线x 212－y 24＝1的焦点坐标为(±4,0)，故抛物线的焦点F 的坐标为(4,0)．因此p ＝8，故抛物线方程为y 2＝16x ，易知直线y ＝x －4过抛物线的焦点．设A 、B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝16x ，y ＝x －4，可得x 2－24x ＋16＝0，故x 1＋x 2＝24． 故|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝24＋8＝32．故选B ． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1y 22＝4x 2，知k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，∴AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，故选B ．(3)①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝x －1，消x 可得y 2－2py －2p ＝0，∴y 1＋y 2＝2p ，y 1y 2＝－2p ， ∴弦长为1＋12·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2·4p 2＋8p ＝8，解得p ＝2或p ＝－4(舍去)， ∴p ＝2，②由①可得y 2＝ 4x ，设M ⎝⎛⎭⎫14y 20，y 0， ∴直线OM 的方程y ＝4y 0x ，当x ＝－1时，∴y H ＝－4y 0，代入抛物线方程y 2＝4x ，可得x N ＝4y 20，∴N ⎝⎛⎭⎫4y2，－4y 0， ∴直线MN 的斜率k ＝y 0＋4y 0y 204－4y 20＝4y 0y 20－4，直线MN 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4⎝⎛⎭⎫x －14y 20， 整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，故直线MN 过点(1,0)．名师点拨(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要将两方程联立，消元，用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率问题一般用“点差法”求解． 〔变式训练4〕(1)(2021·甘肃诊断)直线l 过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且交抛物线于A ，B 两点，交其准线于C 点，已知|AF |＝4，CB →＝3BF →，则p ＝( C )A ．2B ．43C ．83D ．4(2)(2021·安徽皖南八校模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到直线x －y ＋1＝0的距离为2．①求抛物线C 的方程；②过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点P ．若|AB →|＝3|BP →|，求直线l 的方程． [解析] (1)过A ，B 分别作准线的垂线交准线于E ，D 两点， 设|BF |＝a ，根据抛物线的性质可知，|BD |＝a ， |AE |＝4，根据平行线段比例可知|BD ||AE |＝|CB ||AC |，即a 4＝3a 3a ＋a ＋4，解得a ＝2， 又|BD ||GF |＝|BC ||CF |，即a p ＝3a4a， 解得p ＝43a ＝83，故选C ．(2)①由抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，可得焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0， 因为焦点到x －y ＋1＝0的距离为2，即⎪⎪⎪⎪p 2＋12＝2，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程y 2＝4x ．②由①知焦点F (1,0)，设直线l ：y ＝k (x －1)， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)y 2＝4x，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 所以x 1＋x 2＝2＋4k 2，①x 1x 2＝1，②又由|AB →|＝3|BP →|，得AB →＝3BP →， 可得x 1＝4x 2，③由②③，可得x 1＝2，x 2＝12，代入①，可得2＋4k 2＝52，解得k ＝±22，所以直线l 的方程为22x － y －22＝0或22x ＋y －22＝0．名师讲坛·素养提升巧解抛物线的切线问题例5 (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ．若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝(D )A ．316B ．38C ．233D ．433(2)(2019·新课标Ⅲ，节选)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．证明：直线AB 过定点．[解析] (1)抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y ＝－p4(x －2)，联立⎩⎨⎧y ＝－p4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0．设点M 的横坐标为m ，易知在M 点处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′⎪⎪⎪⎪x ＝m＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′x ＝m ＝m p． 又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，所以m p ＝33，即m ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝433或p ＝0(舍去)．(2)设D ⎝⎛⎭⎫t ，－12，A (x 1，y 1)， 则x 21＝2y 1，由于y ′＝x ，∴切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1，整理得：2tx 1－2y 1＋1＝0．设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0． 故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0，即y －12＝tx ．∴直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫0，12．名师点拨利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．注意：直线与抛物线只有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件，过抛物线外一点与抛物线只有一个公共点的直线有0条或3条；过抛物线上一点和抛物线只有一个公共点的直线有2条．〔变式训练5〕(1)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，过点M ⎝⎛⎭⎫－p2，0作C 的切线，则切线的斜率为__±1__． (2)已知抛物线x 2＝8y ，过点P (b,4)作该抛物线的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB恒过定点，则该定点为( C )A ．(4,0)B ．(3,2)C ．(0，－4)D ．(4,1)[解析] (1)设斜率为k ，则切线为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋p 2代入y 2＝2px 中得k 2x 2＋p (k 2－2)x ＋k 2p 24＝0． Δ＝0，即p 2(k 2－2)2－4·k 2·k 2p 24＝0．解得k 2＝1，∴k ＝±1．(2)设A ，B 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∵y ＝x 28，y ′＝x4，∴P A ，PB 的方程y －y 1＝x 14(x －x 1)，y －y 2＝x 24(x －x 2)，由y 1＝x 218，y 2＝x 228，可得y ＝x 14x －y 1，y ＝x 24x －y 2，∵切线P A ，PB 都过点P (b,4)， ∴4＝x 14×b －y 1,4＝x 24×b －y 2，故可知过A ，B 两点的直线方程为4＝b4x －y ，当x ＝0时，y ＝－4，∴直线AB 恒过定点(0，－4)．故选C ．。
高中数学选修2-1 抛物线导学案加课后作业及参考答案
抛物线及其标准方程导学案【学习要求】1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2．会求简单的抛物线的方程.【学法指导】通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.【知识要点】1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的，直线l叫做抛物线的2．抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程探究点一抛物线定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.问题1画出的曲线是什么形状？问题2|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？问题3点D在移动过程中，满足什么条件？问题 4在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？例1方程[]22)1()3(2-++yx＝|x－y＋3|表示的曲线是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线跟踪训练1（1）若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是() A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线（2）若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．双曲线的一支D．抛物线探究点二抛物线的标准方程问题 1结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？问题2抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？问题3根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.（1）y2＝－6x；（2）3x2＋5y＝0；（3）y＝4x2；（4）y2＝a2x (a≠0).跟踪训练2（1）抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为()A．⎝⎛⎭⎫716，0B．⎝⎛⎭⎫－74，0C．⎝⎛⎭⎫－716，0D．⎝⎛⎭⎫0，－74（2）抛物线y＝－14x2的准线方程是()A．x＝116B．x＝1 C．y＝1 D．y＝2例3分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）准线方程为2y＋4＝0；（2）过点(3，－4)；（3）焦点在直线x＋3y＋15＝0上.跟踪训练3（1）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为()A．y2＝x或x2＝y B．y2＝x或x2＝8yC．x2＝－8y或y2＝x D．x2＝y或y2＝－8x（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程.探究点三 抛物线定义的应用例4 已知点A (3,2)，点M 到F ⎝⎛⎭⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. （1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在M ，使|MA |＋|MF |取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 跟踪训练4 （1）抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( ) A ．1716B ．1516C ．78D ．0（2）已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值是( ) A ．172B ．3C ． 5D ．92【当堂检测】1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y2．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到焦点的距离是a (a >p2)，则点M 的横坐标是 ( )A ．a ＋p2B ．a －p2C ．a ＋pD ．a －p3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 ( ) A ．2B ．3C ．115D ．37164．焦点在y 轴上，且过点A (1，－4)的抛物线的标准方程是__________【课堂小结】1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F 不在直线l 上.2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0).【拓展提高】1．若点P 到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ） A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x =2．过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于),(),,(2211y x B y x A 两点，如果621=+x x ，那么AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．43．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x4．抛物线x y 42=上的两点A 、B 到焦点的距离之和为10，则线段AB 中点到y 轴的距离为【课后作业】一、基础过关1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(4,0)D ．(－4,0)2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在双曲线x 24－y 22＝1上，则抛物线方程为 ( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝±8x3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A ．12B ．1C ．2D ．44．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．抛物线和一条射线C ．椭圆D ．抛物线 5．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________.6．抛物线x 2＋12y ＝0的准线方程是__________.7．求经过A (－2，－4)的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标. 二、能力提升8．定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则M 点到y 轴的最短距离为 ( )A ．12B ．1C ．32D ．29．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)10．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝________.11．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程.12．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？三、探究与拓展13．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.抛物线的简单几何性质（一）导学案【学习要求】1．了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2．会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.【学法指导】结合椭圆和双曲线的几何性质，类比抛物线的性质，通过对抛物线的标准方程的讨论，进一步理解用代数方法研究几何性质的优越性，感受坐标法和数形结合的基本思想.【知识要点】1．抛物线的几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围对称轴x轴x轴y轴y轴顶点(0,0)离心率e＝2直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝3．直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴，此时直线与抛物线有个公共点.【问题探究】探究点一抛物线的几何性质问题1类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，说出抛物线y2＝2px(p>0)的范围、对称性、顶点、离心率.怎样用方程验证？问题 2通过抛物线的几何性质，怎样探求抛物线的标准方程？例1若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为()A．⎝⎛⎭⎫14，±24B．⎝⎛⎭⎫18，±24C．⎝⎛⎭⎫14，24D．⎝⎛⎭⎫18，24跟踪训练1抛物线y2＝2px (p>0)上一点M的纵坐标为－42，这点到准线的距离为6，则抛物线方程为________探究点二抛物线的焦点弦问题例2已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点.（1）若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；（2）若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.跟踪训练2已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程.探究点三直线与抛物线的位置关系问题结合直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，请你思考一下怎样讨论直线与抛物线的位置关系？例3已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？跟踪训练3过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程.【当堂检测】1．设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A ．p 2B ．pC ．2pD ．无法确定2．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－12，12B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4]3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为 ( )A ．(1,2)B ．(0,0)C ．⎝⎛⎭⎫12，1D ．(1,4)4．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝_______【课堂小结】1．讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2．直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件.3．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦.解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率.常用的办法是将直线与抛物线联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点.尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.【拓展提高】1．若双曲线2221613x y p -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．422．设O 为坐标原点，F 为抛物线x y 42=的焦点，A 为抛物线上的一点，若4OA AF •=-，则点A 的坐标为（ ）A ．)22,2(±B ．)2,1(±C ．)2,1(D ．)22,2(3．已知直线l ：y ＝－x ＋1和抛物线C ：x y 42=，设直线与抛物线的交点为B A 、，求AB 的长。
49东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--抛物线学生版
例4：已知A，B是抛物线上两点，O为原点，且OA OB，求证：
（1）A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积都是常数；
（2）、直线AB过定点。
三、方法提升：
1、抛物线的定义是对抛物线考察的重点，往往从几何代数两个方面考察：
2、关于直线与抛物线的交点问题，相对于椭圆与双曲线来说，由于其方程的特点，直接设交点的坐标解决问题简便易行；直线方程也可以根据方程的特点，灵活设为y=kx+b或者x=my+a
4、若抛物线 过焦点的弦AB，设A（ ）B（ ），则有下列结论：
（1）、|AB|=p+ +
（2）、|AB|= ( =2px (p>0), |AB|= ( =2py (p>0))
（3）、|AB|= ( =2py (p>0))(通径是最短的焦点弦)
（4）、 = , =-
（5）、过焦点且垂直于对称轴的弦叫通径：|AB|=2p
（A） （B） （C） （D）
4．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（ ）
(A)x2＝8y(B)x2＝4y(C)x2＝2y(D)
5．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是
(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1， ） (D) （1，± ）
则① ，
②PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA．
③
④点M平分PQ
⑤
【练习】
（2006年重庆高考（文）22）对每个正整数n， 是抛物线 上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点 ，
（1）试证： （n≥1）
（2）取 ，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证： （n≥1）
2025届高中数学一轮复习课件《抛物线(一)》ppt
答案
高考一轮总复习•数学
第29页
解析：(1)∵抛物线方程为 y2＝2px(p>0)，∴准线为 x＝－p2.
∵点 P(2，y0)到其准线的距离为 4，∴－p2－2＝4. ∴p＝4(负值舍去)，∴抛物线的标准方程为 y2＝8x.
(2)因为△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直于抛物线的准 线，设 Pm，m2p2，则点 Mm，－p2.因为焦点为 F0，p2，△FPM 是等边三角形，所以|PM|＝4，
高考一轮总复习•数学
抛物线定义的应用策略
第17页
高考一轮总复习•数学
第18页
对点练 1 (1)(2024·陕西榆林模拟)如图 1，某建筑物的屋顶像抛物线，若将该建筑外形 弧线的一段按照一定的比例处理后可看成如图 2 所示的抛物线 C：x2＝－2py(p>0)的一部分， P 为抛物线 C 上一点，F 为抛物线 C 的焦点．若∠OFP＝120°，且|OP|＝ 221，则 p＝( )
高考一轮总复习•数学
第10页
2．过抛物线 y2＝4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1＋x2 ＝6，则|PQ|＝( )
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：抛物线 y2＝4x 的焦点为 F(1,0)，准线方程为 x＝－1.根据题意，得|PQ|＝|PF|＋ |QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选 B．
即 px0＝4.又 C 的准线方程为 x＝－p2， 易知|FM|＝x0＋p2，显然|DM|＝x0－p2.
由焦点联想准线．
因为 cos∠MFG＝2 3 2，所以 sin∠MFG＝13，因此||DFMM||＝sin∠MFG＝13，即xx00＋－p2p2＝13， 整理得 x0＝p，与 px0＝4 联立，解得 p＝x0＝2，
抛物线+讲义 高三数学一轮复习
8.7.1 抛物线一、课标要求1.了解抛物线的定义几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.2.通过对抛物线的学习，进一步体会数形结合的思想.二、知识梳理1.抛物线的定义（1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离_____的点的轨迹.（2）焦点：________叫做抛物线的焦点.（3）准线：________叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=−2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=−2py(p>0)图形顶点对称轴焦点离心率准线方程范围开口方向三、典例探究例1 已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= ( )A. 2B. 3C. 6D. 9变式：已知抛物线y2=8x在第一象限内的一点A到其焦点的距离为8，则点A的纵坐标为( )A. 2√3B. 6C. 4D. 4√3例2设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，则|PB|+|PF|的最小值为 ______.变式：设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3,2)，求点P到A(−1,1)的距离与点P到直线x=−1的距离之和的最小值.四、课堂练习1、平面中到点A(1,0)和直线x=−1的距离相等的点的轨迹方程为( )A. y2=2xB. y2=4xC. x2=2yD. x2=4y2、若抛物线x2=my上一点(t,2)到其焦点的距离等于4，则m= ( )A. 8B. 4C. 2D. 123、过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则|PQ|等于( )A. 9B. 8C. 7D. 64、已知△ABC的三个顶点都在抛物线T:y2=2px(p>0)上，C(2,−8)，且抛物线的焦点F为△ABC的重心，则|AF|+|BF|= ( )A. 40B. 38C. 36D. 345、若F为抛物线C:y2=4x的焦点，点M(m,4)在C上，直线MF交C 的准线于点N，则|FN|= ( )A. 54B. 103C. 5D. 126、设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|= ( )A.2B. 2√2C. 3D. 3√2。
2019-2020学年高考数学一轮复习-抛物线的标准方程教案
2019-2020学年高考数学一轮复习抛物线的标准方程教案教学目标:掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程.教学重点:根据已知条件求抛物线的标准方程.教学过程:一.问题情境通过实例，引入抛物线与前面学过的椭圆、双曲线一样，我们如何确定抛物线的标准方程呢？二、建构数学1.抛物线的定义:抛物线是平面内的到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)距离相等的点的轨迹. 定点F称为抛物线的焦点，直线l 称为抛物线的准线.2.建立抛物线的标准方程:过F点作FN l⊥,垂足为N，以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系其中字母p的几何意义是:焦点到准线的距离类似地，还有其他三种建立坐标系的方法，可得抛物线的标准方程的另外三种形式：2222,2,2(0)y px x py x py p=-==->.内容标准方程22y px=（0p>）22y px=-（0p>）22x py=（0p>）22x py=-（0p>）P的几何意义：图x O FyHNlP(x, y)形 对称轴 焦点准线方程 开口方向(1)一次项系数的正负决定于抛物线的______________；一次项字母决定抛物线的______ (2)注意：2y ax =不是抛物线的标准形式 3.数学应用:例1.求下列抛物线的焦点坐标及准线方程.(1) 24y x = (2)232x y =- (3)2250x y += (4)28y x =例3.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M(m ,-3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程.例4.已知点,02p A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和直线():02p l x p =>,求经过点A 且与直线l 相切的动圆的圆心M 的轨迹方程变式：已知动点(,)M x y 到点(4,0)F 的距离比到直线50x +=的距离小1，试判断点M 的轨迹是什么图形课堂练习:书P51 练习四．课堂小结：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p ，因此只要给出确定p 的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；有时为了简化运算，可设焦点在x 轴和y 轴上的非常分别为2y mx =和2x my =，避免对抛物线开口方向的讨论数学（理）即时反馈作业编号：029 抛物线的标准方程1.抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离是1,则点M 的纵坐标等于2.在直角坐标平面内,到点(1,1)和直线23x y +=距离相等的点的轨迹是 (1)直线 (2)抛物线 (3)圆 (4)双曲线3.抛物线2y x =上一点P 到焦点的距离是2,则P 点的坐标是4.抛物线24y x =的准线方程是 ,焦点坐标是5.抛物线()20y ax a =<的焦点坐标是 ,准线方程为6.过点()1,2-的抛物线的标准方程是7.抛物线24y x =上一点到焦点的距离是5,则这点的坐标是8.圆心在抛物线22y x =上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的圆的方程是9. 椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，则a =______ 10.求下列抛物线的焦点和准线方程:(1)20x y += (2)280x y -=(3)()20y ax a => (4)2270y x +=11.求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)焦点是()6,0 (2)焦点是()0,5-(3)准线方程是23y = (4)焦点到准线的距离是512.求以直线2360x y -+=与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程13、已知圆22:(3)1F x y ++=，直线:2l x =，求与直线l 相切且与圆F 外切的圆的圆心M 的轨迹方程14、如图，椭圆的中心为原点O ，已知右准线l 的方程为4x =，右焦点F 到它的距离为2.（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆C 经过点F ，且被直线l 截得的弦长为4，求使OC 长最小时圆C 的方程O FCl。
抛物线学案-2023届高三数学一轮复习
第7节 抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 知识梳理 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的 .(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离). 2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 2＝2px(p >0)y 2＝－2px(p >0)x 2＝2py(p >0)x 2＝－2py(p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离性质顶点对称轴焦点离心率准线方程 y ＝p2 范围 开口方向向左3.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24.(2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).(4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点). 自主检测1.顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.2. 抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.3.若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝( ) A.2 B.3 C.4 D.84.已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B.1C.54D.745.已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________. 典型例题考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】 (1)已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x(2)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足，若直线AF 的斜率为－3，则△P AF 的面积为( ) A.2 3 B.4 3 C.8 D.8 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.【训练1】 (1)设抛物线y 2＝2px 的焦点在直线2x ＋3y －8＝0上，则该抛物线的准线方程为( ) A.x ＝－4 B.x ＝－3 C.x ＝－2 D.x ＝－1(2)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.考点二 与抛物线有关的最值问题 角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则： (1)|P A |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|P A |－|PF |的最小值为________，最大值为________. 角度2 到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】 设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________.角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34 B.32 C.1 D.2角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－14，1 B.⎝⎛⎭⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】 已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率.当堂检测1.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x2.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|F A |＝3，则直线F A 的倾斜角为( ) A.π3 B.π4 C.π3或2π3 D.π4或3π43.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为________.4.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.5.已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.6.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.7.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值.。
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课题：抛物线
一、新考纲：备考动向
1．抛物线的标准方程
掌握抛物线的定义，几何图形、标准方程． 2．抛物线的几何性质 掌握抛物线的简单性质． 二、抓主干：知识回顾
知识点一 抛物线定义
满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内．
(2)动点到定点F 距离与到定直线l 的距离相等． (3)定点不在定直线上．
易误提醒 抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．
知识点二 抛物线的标准方程与几何性质 标准方程
y 2＝2px (p >0)
y 2＝－2px (p >0)
x 2＝2py (p >0)
x 2＝－2py (p >0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
图形
顶点 O (0,0)
对称轴 y ＝0
x ＝0
焦点 )0,2
(p
F )0,2(p F -
)
2
,0(p F )
2
,0(p F -离心率 e ＝1
准线方程 2
p x -
=2
p x =
2
p y -
=2
p y =
范围 x ≥0，y ∈R
x ≤0，y ∈R
y ≥0，x ∈R
y ≤0，x ∈R
开口方向 向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P (x 0，y 0)) 2
0p x PF +
=2
0p x PF +
-=2
0p y PF +
=2
0p y PF +
-=易误提醒 抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F
到准线l 的距离，否则无几何意义．
必记结论 抛物线焦点弦的几个常用结论：
设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
(1) 4
2
21p x x =，y 1y 2＝－p 2.
(2)弦长α
221sin 2p
p x x AB =++= (α为弦AB 的倾斜角)． (3)
p
FB FA 211=+. (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．
[自测练习]
1．以x 轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P (1，m )到焦点的距离为3，则其方程是( )
A ．y ＝4x 2
B ．y ＝8x 2
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝8x
解析：本题考查抛物线的标准方程．设抛物线的方程为y 2＝2px ，则由抛物线的定义知
32
1=+
p
，即p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x ，故选D. 答案：D
2．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若线段AB 的
中点M 的横坐标为3，则线段AB 的长度为( )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2×3＝6，|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1
＋1)＋(x 2＋1)＝x 1＋x 2＋2＝8，故选B.
答案：B
三、研考向：考点研究
考点一 抛物线的标准方程及几何性质
1．抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是
2．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－x B ．x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y
D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y
3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝10，则AB 的中点到y 轴的距离等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
求抛物线方程的三个注意点
(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．
(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系． (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．
考点二 抛物线的定义及应用
抛物线的定义是高考命题热点，与定义相关的最值问题常涉及距离最短，距离和最小等，归纳常见的探究角度有：
1．到焦点与动点的距离之和最小问题． 2．到准线与动点的距离之和最小问题． 3．到两定直线距离之和最小问题． 4．到焦点与定点距离之和最小问题． 探究一 到焦点与动点的距离之和最小问题
1．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．
探究二 到准线与动点的距离之和最小问题
2．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为d ，则d ＋|PC |的最小值为( )
A.
B ．7
C ．6
D ．9
探究三 到两定直线距离之和最小问题
3．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1
和l 2的距离之和的最小值为( )
A.
16
37
B.
5
11
C ．3
D ．2
探究四 到焦点与定点距离之和最小问题
4．若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为
求解与抛物线有关的最值问题的两大转换方法
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
考点三 直线与抛物线的位置关系
已知：过抛物线x 2＝4y 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两个
不同的点，过点A ，B 分别作抛物线的切线，且二者相交于点C .
(1)求证：0=⋅； (2)求△ABC 的面积的最小值．
解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
题型专练
1．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为
2
1
，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
2．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1)
3．在直角坐标系xOy 中，曲线C ：4
2
x y =与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点．
(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 4．已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .
(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；
(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，
2=⋅，求抛物线C 的方程．。