数学建模嫦娥三号运行轨迹及着陆点分析
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题论文答辩
70.9 48.8 29.9 91.3 2.588 1.056 2.498
75.7 37.4 33.3 90.8 1.838 1.168 1.702
总计
1.347 2.437 2.984 3.784 2.763
求解参数N与P的关系为
N (P 3) 3
P值太大，反而会影响计算效率，因此，取
P 30 为宜。
rpGM 1.6139 103 m / s ra a
沿运动轨迹切线方向
第2页，共15页。
1.问题一：着陆准备轨道近月点和远月点的位置
加速度为：
d 2Z dt 2
e i
d 2r dt 2
r d
dt
2
i
r
d 2
dt 2
2 dr dt
d
dt
对嫦娥三号进行受力分析，由牛顿第二定律得：
mMG ei
2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛
A题： 嫦娥三号软着陆轨道设计
与控制策略
第1页，共15页。
1. 问题一：嫦娥三号速度的大小和方向
vp
(1 e )
(1 e )a
(1 e )
va (1 e )a
联立上式可得近月点（近拱点），远月点（远拱点）的速度：
vp
va
raGM 1.6922 103 m / s rp a
当 rp 1752.013 103 m 时，解得 cos ，则-1 ； 180
当 ra 1837.013 103 m 时，解得 cos，则1 。 0
则在近月点的位置是 （180，1752.013 103 )
远月点的位置是 （0，1837.013 103 )
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嫦娥三号资料
嫦娥(chánɡ é)三号月球车即嫦娥三号。
嫦娥(chánɡ é)三号将是中国发射的第一个地外软着陆探测器和巡视器(月球车)，也是月球24号完毕后重返月球的第一个软着陆探测器,是探月工程二期〔落〕的关键任务，起承上启下的作用。
叶培建介绍，嫦娥三号探测器将打破月球软着陆、月面巡视勘察、月面生存、深空探测通信与遥控操作、运载火箭(yùnzài huǒjiàn)直接进入地月转移轨道等关键技术。
嫦娥三号卫星是中国国家航天局嫦娥工程第二阶段的登月探测器，嫦娥三号由着陆器和巡视探测器〔即“玉兔号〞月球车〕组成，进展首次月球软着陆和自动巡视勘察，获取月球内部的物质(wùzhì)成分并进展分析，将一期工程的“外表探测〞引申至内部探测。
嫦娥三号其中着陆器定点守候(shǒuhòu)，月球车在月球外表巡游90天，范围可到达5平方公里，并抓取月壤在车内进展分析，得到的数据将直接传回地球。
2022年8月28日，中国国家国防科技工业局对外宣布，探月工程重大专项指导小组当天召开第十一次会议暨嫦娥三号任务进场发动会，审议批准了嫦娥三号任务由研制建立阶段转入发射施行阶段。
嫦娥三号探测器将于今年年底在西昌卫星发射中心择机发射。
据中央电视台报道，经发射场区指挥部决定，“嫦娥三号〞探测器将于12月2日1时30分，在西昌卫星发射中心发射。
“嫦娥三号〞将携“玉兔号〞月球车首次实现月球软着落和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测。
2022年9月11日嫦娥三号乘飞机转运，于12日10时抵西昌发射场。
嫦娥三号将于12月2日1时30分由长征三号乙运载火箭从西昌卫星发射中心发射。
它将携带中国的第一艘月球车，并实现中国首次月面软着陆。
2022年11月26日月球车正式命名为玉兔号。
发射火箭“嫦娥三号〞探月卫星将使用长征三号乙增强型运载火箭发射。
嫦娥三号
号探测器将首次获现月夜生 存。这将是我国探月‘三步走’战略中极为关 键的一步，她的表现值得我们期待。
中国的玉兔号月球车是无人驾驶月球车，质量约140kg，与 苏联的月球车相比是“小个子”。玉兔号搭载有测月雷达、 全景相机、红外成像光谱仪和粒子激发X射线谱仪等先进设备。
。 中国探月工程经过10
年的酝酿，最终确定 中国的探月工程分为
“绕”、“ 落”、
“回”3个阶段
嫦娥工程的一期工程——绕月飞行 第一步为“绕”，即发射中国第一 颗月球探测卫星，突破至地外天体 的飞行技术，实现首次绕月飞行。 嫦娥工程一期工程目标有5项： 研制和发射中国第一颗月球探测卫 星、初步掌握绕月探测基本技术、 首次开展月球科学探测、初步构建 月球探测航天工程系统、为月球探 测后续工程积累经验。 嫦娥工程一期工程科学目标有 4个：获取月球表面三维影像、分 析月球表面有用元素含量和物质类 型的分布特点、探测月壤特性、探 测地月空间环境。 目前一期工程的目标已经全部
嫦娥三号任务的具体特点
嫦娥三号任务的具体特点可总结为以下几方面： •选择与以往不同区域着陆； •月面软着陆就位探测与月球车巡视勘察二者同时 进行并有机结合，将获得比以前更有意义的探测成 果； •在国际上首次利 用测月雷达实测月 壤厚度（1～30米） 和月壳岩石结构 (1～3千米)；
嫦娥三号的难题
各国登月情況
• 1969年7月20日， 美国宇航员奥尔德林 （如图）和阿姆斯特 朗（头盔中影像）乘 “阿波罗”11号飞船 首次登上月球。
“嫦娥奔月”是中
国家喻户晓的神话
故事。2004年，中
国正式开展月球探
测工程，并命名为 “嫦娥工程”。
嫦娥”这个 美丽的名字， 一直以来都 寄托着人们 对月亮的无 限向往，因 此“嫦娥奔 月”的神话 在民间流传 了几千年。 如今，登九 天揽月将不 再只是传说
嫦娥三号软着陆过程(数模竞赛附件2)
附件2：嫦娥三号软着陆过程的六个阶段及其状态要求1. 嫦娥三号软着陆过程示意图附图4嫦娥三号软着陆过程示意图2.嫦娥三号软着陆过程分为6个阶段的要求（1）着陆准备轨道：着陆准备轨道的近月点是15KM，远月点是100KM。
近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置。
（2）主减速段：主减速段的区间是距离月面15km到3km。
该阶段的主要是减速，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。
（3）快速调整段：快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面3km到 2.4km处将水平速度减为0m/s，即使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段。
（4）粗避障段：粗避障段的范围是距离月面2.4km到100m区间，其主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。
嫦娥三号在距离月面2.4km处对正下方月面2300×2300m的范围进行拍照，获得数字高程如附图5所示（相关数据文件见附件3），并嫦娥三号在月面的垂直投影位于预定着陆区域的中心位置。
附图5：距月面2400m处的数字高程图该高程图的水平分辨率是1m/像素，其数值的单位是1m。
例如数字高程图中第1行第1列的数值是102，则表示着陆区域最左上角的高程是102米。
（5）精避障段：精细避障段的区间是距离月面100m到30m。
要求嫦娥三号悬停在距离月面100m 处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。
分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方30m处水平方向速度为0m/s。
附图6是在距离月面100m处悬停拍摄到的数字高程图（相关数据文件见附件4）。
附图6：距离月面100m处的数字高程图该数字高程的水平分辨率为0.1m/像素，高度数值的单位是0.1m。
（6）缓速下降阶段：缓速下降阶段的区间是距离月面30m到4m。
该阶段的主要任务控制着陆器在距离月面4m处的速度为0m/s（合速度），即实现在距离月面4m处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确有落月点。
数学建模A题经验分享
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3.主减速阶段的微分方程组建立了相关参量之间的函数关系， 通过解出的结果结合后面阶段的轨道方程可以较为方便地确 定变量敏感度的影响曲线，从而确定出对计算结果影响最大 的相关变虑 适当的简化忽略次要因素：月球自转、地球 引力、月球曲率的影响 做出合理的假设对于简化计算很有帮助 多方位查找资料 matlab等软件辅助分析 团队合作、合理分工很重要
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4
第三问
逐个单独考虑之前分析过程中忽略的次要因素，分析对所得 优化结果的影响；对主要因素进行适当增减，分析其对结果影 响的敏感度
由于之前的讨论中用了很多的近似与简化过程，使得得出的 结论难免会与现实状况产生偏差，原有模型基础上再考虑一个 之前忽略的变量，如：月球自转对卫星的影响，推力偏差对着 陆器的影响，比冲偏差对着陆器的影响，，将其带入模型之中 重新计算并与原来的结果比较、分析；敏感性分析，保证其余 的变量值不变，单独改变所讨论的这个变量的值，可以得到一 系列结果，对结果变化影响最大的变量就是最敏感的。
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2
第二问：
分段对飞船各个减速阶段分别建立微分方程模型、方差分 析模型通过题目限制条件进行求解与优化。
主减速阶段与快速调整阶段
依据第一问得出的着陆准备轨道方程，对于登月器主减速段， 本文以此为依据建立出减速段登月器运行的抛物线模型，通 过发动机沿着登月器运动方向反向喷射及与运动方向或呈一 定的夹角等形式分别建立卫星在已有抛物线上减速的力学微 分方程模型，并通过该模型，利用发动机最大功率、耗油量 最低、运动轨迹起始点等的限制因素对微分方程进行求解并 对该阶段进行优化，得出飞行器控制的最优解。对于登月器 的快速调整阶段，通过近似计算可以将问题简化为水平方向 急剧减少，而运动轨迹接近竖直的运动模型。
2014-高教社杯全国大学生数学建模竞赛AB题评阅要点
2021 高教社杯全国大学生数学建模比赛A 题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。
对本问题应该给出合理的建模假定, 譬如: 惯性坐标、二体问题等, 并加以分析说明。
问题1: 在已知的条件下, 确定嫦娥三号在环月轨道上近月点与远月点的相对位置和速度（1) 建立合理适用的坐标系。
（2) 对嫦娥三号进行受力分析, 建立其运动学和准备轨道的数学模型（譬如: 微分方程等模型) 。
（3) 通过求解数学模型得. 到数值结果。
问题2: 确定软着陆轨道与6 阶段的控制策略由问题对着陆轨道 6 个阶段的要求, 每个阶段都应给出起止状态（速度和位置) 和最优控制策略（推力大小和方向) , 以满足各阶段起止状态的需求。
（1) 建立各阶段的最优控制模型, 明确给出控制变量、状态变量、状态方程、约束条件和目标函数。
（2) 在粗避障和精细避障阶段挑选落点时, 需要综合考虑月面的平整度、光照条件、着陆控制误差等因素, 确定最理想的着陆地点。
（3) 各阶段的控制问题是一个无穷维的优化问题, 可以通过合理的简化（譬如离散化为有限维的优化问题) 求解得. 到合理的数值结果, 即最优的控制策略。
（4) 若未按题目要求按6 阶段设计最优控制策略, 而照抄某些文献的两阶段或三阶段的处理方法, 不能视为较好的论文。
问题3: 着陆轨道设计和控制策略的误差分析与敏感度分析对问题的稳定性有影响的误差包括:（1) 着陆准备轨道参数（近月点位置和速度) 的误差；（2) 分阶段分析发动机推力（大小和方向) 的控制误差；（3) 模型的简化假定、模型的近似与求解过程等综合分析误差；加入能针对以上几个因素对问题结果的影响及程度做相应的敏感度分析, 应给予肯定。
2021高教社杯全国大学生数学建模比赛B题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。
本题主要考查学生对直纹面的描述、建模和计算功底。
2014年数学建模A题-省一等奖
关键词：软着陆、SQP算法、轨道优化、景象匹配
1
一
1.1 问题的背景
问题重述
中国是继美国、前苏联之后的第三个能使卫星登上月球实现软着陆的国家。因此， 嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注的焦点。北京时间 12 月 10 日晚， 嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一 次轨道调整。在实施软着陆之前，嫦娥三号还将在这条近月点高度约 15 公里、远月点 高度约 100 公里的椭圆轨道上继续飞行。 嫦娥三号着陆地点选在较为平坦的虹湾区。但由于月球地形的不确定性，最终“落 月”地点的选择仍存在一定难度。但嫦娥三号的预定着陆点为 19.51W，44.12N，海拔为 -2641m。在大约距离月球 15 公里时，反推发动机就要点火工作；到离月球 100 米时， 卫星将暂时处于悬停状态，此时它已不受地球上工程人员的控制，因卫星上携带的着陆 器具有很高智能，它会自动选择一块平整的地方降下去，并在离月球表面 4 米的时候关 闭推进器，卫星呈自由落体降落，确保软着陆成功。为了确保探测器能够成功在月球表 面实现软着陆，需要认真设计降落过程中探测器的发动机的控制方案，使“嫦娥 3 号” 能够顺利完成科研任务，得到最大化的应用。由于月球上没有大气，嫦娥三号无法依靠 降落伞着陆，只能靠变推力发动机，才能完成中途修正、近月制动、动力下降、悬停段 等软着陆任务。 这将是中国航天器首次在地外天体的软着陆和巡视勘探， 同时也是 1976 年后人类探测器首次的落月探测。 嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t， 其安装在下部的主减速发动机能够 产生 1500N 到 7500N 的可调节推力。在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过 多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。 要保证准确地在月球预定区域内实现 软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。其着陆轨道设计的基本要求：着陆准 备轨道为近月点 15km，远月点 100km 的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其 软着陆过程共分为 6 个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆 过程的燃料消耗。 1.2 提出问题 根据上述的叙述以及基本要求，提出以下三个问题： （1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与 方向。
数学建模获奖论文A题-嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要随着人类的进步和科技的发展，人类对太空和月球的探索已经取得了很大的进步。
我国的探月工程项目也一直走在世界前列。
嫦娥三号是我国首次实行外天体软着陆任务的飞行器，在世界上首先实现了地外天体软着陆自主避障。
对于嫦娥三号软着陆过程虽然有很多的研究成果，但这仍然是一个永远值得我们研究的问题。
本文首先分析了嫦娥三号运行轨道的近月点和远月点的速度，然后确定了近月点和远月点的位置。
在这基础上，对嫦娥三号软着陆轨道进行拟合确定，通过制导技术分析六个阶段最优控制策略。
最后，对确定的轨道和最优控制策略进行误差分析和敏感性分析。
在对问题一近月点和远月点位置确定和速度分析时，本文建立了动力学模型，通过万有引力定律求得在近月点的飞行速度为1.67km/s，在远月点的速度为1.63km/s，然后用微元迭代的方法，解得近月点的位置19.51W,32.67N,15km，远月点的位置160.49E,32.67S，100km。
在轨道的确定过程中，为了便于研究，将嫦娥三号软着陆的轨道划分为三个阶段。
第一个阶段是从近月点到距月球表面2400米的高空，在这一阶段的研究中，本文建立了基于软着陆二维动力学模型，然后根据所得到的数据确定轨道，进而用MATLAB拟合出轨道。
第二阶段是从距月球表面2400米到4米，考虑到要避开月球表面障碍物，所以，用MATLAB将附件 3中的图像进行平面和三维作图，从而根据所做出的图像确定出此阶段的运行轨道。
在第三阶段的划分是嫦娥三号从4米处开始做自由落体运动，这个阶段的轨迹是一条直线。
在六个阶段运动过程的最优控制策略研究中，首先运用显示制导法进行六个阶段燃料的最优控制，约束条件是嫦娥三号在每个阶段燃料的使用尽量少。
然后用模拟退火遗传算法对六个阶段的轨道最优化进行设计，得出嫦娥三号着陆过程每个阶段最优轨道控制，通过避障制导技术得出嫦娥三号软着陆六个阶段的最优控制策略。
关键词：二维动力学模型最优控制策略显示制导法一. 问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要：根据题目附录和文献[4]中提供的嫦娥三号的运行参数，利用角动量守恒及向量几何的方法，分别确定了近日点、远日点的位置向量和速度向量。
与文献[4]的真实数据比较发现吻合良好。
本文重点关注优化减速控制与着陆点避障两方面：前者燃耗最大，后者决定着陆成败。
首先，在多重坐标变换基础上，建立了飞行器制动的动力学方程。
并以燃耗为最优化性能指标、近月点状态为初始条件、着陆点状态为终端条件，利用极值原理求解飞行器的着陆轨迹，及其最优控制参数。
其次，对避障阶段采集的高程图采取水平剖分、比较高程方差的方法，解出最优降落点。
关键词：软着陆；最优轨道；避障1、问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道，于北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为2.4t，安装在其下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
嫦娥三号四周安装了姿态调整的发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，为了保证嫦娥三号能准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键的问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求如下：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段，要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：（1）计算其着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于设计的着陆轨道和控制策略进行相应的误差分析和敏感性分析。
2、问题分析2.1技术背景月球软着陆的方式有两种，分别是：1）从月球转移轨道直至月球轨道，从而实现软着陆；2）从月球的停泊轨道变轨到近月点，然后实现软着陆。
[2]嫦娥三号要求准确的在月球预定区域内实现软着陆，它降落的过程为如下几个阶段：嫦娥三号先进行霍曼变轨，由高度约100km的停泊轨道进入到近月点高度约15km的椭圆轨道；到达近月点时，探测器的制动发动机点火，进入动力下降阶段，即上图中的DA段；在距离月面约2km时，水平速度减为0，即上图中的AF段，调整姿态后，探测器以自由落体的方式降落到月面，即上图中的FL段。
2.2着陆过程的主要考虑因素着陆期间主要考虑两大因素：一、主减速段是用时最长、推进剂消耗最多，因此最小化推进剂消耗是该段制导律的主要设计目标。
二、避障阶段决定飞行器能否顺利着陆，因此统计分析高程数据并采取相应横向推力最关重要。
2.3力学分析嫦娥三号受力分析图xzy月球嫦娥三号F 推F 引O如上图示，以月心为坐标原点，月球自传轴为OZ 轴，OX 轴过零经度线，利用右手准则确定OY 轴，建立空间直角坐标系。
嫦娥三号探测器绕月运动中，受到指向月心的引力，以及相背于速度方向的由发动机产生的推力两个力同时作用。
引力是在月心坐标下考虑。
其参数为： ● 为万有引力常量且 ● 为月球的质量， kg 。
● 为航天器的质量●是航天器质心的坐标，发动机推力是在飞行器轨道坐标系下考虑的：●为发动机的冲力，是由发动机构造、性质、燃料共同决定。
飞行过程中是不变的。
●为探测器中燃烧燃料的质量，●是秒耗量。
表示飞行器燃料每秒燃烧消耗的质量。
●是推力方向，由飞行器的飞行姿态决定。
●因此运动的加速度为：2.4坐标系2.4.1直角坐标系的旋转我们假设月球是一个不旋球体，不考虑侧向运动，我们建立的月球探测器的数学模型，利用燃耗最优原则，依据庞特里亚金最大值原理设计了最优轨道。
首先，我们建立了以为原点的月心惯性坐标系，OX轴是月球的0经度线；OZ是月球的自转方向；OY是根据右手坐标来确立的。
要在月心惯性坐标下计算推力，需进行坐标旋转变换。
根据欧拉姿态角的变化过程，经过两次有顺序的坐标轴旋转，得到两个矩阵：先将轨道坐标沿方向旋转角度，旋转变换的矩阵为：再将之沿绕方向旋转角度，旋转变换的矩阵为：因此得到总的旋转矩阵：为原点在探测器的轨道坐标系,指向从月心到着陆器的延伸线方向，垂直指向运动方向,按右手坐标系确定。
制动发动机推力的方向与探测器纵轴重合，为与轴正向所成夹角，为在平面上的投影与轴负向所成夹角。
在月心惯性坐标中，推力为：●是推力方向，如上图所示。
●是以月心指向飞行器质心的向量。
●推力方向与的夹角。
●是推力在投影于的夹角。
和随飞行器飞行状态而变，那么：同理，在月心惯性坐标下，总的加速度为：2.4.2直角坐标系与经纬坐标系的变换近月点速度方向分析图0度经线月心近月点着陆点VyxZOLN如上图所示，以月心为坐标原点，月球自转轴为竖轴建立空间直角坐标系OXYZ ，假设近月点的空间直角坐标为，用和分别表示近月点位置的经度和纬度，可由以下经纬度转换成为直角坐标系坐标的公式：3.模型假设1) 不考虑月球的自转。
因为飞行器的速度相比月球自转的速度快、着陆时间快得多。
2) 不考虑除月球以外其他天体引力对飞行器的扰动。
3) 不考虑着陆区域附近因地形不同而造成的质量不同，进而影响引力场。
即假设引力场在同样高度是均匀的。
4) 假设月球引力场是从月心点发出的，引力指向月心点。
5) 假设飞行器燃料足够使用。
4、符号及字母描述M 月球质量（ M=7.349×10^（22）kg）m 航天器质量r 月球的半径（r=1.737013×（10）^6m）G 万有引力常量（G = 6.67×10^(-11)）g 月球引力加速度t运动的时间月球万有引力探测器推进器产生的冲力发动机比冲（Ve=2940m ⁄s=2.94m/s）α轨道坐标 沿OZ方向旋转的角度β轨道坐标 沿OX方向旋转的角度θφ表示秒耗量近月点位置经度近月点位置纬度相关符号字母说明引 推推力方向与 的夹角推力在 投影于与 的夹角5.近月点与远月点参数的确定5.1 近月点的参数根据文献资料数据 [4]，由北京工程研究所和空间智能控制技术国家级重点实验室的研究员们在这篇文献中对嫦娥三号的发射与着陆的设计做出了详细的说明,参与嫦娥三号设计与制造的他们在这篇文献中对嫦娥三号在登月过程中的各个阶段的各项参数都做出了详细而精确的推到与证明，通过这篇文献我们可以得到探测器近月点的位置信息为：经度：19.0464°W 纬度：28.9989°N 高度：15km 俯视姿态角：85°资料中所给的近月点的速度V=1.6957km/s5.1.1计算近月点直角坐标近月点速度方向分析图0度经线月心近月点着陆点VyxZOLN由2.4.2中构建的方程组，设点N 为探测器在近月点处的位置，且该点所处在0度经线的位置上；已知近月点的位置为（19.0464°W ，28.9989°N ），高度为月球半径+15km ，着陆点的位置为（19.51°W ，44.12°N ）可得到近月点的直角坐标：，单位：km5.2 远月点的参数5.2.1用近月点计算远月点位置经度：160.9536°E 纬度：28.9989°S由近月点位置的经纬度投影得到远月点的经纬度经度：19.0464°W 纬度：28.9989°N 高度：15KM+月球半径月球近月点远月点如上图所示，由于近月点、月心、远月点在同一直线上，已知近月点的位置为经度：19.0464°W ，纬度：28.9989°N 。
运用投影的方法可得到远月点的位置，计算方法如下：经度 = 180°- 近月点经度 = 160.9536°W 纬度 = 28.9989°S5.2.2远月点的直角坐标由2.4.2中的方程组结合远月点的经纬度数据可以得到远月点的直角坐标为,单位km5.3飞行器在近月点和远月点的速度 5.3.1推导、计算月球的第一宇宙速率根据万有引力定律：v=(月球质量M=7.349*kg，G = 6.67*，月球的半径r=1.737013m )由此可以得到月球的第一宇宙速度为：=1.68km/s。
由于远月点处于嫦娥三号探测卫星的变轨点也就是变轨后的轨道与环月运动轨道的交点处，因此，远月点的速度即为探测器绕月运行的速度，即月球的第一宇宙速度，既得远月点的速度为=1.68km/s。
5.3.2利用角动量守恒估算近月点速度首先由角动量的定义可知：其中为角动量，为运动轨迹向量，为动量，为速度向量，m为探测器的重量。
然后，刚根据角动量守恒定律：=常量。
已知，远日点（初次变轨时的位置）的路径长度：=100km+月球半径r。
由远日点与近日点角动量守恒得：代入数据可得=1.7615km/s。
与资料中所给的=1.6957km/s相比较，计算所得的数据与资料所给数据产生的误差（3.8%）5%，因此计算所得的近日点速度是吻合且正确的。
5.3.3计算近月点速度方向由5.1.1中图所示，设点N为探测器在近月点处的位置，且该点所处在0度经线的位置上；点L为探测器着陆点的位置，由此构建方向向量，以及探测器的速度方向向量，已知近月点的位置为（19.0464°W，28.9989°N），高度为月球半径r+15km，着陆点的位置为（19.51°W，44.12°N）根据向量的原理整理总结可得如下方程组：将，数据代入结合5.1.1中所计算出的近月点N的空进直角坐标，运用matlab进行运算后整理可得如下线性方程组：综上所述及计算我们可以得到近月点的速度方向向量为：6、主减速阶段的轨道方程6.1动力学方程根据2.3中牛顿力学分析；经过2.4.1坐标方程变换后，飞行器的动力学方程如下：=T-(其中Q=表示秒耗量)6.2控制方程整理6.1中的方程，将其打开引入简记符号后，系统状态方程可表示为：其中，以上式子中是用于控制飞行棋的变量。
由上式运动方程可知，决定飞行器状态的变量为：是飞行器质心位置，是飞行器速度向量，m是飞行器质量。
6.3燃耗最优控制（1）性能指标已给定，由以上结论可得出性能指标为：既降落过程中消耗的燃料最少的情况。
（2）初始状态有上文数据可得，系统的初始状态为：（3）控制变量为推进器的秒耗量都是刻画飞行器的飞行姿态的角度（4）终止状态注：动力下降过程中推进剂消耗约为1.4t。