汇交力系例题
材料第二章汇交力系
Fy Fxy sin F cos sin
Fz F sin
16
4、力的解析表达式：
若以 F ,F ,F 表示力沿直角 x y z 坐标轴的正交分量，则：
F Fx Fy Fz
而：
Fz k
j
Fx Xi ,Fy Yj,Fz Zk
所以：
Fx
i
Fy
[例2]圆柱重500N，板与墙夹角600，接 触光滑，求圆柱给墙和板的压力。 1、比例尺 2、力的多边形 O N
D
300
W
NE
FA Gtg300 500N tg300 288.7 N
G FB 577 .4 N 0 cos 30
21
汇交力系几何法解题的主要步骤如下： 1．选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究 对象，并画出简图。 2．分析受力，画受力图。在研究对象上，画出它所受的全部 已知力和未知力(包括约束反力)。若某个约束反力的作用线不 能根据约束特性直接确定(如铰链)，而物体又只受三个力作用 ，则可根据三力平衡必须汇交的条件确定该力的作用线。 3．作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系 的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已 知力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定未知力的指 向。 4．求出未知量。用比例尺和量角器在图中量出未知量，或者 用三角公式计算出来。
X=Fx=F· cos ：
Y=Fy=F· sin=F · cos
F Fx Fy
X Fx cos F F
2 2
Y Fy cos F F
9
2、力在平面上的投影
F
FM
FM F cos
平面汇交力系习题
作业A一、填空题1.平面汇交力系是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。
2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是＿＿＿＿＿＿＿，此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。
3.沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿，两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影，力的投影是＿＿＿＿量，有正负之分。
4.力沿直角坐标轴方向分解，通常，过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形，力F 是矩形的＿＿＿，矩形的＿＿＿＿是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。
5.已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、，那么这个力的大小=F ＿＿＿＿，方向角=α＿＿＿＿。
(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。
)6.平面汇交力系的力多边形如图(a)，(b)，(c)则图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； 图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
7.如图所示，不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接，若结构受力F 作用，则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿，方向＿＿＿＿＿＿。
（7题图） （8题图）8.如图所示，力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。
9.平面刚架在B 处受一水平力F 作用，如图所示，刚架自重不计，设F =20kN ，L =8m ，h =4m ，则求A 、D 处的约束反力，可以按以下步骤进行：（1）以刚架为研究对象，进行受力分析：请画出刚架的受力分析图（2）作用在刚架上的力（主动力和约束力）构成的力系属＿＿＿＿＿力系 （3）列出刚架的平衡方程（坐标如图）∑=0xF ：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； ∑=0yF：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
（4）解方程计算D A 、处的约束反力A F =＿＿＿＿＿＿；D F =＿＿＿＿＿＿＿。
平面汇交力系的平衡条件及例题
• 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，也 平面汇交力系平衡的充分与必要条件，
可解析地表达为： 可解析地表达为：力系中各力在两个坐标 轴上投影的代数和分别为零。 轴上投影的代数和分别为零。
FR = ∑பைடு நூலகம்Fix + ∑ Fiy = 0 i =1 i =1
A
B
30 0
C
300
D
W
A
y
B
300
C
30 0
D
x
FCA FCB F
' T
300 300
C
W
FT
∑F
x
=0
0 ' T 0
FCB + FCA cos 30 + F cos 30 = 0
∑F
y
=0
0 ' T 0
FCA sin 30 − F sin 30 − FT = 0
FCA = 300kN
FCB = 346.4kN
n n 2 2
∑F
i =1
n
xi
=0
∑F
i =1
n
yi
=0
平面汇交力系应用举例
• 例3-2 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索 小滑轮C铰接在三脚架ABC上，绳索
绕过滑轮，一端连接在绞车上，另一端悬 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 挂重为W=100kN的重物。不计各构件的自 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。 重和滑轮的尺寸。试求AC和BC所受的力。
§3-1-3平面汇交力系的平衡条件及应用
• 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是： 平面汇交力系平衡的充分和必要条件是：
平面汇交力系的例子
平面汇交力系的例子
1. 哎呀，想想拔河比赛呀！两队人在那拼命拉绳子，这可不就是平面汇交力系的典型例子嘛！大家都使着劲，力量在绳子上汇聚，谁能赢不就看哪边的力更大嘛！
2. 建筑工地上的起重机吊东西，那也是平面汇交力系啊！起重臂上的各种力都往一个点上作用，这多明显呀！
3. 你看咱平时推桌子，是不是几个方向都可能发力，这些力在桌子上不就形成了平面汇交力系嘛！
4. 还记得小时候玩的跷跷板吗？两边人一上一下，那其实就是两边的力在跷跷板这个平面上交会呀，这就是个有趣的平面汇交力系例子呀！
5. 抬重物的时候，几个人一起用力抬，这些力可不就在重物所在的平面上汇交啦，这不是随处可见的平面汇交力系嘛！
6. 开帆船的时候，风的力和船员拉帆的力，不都作用在帆上嘛，这不就是平面汇交力系在起作用嘛，多神奇！
7. 公园里的旋转木马，它的转动也是因为各种力在平面上交汇呀，你说是不是很有意思呢？
8. 大家一起拉一辆车，每个人使的力都不一样，但都作用在车身上，这就是平面汇交力系的体现呀！
结论：平面汇交力系在我们生活中无处不在呀，只要留意就能发现很多这样的例子呢！。
平面汇交力系习题
作业A一、填空题1、平面汇交力系就是指力作用线＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,且＿＿＿＿＿＿＿＿＿一点的力系。
2、平面汇交力系平衡的必要与充分条件就是＿＿＿＿＿＿＿,此时力多边形＿＿＿＿＿＿＿。
3、沿力矢量的两端向坐标轴作＿＿＿＿,两垂足在坐标轴上截下的这段长度称为力在坐标轴上的投影,力的投影就是＿＿＿＿量,有正负之分。
4、力沿直角坐标轴方向分解,通常,过力F 矢量的两端向坐标轴作平行线构成矩形,力F 就是矩形的＿＿＿,矩形的＿＿＿＿就是力F 矢量的两个正交分力y x F F 、。
5、已知一个力F 沿直角坐标轴的两个投影为y x F F 、,那么这个力的大小=F ＿＿＿＿,方向角=α＿＿＿＿。
(角α为F 力作用线与x 轴所夹的锐角。
)6、平面汇交力系的力多边形如图(a),(b),(c)则图(a)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;图(b)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;图(c)中四个力关系的矢量表达式＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
7、如图所示,不计重量的直杆AB 与折杆CD 在B 处用光滑铰链连接,若结构受力F 作用,则支座C 处的约束力大小＿＿＿＿＿＿,方向＿＿＿＿＿＿。
(7题图) (8题图)8、如图所示,力F 在y x 、轴上投影x F ＝＿＿＿＿＿、y F ＝＿＿＿＿＿。
9、平面刚架在B 处受一水平力F 作用,如图所示,刚架自重不计,设F =20kN ,L =8m ,h =4m ,则求A 、D 处的约束反力,可以按以下步骤进行:(1)以刚架为研究对象,进行受力分析:请画出刚架的受力分析图(2)作用在刚架上的力(主动力与约束力)构成的力系属＿＿＿＿＿力系(3)列出刚架的平衡方程(坐标如图)∑=0x F:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿; ∑=0yF :＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
(4)解方程计算D A 、处的约束反力A F =＿＿＿＿＿＿;D F =＿＿＿＿＿＿＿。
工程力学 03汇交力系-19(例题)
理论力学 Theoretical Mechanics
解： 1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。 与重物为研究对象，受力分析如图。 其侧视图为
z E C F
30o
D
F2
B
z E F
30o
F1
B
F1
α
FA
A
x
G
y
α
FA
A
G
y
理论力学 Theoretical Mechanics
z E F
30o
2
理论力学 Theoretical Mechanics
因为α很小，所以可取
tgα ≈ α
G 800 N = 80kN F TBA = G ctg α = 2 = 2 tg α 0.1
2
显然，拔力为
F
' TBA
= F TBA = 80kN
江苏工业学院机械系力学教研室
理论力学 Theoretical Mechanics
（4）由几何关系得： O =EA= 24 cm 由几何关系得： E
A
P
A
P
α
24
D E tgϕ = = 0.25 O E
C O B D
(a)
O
α ϕ
B
FB
E
6
ϕ = arctg0.25 =14°2'
FD
D
(b)
由力三角形可得： 由力三角形可得： = sin(180°−α−ϕ) P F B
sinϕ
P
J
解得
Fcosθ ⋅ yB −Fsinθ ⋅ xB FD = C l
江苏工业学院机械系力学教研室
理论力学 Theoretical Mechanics
受力图汇交力系例题
方向：平行于Q、P且指向一致
作用点：C处
拟定C点，由合力距定理
mB (R )mB (Q ) 又 R P Q
AB AC CB代入
RCB Q AB 整理得 AC P
CB Q
②两个反向平行力旳合力 大小：R=Q-P
方向：平行于Q、P且与较大旳相同
作用点：C处
（推导同上）
CB Q CA P
性质2：力偶对其所在平面内任一点旳矩恒等于力偶矩，而
①力偶能够在其作用面内任 不变，能够任意变化力偶中力
意移动，而不影响它对刚体 旳大小和相应力偶臂旳长短，
旳作用效应。
而不变化它对刚体旳作用效应。
2、力偶系旳合成与平衡
平面力偶系:作用在物体同一平面旳许多力偶叫平面力偶系 设有两个力偶
d
d
m1 F1d1;
m2 F2d2
又m1 P1d
m2 P2d
Fd mO (R)
因为O点是任取旳
m F d + —
阐明：① m是代数量，有+、-； ②F、 d 都不独立，只有力偶矩 m F d 是独立量； ③m旳值m=±2⊿ABC ； ④单位：N• m
性质3：平面力偶等效定理 作用在同一平面内旳两个力偶，只要它旳力偶矩旳大小相等，
转向相同，则该两个力偶彼此等效。 [证] 设物体旳某一平面 上作用一力偶(F,F') 现沿力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q'), 再将Q,F合成R，
与矩心旳位置无关，所以力偶对刚体旳效应用力偶矩度量。
力偶无合力 R=F'-F=0
CB F ' 1 CB CA
CA F
若CB CB d成立,必有CB
d 合力的作用点在无限远处
工程力学 习题 第二部分 附答案
为零。
A：合力
B：合力偶
C：主矢 D：主矢和主矩
3-3 是非判断题：
二个力在坐标轴上投影相等，则二个力一定相等。（ ）
力沿作用线移动，力对点之矩不变。（ ）
-1-
工程力学习题
3-4 各力的作用线共面的力系成为平面力系。试讨论平面力系的简化结果。 3-5 大小均等于 FP 的四个力作用于边长为 a 的正方形的四条边上，如图所示。该力系是
2)FPa (i − j) ⋅ ( 3i + 4
3j +
2k) = 0
所以该力系必存在合力。
-3-
工程力学习题解答
3-8 三棱柱的高为 b ，底面为等腰直角三角形，直角边长也为 b 。力 F1 作用于 A 点， 力 F2 和 F3 作用于 O 点，方向如图示，且有 F1 = F2 = F3 = FP
-4-
因此，原力系合力为 4FPk ，作用线过正方形中点。 3-10 求下列平面图形的形心位置(图中长度单位为 mm )
第 3 章 汇交力系
解：对第一个图形，由对称性，形心 x 坐标为零。
将第一个平面图形分解成三部分。
图形 1
面积 Si mm2
29800
形心坐标 y mm
325
图形 2
18000
140
哪一个图中的哪一个力代表合力。有以下四种说法，正确的应是
。
F1
F2
F1
F2
F4
F3
图a
F4
F3
图b
A. 图（a）的F4为合力，图（b）为平衡力系 B. 图（a）、图（b）都是平衡力系 C. 图（a）、图（b）都不是平衡力系 D. 图（a）是平衡力系，图（b）的F4是合力
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C
Y P TBD cos cos TBC cos cos 0
Z RA TBD sin TBC sin 0
联立解得
TBC 735 N
TBD 1094 N
RA 1500 N
p.4
例题
例题
例4.已知四根绳索AB、BC、BD、DE相互联接如图所示， DB保持水平，DE和BC分别与水平和铅垂线的夹角均
A
45o
0.8m
CB
0.4m
y
SC
A
45o C
RA
B x
E
P
EB BC 0.4m tg EB 0.4 1
AB 1.2 3 (2) 列出平衡方程；
X 0, RA cos Sc cos 45 0
Y 0,RA sin Sc sin 45 P 0
(3) 求未知力；
P
2
Sc sin 45 cos45tg
C EA
D
B -
y TDB D + x
y
TBE
TBC
B
TBD
x
P
TDA
P
SAB
解: (1) 研究D点，画受力图；
(2) 列出平衡方程并求解；
X 0,TDB cos( ) TDA cos( ) 0
Y 0,TDB sin( ) TDA sin( ) P 0
TDB
NA
O
O’与 O为矩形OAO’B的两个顶点，
O’ B
力的作用线既通过O’点也通过O点。
NB
由几何关系得
P A
90 2
NA
O
OA Lsin
p.6
例题
例题
例6. 铰接四连杆机构CABD的CD边固定。在铰链A上作用一 力Q，BAQ=45。在铰链B上作用一力R，ABR=30，
这样使四边形CABD处于平衡。如已知CAQ=90， DBR=60，求力Q与R的关系。杆重忽略不计。
Rx X 2 cos30 3cos 60 1 cos 45 2.5cos 45 1.29kN
Ry Y 2sin 30 3sin 60 1sin 45 2.5sin 45 1.12kN
(2) 求R的大小及与x轴正向间的夹角；
R X 2 Y 2 1.292 1.122 1.71KN
O
P A
B
X P SOA sin SAB sin 0
S AB
P
2 sin
SAB’
y
再以压板为研究对象并分析受力: SAB’, Q, N
BN
选投影轴列方程：
Y Q SAB cos 0
Q P ctg
2
x
Q
讨论：P力一定， 越小，压紧力Q越大。
p.3
例题
例题
例3.立杆AB，A端为球铰链，BC和BD为两钢索，若杆和钢索
R
SBD
R
S AB c os30
Q Rcos45 cos30 0.61R
p.7
例题
例题
例7.门式钢架如图所示，在B点受一水平力P=20KN,不计钢架
自重；求支座A、D的支座反力。
PB
C
PB
C
4m
A
D
A
D
8m
RA
ND
解: (1) 研究刚架；根据三力平衡汇交定理画出受力图；
(2) 画自行封闭的力三角形abc；
例题
3 2
4 5
例题
1 汇交力系 6
11 10
7
8 9
p.1
例题
例题
例1. 已知简易起重架ABC，重物重P=1KN，滑轮B大小、尺
寸和杆AB、BC重均忽略不计，滑轮的轴承光滑。求：
杆AB及BC的受力。 解： 研究对象：滑轮B
受力分析： T1= T2= P, SAB, SBC
A
B
45
30
选投影轴列平衡方程：
G=500N，图中尺寸d1=42cm，d2=24cm，a=12cm，h=5cm，
求插爪及轴承所受的压力。
a
A
B
h
O
d2
d1
A
NB B
O RO
c
NB
a
RO G
b
G
G
解: (1) 研究提升系统；根据三力平衡汇交定理画出受力图；
(2) 画自行封闭的力三角形abc；
(3) 按比例尺求未知力；
RO bc 680 N
y Bx
T1
p.2
例题
例题
例2. 压榨机的连杆OA、AB重忽略不计，与铅垂线的夹角
均为。各绞链均光滑。已知绞链 A处作用水平力P。
求压板B对工件的压紧力Q。
解： 研究对象：绞链A
y
SOA
受力分析： P,SOA, SAB 选投影轴列方程：
A
P
x
SAB
Y SOA cos SAB cos 0 SOA S AB
2
4.24KN 2 1
2 23
RA
Sc
cos45
cos
4.24 2 3/
/2 10
3.16KN
p.11
例题
例题
例11.图示为索式挖掘机简图。支杆AB由缆索BC支持，土斗D
的悬挂位置可借滑轮的钢丝绳DBE决定。已知土斗及其中
土的总重为P=100kN，=30o，=10o，=18o，=7o，不计
支杆的自重；求平衡时支杆AB和缆索BC所受的力。
sin sin
TBC TBD sin 128k N
S AB
TBD
sin
sin
sin
511k N
p.12
arctg Ry arctg 1.12 41
Rx
1.29
(3) 画出合力R；
p.10
例题
例题
例10.图示一管道支架，由杆AB与CD构成，管道通过拉杆悬挂
在水平杆AB的B端，每个支架负担的管道重为2KN，不计
杆重。求杆CD所受的力及支座A的反力 。
D
解: (1) 研究AB杆；
根据三力平衡汇交定理画出受力图；
P cos sin
P cos sin
100 cos 20 sin 28
200KN
TBE
(3) 研究滑轮B，画受力图；
(4) 列出平衡方程并求解；
X 0, SAB TBD cos TBE cos TBC cos 0
Y 0, TBD sin TBE sin TBC sin 0
N B ca 310 N
p.9
例题
例题
例9.在刚体的A点作用有四个平面汇交力，其中F1=2kN， F2=3kN，F3=1kN，F4=2.5kN，方向如图所示。用解析法
求该力系的合成结果。
y F2
60o
45o A F3
y
F1
30o 45o
F4
R
RY
A RX
解:
x x
(1) 求合力R在坐标轴上的投影 ；
的重量均忽略不计。B端的水平力P=1000N。各固定尺寸
如图。求杆的内力和钢索的张力。
z
B
解： 研究对象：立杆AB
P
TBD
受力分析： P, TBD , TBC , RA
6m
TBC D
选坐标轴列平衡方程：
X TBD cos sin TBC cos sin 0
1m
A
y 1.5 m
x
RA
4m
P
TBD’ P
TDE
讨论：当W一定时，越小，P越小，就越省力。
p.5
例题
例题
例5. 均质杆AB重为P，长为L，两端置于相互垂直的两斜面
上，已知一斜面与水平成角；求平衡时杆与水平所成
的角及距离OA。
解： 研究对象：杆AB
O’
B
受力分析： P, NA, NB
P
NB
A
三力平衡汇交定理： 三力作用线必汇交于一点
RA
c
(3) 由三角形ADC与三角形abc相似求约束反力； a
P
ND b
ADC abc P N D RA AD DC CA
CA AD2 CD2 82 42 4 5m
ND
DC
P AD
10kN
RA
CA
P AD
22.4kN
arctg 1 26o34'
2
p.8
例题
例题
例8.提升铰车具有棘轮插爪构成的止逆装置，已知提升重量
P
X 0 SAB SBC cos 45 T2 cos 60 0
C
Y 0 SBC sin 45 T1 T2 cos30 0 SAB
S BC
T1
T2 sin
cos 45
30
2.64 KN
（压力）
SBC
T2
SAB (SBC cos45 T2 cos60 ) 1.37KN （拉力）
为，A处连接一木桩，桩重W。求D处作用的铅垂力P
需多大才能与桩保持平衡。
解： 研究对象：点B 分析力： W, TBD, TBC 平衡条件：力三角形封闭
TBC
TBD
B
W
E D
P
C B A W
画力三角形
TBD Wtg
TBC W
再取D点为对象，并分析受力
TBD
画力三角形 P TBDtg Wtg2
TDE TBD’ D
解： 研究对象：铰链A
y
B
受力分析： Q,SAC,SAB
SAB A
A 45 30 60 R
列平衡方程：
SAC
Qx C
Q
D