课题：利用二次函数解决图形的最大面积问题
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。
在本文中，我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。
1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c，求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。
根据海伦公式，三角形面积公式为：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，是三角形半周长。
我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。
2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 是常数，而x是自变量。
二次函数在数学中有着广泛的应用，其标准形式为：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中a表示二次函数的开口方向和大小，常被称为二次函数的开口因子；b表示二次函数的对称轴的位置，常被称为二次函数的对称轴；c表示二次函数在y轴上的截距，即当x=0时，二次函数的函数值。
3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中，我们可以将三角形面积公式中的p表示为：p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。
由于p=(x+y+z)/2是一个常数，因此我们可以将其视为一个固定值，从而将y=f(x)表示为：y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得：y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。
通过求解这个二次函数的最大值，我们就可以得到三角形的最大面积。
4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值，我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式：x=-b/2a，y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标，f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。
二次函数求三角形面积最大值的典型题目
二次函数求三角形面积最大值的典型题目篇一：哎呀呀，说到二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我头疼了好一阵子呢！就比如说有这么一道题：在平面直角坐标系中，有一个二次函数图像，然后给了一堆点的坐标，让咱们求由这些点构成的三角形面积的最大值。
这可咋整？我一开始看到这题，那真是脑袋都大了！心里就想：“这啥呀？怎么这么难！”我瞪大眼睛，死死地盯着题目，手里的笔都快被我捏出汗来了。
我同桌小明呢，他倒是挺自信，还跟我说：“这有啥难的，看我的！”我心里暗暗不服气，哼，你就吹吧！然后老师开始讲题啦，老师说：“同学们，咱们得先找到这个二次函数的顶点坐标，这就好比是找到宝藏的钥匙！”我一听，宝藏？这比喻还挺有意思的。
老师接着说：“然后再看看那些给定的点，能不能通过一些巧妙的方法把三角形的面积表示出来。
”我就在那拼命点头，好像听懂了，其实心里还是有点迷糊。
我扭头看看后面的学霸小红，她一脸轻松，好像这题对她来说就是小菜一碟。
我忍不住问她：“小红，你咋这么厉害，这题你都懂啦？”小红笑了笑说：“多做几道类似的题，你也能懂！”我又埋头苦想，想着要是能像玩游戏一样，一下子就找到解题的秘诀该多好啊！经过一番折腾，我终于有点明白了。
原来求这个三角形面积最大值，就像是爬山，得找到那个最高的山峰，而我们要找的就是能让面积最大的那个点或者那条线。
你说，数学咋就这么难呢？但我就不信我搞不定它！我一定要把这些难题都攻克下来，让数学成为我的强项！总之，我觉得做这种二次函数求三角形面积最大值的题目，虽然过程很艰难，但只要我们不放弃，多思考，多练习，就一定能找到解题的窍门，取得胜利！篇二：哎呀！说起二次函数求三角形面积最大值的题目，这可真是让我又爱又恨呀！有一次上课，数学老师在黑板上出了一道这样的题：已知一个二次函数图像，还有三角形的三个顶点坐标都在这个函数图像上，让我们求三角形面积的最大值。
当时我一看，脑袋就嗡嗡响，这啥呀？我就开始在草稿纸上乱画，心里想着：“这咋这么难呢？”同桌小明凑过来，瞅了瞅我的草稿纸，说：“你这算的啥呀，思路都不对！”我瞪了他一眼，回道：“那你行你上啊！”然后我俩就你一句我一句地争论起来。
利用二次函数解决面积最大问题
S x(30 x)
x
x2 30x (x 15)2 225
30-x
(0 x 30)
当x 15时,S有最大值，S 225
答：当长、宽各是15m时，羊圈的面积S最大
变式1 小孟有总长为60m的篱笆，想围成一个一边靠
墙的矩形羊圈，墙长32m，这个羊圈的长、宽各为多少
时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？
180 135 90 45
x -1 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
小 孟
例1 小孟有总长为60m的篱笆，想围成一个矩形羊圈， 这个羊圈的长、宽各为多少时，羊圈的面积最大？
1、设 2、列式
3、范围 4、最值 5、答
解：设羊圈的面积为S，最大羊圈的 一边长为x米， 则另一边为（30 - x）米
最大面积为450m 2
变式2 小孟有总长为60m的篱笆，想围成一个一边靠 墙的矩形羊圈，墙长18m，这个羊圈的长、宽各为多少 时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？
解：设羊圈面积为Sm2,与墙垂直的一边为x米， 则与墙垂直的一边为(60-2x)米
S x(60 2x)
x
2x 2 60x
2(x 15) 2 450
32
1、设
2、列式
3、范围
4、最值 5、答
解：设羊圈的面积为Sm 2 ,与墙垂直的一边
为x米， 则与墙平行的一边为(60 - 2x)米
S x(60 2x)
32
2x 2 60x
.
2( x
15)2
450
x
(14 x 30)
当x 15时S有最大值，S 450
x 60-2x
答：当长为30m，宽为15m时，羊圈的面积S最大，
利用二次函数求几何面积的最值问题
利用二次函数求几何面积的最值问题一、教材题目：P52 T3、T4、T6、T7、T93．飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数解析式是s＝60t －1.5t2.飞机着陆后滑行多远才能停下来？4．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？6．一决三角形材料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12.用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E 应选在何处？(第6题)7．如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上．四边形EFGH也是正方形．当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？9．分别用定长为L的线段围成矩形和圆，哪种图形的面积大？为什么？二、补充题目：来源于《典中点》3．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，若y 在x＝1时取得最大值，则实数a的取值情况是( )A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9D．a≤54．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是________________．9．如图，利用一面墙(墙的长度不超过45 m)，用80 m长的篱笆围一个矩形场地．当AD＝________时，矩形场地的面积最大，最大值为________．(第9题)10．如图，线段AB＝6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB为边作正方形，则当AC＝________时，三个正方形的面积之和最小．(第10题)12. 某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围成．若设花园垂直于墙的一边的长为x(m) ，花园的面积为y(m2)．(1)求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；(2)根据(1)中求得的函数解析式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？14．如图，在△A BC 中，∠B＝90°，AB ＝12 mm ，BC ＝24 mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2 mm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4 mm/s 的速度移动．已知P ，Q 分别从A ，B 同时出发，求△PBQ 的面积S 与出发时间t 的函数解析式，并求出t 为何值时，△PBQ 的面积最大，最大值是多少？（第14题）答案教材3．解：s ＝60t －1.5t 2＝－1.5(t 2－40t ＋400)＋600＝－1.5(t －20)2＋600.当t ＝20时，s 最大＝600，所以飞机着陆后滑行600 m 才能停下来．4．解：设一条直角边为x ，面积为y ，则另一条直角边为8－x ，由题意知y ＝12x(8－x)＝12(8x －x 2)＝－12(x 2－8x ＋16)＋8＝－12(x －4)2＋8. 当x ＝4时，y 最大，为8，此时8－x ＝8－4＝4.所以两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值是8. 6．解：设AE ＝x ，矩形CDEF 的面积为y ，则BE ＝AB －AE ＝12－x.因为在Rt △AEF 中，∠A ＝30°，所以EF ＝12AE ＝12x ，同理DE ＝32BE ＝32(12－x)．由题知，y ＝EF ·DE＝12x·32(12－x)＝34(12x －x 2)＝－34(x 2－12x ＋36)＋93＝－34(x －6)2＋93，当x ＝6时，y 最大，为9 3.所以要使剪出的矩形CDEF 的面积最大，点E 应选在AB 的中点处．7．解：设AE ＝x ，AB ＝a ，四边形EFGH 的面积为y ，则BE ＝AB －AE ＝a －x.由题知，EH ＝EF ＝AE 2＋AH 2＝AE 2＋BE 2＝x 2＋（a －x ）2，则y ＝EH·EF＝x 2＋(a －x)2＝x 2＋a 2－2ax ＋x 2＝2x 2－2ax ＋a 2＝2(x 2－ax ＋14a 2)＋12a 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12a 2＋12a 2，当x ＝12a 时，y 最小． 所以当点E 为AB 的中点时，正方形EFGH 的面积最小．9．解：圆的面积大．理由如下：S 矩形≤14L·14L ＝116L 2，S 圆＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2＝14πL 2.因为14π＞116，所以14πL 2＞116L 2，即S 圆＞S 矩形，所以圆的面积大． 典中点3．D 点拨：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x≤5内时，此时，对称轴一定在1≤x≤5的左边，函数方能在x ＝1时取得最大值，∴a －32＜1，即a ＜5； 第二种情况：当对称轴在1≤x≤5内时，对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为x ＝1， ∴a －32＝1，即a ＝5. 综上所述，a≤5.故选D.4．－72≤y≤21 9．20 m ；800 m 2 10.412．解：(1)由题意可知，y ＝x(40－2x)，即y ＝－2(x －10)2＋200.∵0＜40－2x≤15，∴12.5≤x＜20.(2)函数y ＝－2(x －10)2＋200，12.5≤x＜20的图象从左向右呈下降趋势，∴当x ＝12.5时，y 最大值＝－2(12.5－10)2＋200＝187.5.答：当x 等于12.5 m 时，花园的面积最大，最大面积是187.5 m 2.14．解：由题意可知，BP ＝(12－2t)mm ，BQ ＝4t mm.∴S＝12BP·BQ＝12(12－2t)·4t，整理，得 S ＝－4t 2＋24t ，易知0＜t ＜6.∵S＝－4t 2＋24t ＝－4(t －3)2＋36，∴当t ＝3时，S 取得最大值，为36.故S 与t 的函数解析式为S ＝－4t 2＋24t.当t 为3 s 时，△PBQ 的面积最大，为36 mm 2.。
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．[例3]如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．。
二次函数应用几何图形的最大面积问题教学课件
求解极值点
通过求导数并令其为0，找到函 数的极值点。
确定最大面积
根据极值点和单调性，确定几 何图形的最大面积对应的点。
05
练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
一个矩形ABCD的面积为 12，其中AB=2，求BC的 最大值。
题目2
一个直角三角形ABC的面 积为6，其中∠C=90°， AC=3，求BC的最大值。
详细描述
首先设定三角形的底和高为二次函数 的变量，然后根据二次函数的性质， 找到使面积最大的底和高的值。
利用二次函数求圆形面积的最大值
总结词
通过设定圆的半径为二次函数的变量 ，利用二次函数的性质求圆的最大面 积。
详细描述
首先设定圆的半径为二次函数的变量 ，然后根据二次函数的性质，找到使 面积最大的半径的值。
02
几何图形可以由二次函数图像与x 轴、y轴的交点确定，进而形成三 角形、矩形、平行四边形等。
二次函数的最值与几何图形面积的关系
二次函数的最值出现在顶点处，此时 对应的x值为函数的零点或对称轴。
几何图形面积的最大值或最小值出现 在二次函数最值处，可以通过求导数 或配方法找到最值点。Βιβλιοθήκη 02常见几何图形面积公式
题目3
一个等腰三角形ABC的面 积为10，其中AB=AC， ∠B=45°，求BC的最大值 。
答案解析
解析1
设BC=x，则矩形的面积可以表 示为2x=12，解得x=6。由于AB 已经给定为2，所以BC的最大值
为6。
解析2
设BC=x，则直角三角形的面积 可以表示为1/2×3x=6，解得 x=4。由于AC已经给定为3，所
二次函数的应用《图形面积的最大值》
h= 30t - 5t 2
20
O 1 2 34 5 6
t/s
小球运动的时间是 3s 时，小球最高.小球运动中的 最大高度是 45 m．
典例精析 例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变 化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？
设垂直于墙的边长为x m，
60-2x
问题3 面积S的函数关系式是什么？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
问题4 如何求自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
问题5 如何求最值最？值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个 矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
知识要点
二次函数解决几何面积最值问题的方法 1.求出函数解析式和自变量的取值范围； 2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值, 3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取 值范围内.
典例精析
例2 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形， 制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户 通过的光线最多？(结果精确到0.01m)此时，窗户的面积是多少？(结果精 确到0.01m2)
当 x b 时，
2a
二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大）
值
y
4ac b2 ．
4a
讲授新课
求二次函数的最大(或最小)值
典例精析 例1 写出下列抛物线的最值. （1）y=x2-4x-5;
为学生架一座可以通往远方的桥——利用二次函数求图形的最大面积教学反思
为学生架一座可以通往远方的桥——利用二次函数求图形的最大面积教学反思在教学中，如何让学生更好地理解和应用数学知识一直是老师们关注的焦点。
其中，二次函数求图形的最大面积是一个经典的数学问题，在教学中可以通过引入实际场景，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将围绕这一主题展开探讨。
一、引入实际场景为了让学生更好地理解和应用二次函数求图形的最大面积，我们可以引入一个实际生活中的场景，比如建桥问题。
假设学生们是一家建筑公司的设计师，他们需要设计一座跨越一条河流的桥梁。
设计师们希望桥梁的面积最大，以提高使用效率和美观度。
通过引入实际场景，可以增加学生对问题的兴趣和认知。
二、讲解二次函数的概念和性质在引入实际场景后，我们需要对二次函数的概念和性质进行讲解。
首先，引导学生理解二次函数的定义和一般形式，即y=ax^2+bx+c。
接着，讲解二次函数的图像特征，包括顶点坐标和开口方向等。
这样可以帮助学生建立对二次函数的基本认知，为后续的应用打下基础。
三、引导学生建立数学模型在学生对二次函数有一定了解后，引导他们建立求解桥梁最大面积的数学模型。
以一座拱桥为例，我们可以设定桥梁的宽度为x，高度为y，将桥梁的面积表示为A=x*y。
根据题目条件，可以得到一些限制关系，比如桥梁的高度不能大于某个特定值，或者桥梁的宽度必须在一定的范围内。
通过引导学生思考和分析，可以逐步建立起求解最大面积的数学模型。
四、应用二次函数求解最大面积在学生建立数学模型后，我们可以引导他们应用二次函数的特性和求解方法来计算最大面积。
首先，讲解求解二次函数顶点坐标的方法，即x=-b/2a。
帮助学生理解顶点坐标的意义，并通过具体的计算案例展示求解过程。
接着，引导学生利用顶点坐标和问题中的限制关系，求解出最大面积对应的桥梁宽度和高度。
通过实际计算，让学生亲自操作并理解二次函数求解最大面积的方法。
五、教学反思在本次教学中，学生通过解决实际问题，掌握了二次函数求图形最大面积的方法。