高中数学竞赛 试题之三角函数教师版

高中数学竞赛（07-10年）试题分类汇总——三角、向量

一、选择题

1.（07全国）设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x−c )=1对任意实数x 恒成立，则

a

c

b cos 的值等于（ ） A. 2

1- B. 21 C. −1 D. 1

解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f (x )+f (x−c )=2，于是取2

1

==b a ，c=π，则对任意的x ∈R ，af (x )+bf (x−c )=1，由此得

1cos -=a

c

b 。 一般地，由题设可得1)sin(13)(++=ϕx x f ，1)sin(13)(+-+=-

c x c x f ϕ，其中

2

0π<<ϕ且32

tan =ϕ，于是af (x )+bf (x−c )=1可化为

1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ϕϕ，即

0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ϕϕϕ，所以 0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ϕϕ。

由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有⎪⎩

⎪

⎨⎧=-+==+)3(01)2(0

sin )1(0cos b a c b c b a ， 若b =0，则由(1)知a =0，显然不满足(3)式，故b≠0。所以，由(2)知sin c =0，故c=2kπ+π或c=2kπ(k ∈Z )。当c=2kπ时，cos c =1，则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k ∈Z )，cos c =−1。由(1)、(3)知21

=

=b a ，所以1cos -=a

c b 。 2.（08全国）ABC ∆中，边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos

cos A C A B

+的取值范围是（ C

）

A. (0,)+∞

B.

C. D. )+∞

[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而

sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C

B C B B C B C

++=

++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b

q B C A A a

ππ+-=====+-．

因此，只需求q 的取值范围．

因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组

2

2

,a aq aq aq aq a

⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧

--<⎪⎨+->⎪⎩

解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩

从而1122q <<

，因此所求的取值范围是． 3．（08江苏）如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值，

那么 答：[B]

A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形

B. 111C B A ∆是锐角三角形，222C B A ∆是钝角三角形

C. 111C B A ∆是钝角三角形，222C B A ∆是锐角三角形

D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形

解 两个三角形的内角不能有直角；111C B A ∆的内角余弦都大于零，所以是锐角三角形；若222C B A ∆是锐角三角形，则不妨设

cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫

⎝⎛-12A π， cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-22A π， cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭

⎫

⎝⎛-12C π.

则

212

A A -=

π

，212

B B -=

π

，212

C C -=

π

，

即 )(2

3222111C B A C B A ++-=

++π

，矛盾. 选B. 4.（08河北）已知cos cos 1x y +=，则sin sin x y -的取值范围是（ ）．

A []11-，

B []2-，2

C 0⎡⎣ D

⎡⎣

答案：D ．

解：设sin sin x y t -=，易得21cos cos sin sin 2t x y x y --=，即()21cos 2

t x y -+=．由

于()1cos 1x y -≤+≤，所以21

112t --≤≤，解得

t ≤ 5.（08湖南）设)2008sin(sin 0=a ，)2008sin(cos 0=b ，)2008cos(sin 0

=c ，)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是（ ）

Ａ．d c b a <<< Ｂ．c d a b <<< Ｃ．a b d c <<< Ｄ．b a c d <<<

解：因为0

0002818036052008++⨯=，所以，