高中数学竞赛 试题之三角函数教师版
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高中数学竞赛(07-10年)试题分类汇总——三角、向量
一、选择题
1.(07全国)设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x−c )=1对任意实数x 恒成立,则
a
c
b cos 的值等于( ) A. 2
1- B. 21 C. −1 D. 1
解:令c=π,则对任意的x ∈R ,都有f (x )+f (x−c )=2,于是取2
1
==b a ,c=π,则对任意的x ∈R ,af (x )+bf (x−c )=1,由此得
1cos -=a
c
b 。 一般地,由题设可得1)sin(13)(++=ϕx x f ,1)sin(13)(+-+=-
c x c x f ϕ,其中
2
0π<<ϕ且32
tan =ϕ,于是af (x )+bf (x−c )=1可化为
1)sin(13)sin(13=++-+++b a c x b x a ϕϕ,即
0)1()cos(sin 13cos )sin(13)sin(13=-+++-+++b a x c b c x b x a ϕϕϕ,所以 0)1()cos(sin 13)sin()cos (13=-+++-++b a x c b x c b a ϕϕ。
由已知条件,上式对任意x ∈R 恒成立,故必有⎪⎩
⎪
⎨⎧=-+==+)3(01)2(0
sin )1(0cos b a c b c b a , 若b =0,则由(1)知a =0,显然不满足(3)式,故b≠0。所以,由(2)知sin c =0,故c=2kπ+π或c=2kπ(k ∈Z )。当c=2kπ时,cos c =1,则(1)、(3)两式矛盾。故c=2kπ+π(k ∈Z ),cos c =−1。由(1)、(3)知21
=
=b a ,所以1cos -=a
c b 。 2.(08全国)ABC ∆中,边,,a b c 成等比数列,则sin cot cos
cos A C A B
+的取值范围是( C
)
A. (0,)+∞
B.
C. D. )+∞
[解] 设,,a b c 的公比为q ,则2,b aq c aq ==,而
sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C
B C B B C B C
++=
++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b
q B C A A a
ππ+-=====+-.
因此,只需求q 的取值范围.
因,,a b c 成等比数列,最大边只能是a 或c ,因此,,a b c 要构成三角形的三边,必需且只需a b c +>且b c a +>.即有不等式组
2
2
,a aq aq aq aq a
⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧
--<⎪⎨+->⎪⎩
解得q q q <<⎨⎪><⎪⎩
从而1122q <<
,因此所求的取值范围是. 3.(08江苏)如果111C B A ∆的三个内角的余弦值分别是222C B A ∆的三个内角的正弦值,
那么 答:[B]
A. 111C B A ∆与222C B A ∆都是锐角三角形
B. 111C B A ∆是锐角三角形,222C B A ∆是钝角三角形
C. 111C B A ∆是钝角三角形,222C B A ∆是锐角三角形
D. 111C B A ∆与222C B A ∆都是钝角三角形
解 两个三角形的内角不能有直角;111C B A ∆的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形;若222C B A ∆是锐角三角形,则不妨设
cos 1A =sin 2A =cos ⎪⎭⎫
⎝⎛-12A π, cos 1B =sin 2B =cos ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-22A π, cos 1C =sin 2C =cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛-12C π.
则
212
A A -=
π
,212
B B -=
π
,212
C C -=
π
,
即 )(2
3222111C B A C B A ++-=
++π
,矛盾. 选B. 4.(08河北)已知cos cos 1x y +=,则sin sin x y -的取值范围是( ).
A []11-,
B []2-,2
C 0⎡⎣ D
⎡⎣
答案:D .
解:设sin sin x y t -=,易得21cos cos sin sin 2t x y x y --=,即()21cos 2
t x y -+=.由
于()1cos 1x y -≤+≤,所以21
112t --≤≤,解得
t ≤ 5.(08湖南)设)2008sin(sin 0=a ,)2008sin(cos 0=b ,)2008cos(sin 0
=c ,)2008cos(cos 0=d ,则d c b a ,,,的大小关系是( )
A.d c b a <<< B.c d a b <<< C.a b d c <<< D.b a c d <<<
解:因为0
0002818036052008++⨯=,所以,