三角形外角的性质及证明.
三角形的外角的定义和定理
三角形的外角的定义和定理三角形的外角定义和定理三角形是由三条边连接而成的一个平面图形。
在三角形中，我们可以定义和研究三角形的内角和外角。
本文将重点讨论三角形的外角的定义和定理。
首先，让我们先来了解一下三角形的外角的定义。
在任何一个三角形的顶点上，都可以找到一个外角。
对于一个三角形ABC来说，如果我们在顶点A处向外画一条射线，使得射线与边AB和边AC都不重合，则射线与边AB和边AC所围成的角就是顶点A上的外角。
同样的，我们也可以找到顶点B和顶点C上的外角。
三角形的外角总共有3个。
现在，我们将重点介绍三角形外角的定理。
在三角形中，外角和内角之间存在一定的关系。
下面是三角形外角的定理：定理1：三角形的外角之和等于360度。
也就是说，三角形的外角A、B、C的度数之和等于360度。
证明：我们以三角形顶点A为例，来推导外角之和等于360度。
我们将顶点A的外角记为α，顶点B的内角记为β，顶点C的内角记为γ。
根据三角形的性质，可以得出β+γ=180度，可以表示为β=180度-γ。
由定义可知，外角α与内角β之和等于180度，即α+β=180度。
把β的表达式代入上式，得到α+(180度-γ)=180度，整理得α=γ。
同理，我们可以推导出顶点B和顶点C的外角与其对应的内角的关系。
根据上述证明，我们可以知道三角形外角之和是360度，即：α+β+γ=360度。
由此可见，无论是哪个顶点上的外角，其外角之和都等于360度。
定理2：三角形的外角与其对应的内角之间有如下关系：外角等于其对应的内角的补角。
换句话说，顶点的外角加上其对应的内角等于180度。
证明：我们同样以顶点A为例来推导外角与内角的关系。
假设顶点A的外角为α，内角为β。
由定义可知，外角α与内角β之和等于180度，即α+β=180度。
根据三角形的性质，内角β与其对应的外角γ之和等于180度，即β+γ=180度。
我们将α+β的结果代入到β+γ的等式中，得到α+β+γ=180度。
三角形的外角
引言概述：
正文内容：
一、外角的定义
1.外角是指一个三角形的某个角与另外两个角的内角之和相等的角。
2.外角的度数等于不相邻的两个内角的度数之和。
3.三角形的每个角都有一个对应的外角。
二、外角的性质
1.三角形的外角和等于360°。
a.由于三角形的内角和等于180°，所以三角形的外角和等于180°的补角，即360°。
b.这个性质表明，一个三角形的所有外角的和总是等于360°。
2.外角与内角的关系
a.外角与其对应的内角之和等于180°。
b.对任意一个三角形的外角及其对应的内角做补角，可以得出外角和内角之和为180°的结论。
3.外角与角标的关系
a.三角形的外角的度数等于其对应的角标的度数。
b.这意味着我们可以通过测量一个三角形的外角，来确定对应的角标的度数。
4.外角之间的关系
a.三角形的三个外角之间是线性相关的。
b.任意两个外角的度数之和等于第三个外角的度数。
5.外角与角平分线的关系
a.三角形的外角与其对应的角平分线相交于三角形的外心。
b.这个性质可以用来构造三角形的外心，从而进一步研究三角形的特性。
结论：
三角形的外角具有一些独特的性质和关系。
它们的度数等于对应内角的度数，且总和为360°。
外角与内角之间有一定的线性关系。
外角与角平分线也存在一定的关系。
这些性质和关系可以帮助我们更好地理解和应用三角形的几何特性。
三角形的外角性质定理
三角形的外角性质定理三角形是几何学中最基本的图形之一，它的性质及定理数不胜数。
本文将讨论三角形的外角性质定理，通过论述和推导，我们将揭示出这一性质的内涵和相关特点。
一、三角形的外角定义与性质我们首先来定义三角形的外角。
对于三角形ABC，若点D在边BC 的延长线上，且∠ADB为三角形ABC的外角，则称∠ADB为三角形ABC的外角，其性质如下：1. 外角定理三角形的外角等于其不相邻内角之和。
设∠ABC和∠ACB为三角形ABC的两个内角，∠ADB为该三角形的外角，根据外角定理，我们可以得到以下等式：∠ADB = ∠ABC + ∠ACB该等式表明，三角形的外角与其不相邻内角之和相等。
2. 外角大小三角形的外角是相邻内角的补角。
根据补角的概念，我们知道相邻的两个内角之和为180度。
因此，我们可以得到以下等式：∠ADB + ∠ABC = 180°∠ADB + ∠ACB = 180°这意味着三角形的外角与相邻的两个内角之和的和为180度。
3. 外角的性质三角形的外角可以大于、等于或小于360度。
当三角形的内角为锐角时，其外角为钝角；当内角为直角时，外角为直角；当内角为钝角时，外角为锐角。
这一性质与三角形的内角性质相对应，增加了我们对三角形的认识和理解。
二、外角性质定理的证明接下来，我们将证明外角性质定理。
我们可以通过以下步骤进行证明：1. 根据直角三角形的性质，证明直角三角形的外角等于90度。
2. 假设三角形ABC内角∠ABC + ∠ACB = α，三角形ABC外角∠ADB = β，通过对∠ADB进行角平分，我们得到角∠ADE = β/2。
3. 因为α + β/2 = α + (∠ADB/2) = 180度（直角三角形性质），所以有α + β/2 = 180度，从而推导出β = 2（180度 - α），即β = 360度 - 2α。
通过以上证明，我们可以得出结论：三角形的外角等于360度减去两个相邻内角的和的两倍。
直角三角形外角定理
直角三角形外角定理1. 介绍直角三角形是一种特殊的三角形，具有一个角为90度（直角）。
直角三角形外角定理是指直角三角形的三个外角之和等于360度。
在直角三角形ABC中，角A是直角，则角B和角C是直角三角形ABC的两个外角。
直角三角形外角定理可以表示为：角B + 角C = 180度2. 证明为了证明直角三角形外角定理成立，我们需要借助一些基本几何知识和公式。
首先，我们可以利用三角形内角和的定理得到：角A + 角B + 角C = 180度由于角A是直角，即角A = 90度，代入上面的等式中：90度 + 角B + 角C = 180度整理得到：角B + 角C = 180度这说明直角三角形的两个外角的和等于180度，即直角三角形外角定理成立。
3. 应用直角三角形外角定理在几何学中具有广泛的应用，可以帮助我们解决一些与直角三角形有关的问题。
3.1 寻找第三个角度当我们已知一个直角三角形的两个角度，想要求解第三个角度时，可以利用直角三角形外角定理。
例如，已知直角三角形ABC的角A = 90度，角B = 30度，我们可以通过直角三角形外角定理求解角C：角B + 角C = 180度30度 + 角C = 180度从中可以解得角C = 150度。
3.2 判断三角形类型利用直角三角形外角定理，我们还可以判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的两个外角之和等于180度，那么这个三角形就是一个直角三角形。
例如，我们有一个三角形DEF，角D + 角E = 180度，我们可以得出结论：三角形DEF是一个直角三角形。
3.3 证明勾股定理直角三角形外角定理也可以用于证明勾股定理。
勾股定理是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边平方的和。
假设我们有一个直角三角形ABC，其中AB为斜边，AC和BC为两直角边。
利用直角三角形外角定理有：角A + 角B = 180度角A = 90度 - 角B又根据三角函数的定义，我们可以得到：sin(A) = sin(90度 - B) = cos(B)sin(B) = sin(90度 - A) = cos(A)根据平方和公式，我们可以得到：sin^2(A) + sin^2(B) = cos^2(A) + cos^2(B) = 1再使用三角函数的定义 sin^2(A) + cos^2(A) = 1 和 sin^2(B) + cos^2(B) = 1，我们可以得到：cos^2(A) + cos^2(B) = 1由此可见，勾股定理得到了证明。
什么是三角形的外角
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的外角则是与三角形相关的一个重要概念。
本文将详细介绍什么是三角形的外角以及它的特性和性质。
正文内容：1.外角的定义1.1三角形的内角三角形由三条线段组成，而每个顶点都对应一个角度，称为内角。
三角形的内角之和一定为180度。
1.2外角的概念在三角形的一条边的延长线上，取一点使其与另外两条边的一条延长线上的点相连，所形成的角度称为三角形的外角。
一个三角形有三个外角，分别对应于三个顶点。
2.外角与内角的关系2.1外角与内角的关系2.2外角的性质2.2.1外角的度数三角形的外角可以是锐角、直角或钝角，具体取决于三角形的内角。
当内角为直角时，外角为直角；当内角为锐角时，外角也是锐角；当内角为钝角时，外角为钝角。
2.2.2外角与三角形的顶点三角形的外角是以三角形的顶点为中心的角度，外角的度数等于不与它相邻的两个内角的度数之和。
3.外角的特性3.1外角定理外角定理是三角形的一个重要性质，表明三角形的一个外角等于它不相邻的内角之和。
即一个三角形的外角A等于不与它相邻的内角B和C之和，也就是A=B+C。
3.2外角与内角和的关系对于任意一个三角形，它的三个外角之和等于360度。
即外角A+外角B+外角C=360度。
4.外角的应用4.1利用外角求内角通过知道三角形的一个外角的度数，可以利用外角与内角的关系推导出该外角对应的内角的度数。
4.2利用外角定理求解问题根据外角定理，可以求解一些与三角形的内角和外角相关的问题，例如寻找缺失的角度或计算三角形的内角和外角之和。
5.总结三角形的外角是相对于三角形顶点的角度，在三角形中具有重要的性质和特性。
外角与内角之间存在着一定的关系，可以利用这些关系求解三角形相关的问题。
通过对外角的研究，可以更好地理解三角形的性质和特点。
什么是三角形的外角(一)
什么是三角形的外角（一）引言：三角形是几何学中的基本形状之一，而外角是三角形中一个重要的概念。
在本文中，我们将深入探讨三角形的外角及其性质。
通过了解外角的定义、计算方法和性质，我们能更好地理解三角形的构造和性质。
正文：一、外角的定义和计算方法1. 外角是指相邻两边的延长线所形成的角度，它与三角形内部的角形成补角关系。
2. 外角的计算方法是通过两内角之和减去180度，即外角 = 180度 - 内角1 - 内角2。
二、外角的性质1. 外角和对应内角的关系：外角等于对应的内角和。
2. 外角和三角形其他两个内角的关系：外角等于其他两个内角的和。
3. 外角和内角的关系：三角形内角和等于180度，所以三角形的三个外角之和也等于180度。
4. 外角和直角三角形的关系：直角三角形的一个外角是90度。
5. 外角的度数范围：外角的度数范围在0度到360度之间。
三、外角的应用1. 判断三角形类型：通过测量三角形的外角，我们可以判断三角形的类型，如直角三角形、锐角三角形或钝角三角形。
2. 解题应用：在解决三角形问题的过程中，外角的性质可以作为推理的依据，帮助我们得出结论或计算未知的角度。
四、外角与其他概念的联系1. 内角与外角的关系：内角与外角是互补角，它们的和等于180度。
2. 三角形的三个内角和外角的关系：三角形的三个内角和等于180度，同时三个外角之和也等于180度。
五、总结通过本文的介绍，我们了解到外角是指相邻两边的延长线所形成的角度，并深入探讨了外角的定义、计算方法和性质。
了解三角形外角的概念和性质对我们理解和研究三角形的属性和关系起到了重要的作用。
在以后的学习和解题中，我们可以灵活运用外角的性质和计算方法，更好地理解和应用于三角形的相关问题中。
同时，深入研究三角形外角的更多性质和应用可以拓宽我们对三角形的认识，探索更多有趣的现象和定理。
（文中的大点和小点数量，仅供参考，可根据实际情况进行调整）。
三角形外角性质
引言概述：三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多有趣的性质和定理。
其中之一就是三角形的外角性质。
在本文中，我们将详细讨论三角形外角的定义、性质以及与内角之间的关系。
正文内容：一、三角形外角的定义1.外角是指一个三角形的某一个角和该角所对的边的外侧角。
2.外角的度数等于其相邻内角的度数之和。
二、三角形外角的性质1.三角形的外角之和等于360度（或2π弧度）。
这意味着一个三角形的三个外角的度数之和始终等于一个圆的度数。
例如，对于任意三角形ABC，外角A、外角B和外角C的度数之和等于360度。
2.外角大于对应的内角。
对于任意三角形ABC，对于任意一条边，其外角大于对应的内角。
例如，对于边AB，外角A大于内角ABC。
3.外角与其相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于其相邻两个内角的和。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角B和内角C的和。
4.三角形的三个外角可以构成一条直线。
对于任意三角形ABC，通过连接外角A和外角B可以得到一条直线。
例如，连接外角A和外角B，即可得到直线AB。
5.外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
外角等于所对内角的补角。
例如，对于三角形ABC，外角A等于内角ABC的补角。
三、三角形外角的证明与推导1.证明外角之和等于360度。
可以通过利用平行线、内角和补角的性质来证明此定理。
2.证明外角大于对应的内角。
利用外角和内角的定义以及相关的几何定理，可以证明外角大于对应的内角。
3.证明外角等于相邻两个内角的和。
利用内角之和等于180度的性质以及平行线和内角的性质，可以推导出外角等于相邻两个内角的和。
4.证明三角形的三个外角可以构成一条直线。
可以通过利用外角和内角的定义、平行线和内角的性质，以及三角形内角和等于180度的性质来证明此定理。
5.证明外角与其不相邻的两个内角之间存在关系。
利用内角和补角的性质、平行线和内角的性质以及三角形内角和等于180度的性质，可以证明外角等于所对内角的补角。
三角形的外角与内角
三角形的外角与内角三角形是几何学中最基本的图形之一。
在三角形中，我们可以通过角度来描述其形状和特性。
其中，外角和内角是我们常常研究和讨论的两个角度。
本文将介绍三角形的外角和内角的概念、性质以及它们之间的关系。
一、三角形的外角1. 外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过延长其中一条边（比如边AB）来得到一个外角。
外角定义为该外角和与之相邻的内角的和。
2. 外角的性质（1）任何一个三角形的外角都小于360度。
这是因为在三角形中，所有的内角的和已经等于180度，如果再加上外角，总和将超过360度，这是不可能的。
（2）三角形的相邻外角互补。
这是因为相邻两个外角加上与之相邻的内角，总和等于180度。
3. 外角与其他角度的关系（1）外角与内角的关系：一个外角等于与之相邻的两个内角的和。
即外角A等于内角B和内角C的和，外角B等于内角A和内角C的和，外角C等于内角A和内角B的和。
（2）外角与对应内角的关系：对于一个三角形的任意一对对应内角和外角来说，它们的度数之和等于180度。
即外角A等于内角C的度数，外角B等于内角A的度数，外角C等于内角B的度数。
二、三角形的内角1. 内角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过三个顶点来确定三个内角，分别为角A、角B、角C。
2. 内角的性质（1）三个内角的和等于180度。
这是因为三个内角加起来就是三角形所有内角的总和，而任何一个三角形的所有内角总和都等于180度。
（2）任意两个内角的和大于第三个内角。
这被称为三角形的内角和定理。
例如，在三角形ABC中，角A + 角B大于角C，角A + 角C 大于角B，角B + 角C大于角A。
三、三角形的外角与内角之间的关系根据前文提到的性质可知，一个三角形的外角与其对应的内角之间存在以下关系：（1）外角等于与之相邻的两个内角的和。
（2）外角与对应内角的度数之和等于180度。
（3）三个内角与三个外角的对应关系：外角等于相应内角的度数。
综上所述，三角形的外角与内角之间有着密切的关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练一练（1）
B A
1
P
N
3
F
C
2 M E
D
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ 360° .
（2）.已知图中∠A、∠B、∠C分别为80°， 20°，30°，求∠1的度数
(3)求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数
A
G
B
E
F
解：∵∠A+ ∠C= ∠EFA ∠B+ ∠D= ∠EGD D
C
∠EGD + ∠EFA + ∠E = 180°
C D A B
将一副三角板按如图方式放置，则两条
斜边所形成的钝角∠1＝______
1
∴ ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E= 180°
（4）如图，试计算∠BOC的度数．
A
90º D 30º
110°
20º
B
O
C
（5）如图，在直角△ABC中，CD是 斜边AB上的高，∠BCD＝35°， 求∠A与∠EBC的度数.
B
E
D
35°
A
C
1、三角形外角的两条性质 ① 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。 ②三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。 2、三角形的外角和是360°。
A
B
C
D
探索： （1）你能从理论上证明刚才的猜想吗？
A
B
C
D
∵∠ACD + ∠ACB=180 °， ∠A+ ∠B+ ∠ACB=180 ° ∴∠ACD= ∠A+ ∠B。
（２）如图：
过点C作C E∥A B 。 ∴∠1=∠ B，∠2=∠A。 ∴∠A CD=∠1+∠2=∠B+∠A。
A
E
E
2 1
B C D
7.2.2 三角形外角的 性质及证明
一、 打好基础
(1)什么是三角形的内角？ (2)三角形的内角和是多少？
1、画一个△ABC。 2、指出它所有的内角。 3、延长线段BC至D，给∠ACD取名。
A
B
C
D
1、外角的概念：三角形的一边与另 一边的延长线所组成的角叫做三角形 A 的外角。
B
思考：
C
D
1、
30
C
∴ ∠BOC=∠1+∠C= 71 + 30°= 101°
A
你能写出推理过程吗？
51
20
B
O
1
2
30
C
A
A
51
51
20ห้องสมุดไป่ตู้
O
20
B
30
C
O
30
CA
B
51
20
B
O
30
C
A
如图,探究∠1与 ∠A. ∠B. ∠C的关 系?
1
C B
一个零件的形状如图所示，按规定 ∠BAC=90°, ∠B=21°, ∠C=20°,检验 工人量得∠BDC=130°，就断定这个零件 不合格，你能运用所学的知识说出其中的 道理吗？
练习３、△ABC中，点D在BC上，点F
在BA的延长线上，DF交AC于点E，
∠B=42° ，∠C=55° ，∠DEC=45， 求∠F
思考：同样还是△ABC，你能不能过A点或C 点作它们对边的平行线，来说明 ∠CBD=∠ACB+∠CAB吗？试一下吧！并试着 用语言或文字表述证明过程。
E
E
三角形外角性质的其它解法：
A
B
D
C
练习1：求下列各图中∠1的度数。
A
l
1
30° B
75° C
C
D 1
25° A
95° B
D 1 A
E
55°
D 145° C 1 A
B
30° C
20° B
把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的 顺序排列
∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3
例1.已知，如图，AE∥CD， ∠C=80°，∠A=45°， B 求∠B的度数。
A
1
3 B 2 C
证明：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的外角， ∴ ∠1= ∠4+ ∠5，∠2= ∠4+ ∠6
∠3= ∠5+ ∠6 ∴∠1+∠2+∠3 =∠4+ ∠5+∠4+ ∠6+∠5+ ∠6 A =2(∠4+ ∠5 +∠6) 1 =360° B
2
3 C
（3）三角形三个外角和是 360°
练习2：在△ ABC中， ∠A+ ∠B=100°， ∠C=4∠A， 求∠A，∠B及与∠C相邻的外角。
如图，计算∠BOC
A
51
20
B
O
30
C
解：延长BO交AC于点F
A
∵∠1＝ ∠A+ ∠B
（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和） 且∠A＝ 51° ∠B ＝ 20°（已知） ∴ ∠1=∠A+∠B= 51 + 20°= 71°
51
F
1
20
B
O
（三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和） 又∵∠C＝ 30°
判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（
2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） ）
）
4、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ）
6、三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。 （ ）
三、归纳：
三角形外角的性质：
（１）三角形的一个外角等于
和它不相邻的两个内角的和；
（２）三角形的一个外角大于任
何一个和它不相邻的内角。
如图：D是△ABC边BC上一点， ∴∠ADC= ∠DAB + ∠B 。
∠DAB , ∠ADC> ∠B 。 ∴∠ADC>
问：
DAC ∠C 。 ∠ ADB= ∠ _____+ _____
A
C
F
D
E
例2：已知D是△ＡＢＣ的BC边上一 点，∠B=∠BAD， ∠ADC=80° ， ∠BAC=70 ° ，求∠Ｂ， ∠Ｃ的 度数。
A
B
D
C
我们知道三角形的内角和是180°， 那么三角形的外角和是多少？ 注意：我们讲三角形的外角和时， 在三角形的每一个顶点处只取一个 外角。
例3.如图，已知∠1，∠2，∠3是△ABC 的外角，求证： ∠1+∠2+∠3=360°
△ABC有多少个外角？ 2、作出△ABC的所有外角，并说出来。
判断下列∠1是哪个三角形的外角：
A 1 D B A A
1
C
C
B
（ 1）
D
（ 2）
A
D
1
E
1
F
G
C B
（ 3）
B
（ 4）
C
二、新知探索 做一做： 如图，在△ABC中，∠A=80°、 ∠B=45°你能的得到∠ACD的度数吗？ ∠ACD与∠ A，∠B有什么关系？若任意 三角形，看看会出现什么结果？