因式分解与二次函数
因式分解和二次函数
因式分解这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
二次函数与因式分解
二次函数与因式分解二次函数是数学中的一种基本函数形式，它的表达式可以写作y =ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c分别代表常数，x代表自变量，y代表因变量。
因式分解是指将一个多项式拆分成多个因式相乘的形式。
对于二次函数来说，因式分解可以帮助我们更好地理解和解决相关问题。
一、什么是二次函数？二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，a不能为零。
二次函数的图像是一个抛物线，可以开口向上或者向下。
二次函数的图像特点包括：顶点、轴、对称轴、开口方向以及图像的平移、压缩、伸缩等。
以y = x^2为例，它是一个基本的二次函数，图像是一个开口向上的抛物线，顶点是原点(0,0)，对称轴是y轴。
二、因式分解的基本概念因式分解是指将一个多项式拆分成多个因式的乘积形式。
在二次函数中，因式分解主要用于将二次函数化简、求解等问题。
例如，对于二次函数y = x^2 + 5x + 6，我们可以进行因式分解，得到y = (x + 2)(x + 3)。
三、二次函数的因式分解方法在因式分解中，对于类似y = ax^2 + bx + c的二次函数，我们需要找到两个因式，使得它们的乘积等于a*c，并且和等于b。
具体分解步骤如下：1. 将二次函数表示为y = ax^2 + bx + c的形式。
2. 求出a*c的乘积以及b的和。
3. 寻找两个因式，使得它们的乘积等于a*c，并且和等于b。
4. 将二次函数表示为这两个因式的乘积形式。
例如，对于二次函数y = x^2 + 5x + 6，我们可以按照以下步骤进行因式分解：1. 表示为y = (x + ?)(x + ?)形式。
2. a*c = 1 * 6 = 6，b = 5。
3. 找到两个因式，它们的乘积等于6，并且和等于5。
在本例中，我们找到的两个因式是2和3。
4. 将二次函数表示为y = (x + 2)(x + 3)。
因此，二次函数y = x^2 + 5x + 6可以通过因式分解化简为y = (x +2)(x + 3)。
解二次函数的方法
解二次函数的方法解二次函数的方法有以下几种：1. 因式分解法：对于形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a≠0时，可以尝试以因式分解的方式将其拆解成两个一次函数的乘积形式。
具体步骤如下：- 将二次项ax^2分解成两个一次函数的乘积形式，即找到两个数m和n，使得：m*n = a 且m + n = b；- 根据上述分解结果，将二次函数y = ax^2 + bx + c写成因式乘积形式，即y = (mx + p)(nx + q)；- 求解得到m、n、p、q的值，得到最终的因式分解结果。
2. 完全平方公式法：通过完全平方公式，可以将二次函数表示成一个平方项加上一个常数的形式。
具体步骤如下：- 将二次函数y = ax^2 + bx + c变形成y = a(x-h)^2 + k的形式；- 根据变形后的形式可得，h = -b/(2a)，k = c - b^2/(4a)；- 根据上述求得的h和k的值，将二次函数写成完全平方的形式。
3. 配方法：对于一般形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，当a≠0时，可以通过配方法来解。
具体步骤如下：- 首先将二次函数的二次项系数a提取出来，并将方程变形为y = a(x^2 + (b/a)x) + c；- 进一步变形为y = a(x^2 + (b/a)x + b^2/(4a^2)) + c - b^2/(4a)；- 再次变形为y = a(x + b/(2a))^2 + (4ac - b^2)/(4a)；- 根据上述变形，可以将二次函数表示为(x + b/(2a))^2的形式，并求出平移向量及其他信息。
4. 求根公式法：对于一般形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，可以通过求根公式来解。
求根公式是利用一元二次方程的求根公式，得到二次函数的根的表达式。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ±√(b^2 - 4ac))/(2a) ；根据上述公式，可以求得二次函数的根的值。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
二次函数的根与因式分解二次函数的根与因式分解的求解与应用
二次函数的根与因式分解二次函数的根与因式分解的求解与应用二次函数的根与因式分解的求解与应用二次函数在数学中扮演着非常重要的角色。
它的性质和应用广泛地应用在各个领域。
在本文中，我们将探讨二次函数的根与因式分解的求解与应用。
1. 二次函数的根二次函数的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0。
我们可以使用求根公式来求解二次函数的根。
求根公式是：x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
例如，对于二次函数f(x)=x²-4x+3，其中a=1，b=-4，c=3，我们可以将这些值代入求根公式来计算函数的根。
首先，计算(b²-4ac)，即(-4)²-4(1)(3)=-4。
由于根中包含了一个平方数的减法，我们可以得出(b²-4ac)小于零，因此该二次函数没有实根。
然而，即使一个二次函数没有实根，我们仍然可以得到它的虚根。
在这种情况下，根为x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
通过代入数值，我们可以得到虚根x=(4±2i)/2=2±i。
2. 二次函数的因式分解除了求解二次函数的根，我们还可以使用因式分解来改写二次函数的表达式。
通过因式分解，我们可以将二次函数表示为两个一次函数相乘的形式。
例如，对于二次函数f(x)=x²-4x+3，我们可以将其因式分解为(x-1)(x-3)。
这里，我们可以把常数项3分解为两个数的乘积1和3，并且将x项的系数-4分解为两个数的和-1和-3。
利用因式分解，我们可以简化二次函数的求解过程，特别是在复杂的问题中，因式分解可以帮助我们更好地理解和处理二次函数。
3. 二次函数的求解与应用二次函数的求解与应用被广泛应用在各个领域，如物理学、经济学和工程学等。
在物理学中，二次函数的求解与应用可以用来描述自由落体运动的高度、物体的抛射运动以及反弹运动等。
二次函数的解析式与因式分解
二次函数的解析式与因式分解二次函数是高中数学学科中重要的一部分，它在各个领域中都有广泛的应用。
理解二次函数的解析式和因式分解对于解题和深入理解二次函数概念至关重要。
本文将详细介绍二次函数的解析式和因式分解的相关内容。
一、二次函数的解析式二次函数表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数且a ≠ 0，x为自变量，y为函数值，即二次函数的解析式由一个二次项、一个一次项和一个常数项构成，a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c称为常数项。
二次函数的解析式y = ax^2 + bx + c中的a决定了二次函数的开口方向，当a > 0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
常数项c决定了二次函数的平移，h = -b/2a决定了二次函数的对称轴的横坐标。
二、二次函数的因式分解二次函数的因式分解是将二次函数表示为两个一次因式的乘积形式，即找到尽可能简化的表达式。
对于形如y = ax^2 + bx + c的二次函数，可以通过因式分解找到其因式形式。
以一般情况y = ax^2 + bx + c为例，我们可以通过求解一元二次方程的根来进行因式分解。
首先，我们求出二次函数的解析式的两个根，记为x1和x2，那么原函数可以表示为：y = a(x - x1)(x - x2)其中，x1和x2是一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两个根，通过求解该方程我们可以得到x1和x2的值，从而完成因式分解的过程。
因式分解的好处在于可以简化二次函数的表达式，使得函数的性质更加明确和易于分析，也为解题提供了更多便利。
三、二次函数解析式与因式分解的联系二次函数的解析式与因式分解是密切相关的。
解析式提供了二次函数的一般形式，方便我们直观地了解函数的特点和性质。
而因式分解则将二次函数简化为两个一次因式的乘积形式，更加清晰地展示了函数的结构和相关特性。
通过解析式，我们可以直接得到二次函数的开口方向、对称轴、顶点等重要的几何特性。
推导二次函数的根与因式分解
推导二次函数的根与因式分解二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的根和因式分解是二次函数中常见的概念和操作。
本文将详细介绍如何推导二次函数的根与因式分解。
1. 二次函数的定义二次函数可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是实数且a ≠ 0。
a 决定了二次函数的开口方向，正数表示开口向上，负数表示开口向下；b 和 c 决定了二次函数的平移和交点位置。
2. 二次函数的根二次函数的根指的是函数的解，即函数取零的点。
我们可以通过求解二次方程来获得二次函数的根。
首先，我们将二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c = 0 转化为标准形式，即 ax^2 + bx + c = 0。
然后，使用求根公式来得到二次方程的根。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
在求根过程中，可以根据判别式 D = b^2 - 4ac 的值来判断二次方程的根的情况：- 当 D > 0 时，二次方程有两个不相等的实根；- 当 D = 0 时，二次方程有两个相等的实根；- 当 D < 0 时，二次方程没有实根，但有两个共轭复根。
3. 二次函数的因式分解因式分解是将一个多项式拆分成若干个乘积的形式。
对于二次函数而言，因式分解可以帮助我们更好地理解函数的性质和特点。
要对二次函数进行因式分解，首先需要将二次函数表示成标准形式。
然后，我们可以使用如下的因式分解方法：- 对于 x^2 + bx + c 形式的二次函数，我们可以根据常识和经验来分解；- 对于 ax^2 + bx + c 形式的二次函数，我们可以使用因式分解公式来进行分解。
简单来说，我们要找到两个一次函数的乘积等于原二次函数，即f(x) = (mx + n)(px + q)，其中 m、n、p、q 是实数。
4. 总结本文介绍了如何推导二次函数的根与因式分解。
通过求解二次方程和使用因式分解公式，我们可以获得二次函数的根和对其进行因式分解。
初高中数学衔接之因式分解二次函数的最值问题
初高中数学衔接必会知识 3 ----- 二次函数的最值问题【要点回顾】1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a -，无最小值．2．二次函数最大值或最小值的求法．第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．3．求二次函数在某一范围内的最值．如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；第二步：讨论：[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论：①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧；②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部；③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。
[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴02m n x +≤，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例4。
【例题选讲】例1求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．例2当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．例3当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例4当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时： 当1x =时，2m i n 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？【巩固练习】1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。
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例 2、 （学案 1）用配方法把下列函数式化成 y a( x h) 2 k 的形式， 并指出开口方向，对称轴和顶点坐标 （1） y x 4 x 3
2
（4） y=(x+2)(1－2x)
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
1.因式分解的定义 把一个多项式化为n个整式的积的形式，叫做把这个 多项式的因式分解，也叫分解因式. 2.因式分解的几种常用方法 (1)提公因式法 (2)运用公式法 (3)二次三项式型： (4)分组分解法： ①分组后能提公因式； ②分组后能运用公式.
①平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) ②完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2 ③立方和公式： a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 立方差公式： a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) ④三数和平方公式： (a+b+c)2= a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)
2 2
3、 6 x xy 2 y
2 2 2 2
2
4、 3a x 15a xy 42a y
2
2
一元二次函数的图象和性质:
a>0 a<0
图象
x
b 4ac b 2 ( , ) 顶点 2a 4a b 对称性 关于直线x 对称 2a b 4ac b 2 b 4ac b 2 最值 当x 时，y最小 当x 时，y最大 2a 4a 2a 4a
1 解得 a , b 1, c 3 ， 2 1 2 即所求函数为 y x x 3 2
1.十字相乘法分解因式的公式： x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
2.二次函数及其性质 3.二次函数的几种表达式
1、把下列各式分解因式： （1） x 2 7 x 18 （2） m 2 8m 12 （3） x 2 8x 15 （4） y 2 7 y 10 （5） x 4 6 x 2 8 （6） (a b) 2 4(a b) 3 2、用配方法把下列函数式化成 y a( x h) 2 k 的形式 （1） x 2 6 x 11 （2） x 2 2 x 4 （3） x 2 8x 12 （4） x 2 4 x 2
练习、求图象通过 A(2,-3)B(-2,-7)C(4,7)三点的 二次函数的解析式。
解：设二次函数为 y ax2 bx c
3 a 22 b 2 c 则 7 a (2) 2 b (2) c 7 a 42 b 4 c
2
a1 a2
c1
c2
例 1：1、 （学案 21） x 4 x 12
2
2、 （学案 22） 2 x x 10
2
3、 （学案 23） x (2a 1) x a(a 1)
2
4、 （学案 25） 3a x 5ax 12
2 2
1、 x 3x 2
2
2、 （学案 24） x 2mx m 1
例 3、求图象通过 A(-2,0), B(3,0) C(0,-3)两点的 二次函数的解析式。
1 解法 2：由题可知对称轴为 x ， 2 1 y a( x ) 2 n 设解析式为 2 1 2 0 a (2 2 ) n 3 2 1 2 1 即所求解析式为 y x x 3 2 2
一次项系数
十字交叉线
1 ∴ 1
1 2
解：原式 ( x 1)(x 2)
利用十字交叉线来分解 系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字 相乘法。
一般的二次三项式的因式分解
(a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x (a1c2 a2 c1 ) x c1c2
在（ ， b ）是减函数 2a 在（ ， b ）是增函数 2a
b 2a
x
b 2a
单调性
b 在（ ， ）是增函数 2a
b 在（ ， ）是减函数 2a
二次函数的表达式
一般式 顶点式 交点式
y ax2 bx c
(a 0)
y a( x h)2 k (a 0)
请大家记住公式
十字相乘法公式：
x ( p q) x pq ( x p)(x q)
2
1 1
p q
口诀：首尾分解、交叉乘积、求和凑中。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2 (+1)＋(+2)＝+3 常数项 (1).因式分解竖直写; (2).交叉相乘验中项; (3).横向写出两因式;
例 3、求图象通过 A(-2,0), B(3,0) C(0,-3)两点的 二次函数的解析式。
解法 1：因为二次函数图像与 x 轴相交 A(-2,0), B(3,0)两点, 所以设解析式为：
y a( x 2)(x 3) 由 f (0) 3 得 6a 3 1 解得 a ， 2 1 2 1 即所求函数为 f ( x ) x x 3 2 2